導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)——極值與最值

1、（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版） 理解極值的概念，會用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的極大值、極小值理解極值的概念，會用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值、最小值或以極值、最值為載體求參數(shù)及閉區(qū)間上的最大值、最小值或以極值、最值為載體求參數(shù)的范圍的范圍.20112011考綱下載考綱下載（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）極值與最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形式較極值與最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形式較多多. .請注意請注意! !（人教版）（人教版）（人教版）（人教版） n1 1函數(shù)的極值函數(shù)的極值n(1)(1)

2、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x) )在點在點x x0 0附近有定義，如果對附近有定義，如果對x x0 0附近的所有的點，都附近的所有的點，都有有f f( (x x)_)_ _f f( (x x0 0) )，則，則f f( (x x0 0) )是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )的一個極小值，記作的一個極小值，記作y y極小值極小值f f( (x x0)0)極大值與極小極大值與極小值統(tǒng)稱為極值值統(tǒng)稱為極值 課前自助餐課前自助餐課本導(dǎo)讀課本導(dǎo)讀（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n(2)(2)當函數(shù)當函數(shù)f f( (x x) )在在x x0 0處連續(xù)時，判別處連續(xù)時，判別f f( (x x0

3、0) )是極大是極大( (小小) )值的方法：值的方法：n如果如果x x _0_0，x x x x0 0有有f f(x x)_)_ _0_0，則，則f f( (x x0 0) )是極大值；是極大值；n如果如果x x x x0 0有有f f(x x)_)_ x x0 0有有f f(x x)_)_ _0_0，則，則f f( (x x0 0) )是極小值是極小值n2 2求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f f( (x x) )極值的步驟極值的步驟n(1)(1)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f f(x x) )；n(2)(2)求方程求方程f f(x x) )0 0的根的根n(3)(3)檢驗檢驗f f(x x) )在方程在方程f f(

4、x x) )0 0的的根左右的值根左右的值的符號，如果在根的左側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)y yf f( (x x) )在這個根處取得在這個根處取得極大值極大值；如；如果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y yf f( (x x) )在這個根處取在這個根處取得得極小值極小值（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n3 3函數(shù)的最值的概念函數(shù)的最值的概念n設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y yf f( (x x) )在在 a a，b b 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (a a，b b) )內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)，函

5、數(shù)f f( (x x) )在在 a a，b b 上上一切函數(shù)值中的最大一切函數(shù)值中的最大( (最小最小) )值，叫做函數(shù)值，叫做函數(shù)y yf f( (x x) )的最大的最大( (最小最小) )值值n4 4求函數(shù)最值的步驟求函數(shù)最值的步驟n設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y yf f( (x x) )在在 a a，b b 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (a a，b b) )內(nèi)可導(dǎo)，求內(nèi)可導(dǎo)，求f f( (x x) )在在 a a，b b 上的上的最值，可分兩步進行：最值，可分兩步進行：n(1)(1)求求f f( (x x) )在在( (a a，b b) )內(nèi)的極值內(nèi)的極值；n(2)(2)將將f f( (x x) )的各

6、極值與的各極值與f f( (a a) )，f f( (b b) )比較，其中最大的一個是最大值，最小比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值的一個是最小值n （人教版）（人教版）（人教版）（人教版） 1 1函數(shù)函數(shù)y yx x3 33 3x x2 29 9x x( (22x x2)2)有有( () )n A A極大值為極大值為5 5，極小值為，極小值為2727n B B極大值為極大值為5 5，極小值為，極小值為1111n C C極大值為極大值為5 5，無極小值，無極小值n D D極大值為極大值為2727，無極小值，無極小值n答案答案C C教材回歸教材回歸（人教版）（人教版）（人教版）（

7、人教版）n解析解析y y3 3x x2 26 6x x9 93(3(x x2 22 2x x3)3) 3(3(x x3)(3)(x x1)1)ny y0 0時，時，x x3 3或或x x1 1，22x x20 B0 Bm m01 D1 Dm m11n答案答案B Bn解析解析y ye ex xm m，則，則e ex xm m0 0必有根，必有根，m me ex x0.00時，隨時，隨x x的變化，的變化，f f( (x x) )與與f f( (x x) )的變化情況如下：的變化情況如下：（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n當當a a00時，隨時，隨x x的變化，的變化，f f(x x) )

8、與與f f( (x x) )的變化情況如下：的變化情況如下：（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n探究探究1 1掌握可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：掌握可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：n(1)(1)確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域n(2)(2)求方程求方程f f(x x) )0 0的根的根n(3)(3)用方程用方程f f(x x) )0 0的根和不可導(dǎo)點的的根和不可導(dǎo)點的x x的值順次將函數(shù)的定義域分成若的值順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格干個小開區(qū)間，并形成表格n(4)(4)由由f f(x x) )0 0的根左右的符號以及的根左右的符號以及f f(x x)

9、 )在不可導(dǎo)點左右的符號來判斷在不可導(dǎo)點左右的符號來判斷f f(x x) )在這個根或不可導(dǎo)點處取極值的情況，此步驟不可缺少，在這個根或不可導(dǎo)點處取極值的情況，此步驟不可缺少，f f(x x) )0 0是函數(shù)有極值的必要條件是函數(shù)有極值的必要條件（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n則當則當x x變化時，變化時，f f( (x x) )與與f f(x x) )的變化情況如下表：的變化情況如下表：n可知：當可知：當x x(，a a) )時，函數(shù)時，函數(shù)f f( (x x) )為增函數(shù)為增函數(shù)n當當x x(3(3a a，)時，函數(shù)時，函數(shù)f f( (x

10、x) )也為增函數(shù)，也為增函數(shù)，n當當x x(a,a,3 3a a) )時，函數(shù)時，函數(shù)f f( (x x) )為減函數(shù)為減函數(shù)（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n題型二題型二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教

11、版）（人教版）（人教版）n例例4 4已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )x x3 33 3x x2 29 9x xa a. .n(1)(1)求求f f( (x x) )的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間n(2)(2)若若f f( (x x) )在區(qū)間上在區(qū)間上 2,22,2上的最大值為上的最大值為2020，求它在該區(qū)間上的最小值，求它在該區(qū)間上的最小值n【解析】【解析】(1)(1)f f(x x) )3 3x x2 26 6x x9.9.n令令f f(x x)0)0，解得，解得x x 33，n所以函數(shù)所以函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為( (，1)1)，(3(3，)n

12、(2)(2)因為因為f f( (2)2)8 812121818a a2 2a a，nf f(2)(2)8 812121818a a2222a a，n所以所以f f(2)(2)f f( (2)2)n因為在因為在( (1,3)1,3)上上f f(x x)0)0，n所以所以f f( (x x) )在在 1,21,2上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n又由于又由于f f( (x x) )在在 2 2，11上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，n因此因此f f(2)(2)和和f f( (1)1)分別是分別是f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 2,22,2上的最大值和最小值上的最大值和最

13、小值n于是有于是有2222a a2020，解得，解得a a2 2n故故f f( (x x) )x x3 33 3x x2 29 9x x2.2.n因此因此f f( (1)1)1 13 39 92 27 7，n即即f f( (x x) )函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間 2,22,2上的最小值為上的最小值為7.7.n探究探究3 3(1)(1)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小值，可不再作判斷，只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得值，可不再作判斷，只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得n(2)(2)當連接函數(shù)的極值點只有一個時，相應(yīng)的極值

14、點必為函數(shù)的最值當連接函數(shù)的極值點只有一個時，相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）本課總結(jié)本課總結(jié)（人教版）（人教版）（人教版）（人教版）n1 1函數(shù)的最值是整個定義域上的問題，而函數(shù)的極值只是定義域的局部函數(shù)的最值是整個定義域上的問題，而函數(shù)的極值只是定義域的局部問題問題n2 2f f(x x0 0) )0 0是是f f( (x x) )在在x xx x0 0處取得極值的必要非充分條件，因為求函數(shù)處取得極值的必要非充分條件，因為求函數(shù)的極值，還必須判斷的極值