【決勝2015】(預(yù)測(cè)題)中考數(shù)學(xué)專題22幾何三大變換問(wèn)題之旋轉(zhuǎn)(中心對(duì)稱)問(wèn)題(含解析)

1、專題22 幾何三大變換問(wèn)題之旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱）問(wèn)題軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換。旋轉(zhuǎn)變換是指在同一平面內(nèi)，將一個(gè)圖形（含點(diǎn)、線、面）整體繞一固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，這樣的圖形變換叫做圖形的旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)的方向和角度決定。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀、大小不變，只是位置發(fā)生改變；旋轉(zhuǎn)前、后圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上； 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。把一個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度360°/n(n為大于1的正整數(shù))后，與初始的圖形重合，這種圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)就叫做旋轉(zhuǎn)

2、對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。 特別地，中心對(duì)稱也是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的一種的特別形式。把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形。在初中數(shù)學(xué)以及日常生活中有著大量的旋轉(zhuǎn)變換的知識(shí)，是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。中考?jí)狠S題中旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，包括直線（線段）的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；四邊形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；其它圖形的問(wèn)題。一. 直線（線段）的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題1. 如圖，直線l：與軸交于點(diǎn)A，將直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75º

3、;后，所得直線的解析式為【 】A B C D【答案】B。【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，由已知，可求直線與、軸的交點(diǎn)分別為B（1，0），A（0，）， 2. 根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題：（1）已知直線l1的函數(shù)表達(dá)式為，直接寫(xiě)出：過(guò)原點(diǎn)且與l1垂直的直線l2的函數(shù)表達(dá)式；過(guò)點(diǎn)（1，0）且與l1垂直的直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l4向上的方向與x軸的正方向所成的角為600，求直線l4的函數(shù)表達(dá)式；把直線l4繞點(diǎn)（1，0）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900得到的直線l5，求直線l5的函數(shù)表達(dá)式；（3）分別觀察（

4、1）（2）中的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)猜想：當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的函數(shù)表達(dá)式中自變量的系數(shù)之間有何關(guān)系？請(qǐng)根據(jù)猜想結(jié)論直接寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)（1，1）且與直線垂直的直線l6的函數(shù)表達(dá)式?！敬鸢浮浚?）。 。（2）設(shè)直線l4的函數(shù)表達(dá)式為（k10），l4與l5的夾角是為900，l5與x軸的夾角是為300。設(shè)l5的解析式為（k20），直線l5與x軸的正方向所成的角為鈍角，k2=tan300=。又直線l5經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），即。直線l5的函數(shù)表達(dá)式為。（3）通過(guò)觀察（1）（2）中的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式可知，當(dāng)兩直線互相垂直時(shí)，它們的函數(shù)表達(dá)式中自變量的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，過(guò)點(diǎn)（1，1）且與直線垂直的直線l6的函數(shù)表達(dá)式為。

5、【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，探索規(guī)律題（圖形的變化類），待定系數(shù)法的應(yīng)用，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 二.三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題3. 有兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角邊長(zhǎng)均為6（如圖1所示）疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角滿足0º90º，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩塊三角板的重疊部分（如圖2）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積是否發(fā)生變化？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（2）如圖，連接KH，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一

6、位置使GKH的面積恰好等于ABC面積的？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)KC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) BH=CK，不變；（2）x=2或x=4【解析】試題分析：（1）先由ASA證出CGKBGH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK，根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；（2）根據(jù)面積公式得出，根據(jù)GKH的面積恰好等于ABC面積的，代入得出方程即可求得結(jié)果（1）BH與CK的數(shù)量關(guān)系：BH=CK，理由是：連接OC，由直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出OC=BG，四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于四邊形CQGZ的面積，即等于ACB面積的一半，等于9；（

7、2）假設(shè)存在使GKH的面積恰好等于ABC面積的的位置設(shè)BH=x，由題意及（1）中結(jié)論可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，4. 如圖，在RtABC中，C=90°，A=45°，AB=2將ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至ABC的位置，B，A，C三點(diǎn)共線，則線段BC掃過(guò)的區(qū)域面積為 【答案】?！究键c(diǎn)】扇形面積的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用?！痉治觥肯雀鶕?jù)RtABC中，C=90°，A=30°，AB=2求出BC及AC的長(zhǎng)，再根據(jù)線段BC掃過(guò)的區(qū)域面積為：=。三.四邊形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題5. 如圖1，把邊長(zhǎng)分別是為4和2的兩個(gè)正方形紙片OAB

8、C和ODEF疊放在一起（1）操作1：固定正方形OABC，將正方形ODEF繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到正方形ODEF，如圖2，連接AD、CF，線段AD與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論；（2）操作2，如圖2，將正方形ODEF沿著射線DB以每秒1個(gè)單位的速度平移，平移后的正方形ODEF設(shè)為正方形PQMN，如圖3，設(shè)正方形PQMN移動(dòng)的時(shí)間為x秒，正方形PQMN與正方形OABC的重疊部分面積為y，直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式；（3）操作3：固定正方形OABC，將正方形ODEF繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到正方形OHKL，如圖4，求ACK的面積【答案】（1）相等 見(jiàn)

9、解析 （2）見(jiàn)解析 （3）8【解析】解：（1）相等（3）連接OK，COK=ACO=45°，OKAC，SACK=SAOC=86. 把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，此時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處，又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，按上述方法經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的總路程為，經(jīng)過(guò)61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的總路程為【答案】，四. 其它圖形的問(wèn)題7. 如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，半徑是1的O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在正六邊形外部按順時(shí)針?lè)较蜓卣呅螡L動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，則O自轉(zhuǎn)了【 】A4周B5周C6周D7周【答案】B?！究键c(diǎn)】多邊形內(nèi)角和定理，直線與圓的位置關(guān)系。故選B。8. 已知拋物線C：過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(4，0)，A為拋物線C的頂點(diǎn)，直線OA的解析式為，將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C1，求拋物線C、C1的解析式。