復變函數(shù)第6講

1、1例1 設(shè)一平面流速場的復勢為f(z)=az(a0為實常數(shù)), 試求該場的速度, 流函數(shù)和勢函數(shù).2流線等勢線Oxy3例例2 由場論的觀點, 流速場中散度div v 0的點, 統(tǒng)稱為源點源點(有時稱使div v 0 的點為源源點點, 而使div v 0的點為洞洞). 試求由單個源點所形成的定常流速場的復勢, 并畫出流動圖象.解解 不妨設(shè)流速場v內(nèi)只有一個位于坐標原點的源點, 而其他各點無源無旋, 在無窮遠處保持靜止狀態(tài). 由該場的對稱性容易看出, 場內(nèi)某一點z0處的流速具有形式v=g(r)r0,其中r=|z|, r0是指向點z的向徑上的單位向量, 可用復數(shù)表示為 , g(r)是一待定函數(shù).|z

2、z4由于流體的不可壓縮性, 流體在任一以原點為中心的圓環(huán)域r1|z|r2內(nèi)不可能積蓄, 所以流過圓周|z|=r1與|z|=r2的流量應(yīng)相等, 故流過圓周的流量為000| | |d( )d2|(|)zrzrNsg rsz gzvrrr因此, 它是一個與r無關(guān)的常數(shù), 稱為源點的強源點的強度度. 由此得(|)2|Ngzz5而流速可表示為1(2.4.7)2| |2NzNvzzz顯然, 它符合在無窮遠處保持靜止狀態(tài)的要求. 由(2.4.6)式可知, 復勢函數(shù)f(z)的導數(shù)為1( )( )2Nfzv zz則( )Ln(2.4.8)2Nf zzc其中c=c1+ic2為復常數(shù).6該場的流動圖像如圖2.4和2

3、.5所示(實線表示流線, 虛線表示等勢線.( )Ln(2.4.8)2Nf zzcc=c1+ic2為復常數(shù). 將實部與虛部分開, 就分別得到勢函數(shù)和流函數(shù)為12( , )ln|,2( , )Arg2Nx yxcNx yzc7圖2.4xyO(N0)9第三章 復變函數(shù)的積分1 復變函數(shù)積分的概念101. 積分的定義 設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線. 如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向), 則將C理解為帶有方向的曲線, 稱為有向曲線. 設(shè)曲線C的兩個端點為A與B, 如果將A到B的方向作為C的正方向, 則從B到A的方向就是C的負方向, 并記作C-. 常將兩個端點中一個作為起

4、點, 另一個作為終點, 則正方向規(guī)定為起點至終點的方向. 而簡單閉曲線的正方向是指當曲線上的點P順此方向沿該曲線前進時, 鄰近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方.11定義 設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi), C為在區(qū)域D內(nèi)起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線. 把曲線C任意分成n個弧段, 設(shè)分點為A=z0,z1,.,zk-1,zk,.,zn=BAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO12在每個弧段zk-1,zk(k=1,2,.,n)上任意取一點zk, 并作和式) 1 . 1 . 3()(limd)(,)(,.max,)()(1111111-nkkknCnknkkkkkkknkk

5、knkkkknzfzzfCzfSnszzszzzzfzzfSzzz記作的積分沿曲線則稱其為有唯一極限如趨于零無限增加且當?shù)拈L度記這里13容易看出, 當C是x軸上的區(qū)間axb, 而f(z)=u(x)時, 這個積分定義就是一元實函數(shù)定積分的定義.d)(,) 1 . 1 . 3()(limd)(1CnkkknCzzfCzfzzf作則沿此閉曲線的積分記為閉曲線如果z142,積分存在的條件及計算法 設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程z=z(t)=x(t)+iy(t), atb(3.1.2)給出, 正方向為參數(shù)增加的方向, 參數(shù)a及b對應(yīng)于起點A及終點B, 并且z(t)0, atb.如果f(z)=u(x,y)+iv(

6、x,y)在D內(nèi)處處連續(xù), 則u(x,y)及v(x,y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 設(shè)zk=xk+ihk, 由于Dzk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,所以,15),(),(),(),()(,(),()(1111kkkkkknknkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuyixivuzfhxhxhxhxhxhxz-16由于u,v都是連續(xù)函數(shù), 根據(jù)線積分的存在定理, 我們知道當n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, 不論對C的分法如何, 點(xk,hk)的取法如何, 上式右端的兩個和式的極限都是存在的.

7、 因此有)3 . 1 . 3(.ddd)(-CCCudyvdxiyvxuzzf17)4 . 1 . 3(d)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)(.d)()ii.d)(,)() i-babattytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfzzfzzfCzfCCC線積分來計算函數(shù)的可以通過兩個二元實變是一定存在的積分是光滑曲線時是連續(xù)函數(shù)而當18上式右端可以寫成)5 . 1 . 3(.d)()(d)(.d)()(d)()()(),()(),(bababattztzfzzfttztzftty itxtytxivtytxuC所以)6 . 1 . 3(.d)

8、(d)(d)(d)(21nCCCCzzfzzfzzfzzf如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲線首尾連接而成, 則我們定義19例1 計算 , 其中C為原點到點3+4i的直線段.解直線的方程可寫作x=3t, y=4t, 0t1,或z=3t+i4t, 0t1.在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是Czzd2102102)43(21d)43(d)43(dittittizzC20例2 計算 , 其中C為以z0為中心, r為半徑的正向圓周, n為整數(shù).-Cnzzz10)(dz0rqz-z0=reiqzOxy21解 C的方程可寫作z=z0+reiq, 0q2, dz=ireiqd

9、q-. 0, 0, 0,2)(d. 0)sin(cos,0,2d,0dededee)(d|102020202020)1(1100nnizzzdninriniinriririrzzzrzznninninnniniCn所以結(jié)果為時當結(jié)果為時當qqqqqqqqqqq22所以這個結(jié)果以后經(jīng)常要用到, 它的特點是與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān). 應(yīng)當記住.-. 0, 0, 0,2)(d|100nnizzzrzzn233.積分的性質(zhì)MLszfzzfMzfCzfLCzzgzzfzzgzfkzzfkzzkfzzfzzfCCCCCCCCC-d| )(|d)(| )(|)(,)ivd)(d)(d)()()iii)

10、( ;d)(d)()iid)(d)() i則上滿足在長度為設(shè)曲線為常數(shù)24柯西-古薩基本定理 如果函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析, 則它在B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:)2 . 2 . 3(. 0d)(CzzfCB25定理中的曲線C可以不是簡單曲線.此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域B.如果曲線C是B的邊界, 函數(shù)f(z)在B內(nèi)與C上解析, 即在閉區(qū)域B+C上解析, 甚至f(z)在B內(nèi)解析, 在閉區(qū)域B+C上連續(xù), 則f(z)在邊界上的積分仍然有0d)(Czzf263 基本定理的推廣復合閉路定理27可將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況. 設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析, C

11、為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線, 當C的內(nèi)部不完全含于D時, 沿C的積分就不一定為零.假設(shè)C及C1為D內(nèi)任意兩條(正向為逆時針方向)簡單閉曲線, C1在C內(nèi)部, 而且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D. 作兩條不相交的弧線AA及BB,其中A,B在C上, AB在C1上這樣構(gòu)成兩條全在D內(nèi)的簡單閉曲線AEBBEAAE及AAFBBFA.28DCC1AABBD1FEEF0d)(0d)(BFABFAAAAEAEBBzzfzzf29將上面兩等式相加, 得)2 . 3 . 3(d)(d)() 1 . 3 . 3(0d)(d)(0d)(d)(d)(d)(d)(d)(111-CCCCBBBBAAAACCzzfzzf

12、zzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzf或即30(3.3.1)說明, 如果將C及C1-看成一條復合閉路G, 其正向為:沿C逆時針, 沿C1-順時針, 則0d)(Gzzf(3.3.2)說明, 在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值, 只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)f(z)不解析的點. 這一重要事實, 稱為閉路變形原理31D變形過程中不能夠經(jīng)過f(z)不解析的點32定理(復合閉路定理) 設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單閉曲線, C1,C2,.,Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線, 它們互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn為邊界的區(qū)域全含于D. 如果f(z)在D內(nèi)解析, 則0d)()ii;,d)(d)(i)1GzzfCCzzfzzfknkCCk均取正方向與G為由C及Ck(k=1,2,.,n)所組成的復合閉路(C按順時針, Ck按逆時針33DCC1C2C334例如 從本章1的例2知: 當C為以z0為中心的正向圓周時, izzzzizzzC2d:,2d000-GG都有任何一條正向簡單曲線的對于包含根據(jù)閉路變形原理所以35解 函數(shù) 在復平面內(nèi)除z=0和z=1兩個奇點外是處處解析的. 由于G 是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線, 因此, 它也包含這兩個奇點. 在G 內(nèi)作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2, C1