測量專業(yè)課件第五章改

1、第五章第五章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識51 測測 量量 誤誤 差差 概概 述述 測量結(jié)果不可避免地存測量結(jié)果不可避免地存在誤差在誤差一、測量誤差產(chǎn)生的原因一、測量誤差產(chǎn)生的原因1、儀器的結(jié)構(gòu)不可能十、儀器的結(jié)構(gòu)不可能十分完善。分完善。2、觀測者的感覺器官的、觀測者的感覺器官的鑒別能力有限。鑒別能力有限。3、觀測在一定的外界條、觀測在一定的外界條件下進(jìn)行的。件下進(jìn)行的。 把儀器、觀測者的技術(shù)把儀器、觀測者的技術(shù)水平和外界條件三個方面水平和外界條件三個方面綜合起來綜合起來,稱為稱為觀測條件。觀測條件。觀測條件相同的各次觀測觀測條件相同的各次觀測稱稱等精度觀測等精度觀測。觀測條件不同的各

2、次觀測觀測條件不同的各次觀測稱稱非等精度觀測非等精度觀測。二、誤差的分類二、誤差的分類1、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在相同的觀在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和大小相同或按一定規(guī)號和大小相同或按一定規(guī)51 測測 量量 誤誤 差差 概概 述述律變化的誤差。律變化的誤差。特性特性：符號相同，大小為：符號相同，大小為常數(shù)或按一定規(guī)律變化。常數(shù)或按一定規(guī)律變化。處理方法處理方法： 加改正數(shù)。加改正數(shù)。 觀測時采取一定的措施。觀測時采取一定的措施。2、偶然誤差、偶然誤差偶然誤差偶然誤差在相同的觀測在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系

3、列條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，誤差的符號和大小均觀測，誤差的符號和大小均不一致，從表面上看沒有規(guī)不一致，從表面上看沒有規(guī)律的誤差。律的誤差。特性特性：a、該誤差的絕對值不超、該誤差的絕對值不超過一定的限度。過一定的限度。 b、絕對值大的比絕對值、絕對值大的比絕對值小的誤差出現(xiàn)的機會多。小的誤差出現(xiàn)的機會多。 c、絕對值相同的正負(fù)誤差、絕對值相同的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機會相同。出現(xiàn)的機會相同。d、該誤差的平均值，隨、該誤差的平均值，隨觀測次數(shù)的增加趨近于零。觀測次數(shù)的增加趨近于零。處理方法處理方法： 采取多余觀測。采取多余觀測。 對成果進(jìn)行平差。對成果進(jìn)行平差。51 測測 量量 誤誤 差差 概概 述

4、述律變化的誤差。律變化的誤差。特性特性：符號相同，大小為：符號相同，大小為常數(shù)或按一定規(guī)律變化。常數(shù)或按一定規(guī)律變化。處理方法處理方法： 加改正數(shù)。加改正數(shù)。 觀測時采取一定的措施。觀測時采取一定的措施。2、偶然誤差、偶然誤差偶然誤差偶然誤差在相同的觀在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，誤差的符號和系列觀測，誤差的符號和大小均不一致，從表面上大小均不一致，從表面上看沒有規(guī)律的誤差?？礇]有規(guī)律的誤差。特性特性：a、該誤差的絕對值不超、該誤差的絕對值不超過一定的限度。過一定的限度。 b、絕對值大的比絕對值、絕對值大的比絕對值小的誤差出現(xiàn)的機會多。小的誤差出現(xiàn)的機會多。

5、c、絕對值相同的正負(fù)誤差、絕對值相同的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機會相同。出現(xiàn)的機會相同。d、該誤差的平均值，隨、該誤差的平均值，隨觀測次數(shù)的增加趨近于零。觀測次數(shù)的增加趨近于零。處理方法處理方法：采取多余觀測。采取多余觀測。對成果進(jìn)行平差。對成果進(jìn)行平差。52 衡衡 量量 精精 度度 的的 指指 標(biāo)標(biāo) 二、相對誤差二、相對誤差(relative error) 相對中誤差相對中誤差中誤差的中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比。絕對值與相應(yīng)觀測值之比。中中誤差誤差為為: 一、方差與中誤差一、方差與中誤差設(shè)對某未知量進(jìn)行了設(shè)對某未知量進(jìn)行了n n次次等精度觀測，其觀測值為等精度觀測，其觀測值為l l1 1、l l2

6、 2、l l3 3 l ln n，相應(yīng)的真相應(yīng)的真誤差為誤差為 1 1、2 2、3 3、 n n，則該組，則該組觀測觀測值的值的方差方差為為: : n n l li im mD Dn nn n m mK|m|D1(D/|m|)三、極限誤差三、極限誤差(limit error)極限誤差極限誤差在一定的觀在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過的限值。對值不會超過的限值。通常以三倍中誤差為極限通常以三倍中誤差為極限誤差的估值。即：誤差的估值。即：極極3|m|一般取二倍或三倍中誤一般取二倍或三倍中誤差作為偶然誤差的容許差作為偶然誤差的容許值。即：值。即：容容2m 或或容容3

7、m53 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律 誤差傳播定律誤差傳播定律闡明函數(shù)闡明函數(shù)中誤差與觀測值中誤差間關(guān)中誤差與觀測值中誤差間關(guān)系的定律。系的定律。設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=F(x1, x2,xn)設(shè)設(shè)x xi i的觀測值為的觀測值為l li i, ,其真誤差其真誤差為為x xi i, ,相應(yīng)函數(shù)相應(yīng)函數(shù)Z Z的真誤的真誤差差Z Z，將上式取全微分，將上式取全微分得得：n nn n2 22 21 11 1d dx xx xF Fd dx xx xF Fd dx xx xF Fd dZ Z因因xi 、Z很小，可用很小，可用xi 、Z代替代替dxi及及dZ。于。于是有：是有：n nn n2 22 2

8、1 11 1x xx xF Fx xx xF Fx xx xF FZ Z則上式為則上式為：Zf1x1+ f2x2+ fnxn設(shè)對設(shè)對xi觀測了觀測了k次，則有次，則有：令令i il lx xi if f) )x xF F( (i ii i( (k k) )n nn n( (k k) )2 22 2( (k k) )1 11 1( (k k) )( (2 2) )n nn n( (2 2) )2 22 2( (2 2) )1 11 1( (2 2) )( (1 1) )n nn n( (1 1) )2 22 2( (1 1) )1 11 1( (1 1) )x xf fx xf fx xf fZ

9、 Zx xf fx xf fx xf fZ Zx xf fx xf fx xf fZ Z將以上各式等號兩邊平方將以上各式等號兩邊平方后相加得：后相加得：53 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律 n nj ji i1 1j ji i, ,j ji ij ji i2 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 12 2 x x x xf ff f x xf f x xf f x xf f Z Z上式兩端各除以上式兩端各除以k得：得：n nj ji i1 1j ji i, ,j ji ij ji i2 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 12 2k

10、 k x x x xf ff fk k x xf fk k x xf fk k x xf fk k Z Z: :所所以以有有 : : 因因為為 0 0k k x x x xl li im mj ji ik k) )k k x xf fk k x xf fk k x x( (f fl li im mk k Z Zl li im m2 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 1k k2 2k k53 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律 由中誤差的定義，上式可由中誤差的定義，上式可寫成：寫成：2 2n nn n2 22 22 21 11 12 2z zf ff ff f2

11、2 例例 設(shè)在三角形中，直接設(shè)在三角形中，直接觀測觀測A A、 B B，其中誤，其中誤差分別為差分別為mmA A33，mmB B44，求由，求由A A、 B B計算計算C C的中誤差的中誤差mmC C。解：解：函數(shù)關(guān)系式為：函數(shù)關(guān)系式為：C180A BmC2mA2mB2 (3)2(4)2mC 5當(dāng)當(dāng)k有限時，可寫為：有限時，可寫為：2 2n nn n2 22 22 21 11 12 2z zm mf fm mf fm mf fm m2 22 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 1z zm m) )x xF F( (m m) )x xF F( (m m) )x xF

12、 F( (m m即即：1 1, ,A AF Ff f1 1：則則1 1B BF Ff f2 253 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律 例例對某段距離量了對某段距離量了n n次，次，觀測值為觀測值為l l1 1、 l l2 2、l ln n，為相互獨立的等精度觀測，為相互獨立的等精度觀測，觀測值中誤差為觀測值中誤差為mm，求其，求其算術(shù)平均值算術(shù)平均值L L的中誤差的中誤差MM。解：解：函數(shù)關(guān)系式為：函數(shù)關(guān)系式為：根據(jù)誤差傳播定律有：根據(jù)誤差傳播定律有：n21n21ln1ln1ln1nlllLn1lFf12n1lFf22n1lFf n2最后得：最后得：nmnmn1mn1mn1mn1M 2222

13、222222nmM 54 等精度直接觀測的最可靠值等精度直接觀測的最可靠值 設(shè)對某量進(jìn)行了一組設(shè)對某量進(jìn)行了一組等精度觀測，觀測值為等精度觀測，觀測值為l l1 1、l l2 2、l ln n，則最可靠值則最可靠值為：為：利用觀測值的改正數(shù)計算利用觀測值的改正數(shù)計算觀測值中誤差的公式（白觀測值中誤差的公式（白塞爾公式塞爾公式 ）：）：n21n21ln1ln1ln1nlllL1nvvm式中：式中： v1Ll1 v2Ll2 vnLln例：例：設(shè)用經(jīng)緯儀測量某角設(shè)用經(jīng)緯儀測量某角度度6測回，觀測值為：測回，觀測值為： 65030, 65026， 65028, 65024， 65025, 65023。

14、求觀測值的中誤差及算術(shù)平求觀測值的中誤差及算術(shù)平均值的中誤差。均值的中誤差。解：解：算術(shù)平均值為：算術(shù)平均值為：54 等精度直接觀測的最可靠值等精度直接觀測的最可靠值 =65023+(7+3+ 5+1+2)/6 = 65026由公式：由公式： viLli得得改正數(shù)為：改正數(shù)為：4、0、 2、2、1、3。6lllnlllL621n216 62 2. .1 16 63 34 41 1n n v vv v m m 算術(shù)平均值的中誤差為：算術(shù)平均值的中誤差為：1 .166 .2 nmM 注注：增加觀測次數(shù)可提高：增加觀測次數(shù)可提高精度。但當(dāng)次數(shù)增加到一精度。但當(dāng)次數(shù)增加到一定值后，提高精度的效果定值后

15、，提高精度的效果不大，而應(yīng)提高觀測本身不大，而應(yīng)提高觀測本身的精度。的精度。55 權(quán)權(quán) 權(quán)權(quán)表示各非等精度觀測表示各非等精度觀測可靠程度的數(shù)值?？煽砍潭鹊臄?shù)值。 權(quán)只有相對意義，起作用權(quán)只有相對意義，起作用的不是它們的絕對值，而是的不是它們的絕對值，而是它們間的比值。它們間的比值。一、權(quán)與中誤差的關(guān)系一、權(quán)與中誤差的關(guān)系設(shè)設(shè)為任意大于零的常數(shù)為任意大于零的常數(shù)則：權(quán)則：權(quán)pimi2l l1 1、 l l2 2、l ln n，權(quán)為權(quán)為p p1 1、p p2 2、p pn n。則其最可靠。則其最可靠值加權(quán)平均值為：值加權(quán)平均值為：單位權(quán)中誤差為：單位權(quán)中誤差為：n21nn22110ppplplpl

16、pL加權(quán)平均值的中誤差為：加權(quán)平均值的中誤差為：二、加權(quán)算術(shù)平均值及二、加權(quán)算術(shù)平均值及其中誤差其中誤差設(shè)對一未知量進(jìn)行了設(shè)對一未知量進(jìn)行了n n次次非等精度觀測，觀測值為非等精度觀測，觀測值為1 1) )n np pp pv vv vM M0 0 ( ( 1 1n np pv vv vm m0 0 55 權(quán)權(quán) 觀測值的中誤差為：觀測值的中誤差為：解：解：設(shè)設(shè)A、B、C點到點到Q的的路線名為路線名為1、2、3且且= 10km,則則p1=/2.5=4 同理同理p2=2.5 p3=5 HQ1=HA+1.538=21.683 同理同理 HQ2=21.700 HQ3=21.680 Q點的高程為：點的高

17、程為：例：例：為求為求QQ點的高程，從點的高程，從A A、B B、C C三水準(zhǔn)點向三水準(zhǔn)點向QQ點進(jìn)行點進(jìn)行了同等級的水準(zhǔn)測量，了同等級的水準(zhǔn)測量， A A、B B、C C點的高程為點的高程為20.14520.145、24.03024.030、19.89819.898mm。A A、B B、C C點到點到QQ的路線長以及高差的路線長以及高差為為2.52.5、4.04.0、2.02.0km;1.538km;1.538、-2.330-2.330、1.782m1.782m。求。求QQ點點的高程及其中誤差，觀測的高程及其中誤差，觀測值是誤差。值是誤差。i0ip1mm685.213213322110ppplplplpL 55 權(quán)權(quán) 改正數(shù)改正數(shù)v1=L0l1=2mm同理同理v2=15mm v3=5mm單位權(quán)中誤差為：單位權(quán)中誤差為：加權(quán)平均值的中誤差為：加權(quán)平均值的中誤差為：