函數(shù)的連續(xù)性與間斷性

1、一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量相相稱稱為為函函數(shù)數(shù))(, )()()()(000 xfxfxxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy .,),(,),()(0000的增量的增量稱為自變量在點(diǎn)稱為自變量在點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxxxUxfU .x的的增增量量應(yīng)應(yīng)于于 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義000lim ()( )xf xxf x :定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxx

2、f證證, 01sinlim0 xxx因?yàn)橐驗(yàn)? 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在開區(qū)間（在開區(qū)間（a,b

3、）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在叫做在該區(qū)間內(nèi)的該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例例2 2.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

4、.2sin2xy 從而從而,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)任意的對(duì)任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn);)1(0沒沒有有定定義義在在xx ;)(lim,)2(00不存在不存在但但有定義有定義雖在雖在xfxxxx ).()(lim,)(lim,)3(0000 xfxfxfxxxxxx 但但存在存在且且有定義有定義雖在雖在).()(),()(00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)而點(diǎn)而點(diǎn)或間斷或間斷為不連續(xù)為不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則則xfxxxf在此前提在此

5、前提的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(0 xxf:)x(f,有有下下列列三三種種情情形形之之一一如如果果函函數(shù)數(shù)下下1.1.定義定義例例3是是函函數(shù)數(shù)所所以以點(diǎn)點(diǎn)處處沒沒有有定定義義在在正正切切函函數(shù)數(shù)2,2tan xxxy的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .因因xtan,tanlim2 xx.tan2的無(wú)窮間斷點(diǎn)的無(wú)窮間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)稱稱xx yxo22232.2.間斷點(diǎn)舉例間斷點(diǎn)舉例例例4 4.01sin處沒有定義處沒有定義在在函數(shù)函數(shù) xxy之間之間與與函數(shù)值在函數(shù)值在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)11,0 x稱稱所以點(diǎn)所以點(diǎn)變動(dòng)無(wú)限多次變動(dòng)無(wú)限多次0, x.1sin的的振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)

6、點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)x-0.4-0.20.20.4x-1-0.50.51Sin1x例例5所以函數(shù)在點(diǎn)所以函數(shù)在點(diǎn)沒定義沒定義在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù),1112 xxxy但這里但這里為不連續(xù)為不連續(xù).1 x. 2)1(lim11lim121 xxxxx如果補(bǔ)充分定義：令如果補(bǔ)充分定義：令x x=1=1時(shí)時(shí)y y=2=2，則所給函數(shù)在則所給函數(shù)在x x=1=1成為連續(xù)成為連續(xù). .所以所以x x=1=1稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). .yxo211例例6 6函數(shù)函數(shù), 1lim)(lim11 xxfxx這里這里).1()(lim1fxfx 因此，點(diǎn)因此，點(diǎn)x x=1=1是函數(shù)是函數(shù)f f( (x

7、 x) )的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn). .但如果改變函但如果改變函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在x x=1=1處的定義：令處的定義：令f f(1)=1(1)=1，則，則f f( (x x) )在在x x=1=1成為連續(xù)成為連續(xù). .所以所以x x=1=1也稱為該函數(shù)的也稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). .所以所以但但,21)1( f1211xyo 1,1,)(21xxxxfy例例 .0,1,0,0,0,1)(xxxxxxf,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)這里這里x. 1)1(lim)(lim, 1)1(lim)(lim0000 xxfxxfxxxx的間的間是函數(shù)是函數(shù)所以點(diǎn)所以點(diǎn)不存在不存在故極限故極限)(0,)(lim0 xfxxfx 函數(shù)函數(shù)0,0)(. xxxfy稱稱處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象的圖形在的圖形在因因斷點(diǎn)斷點(diǎn).)(的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)xfyxo1 xy113. 3. 間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)是函數(shù)是函數(shù)設(shè)設(shè))(0 xfx;)x( f的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn)稱為稱為那么那么的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn)不是不是如果如果00,)().2(xxfx.)(的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)xf右極限相等者稱為可右極限相等者稱為可在第一類間斷點(diǎn)中左、在第一類間斷點(diǎn)中左、.,點(diǎn)點(diǎn)不相等者稱為跳躍間斷不相等者稱為跳躍間斷去間斷點(diǎn)去間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)是第二類