第6章多元函數(shù)微分學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第第6章多元函數(shù)微分學(xué)章多元函數(shù)微分學(xué)6.1.1 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系第1頁(yè)/共65頁(yè)第2頁(yè)/共65頁(yè)221221)()(yyxxd間的距離公式：間的距離公式：間的距離公式：間的距離公式：221221221)()()(zzyyxxd第3頁(yè)/共65頁(yè)解解 由于由于| M1M | = | M2M |，所以，所以222222) 1() 1()2() 1() 1() 1(zyxzyx化簡(jiǎn)得點(diǎn)化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為的軌跡方程為2x + 4y 2z 3 = 0. 從立體幾何中知從立體幾何中知, ,所求軌跡應(yīng)為線段所求軌跡應(yīng)為線段 M1M2的中垂面的中垂面, ,此平面的方程為一個(gè)三元一次方程

2、此平面的方程為一個(gè)三元一次方程.實(shí)際上實(shí)際上, ,平面的一般方程平面的一般方程為為Ax + By + Cz + D = 0第4頁(yè)/共65頁(yè)第5頁(yè)/共65頁(yè) 曲面方程曲面方程 F(x, y, z) = 0 中中x, y, z有一個(gè)字母有一個(gè)字母不出現(xiàn)時(shí)不出現(xiàn)時(shí), ,表示表示柱面柱面. . 方程方程 f (x, y) = 0表示母線平行于表示母線平行于z軸的柱面軸的柱面. 在母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程中在母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程中, , 相應(yīng)相應(yīng)坐標(biāo)的變量不出現(xiàn)坐標(biāo)的變量不出現(xiàn). 類似類似地，地，方程方程 f (x, z) = 0和和 f (y, z) = 0 分別分別表示母線平行于表示母線平行

3、于y軸與軸與x軸的柱面軸的柱面.第6頁(yè)/共65頁(yè)所用截平面所用截平面 截痕截痕/xOy面面 橢圓橢圓/yOz面面 橢圓橢圓/zOx面面 橢圓橢圓1222222czbyax第7頁(yè)/共65頁(yè)所用截平面所用截平面 截痕截痕/xOy面面 橢圓橢圓/yOz面面 雙曲線雙曲線 /zOx面面 雙曲線雙曲線 1222222czbyax第8頁(yè)/共65頁(yè)所用截平面所用截平面 截痕截痕/xOy面面 橢圓橢圓/yOz面面 雙曲線雙曲線 /zOx面面 雙曲線雙曲線 1222222czbyax第9頁(yè)/共65頁(yè)所用截平面所用截平面 截痕截痕/xOy面面 橢圓橢圓/yOz面面 拋物線拋物線 /zOx面面 拋物線拋物線 222

4、2byaxz第10頁(yè)/共65頁(yè)所用截平面所用截平面 截痕截痕/xOy面面 橢圓橢圓/yOz面面 拋物線拋物線 /zOx面面 拋物線拋物線 2222byaxz第11頁(yè)/共65頁(yè) x = 0； 2x2 + y2 = 5； y = x2； 2x2 y2 + 3z2 = 5； 2x2 y2 + 3z2 = 5； 2x2 + y2 3z = 5； y = 2x + 1； x2 y2 = 1； x2 + 2y2 + 3z2 = 4； 2x2 y2 + 3z2 = 5； 2x2 y2 + 3z = 5； x2 + y2 = 3z2.第12頁(yè)/共65頁(yè)0),(0),(zyxGzyxF思考題思考題 聯(lián)立兩個(gè)方程

5、聯(lián)立兩個(gè)方程0),(0),(zyxGzyxF是否一定表示曲線？是否一定表示曲線？第13頁(yè)/共65頁(yè)練習(xí)練習(xí) 求曲線求曲線22234,yzyxz在在xOy面上的投影面上的投影柱面及投影曲線柱面及投影曲線. .第14頁(yè)/共65頁(yè)第15頁(yè)/共65頁(yè)第16頁(yè)/共65頁(yè) 向量的線性運(yùn)算是指向量的加法和向量與數(shù)向量的線性運(yùn)算是指向量的加法和向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的乘法運(yùn)算. .向量的加法向量的加法向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法向量的減法向量的減法第17頁(yè)/共65頁(yè)三角形法則三角形法則平行四邊形法則平行四邊形法則第18頁(yè)/共65頁(yè) 加法交換律加法交換律 a + b = b + a 加法結(jié)合律加法結(jié)合律 a + (

6、b + c) = (a + b) + c 數(shù)乘分配律數(shù)乘分配律 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律a = (x, y, z), ,a = x i + y j + z k 有有第19頁(yè)/共65頁(yè)向量的數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律向量的數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律 交換律交換律 a b = b a 分配律分配律 (a + b) c = a c + b c 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律 正定律正定律 a a = | a | 2 0, 且且 a a = 0 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a = 0 第20頁(yè)/共65頁(yè)必要性必要性 假設(shè)假設(shè)a與與b垂直垂直, ,由勾股定理由勾股定理, ,因此因此 a b = 0第21頁(yè)/共65頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)閨 a | =143)2(1

7、222| b | =14) 1(32222所以所以, ,向量向量 a 與與 b 的夾角的夾角 =32第22頁(yè)/共65頁(yè)第23頁(yè)/共65頁(yè) 反反交換律交換律 ab = ba 分配律分配律 (a + b)c = ac + bc 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律 單位坐標(biāo)向量單位坐標(biāo)向量第24頁(yè)/共65頁(yè)也可以寫成也可以寫成或者用三階行列式形式地表示為或者用三階行列式形式地表示為第25頁(yè)/共65頁(yè)所以所以, ,第26頁(yè)/共65頁(yè)第27頁(yè)/共65頁(yè) 兩張不平行的平面的交線就是直線兩張不平行的平面的交線就是直線, ,因此直因此直線的線的一般方程一般方程為：為：0, 022221111DzCyBxADzCyBxA第2

8、8頁(yè)/共65頁(yè)= ts, ,按坐標(biāo)表示就是按坐標(biāo)表示就是(x x0, y y0, z z0) = t (l, m, n)即得到直線的即得到直線的點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程( (或稱為或稱為對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程) )：nzzmyylxx000和直線的和直線的參數(shù)方程參數(shù)方程：.,000ntzzmtyyltxx第29頁(yè)/共65頁(yè) 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)(1,2,3)且垂直于平面且垂直于平面2x + z = 3的直線方程的直線方程. . 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A(1,2,3)(1,2,3)且平行于直線且平行于直線0432, 01zyxzyx的直線方程的直線方程. . 求直線求直線132211zyx與平面與平面

9、2x + y + z 8 = 0的交點(diǎn)的交點(diǎn). .第30頁(yè)/共65頁(yè)6.2.1 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) (P318)(P318)6.2.2 等高線等高線等產(chǎn)量線等產(chǎn)量線 (P319)(P319)第31頁(yè)/共65頁(yè)第32頁(yè)/共65頁(yè) 如果定義域是閉區(qū)域如果定義域是閉區(qū)域, ,即包含邊界即包含邊界, ,則在邊則在邊界點(diǎn)處的極限與連續(xù)性界點(diǎn)處的極限與連續(xù)性, ,只限于考慮那些既在該只限于考慮那些既在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)又在定義域內(nèi)的點(diǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)又在定義域內(nèi)的點(diǎn). .第33頁(yè)/共65頁(yè)第34頁(yè)/共65頁(yè)6.3.1 偏微商與全微分偏微商與全微分分別記為分別記為fx(x0, y0),zx(x0

10、, y0),),(00yxxf,),(00yxxzfy(x0, y0),zy(x0, y0),),(00yxyf,),(00yxyz第35頁(yè)/共65頁(yè))ln(22yxx第36頁(yè)/共65頁(yè)練習(xí)練習(xí) 求求z = x2 + 2xy + 3y2的偏微商的偏微商. . 第37頁(yè)/共65頁(yè)二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y)在在(x, y)處的處的全微分全微分: yyzxxzzddd例例 求求z = cos2x + 3siny的偏微商與全微分的偏微商與全微分. 解解.cos3,2sin2yyzxxzyyzxxzzddd= 2sin2xdx + 3cosydy第38頁(yè)/共65頁(yè)例例 求求 z = ac

11、osx + bsiny 的全微分的全微分. 解解 dz = d(acosx + bsiny)= cosxda + ad(cosx) + sinydb + bd(siny)= cosxda asinxdx + sinydb + bcosydy如果如果 a, b為常量為常量, ,則則da = 0, db = 0,dz = asinxdx + bcosydy第39頁(yè)/共65頁(yè). 0),(, 0, 0),( ,),(22yxyxyxxyyxff (x, 0)=0, f (0, y)=0.21),(lim0yxfxy第40頁(yè)/共65頁(yè)xxxxxxxxzzyxfyxfxzxxz ),(),(22xyxyx

12、yxyzzyxfyxfxzyxyz ),(),(2yxyxyxyxzzyxfyxfyzxyxz ),(),(2yyyyyyyyzzyxfyxfyzyyz ),(),(22第41頁(yè)/共65頁(yè)xyxyxyxyzzyxfyxfxzyxyz ),(),(2yxyxyxyxzzyxfyxfyzxyxz ),(),(2稱為稱為二階二階混合偏微商混合偏微商. . 一般情況下一般情況下, ,求高階混合偏微商與求偏微商求高階混合偏微商與求偏微商次序無(wú)關(guān)次序無(wú)關(guān), ,即將二階混合偏微商視為一個(gè)：即將二階混合偏微商視為一個(gè)：xyxyxyxyzzyxfyxfyxz ),(),(2練習(xí)練習(xí) 求求 z = 3x2y 2x

13、y2 + 5x2y3的二階偏微商的二階偏微商. .第42頁(yè)/共65頁(yè)6.4.1 多元復(fù)合函數(shù)微分法多元復(fù)合函數(shù)微分法設(shè)設(shè) z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y), ,則則,xvvfxuufxzyvvfyuufyz 這是本節(jié)最重要、最好記憶的公式這是本節(jié)最重要、最好記憶的公式, ,也是應(yīng)也是應(yīng)用時(shí)最容易出錯(cuò)的公式用時(shí)最容易出錯(cuò)的公式. .只要你不偷懶的話只要你不偷懶的話, ,你你是不會(huì)出錯(cuò)的是不會(huì)出錯(cuò)的. . 本節(jié)假設(shè)所有的抽象函數(shù)總能本節(jié)假設(shè)所有的抽象函數(shù)總能滿足所需要的條件滿足所需要的條件. . 練習(xí)練習(xí) 求求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商的偏微

14、商. .提示：令提示：令u = x2 + y2, v = xy. 第43頁(yè)/共65頁(yè)設(shè)設(shè) z = f (u,v), u = u (x), v = v(x), ,求求.ddxz 解解 這是兩個(gè)中間變量這是兩個(gè)中間變量, ,一個(gè)自變量的情形一個(gè)自變量的情形, ,先求先求dz. .,dddvvfuufz兩邊除以兩邊除以dx, 得得xvvfxuufxzdddddd練習(xí)練習(xí) 求求 y = x x 的微商的微商. .提示：令提示：令u = x, v = x, y = uv 第44頁(yè)/共65頁(yè)設(shè)設(shè) w = F(x, y, z), z = z (x, y), ,求求.,ywxw 解解 這是三個(gè)中間變量這是三個(gè)

15、中間變量, ,兩個(gè)自變量的情形兩個(gè)自變量的情形. .令令u = x, v = y, 則則 w = F(u, v, z). .xzzFxvvFxuuFxwxzzFxFxzzFuF同理可得同理可得yzzFyFywxzzFxFxw,第45頁(yè)/共65頁(yè)設(shè)設(shè) z = f (xy, x + 2y), ,求求.2yxz 解解 這是兩個(gè)中間變量這是兩個(gè)中間變量, ,兩個(gè)自變量的情形兩個(gè)自變量的情形. .令令u = xy, v = x + 2y, 則則 z = f (u, v). .vuff yvfufyxvvfxuufxzyvuff yxzyyxz)(2 yvyuuffyf)()( uvuuyuvyuuyuf

16、f xvfuff 2)(vvuvyvvyuvyvff xvfuff 2)(vvuvuuuffxyfyxfyxz 2)2(2第46頁(yè)/共65頁(yè) 如果方程如果方程F(x, y) = 0確定確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) y = y (x), 那么那么由由F(x, y) = 0, 得得, 0ddyyFxxF即即 Fx dx + Fy dy = 0兩邊除以兩邊除以dx, 得得yxFFxydd 這里僅僅推出一個(gè)計(jì)算公式而已這里僅僅推出一個(gè)計(jì)算公式而已, ,對(duì)于具體對(duì)于具體的問(wèn)題按第的問(wèn)題按第2章的方法可能更好一些章的方法可能更好一些. .第47頁(yè)/共65頁(yè) 如果如果 F(x, y, z) = 0 確定

17、確定 z 是是 x, y 的函數(shù)的函數(shù) z = z (x, y), 那么那么由由F(x, y, z) = 0, 得得0 xzzFxyyFxxxF0yzzFyyyFyxyF即即0, 0yzzFyFxzzFxF從而從而zyzxFFyzFFxz,第48頁(yè)/共65頁(yè)z = z (x, y), 求求.,2yxzyzxz所以所以2ee,2eezxyzyzxyzxxFFyzyFFxz22)2(eee)2(ee )1 (2eezxzxyzxyzxyzxxyxxyxz32)2(eeee)2(ee )1 (zxyzxyzxyyxxy第49頁(yè)/共65頁(yè)6.5.1 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值第50頁(yè)/共65頁(yè)證明證

18、明 (P339-340)(P339-340)第51頁(yè)/共65頁(yè)則則第52頁(yè)/共65頁(yè) 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高之和等于設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高之和等于a( (a0),),試試問(wèn)問(wèn)長(zhǎng)寬高長(zhǎng)寬高如何如何, ,長(zhǎng)方體的體積最大？長(zhǎng)方體的體積最大？ 解解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬分別為設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬分別為x, y,則高為則高為a x y, ,體積體積V (x, y) = xy (a x y). .求駐點(diǎn)求駐點(diǎn), ,令令Vx = ay 2xy y2 = 0, Vy = ax 2xy x2 = 0, ,解得唯一的駐點(diǎn)解得唯一的駐點(diǎn).3,3aa 對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題來(lái)說(shuō)，如果解得唯一的對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題來(lái)說(shuō)，如果解得唯一的駐點(diǎn)，那么該駐點(diǎn)

19、就是最值點(diǎn)駐點(diǎn)，那么該駐點(diǎn)就是最值點(diǎn). .第53頁(yè)/共65頁(yè) 設(shè)某公司每天生產(chǎn)產(chǎn)品設(shè)某公司每天生產(chǎn)產(chǎn)品I x kg與產(chǎn)品與產(chǎn)品II y kg的成的成本為本為C(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 + 2000. .產(chǎn)品產(chǎn)品I I的價(jià)格的價(jià)格為為200200元元/ /kg, , 產(chǎn)品產(chǎn)品IIII的價(jià)格為的價(jià)格為300300元元/ /kg, ,并假定兩并假定兩種產(chǎn)品全部售完種產(chǎn)品全部售完, ,試求使公司獲得最大利潤(rùn)的這兩試求使公司獲得最大利潤(rùn)的這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)水平種產(chǎn)品的生產(chǎn)水平, ,公司獲得的最大利潤(rùn)是多少？公司獲得的最大利潤(rùn)是多少？ 解解 公司收益函數(shù)為公司收益函數(shù)為R (x, y)

20、 = 200 x + 300y. .利潤(rùn)函數(shù)為利潤(rùn)函數(shù)為 P (x, y) = R (x, y) C (x, y) = 200 x + 300y x2 2xy 2y2 2000, ,求駐點(diǎn)求駐點(diǎn), ,令令Px = 200 2x 2y = 0, ,Py = 300 2x 4y = 0, ,解得唯一的駐點(diǎn)解得唯一的駐點(diǎn) x = 50, ,y = 50.(P341-342).(P341-342)第54頁(yè)/共65頁(yè)條件極值的解法有兩種：條件極值的解法有兩種：(1)(1)化條件極值為無(wú)條件極值化條件極值為無(wú)條件極值(2)(2)拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法. .第55頁(yè)/共65頁(yè) 要制造一個(gè)體積為要制造一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱的有蓋長(zhǎng)方體水箱, ,問(wèn)設(shè)計(jì)怎樣的尺寸問(wèn)設(shè)計(jì)怎樣的尺寸, ,才能使所用材料最少才能使所用材料最少. . 解解 設(shè)水箱的長(zhǎng)寬高分別為設(shè)水箱的長(zhǎng)寬高分別為x, y, z, 則目標(biāo)函數(shù)可設(shè)為則目標(biāo)函數(shù)可設(shè)為S = xy + yz + xz, 約束條約束條件為件為xyz = 8. . 從約束條件從約束條件 xyz = 8中解出中解出z = 8/(xy), ,并將并將它代入目標(biāo)函數(shù)得它代入目標(biāo)函數(shù)得 S = xy + 8/x + 8/y, 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn), ,令令Sx = y 8/x2 = 0, Sy = x 8/y2 = 0, ,解得唯一的駐點(diǎn)解得