特征值和特征向量集美大學(xué)ppt課件

1、第第4章章 矩陣的特征值矩陣的特征值 和特征向量和特征向量4.1 矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量4.2 類似矩陣與矩陣可對(duì)角化的條件類似矩陣與矩陣可對(duì)角化的條件4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量1. 特征值與特征向量定義特征值與特征向量定義2. 相關(guān)概念相關(guān)概念4.特征值與特征向量求法特征值與特征向量求法3.兩個(gè)有用公式兩個(gè)有用公式( (特征方程根與系數(shù)的關(guān)系特征方程根與系數(shù)的關(guān)系) )5.特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)4.1 矩陣的特征值矩陣的特征值 和特征向量和特征向量1. 特征值與特征向量定義特征值與特征向量定義 定義定義4.1,

2、階方陣為設(shè)nA假設(shè)存在常數(shù)假設(shè)存在常數(shù)及非零向量及非零向量,成立使A,的特征值為方陣則稱A.的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值稱為非零向量A例：設(shè)例：設(shè)42, 2,2122AA則，的特征向量。是特征值的特征值，是2212A即即2、相關(guān)概念、相關(guān)概念(定義定義4.2)稱稱;的特征矩陣為方陣AAE ;的特征多項(xiàng)式為方陣AAE .0的特征方程為方陣AAE.,.個(gè)特征值有階矩陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)值特征方程的解即是特征nAnAOAOAE)(由于由于 即即n n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 有非零解，有非零解，0OAE)(等價(jià)于等價(jià)于0AE設(shè)設(shè)A為為n階矩陣，那么階矩陣，那么0是是A的特征值，的特征值， 是是A的的屬

3、于屬于0的特征向量的充要條件是的特征向量的充要條件是0為特征方程為特征方程det(E-A)=0的根，的根，是齊次線性方是齊次線性方程組程組(E-A)X=0的非零解。的非零解。AOAOAE)(推論推論1、2P159假設(shè)假設(shè)1，2是是A屬于屬于0的特征向量，那么的特征向量，那么c11+ c22也也是是A屬于屬于0的特征向量。的特征向量。定理定理4.13.兩個(gè)有用公式兩個(gè)有用公式(特征方程根與系數(shù)的特征方程根與系數(shù)的關(guān)系關(guān)系)可求得非零解可求得非零解對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè),i解方程解方程, 0XAEi,iX此即對(duì)應(yīng)于此即對(duì)應(yīng)于i的特征向量的特征向量.解特征方程解特征方程0 AE,即可得特征值即可得特征值.,2

4、1n4.求法求法nnaaa2211即為即為A的跡的跡.)2(;(1)21221121Aaaannnn則,21nAn的特征值為階方陣設(shè)這里這里記為記為tr(A)tr(A)例例 1求矩陣求矩陣201034011A的特征值與特征向量的特征值與特征向量.解解,) 1)(2(2010340112AE得特征值得特征值. 1, 2321當(dāng)當(dāng)21時(shí)時(shí),解方程解方程, 0)2(XAE由由,0000100012 AE得根底解系得根底解系,1001全部特征向量為全部特征向量為).0(1kk當(dāng)當(dāng)132時(shí)時(shí),解方程解方程, 0)(XAE由由,000210101 AE得根底解系得根底解系,1212全部特征向量為全部特征向

5、量為).0(2kk例例 2求矩陣求矩陣314020112A的特征值與特征向量的特征值與特征向量.,) 2)(1(3140201122AE得特征值得特征值. 2, 1321當(dāng)當(dāng)11時(shí)時(shí),解方程解方程,0)(XAE得根底解系得根底解系,1011全部特征向量為全部特征向量為).0(1kk當(dāng)當(dāng)232時(shí)時(shí), 解方程解方程, 0)2( AE得根底解系得根底解系,401,11032全部特征向量為全部特征向量為).,(323322不全為零kkkk留意在例留意在例1與例與例2中中,特征方程的特征方程的重根所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)重根所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù).例例3假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣,2AAA滿足那么稱

6、那么稱A是冪等矩陣是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是試證冪等矩陣的特征值只能是 0或或 1.證明證明 設(shè)設(shè))0( ,A兩邊左乘矩陣兩邊左乘矩陣A, 得得.2AAA由此可得由此可得. 0)(2由于由于, 0所以有所以有, 02得得. 10或由證明過(guò)程可得結(jié)論由證明過(guò)程可得結(jié)論, 假設(shè)假設(shè)是是A的特征值的特征值,那么那么2是是2A的特征值的特征值. 進(jìn)而進(jìn)而k是是kA的特征值的特征值;633312321)2(;4211) 1 (:. 1特征向量求下列矩陣的特征值和.,2, 1 ,40221022.cbacbaA求為的三個(gè)特征值已知練習(xí)：練習(xí)：5.特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)定理

7、定理4.2 n4.2 n階矩陣階矩陣A A與它的轉(zhuǎn)置矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣ATAT有一樣的特征值。有一樣的特征值。證：證： 要使要使A A和和ATAT有一樣的特征值，只需有一樣的特征值，只需 |E- AT|= |E- A| |E- AT|= |E- A|成立。成立。 現(xiàn)實(shí)上，現(xiàn)實(shí)上， |E- AT|= |(E- A)T|= |E- A| |E- AT|= |(E- A)T|= |E- A| 定理定理4.3 n4.3 n階矩陣階矩陣A A可逆的充要條件是它的任一特征可逆的充要條件是它的任一特征 值不等于值不等于0 0。證證 必要性：必要性：A可逆，那么可逆，那么|A|0,所以所以 |0E-A|=|-

8、A|=(-1)n|A| 0,即即0不是不是A的特征值。的特征值。 充分性充分性(反證法反證法)：設(shè)：設(shè)A不可逆，即不可逆，即|A|=0,從而從而 |0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0,即即0是是A的特征值，矛盾。的特征值，矛盾。 定理定理4.4 4.4 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的的. .定理定理4.5 1,2,m4.5 1,2,m是是A A的的m m個(gè)不同的特征值，個(gè)不同的特征值，A A的屬的屬于于ii的線性無(wú)關(guān)的特征向量為的線性無(wú)關(guān)的特征向量為i1,i2,isi(i=1,2,.,m)i1,i2,isi(i=1,2,.,m)，那么向量組那么向

9、量組11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m2,msm,2,msm,線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。即即1, 2, m是是A的的m個(gè)不同的特征值，個(gè)不同的特征值，1, 2, m分別是分別是A的屬于的屬于1, 2, m的特征向量，那么的特征向量，那么1, 2, m線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。不同特征向量可屬于同一個(gè)特征值不同特征向量可屬于同一個(gè)特征值. 一個(gè)特征向量不能對(duì)應(yīng)于不同特征值一個(gè)特征向量不能對(duì)應(yīng)于不同特征值.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.練習(xí)練習(xí)的特征值?？赡?，求設(shè)為正整數(shù)）的特征值；（為任意實(shí)數(shù)）、（、求

10、的特征值為已知1(2) 1 (. 3AAkAaaAAAkT. 0. 4AA條件是有特征值零的充分必要試證4.2 類似矩陣與矩陣類似矩陣與矩陣 可對(duì)角化的條件可對(duì)角化的條件1. 類似矩陣概念類似矩陣概念2. 類似矩陣根本性質(zhì)類似矩陣根本性質(zhì)3. 方陣的對(duì)角化含義方陣的對(duì)角化含義4. 矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件1.類似矩陣概念類似矩陣概念這時(shí)這時(shí)A也是也是B的類似矩陣的類似矩陣:.)(111ABPPBA 與類似類似BA 與等價(jià)等價(jià).定義定義4.3 設(shè)設(shè)A、B都是都是n階方陣階方陣,假設(shè)有可逆矩陣假設(shè)有可逆矩陣P,使使 P-1AP=B那么稱那么稱B是是A的類似矩陣的類似矩陣,或說(shuō)或說(shuō)A與與

11、B類似類似.記作記作 A B 稱稱P為把為把A變成變成B的類似變換矩陣的類似變換矩陣.2.類似矩陣根本性質(zhì)類似矩陣根本性質(zhì)根本性質(zhì)根本性質(zhì)(1) 類似矩陣有一樣的行列式類似矩陣有一樣的行列式.(2)類似矩陣有一樣的跡類似矩陣有一樣的跡.(3)類似矩陣有一樣的秩類似矩陣有一樣的秩.(4)類似矩陣有一樣的特征多項(xiàng)式類似矩陣有一樣的特征多項(xiàng)式.(5)類似矩陣有一樣的特征值類似矩陣有一樣的特征值.證明證明(1)設(shè)矩陣設(shè)矩陣A與與B類似類似,即有即有P -1 AP=B.11APAPAPPB(2) 顯然顯然.(3).)(AEPAEPPAEPAPPEBE111 (4) 由由(3)即得即得.(5) 由由(4)

12、及跡的定義即得及跡的定義即得.例例1知知xA10100002與與10000002yB類似類似,求求x,y.解解由于類似矩陣有一樣的特征值由于類似矩陣有一樣的特征值,故故A與與B有一樣的特征值有一樣的特征值 2, y, -1.根據(jù)特征方程根與系數(shù)的關(guān)系根據(jù)特征方程根與系數(shù)的關(guān)系,有有.2),1(202yAyx而而, 2A故故x=0,y=1. .,4512422421yxyBxA求相似與設(shè)矩陣課堂練習(xí)課堂練習(xí)3.方陣的對(duì)角化含義方陣的對(duì)角化含義所謂方陣所謂方陣A可以對(duì)角化可以對(duì)角化, 是指是指與對(duì)角陣A類似類似.即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣,P使使APP1 成立成立.4.矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)

13、角化的條件A定理定理(充要條件充要條件)n階方陣階方陣A可對(duì)角化可對(duì)角化有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證明證明設(shè)設(shè),1APP),(21npppP.21n),(),(,221121nnnppppApApAPAP得到得到,iiippA即即ip是是A的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量的特征向量.因因P可逆可逆,故故nppp,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).設(shè)設(shè)),2, 1( ,nippAiiinppp,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). 記記),(21npppP那么那么. PAP因因nppp,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),故故P可逆可逆,.1APP即即A可對(duì)角化可對(duì)角化.推論推論(充分條件充分條件)假假設(shè)

14、設(shè)A的的n個(gè)特征值互不相等個(gè)特征值互不相等, 那那么么A與對(duì)角陣類似與對(duì)角陣類似(可對(duì)角化可對(duì)角化).逆不成立逆不成立,即與對(duì)角陣類似的矩陣即與對(duì)角陣類似的矩陣,特征特征值不一定互不相等值不一定互不相等.假設(shè)假設(shè)A有有k對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)(幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù))相等相等,那那么么 A一定可對(duì)角化一定可對(duì)角化. 關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)少于關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)少于k那么那么A一定不能對(duì)角化一定不能對(duì)角化.假設(shè)假設(shè)A有一個(gè)有一個(gè)k 重特征值重特征值,并且所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)并且所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)重特征值重特征值,只需重?cái)?shù)只需重?cái)?shù)(代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù))和所和所定理定理(證明略證明略

15、).)(,k00AkAn的特征多項(xiàng)式必有因子則征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特有屬于特征值階矩陣若例例2A設(shè)三階方陣有三個(gè)不同的特征值有三個(gè)不同的特征值,2,1,321對(duì)應(yīng)的特征向量分別為對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,211,212,011321ppp知知,61A1求求(1);,3A(2).A解解,61)1(1AA又又,321A所以所以. 33(2),3 , 2 , 1( ,ippAiii即即,),(),(321321321ppppppA記記),(322pppP顯然可逆顯然可逆, 那么那么有有.,1PPAPAP而而,1101110,22011112121211PP故故.3221211011PPA.,212,122

16、,221; 1, 0, 13321321ApppA求矩陣對(duì)應(yīng)的特征向量依次為的特征值為階矩陣設(shè)課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1. 1. 實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)2. 2. 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的實(shí)對(duì)稱矩陣的 特征值和特征向量特征值和特征向量1.實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)(1)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).(2)實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交.(3)實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值的重?cái)?shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值的重?cái)?shù)(代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù))與對(duì)應(yīng)與對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)

17、數(shù)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)(幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù))相等相等.結(jié)論結(jié)論任一實(shí)對(duì)稱矩陣任一實(shí)對(duì)稱矩陣,A一定可以對(duì)角化一定可以對(duì)角化. 與之類似的對(duì)與之類似的對(duì)角陣的對(duì)角元素就是角陣的對(duì)角元素就是A的全部特征值的全部特征值, 而正交陣而正交陣P是由其是由其對(duì)應(yīng)的單位特征向量對(duì)應(yīng)的單位特征向量所組成的所組成的.nppp,212.實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣,那么必存在正交矩那么必存在正交矩陣陣P使使,1APP其中其中是以是以A的的n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣.主要結(jié)論主要結(jié)論,111111111A設(shè)例例1求一個(gè)正交陣求一個(gè)正交陣,P.1

18、為對(duì)角陣使APP解解(1)求特征值求特征值:),3(1111111112 AE特征值為特征值為. 3, 0321(2)求特征向量求特征向量:對(duì)于對(duì)于, 021解解, 0X)( AE0得線性無(wú)關(guān)的特征向量為得線性無(wú)關(guān)的特征向量為.,10101121對(duì)于對(duì)于, 33解解, 0)(XAE3得線性無(wú)關(guān)的特征向量為得線性無(wú)關(guān)的特征向量為.1113(3)特征向量正交化、單位化：特征向量正交化、單位化：用施密特正交化方法用施密特正交化方法正交化正交化取取,01111.211TT2101121101122111單位化單位化取取.,3131313336261612222121111pp0p(4)寫出所求正交矩陣寫出所求正交矩陣:令令,0),(31623161213161