第4章_多自由度系統(tǒng)振動(d)

1、2022年5月17日振動力學2多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動2022年5月17日振動力學3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動2022年5月17日振動力學4小結(jié)：小結(jié)：固有頻率固有頻率多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/固有頻率固有頻率M 正定，正定，K 正定正定主振動：主振動：正定系統(tǒng)：正定系統(tǒng)：0KXXM nRX)sin(tX代入振動方程：代入振動方程： 0)(2MK有非零解的充分必要條件：有非零解的充分必要條件：0MK2特征方程特征方程 021)1(212nnnnaaa頻率方程或特征多項式頻率

2、方程或特征多項式1最小的固有頻率：最小的固有頻率： 為基頻。為基頻。0XXFM 自由振動的位移方程：自由振動的位移方程：主振動：主振動： )sin(tX代入，得：代入，得： 0IFM)(特征方程：特征方程： 0IFM2022年5月17日振動力學5多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)模態(tài)0MK)(2特征值特征值特征向量特征向量（固有頻率）（固有頻率）（模態(tài)）（模態(tài)） 在特征向量中規(guī)定某個元素的值以確定其他各元素的值的過在特征向量中規(guī)定某個元素的值以確定其他各元素的值的過程稱為程稱為歸一化歸一化 。描述了系統(tǒng)做第描述了系統(tǒng)做第 i 階主振動時具有

3、的振動形態(tài)，稱為階主振動時具有的振動形態(tài)，稱為第第 i 階階主振型主振型，或，或第第 i 階模態(tài)。階模態(tài)。)(i 主振動僅取決于系統(tǒng)的主振動僅取決于系統(tǒng)的 M 陣、陣、K 陣等物理參數(shù)。陣等物理參數(shù)。)(iadjB的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i 階主振動階主振動)(i0MK)(2)(ii比較：比較：0)()(2iiadjBMK因為有：因為有：小結(jié)：小結(jié)：模態(tài)模態(tài)特征值問題：特征值問題：2022年5月17日振動力學6 模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度)(ii)( jj兩式相減：兩式相減：)(2)()(2)(jjjiiiMKMK)()(2)()(jTiijTiMK

4、)( j轉(zhuǎn)置右乘轉(zhuǎn)置右乘Ti)(左乘左乘)()(2)()(jTijjTiMK0)()()(22 jTijiMji ji若若 時，時， 0)()( jTiM0)()( jTiK模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性均滿足：均滿足：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度當當 ij 時時piiTim )()(MpiiTik )()(K第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)恒成立恒成立2()KM02022年5月

5、17日振動力學7 00)()()()(jTijTiKM模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性當當 ij 時時piiTim )()(M主質(zhì)量主質(zhì)量piiTik )()(K主剛度主剛度ji 當當 時時利用利用 Kronecker 符號：符號： piijjTipiijjTikm)()()()(KMjijiij01第第 i 階固有頻率：階固有頻率：)1(nimkpipii 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度( )( )2( )( )i Tji TjiKM2022年5月

6、17日振動力學8主模態(tài)主模態(tài)：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、ni1另一種模態(tài)：另一種模態(tài)：正則模態(tài)正則模態(tài)定義：全部主質(zhì)量皆為定義：全部主質(zhì)量皆為1的主模態(tài)的主模態(tài) )(iN1)()( iNTiNpimMni1)()(iiiNc令：令：12)()(2)()( piiiTiiiNTiNmccMM)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：)(iN相對于相對于 的主剛度：的主剛度：2)(

7、)()()(1ipipiiTipiiNTiNmkm KKpiimc1 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動力學9正則模態(tài)的正交性條件：正則模態(tài)的正交性條件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKMjijiij01 piijjTipiijjTikm)()()()(KM主模態(tài)的正交性條件：主模態(tài)的正交性條件：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)主模態(tài)：主模態(tài)：n

8、i11)()(iNTiNM2)()(iiNTiNK主質(zhì)量為主質(zhì)量為1固有頻率的平方固有頻率的平方)(iN第第 i 階正則模態(tài)階正則模態(tài)正則模態(tài)：正則模態(tài)：ni1多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動力學10多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、主模態(tài)主模態(tài))1()(nii將將 組成矩陣組成矩陣模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣)()1(n nnR ppnpTppnpTkkdiagmmdiagKKMM),(),(11主質(zhì)量矩陣主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣主剛度矩陣 piijjTipiij

9、jTikm)()()()(KMni1正交性條件：正交性條件：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度對角陣對角陣2022年5月17日振動力學11)()1 ()()1 (nTnTMM ppnpTmmdiagMM ),(1推導(dǎo)：推導(dǎo)：)()1()()1(nTnTM )()1()()1(nTnT MM )()()1()()()1()1()1(nTnTnnTTMMMM pnpmm001多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度對角

10、陣對角陣2022年5月17日振動力學12多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、正則模態(tài)正則模態(tài))1()(niiN將將 組成矩陣組成矩陣正則模態(tài)矩陣正則模態(tài)矩陣)()1(nNNN nnRKIMNTNNTN單位矩陣單位矩陣譜矩陣譜矩陣ni1正交性條件：正交性條件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKM221n多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動力學13多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、)(2)(iiiMK特征值問題：特征值問

11、題：依次取依次取 ，得到的，得到的 n 個方程，可合寫為：個方程，可合寫為：ni1 piijjTipiijjTikm)()()()(KMni1主模態(tài)正交性條件：主模態(tài)正交性條件：MK 左乘左乘 ：TppMK ppKM1多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動力學14例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)111,101,121)3()2()1( 111102111,)3()2()1(模態(tài)矩陣：模態(tài)矩陣：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主質(zhì)量矩陣：主質(zhì)量矩陣

12、：主剛度矩陣：主剛度矩陣： Kp、Mp非對角線項等于零非對角線項等于零說明主振型是關(guān)于剛度陣及質(zhì)量說明主振型是關(guān)于剛度陣及質(zhì)量陣相互正交的陣相互正交的. mkmkmkpp400030001KMmkmkmk43232221譜矩陣：譜矩陣：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動力)3()2()1(模態(tài)矩陣：模態(tài)矩陣：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主質(zhì)量矩陣：主質(zhì)量矩陣：主剛度矩陣：主剛度矩陣：

13、mkmkmkpp400030001KM譜矩陣：譜矩陣：)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系： 23120223161,3)3(2)2(1)1(mmmmpppN正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣：KNTNIMNTN不難驗證，有：不難驗證，有： 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動力學16小結(jié)：小結(jié)：模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由

14、度系統(tǒng)的自由振動/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度ji 若若 時，時， 0)()( jTiM0)()( jTiK模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性當當 ij 時，時，piiTim )()(MpiiTik )()(K第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度第第 i 階固有頻率：階固有頻率：)1(nimkpipii 正則模態(tài)：全部主質(zhì)量皆為正則模態(tài)：全部主質(zhì)量皆為1；)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：)(iN相對于相對于 的主剛度：的主剛度：( )( )2i TiNN

15、iK2022年5月17日振動力學17 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法回顧：回顧：耦合與坐標變換耦合與坐標變換質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項稱為質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項稱為慣性耦合。慣性耦合。剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項稱為剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項稱為彈性耦合。彈性耦合。 同一個系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標同一個系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標X 和和Y 有變換關(guān)系：有變換關(guān)系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 2022年5月17日振動力學18 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法)(i)1(ni 模態(tài)模態(tài)相互正交相互正交.

16、表明它們是線性獨立的，可用于構(gòu)成表明它們是線性獨立的，可用于構(gòu)成 n 維空間的基。維空間的基。 系統(tǒng)的任意系統(tǒng)的任意 n 維自由振動可唯一地表示為各階模態(tài)的線性組合。維自由振動可唯一地表示為各階模態(tài)的線性組合。 nipiix1)(X即系統(tǒng)的振動為即系統(tǒng)的振動為 n 階主振動的疊加階主振動的疊加模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法 Tnxx1X物理坐標物理坐標Tpnppxx1X主模態(tài)坐標主模態(tài)坐標pXX nnnR )()1(模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣nRX1)( niR坐標關(guān)系：坐標關(guān)系：pTMM pTKK 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法PKXXM

17、 PTKTYTYMTTTTT 2022年5月17日振動力學19另一種模態(tài)坐標：正則模態(tài)坐標另一種模態(tài)坐標：正則模態(tài)坐標Tnxx1X物理坐標物理坐標NXniNiiNNNx1)(XXTNnNNxx1X系統(tǒng)響應(yīng)：系統(tǒng)響應(yīng)：nnnNNNR )(1)正則模態(tài)矩陣正則模態(tài)矩陣IM NTNK NTN多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動力學20小結(jié)：小結(jié)：多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、可采用兩類模態(tài)坐標進行描述：可采用兩類模態(tài)坐標進行描述：主模態(tài)坐標主模態(tài)坐標正則模態(tài)坐標正則模態(tài)坐標nipi

18、ipx1)(XXTpnppxx1XpTMM pTKK )()1(n )(1)nNNN TNnNNxx1XniNiiNNNx1)(XXIM NTNK NTN多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動力學21求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)可分別采用兩類模態(tài)坐標進行求解。可分別采用兩類模態(tài)坐標進行求解。首先采用主模態(tài)坐標：首先采用主模態(tài)坐標：自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(

19、,),0(),0(210 XpTMM pTKK pXX 坐標變換：坐標變換：pX：主模態(tài)坐標：主模態(tài)坐標：主模態(tài)矩陣：主模態(tài)矩陣0KXM pTpTX 代入，并左乘代入，并左乘 ：T0XKXM pppp 模態(tài)坐標初始條件：模態(tài)坐標初始條件：01)0(XXp01)0(XXpTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 XTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法IM NTN0TN MX2022年5月17日振動力學22自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM

20、，nR XnnRKM、pXX 坐標變換：坐標變換： 0101)0()0(XXXX0XKXM pppppp，)1(, 0nixkxmpipipipi Tpnpppxxx)0()0(),0(210XTpnpppxxx)0()0(),0(210X)1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiipiipipi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系統(tǒng)的解。式求得原系統(tǒng)的解。 )1(nixpipXX 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動力學23求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)求解無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)

21、采用正則模態(tài)坐標采用正則模態(tài)坐標:自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nR XnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(,),0(),0(210 XIM NTNK NTNNNXX 坐標變換：坐標變換：NX：正則模態(tài)坐標：正則模態(tài)坐標N ：正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣.0XKXMNTNNTN 代入，并左乘代入，并左乘 ：TN0XXINN 模態(tài)坐標初始條件：模態(tài)坐標初始條件：01)0(XXNN01)0(XXNNTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動多自由度系

22、統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動力學24自由振動方程：自由振動方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、NNXX 坐標變換：坐標變換：0101)0()0(XXXX0XXI NNNNNN，)1(, 02nixxNiiNi )1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiiNiiNiNi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系統(tǒng)的解式求得原系統(tǒng)的解 。)1(nixNi NNXX TNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動多

23、自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動力學25例：三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例：三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)T0220 XT0000 X求：系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)。求：系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)。2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動力學26T0220 XT0000 X2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動解：解：動力學方程：動力學方程： 00030

24、203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 23120223161mN03266/) 0 (01mNNXX000) 0 (01XXNN模態(tài)初始條件：模態(tài)初始條件：正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣：mk /23 mk /32 mk /1 固有頻率：固有頻率：2022年5月17日振動力學272kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動 00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 23120223161mNTNNm 0326 6/) 0 (01 XXTNN 000 ) 0 (01 XX32

25、1NNNNxxxX模態(tài)坐標響應(yīng)：模態(tài)坐標響應(yīng)：mk /23 mk /32 mk /1 txtxxiiNiiNiNisin)0(cos)0(0cos32cos6621ttm2022年5月17日振動力學28多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX原系統(tǒng)響應(yīng)：原系統(tǒng)響應(yīng)：)()()()(321txtxtxtX23120223161mNmk /23 mk /32 mk /1 ttttt21121coscoscos2coscos0cos32cos662312022316121ttmmNNX2022年5月17日

26、振動力學29多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX也可展開求解：也可展開求解：NNtXX)(23120223161mN321)3()2() 1 (NNNNNNxxx31)(iNiiNx)()()()(321txtxtxtXttttt21121coscoscos2coscosNNX0622261)cos32(630361cos6612161 21mmtmmtmm3)3(2)2(1) 1 (NNNNNNxxx合并后結(jié)果完全一樣合并后結(jié)果完全一樣2022年5月17日振動力學30分析：分析： 231202

27、23161mN0622261)cos32(630361cos6612161 213)3(2)2(1) 1 (31)(mmtmmtmmxxxxNNNNNNiNiiNNNXX 0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動第第1階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第2階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第 3 階階模態(tài)響模態(tài)響應(yīng)應(yīng)第第1階模態(tài)階模態(tài)第第2階模態(tài)階模態(tài)第第3階模態(tài)階模態(tài)2022年5月17日振動力學31分析：分析：0622261)cos32(630361cos6612161)()()(21321mmtmmtmmtxtxtx多

28、自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動系統(tǒng)響應(yīng)為各階模態(tài)響應(yīng)的疊加系統(tǒng)響應(yīng)為各階模態(tài)響應(yīng)的疊加第第1階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第2階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第 3 階階模態(tài)響模態(tài)響應(yīng)應(yīng)第第1階模態(tài)階模態(tài)第第2階模態(tài)階模態(tài)第第3階模態(tài)階模態(tài)第第1階模態(tài)主振動階模態(tài)主振動第第2階模態(tài)主振動階模態(tài)主振動第第3階模態(tài)主振動階模態(tài)主振動（以（以 1為振動頻率）為振動頻率）（以（以 2為振動頻率）為振動頻率）（以（以 3為振動頻率）為振動頻率）決定各質(zhì)量每一時刻決定各質(zhì)量每一時刻位移的相對比值位移的相對比值2022年5月17日振動力學32小結(jié)小結(jié): 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法物

29、理空間物理空間0KXXM 耦合耦合主模態(tài)空間主模態(tài)空間pXX pXX 0 pipipipixkxm 解耦解耦物理空間物理空間0KXXM 耦合耦合正則模態(tài)空間正則模態(tài)空間NNXX NNXX 02 NiiNixx 解耦解耦多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動力學33隨堂測試：隨堂測試：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動如圖所示量自由度系統(tǒng)。如圖所示量自由度系統(tǒng)。 系統(tǒng)存在初始條件：系統(tǒng)存在初始條件： 0210)0()0(xxx00)0()0(21xx試采用模態(tài)

30、疊加法求解系統(tǒng)響應(yīng)。試采用模態(tài)疊加法求解系統(tǒng)響應(yīng)。 2022年5月17日振動力學34解：解：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動運動微分方程為：運動微分方程為： 0022002121xxkkkkxxmm 令主振動：令主振動： )sin(2121txx或直接用或直接用 0MK)(200222122mkkkmk有：有：2km令令 00211221021123, 121123,kkmm為求主振型，依次將為求主振型，依次將 代入代入 ,得到：得到：11)1(11)2(即有模態(tài)矩陣：即有模態(tài)矩陣： 1111頻率：頻率：根據(jù)：根據(jù)：2022年5月17日振動力學

31、35 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法回顧：回顧：耦合與坐標變換耦合與坐標變換 同一個系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標同一個系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標X 和和Y 有變換關(guān)系：有變換關(guān)系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 如果恰巧如果恰巧Y 是主坐標：是主坐標：MTTTKTTT對角陣對角陣這樣的這樣的T 物理上物理上是否存在？是否存在？2022年5月17日振動力學36解：解：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動運動微分方程為：運動微分方程為： 00220021

32、21xxkkkkxxmm 123,kkmm有模態(tài)矩陣：有模態(tài)矩陣： 1111頻率：頻率：pXX 坐標變換：坐標變換：00600220022121ppppxxkkxxmm 模態(tài)空間的初始條件為模態(tài)空間的初始條件為 01121021211111(0)(0)1 1222pxxxxXXxxxx 10(0)(0)0pXX 系統(tǒng)存在初始條件：系統(tǒng)存在初始條件： 0210)0()0(xxx00)0()0(21xxpTMM pTKK 2022年5月17日振動力學37解：解：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動運動微分方程為：運動微分方程為： 0022002121x

33、xkkkkxxmm 123,kkmm有模態(tài)矩陣：有模態(tài)矩陣： 1111頻率：頻率：模態(tài)空間的初始條件為模態(tài)空間的初始條件為 2/2/02/12/12/12/1)0()0(0001xxxXXp10(0)(0)0pXX tmkxtxxtmkxtxxpppp3cos2cos)0(cos2cos)0(02220111)3cos(cos2)3cos(cos200tmktmkxtmktmkxXXp所以有：所以有： )1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiipiipipi 2022年5月17日振動力學38 模態(tài)截斷法模態(tài)截斷法 對對自由度數(shù)自由度數(shù) n 很大很大的復(fù)雜振動系統(tǒng)，不可能求出全部的的復(fù)雜

34、振動系統(tǒng)，不可能求出全部的固有頻率和相應(yīng)的主振型，然后用模態(tài)疊加法分析系統(tǒng)固有頻率和相應(yīng)的主振型，然后用模態(tài)疊加法分析系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)。對激勵的響應(yīng)。 當激勵頻率主要包含低頻成分時當激勵頻率主要包含低頻成分時，可以撇去高階振型及，可以撇去高階振型及固有頻率對響應(yīng)的貢獻，而只利用較低的前面若干階固固有頻率對響應(yīng)的貢獻，而只利用較低的前面若干階固有頻率及主振型近似分析系統(tǒng)響應(yīng)。有頻率及主振型近似分析系統(tǒng)響應(yīng)。多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)的自由振動模態(tài)截斷法模態(tài)截斷法或或振型截斷法振型截斷法nipii1)(XXripii1)(XX截斷前：截斷前：截斷后：截斷后：nr 2022年5月17日振動力學39n 自由度系統(tǒng)自由度系統(tǒng) )()2()1(*r 將前將前 r 階模態(tài)階模態(tài) 中組成的截斷模態(tài)矩陣記為中組成的截斷模態(tài)矩陣記為: )1()(rir rnR 截斷的主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣截斷的主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣 MMTp KKTp 截斷前截斷前*KKTp *MMTp 主質(zhì)量主質(zhì)量主剛度主剛度截斷后截斷后nnR rrR nnR rrR *pM*pK分別為前分別為前 r 個主質(zhì)量和主剛度排成的個主質(zhì)量和主剛度排成