D104對(duì)面積曲面積分35084實(shí)用教案

1、定義定義(dngy):設(shè) 為光滑(gung hu)曲面,“乘積(chngj)和式極限” 都存在,的曲面積分其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類(lèi)曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱(chēng)此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積函數(shù), 叫做積分曲面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共27頁(yè)第一頁(yè)，共28頁(yè)。則對(duì)面積的曲面(qmin)積分存在. 對(duì)積分(jfn)域的可加性.則有 線(xiàn)性性質(zhì)(xngzh).在光滑曲面 上連續(xù), 對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分

2、性質(zhì)類(lèi)似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共27頁(yè)第二頁(yè)，共28頁(yè)。oxyz定理(dngl): 設(shè)有光滑曲面f (x, y, z) 在 上連續(xù)(linx),存在(cnzi), 且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分證明: 由定義知nk 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共27頁(yè)第三頁(yè)，共28頁(yè)。0limnk 1),(,(kkkkzf而(光滑(gung hu)機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共27頁(yè)第四頁(yè)，共28頁(yè)。說(shuō)明(shumng):可有類(lèi)似(li s)的公式

3、.1) 如果曲面(qmin)方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 ,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. (見(jiàn)本節(jié)后面的例4, 例5) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共27頁(yè)第五頁(yè)，共28頁(yè)。例例1. 計(jì)算計(jì)算(j sun)曲面積分曲面積分其中(qzhng)是球面被平面(pngmin)截出的頂部.解: :oxzyha機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共27頁(yè)第六頁(yè)，共28頁(yè)。思考思考(sko):若 是球面(qimin)被平行(pngxng)平面 z =h 截出的上下兩部分,則hhoxzy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/

4、共27頁(yè)第七頁(yè)，共28頁(yè)。例例2. 計(jì)算計(jì)算(j sun)其中(qzhng) 是由平面坐標(biāo)(zubio)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解: 設(shè)上的部分, 則與 原式 = 分別表示 在平面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共27頁(yè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。xozy例例3. 設(shè)計(jì)算(j sun)解: 錐面與上半球面交線(xiàn)為為上半球面夾于錐面間的部分(b fen), 它在 xoy 面上(min shn)的投影域?yàn)閯t 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共27頁(yè)第九頁(yè)，共28頁(yè)。1d)(22SyxIxozy1yxD機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考(sko): 若

5、例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，0計(jì)算結(jié)果如何(rh) ? 第10頁(yè)/共27頁(yè)第十頁(yè)，共28頁(yè)。例例4. 求半徑為求半徑為R 的均勻的均勻(jnyn)半球半球殼殼 的重心的重心.解: 設(shè) 的方程(fngchng)為利用(lyng)對(duì)稱(chēng)性可知重心的坐標(biāo)而用球坐標(biāo)思考題: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算 ?例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共27頁(yè)第十一頁(yè)，共28頁(yè)。例例5. 計(jì)算計(jì)算(j sun)解: 取球面(qimin)坐標(biāo)系, 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 第12頁(yè)/共27頁(yè)第十二頁(yè)，共28頁(yè)。例例6. 計(jì)算計(jì)算(j sun)其中(qzhng)

6、是球面利用(lyng)對(duì)稱(chēng)性可知解: 顯然球心為半徑為利用重心公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共27頁(yè)第十三頁(yè)，共28頁(yè)。zzd例例7. 計(jì)算計(jì)算(j sun)其中(qzhng) 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析: 若將曲面分為(fn wi)前后(或左右)則Hxyz解: 取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共27頁(yè)第十四頁(yè)，共28頁(yè)。oyxzL例例8. 求橢圓柱面求橢圓柱面位于 xoy 面上(min shn)方及平面 z = y 下方(xi fn)那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解: 取機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

7、束 第15頁(yè)/共27頁(yè)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。例例9. 設(shè)有一顆地球同步(tngb)軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 運(yùn)行的角速度與地球(dqi)自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解: yzxo建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系, 則衛(wèi)星覆蓋面積為第16頁(yè)/共27頁(yè)第十六頁(yè)，共28頁(yè)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球(dqi)表面積的比為由以上結(jié)果可知(k zh), 衛(wèi)星覆蓋了地球 以上的面積, 故使用三顆

8、相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說(shuō)明: 此題也可用二重積分求 A (見(jiàn)下冊(cè)P109 例2) . yzxohR R第17頁(yè)/共27頁(yè)第十七頁(yè)，共28頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 定義(dngy):2. 計(jì)算(j sun): 設(shè)則Szyxfd),(yxdd(曲面的其他兩種情況類(lèi)似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共27頁(yè)第十八頁(yè)，共28頁(yè)。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)P158 題1；3；4(1) ; 7 解答(jid)提示:P158 題1.P158 題3. 設(shè)則P184 題2機(jī)動(dòng)(jdng) 目

9、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)/共27頁(yè)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。P158 題題4(1).oyxz2 在 xoy 面上(min shn)的投影域?yàn)檫@是 的面積(min j) !2xyD機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共27頁(yè)第二十頁(yè)，共28頁(yè)。P159 題題7. 如圖所示, 有zyx機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)/共27頁(yè)第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。P184 題題2. 設(shè)設(shè)一卦限中的部分(b fen), 則有( ).( 2000 考研(ko yn) )機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)/共27頁(yè)第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。作業(yè)(zuy)

10、 P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五節(jié) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)/共27頁(yè)第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。備用備用(biyng)題題 1. 已知曲面殼已知曲面殼求此曲面(qmin)殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量(zhling) M . 解: 在 xoy 面上的投影為 故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第24頁(yè)/共27頁(yè)第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。2. 設(shè)設(shè) 是四面體是四面體面, 計(jì)算(j sun)解: 在四面體的四個(gè)面上(min shn)1zyx11o同上平面方程Sd投影域機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)/共27頁(yè)第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第26頁(yè)/共27頁(yè)第二十六頁(yè)，共28頁(yè)。感謝您的欣賞(xnshng)！第27頁(yè)/共27頁(yè)第二十七頁(yè)，共28頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)定義(dngy):。設(shè) 為光滑曲