《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》課件(新人教選修)

1、新課標(biāo)人教版課件系列新課標(biāo)人教版課件系列高中數(shù)學(xué)選修選修454.3數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理：只有兩個(gè)步驟正確，才初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理：只有兩個(gè)步驟正確，才能下結(jié)論：對一切能下結(jié)論：對一切nN*，命題正確，命題正確(強(qiáng)調(diào)缺一不可強(qiáng)調(diào)缺一不可) 2會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題3理解為證理解為證nk1成立，必須用成立，必須用nk成立的假設(shè)成立的假設(shè)4會用數(shù)學(xué)歸納法證明整數(shù)會用數(shù)學(xué)歸納法證明整數(shù)(整式整式)整除問題整除問題5會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的幾何問題會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的幾何問題6了解數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)

2、一步掌握數(shù)學(xué)了解數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟歸納法的證明步驟7掌握為證掌握為證nk1成立的常見變形技巧：提公因式、成立的常見變形技巧：提公因式、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、合并項(xiàng)、配方等添項(xiàng)、拆項(xiàng)、合并項(xiàng)、配方等 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例例第一課時(shí)第一課時(shí) 觀察：觀察：633，853，1037，1257，14311，16511，786711，我們能得出什我們能得出什么結(jié)論么結(jié)論 ? 教師根據(jù)成績單，逐一核實(shí)后下結(jié)論：教師根據(jù)成績單，逐一核實(shí)后下結(jié)論：“全全班及格班及格”米諾骨牌.swf問問題題數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟： ()證明當(dāng)證明當(dāng)nn0(n1

3、)(如如n1或或2等等)時(shí)，結(jié)時(shí)，結(jié)論正確；論正確；()假設(shè)假設(shè)nk(kN*且且kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論正確，證明nk1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 對于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有對于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來證明它們關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來證明它們的正確性：先證明當(dāng)?shù)恼_性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0(例如例如n0=1) 時(shí)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN,kn0)時(shí)命題成立時(shí)命題成立證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，這種證明方法叫做數(shù)時(shí)命題也成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法學(xué)歸納法.定定義義注意注

4、意:運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題,以上兩步缺一不可以上兩步缺一不可數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想： 在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運(yùn)用運(yùn)用“有限有限”的手段來解決的手段來解決“無限無限”的問題的問題數(shù)學(xué)歸納法的核心數(shù)學(xué)歸納法的核心: 在驗(yàn)證命題在驗(yàn)證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上正確的基礎(chǔ)上,證明命題具證明命題具有傳遞性有傳遞性,而第二步實(shí)際上是以一次邏輯的推理而第二步實(shí)際上是以一次邏輯的推理代替了無限的驗(yàn)證過程代替了無限的驗(yàn)證過程.所以說數(shù)學(xué)歸納法是一所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法，實(shí)現(xiàn)了有種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證

5、題方法，實(shí)現(xiàn)了有限到無限的飛躍。限到無限的飛躍。例例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明135+(2n1)n2初初步步應(yīng)應(yīng)用用 例例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：123nn(n1)(2n1)222216例例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明*)(2131211Nnnn初初步步應(yīng)應(yīng)用用 例例4.下面是下面是某同學(xué)用某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納數(shù)學(xué)歸納法證明命法證明命題題 的過程的過程.你認(rèn)為他你認(rèn)為他的證法正的證法正確嗎確嗎?為什為什么么 (1).當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左左邊邊= , 右邊右邊= (2).假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題時(shí)命題成立成立 即即那么那么n=k+1時(shí)時(shí), 左邊左邊 =右邊右邊,即即n=k

6、+1時(shí)時(shí),命題也成命題也成立立.由由(1)(2)知知,對一切自對一切自然數(shù)然數(shù),命題命題均正確均正確. 212111)1(1321211nnnn211111)1(1321211kkkk1)1(211)2111()3121()211(kkkkk課堂練 習(xí)，鞏固提高 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an 是一個(gè)等差數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，那么列，那么 ： an=a1+(n-1)d 對一切對一切nN都成立都成立.證明：證明： （1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左時(shí)，左=a1，右右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立，所以等式成立(2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(kN)時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即ak=a

7、1+(k-1)d那么那么 ak+1=ak+d= a1+(k-1)d+d=a1+(k+1)-1d當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立時(shí)，等式成立由由(1)(2)知對任何知對任何nN等式成立等式成立2、1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)；證明證明:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊=1,右邊右邊=1,等式是成立的。等式是成立的。 (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是 1+2+3+k=k(k+1)/2那么，那么， 1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)(k+1)+1/2這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。時(shí)，等式也成立。因此因此,根據(jù)根

8、據(jù)(1)和和(2)可斷定可斷定,等式對于任何等式對于任何nN都都成立。成立。課堂練 習(xí)，鞏固提高 課堂練 習(xí)，鞏固提高 3、1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)證明證明:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊=1,右邊右邊=1,等式是等式是成立的。成立的。 (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是 1+2+22+2k-1=2k-1那么，那么， 1+2+22+2k-1+2k=2k-1+ 2k =22k-1 =2k+1-1這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。時(shí)，等式也成立。 因此因此,根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)可斷定可斷定,等式對于任等式對于任何何nN*都成立。都成立。

9、歸納小結(jié)歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；法；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞； 數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論；個(gè)結(jié)論； 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮 數(shù)學(xué)歸納法

10、及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例第二課時(shí)第二課時(shí)復(fù)習(xí)舊課，提出任務(wù)數(shù)學(xué)歸納法證明有哪些步驟？數(shù)學(xué)歸納法證明有哪些步驟？數(shù)學(xué)歸納法通常解決什么問題數(shù)學(xué)歸納法通常解決什么問題？ (與正整數(shù)有關(guān)命題與正整數(shù)有關(guān)命題) 例題選講例例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 34n+252n+1能被能被14整除整除證明：證明：(i)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，341+2521+17541416，當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，34n+252n+1能被能被14整除整除(ii)設(shè)設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，時(shí)，34k+252k+1能被能被14整整除除那么當(dāng)那么當(dāng)nk1時(shí)時(shí)34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152

11、 8134k+22552k+1(2556)34k+22552k+1 25(34k+252k+1)5634k+2 (34k+252k+1)能被能被14整除，整除，56能被能被14整除整除， 34n+252n+1能被能被14整除即整除即nk1時(shí)，時(shí)，命題成立命題成立 根據(jù)根據(jù)(i)、(ii)可知可知, 34n+252n+1能被能被14整除整除 例例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： x2ny2n能被能被xy整除整除 例例3 平面內(nèi)有平面內(nèi)有n(n2)條直線，其中條直線，其中任何任何兩條不平行兩條不平行,任何三任何三條不過同一點(diǎn)條不過同一點(diǎn),證明證明交點(diǎn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為:)1(21)(nnnf例題選講n圖形f(n)1234kK+1f(1)=0f(2)=1=f(1)+1f(3)=3=f(2)+2f(4)=6=f(3)+3f(k)f(k+1)=f(k)+k例題選講,1)2(,1)( 分析1221211222nnnnfxfxxx的大小，與2試比較),),已知 4例*1122g(n)f(N(ng(nf(x)nnxxxxnnnn并說明理由.的大小。與2的大小既比較)(與)2(比較2nngfn例例5 設(shè)),(113121Nnann是否存在 的整式 ,n)(ng使得等式) 1()(1321nnangaaaa對大于1的一