城建考研高數(shù)第一章

1、1基礎(chǔ)考研第一章基礎(chǔ)考研第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限 21.函數(shù)定義：函數(shù)定義：)(xfy Dx , Dx 0)(0 xf0 x一、函數(shù)一、函數(shù) ( , )( ),Cx yyf xxD( ( 一般為曲線一般為曲線 ) )(xfy yxoD32.函數(shù)定義的兩要素：函數(shù)定義的兩要素：3.兩個(gè)函數(shù)相同的條件：兩個(gè)函數(shù)相同的條件：22( )( )12xxf xg xxx 如如：與與是是否否相相同同？2222( )sincos( )f xxxxg tt與與+1+1是是否否相相同同？3433( )-( )-1f xx xg xxx與與是是否否相相同同？不同不同相同相同相同相同 定義域定義域: 對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示

2、方法對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法: 解析法解析法、圖象法、圖象法、列表法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.44.定義域的求法：定義域的求法：分母不等于零的自變量的值分母不等于零的自變量的值.2( ),nu x( )0u x 須須使使；ln ( ),u x( )0u x 須須使使；(4) arcsin( ),arccos ( ),u xu x( )1u x 須須使使；使函數(shù)解析式有意義的自變量的使函數(shù)解析式有意義的自變量的 取值范圍是函數(shù)的（自然）定義域取值范圍是函數(shù)的（自然）定義域.(5) tan ( ),sec ( ),u xu x( ), =0,1

3、,2,2u xkk 須須使使(6)cot ( ),csc ( ),u xu x( ), =0,1,2,u xkk 須須使使是其各自定義域的交集是其各自定義域的交集.55.5.函數(shù)的四種特性函數(shù)的四種特性(1)函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:( )f xI在在 上上有有界界( )f xI在在 上上無無界界0( ).MxIMf xM 使使，都都有有- -000().MxIf xM ，使使得得設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ),yf xxD 區(qū)間區(qū)間.DI 1( )1,2f xx 如如：在在上上有有界界嗎嗎？11x ，12x 呢呢？說明：說明：1.1.界不唯一界不唯一,不一定找最小的界不一定找最小的界.2.2.函數(shù)的有界

4、性是局部概念函數(shù)的有界性是局部概念.3.區(qū)區(qū)分分無無界界函函數(shù)數(shù)和和無無窮窮大大量量： 在在某某一一變變化化過過程程中中，( )f x若若是是無無窮窮大大量量，( )f x則則在在該該區(qū)區(qū)間間上上一一定定無無界界，( )f x但但若若在在某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間上上無無界界，( ).f x則則不不一一定定是是無無窮窮大大6(2) 單調(diào)性單調(diào)性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ),yf xxD,ID 區(qū)區(qū)間間12,xxI 12xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)4.有界的充分必要條件是既有上界又有下界有界的充分必要條件是既有上界又有下界11=sin(0,1yxx如如：在在區(qū)區(qū)間間上上無無界界，+0,.x當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)不不是是無無窮窮大大12()()

5、,f xf x 若若稱稱 ( )f x為為 I 上的上的單調(diào)單調(diào)增增函數(shù)函數(shù) ;xy1x2x12()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為 I 上的上的單調(diào)單調(diào)減減函數(shù)函數(shù) ;注意注意: :(1)(1)這里是嚴(yán)格單調(diào)這里是嚴(yán)格單調(diào)(2)(2)單調(diào)性是局部概念單調(diào)性是局部概念.2(0,)yx 在在內(nèi)內(nèi)是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的，(,0)在在內(nèi)內(nèi)是是單單調(diào)調(diào)減減少少. .I7,Dx 1()( )fxf x ），2()( )fxf x ），是整體概念；是整體概念；偶函數(shù)偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱；tan2yxxk 如如：在在時(shí)時(shí)是是奇奇函函數(shù)數(shù)嗎嗎？是是(3) 奇偶函數(shù)的定義域不一定是奇偶

6、函數(shù)的定義域不一定是R.(4) 若若( )f x在在 x = 0 有定義有定義 ,(0) 0.f ( )f x為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí), ,則當(dāng)則當(dāng)則則(5)( ),f xD設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域 關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱( )f x則則一一定定可可以以.表表示示成成奇奇函函數(shù)數(shù)與與偶偶函函數(shù)數(shù)的的和和事事實(shí)實(shí)上上 11( )=( )() +( )+ ()22f xf xfxf xfx ( )=+f x奇奇函函數(shù)數(shù) 偶偶函函數(shù)數(shù)8(4) 周期性周期性,0,xDl 且且,xlD )()(xflxf則稱則稱( )f x為為周期函數(shù)周期函數(shù) ,若若稱稱 l 為為周期周期.例如例如, 常量函數(shù)常量函

7、數(shù)( )f xC 狄里克雷函數(shù)狄里克雷函數(shù)( )f x x 為有理數(shù)為有理數(shù)x 為無理數(shù)為無理數(shù), 1,0說明：說明：10周期函數(shù)的定義域是無限的點(diǎn)集周期函數(shù)的定義域是無限的點(diǎn)集.20周期函數(shù)不一定存在最小正周期周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .都都是是周周期期函函數(shù)數(shù)但但都都沒沒有有最最小小的的正正周周期期. .結(jié)論：結(jié)論：( )f xT若若以以 為為最最小小正正周周期期，()Tfx 則則以以為為0. 最最小小正正周周期期，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ),yf xxD 96.反函數(shù)反函數(shù)( )( ),yf xxy 由由( )( )xyyf x 則則叫叫的的反反函函數(shù)數(shù)，.( )yf x 叫叫直直接接函函數(shù)

8、數(shù)11( )( )( ) ,()yf xxfyyfxxf D習(xí)習(xí)慣慣上上：sinarcsin arcsinyxxyyx 如如：記記作作：(1)定義定義1( ).xfy 記記作作: :(2)性質(zhì)性質(zhì)其反函數(shù)其反函數(shù)(減減)(減減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增1( ),yfx 存存在在且也單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 2) 函數(shù)函數(shù)( )yf x 與其反函數(shù)與其反函數(shù)1( )yfx 的圖形關(guān)于直線的圖形關(guān)于直線yx 對(duì)稱對(duì)稱 .（注意：對(duì)單值函數(shù)而言的）（注意：對(duì)單值函數(shù)而言的）107. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 1( ),yf uuD( ),ug xxD1()g DD 且且則則 ( ),yf g x

9、xD設(shè)有函數(shù)鏈設(shè)有函數(shù)鏈稱為由稱為由, 確定的確定的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) , u 稱為稱為中間變量中間變量. 注意注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1()g DD 不可少不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈函數(shù)鏈 :arcsin ,yu 22 1,ux 2arcsin21,yxxD 32 1, 32,1 但函數(shù)鏈但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合可定義復(fù)合函數(shù)函數(shù)23322211 1,1xx 118. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角

10、函數(shù)(2) 初等函數(shù)初等函數(shù)由由常數(shù)及基本初等函數(shù)常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為否則稱為非初等函數(shù)非初等函數(shù) . 例如例如 ,2xy y0,xx0,xx并并可用一個(gè)式子表示可用一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù) ,經(jīng)過經(jīng)過有限次四則運(yùn)算有限次四則運(yùn)算和和復(fù)合復(fù)合步步驟所構(gòu)成驟所構(gòu)成 ,稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù) .可表為可表為故為初等函數(shù)故為初等函數(shù).,12arcsin2xy為初等函數(shù)為初等函數(shù).yx xya sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,cscyx yx yxyx yx yxarcsin ,arccos ,arctan ,arccotyx yxyx yxlogayx 12非初等函數(shù)舉例非

11、初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)sgnyx當(dāng)當(dāng) x 0,1當(dāng)當(dāng) x = 0,0當(dāng)當(dāng) x 0,1xyo11取整函數(shù)取整函數(shù)當(dāng)當(dāng) yx ,n 1,nxnnZ-4 3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-3-4oxy注意：注意：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).13 f 解解(5)f( )f 103 (10)f(7)f f (12)f( )f 123 (9)f . 6 1,1( ), ( )=_.0,1 2 xf xf f xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例則則1,1( )0,1xf xx 由由知知，( )1f x ， ( )=1.f f x則則解解3,8( )(5). (5) ,81xx

12、f xfff xx ，求求例例設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)1422-cos ,0,0( ),3( )=,lg ,01-0 , x xxxf xg xx xx x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例 (-2) .g f求求(-2)=4,f (-2) =g f則則1- 4= -1.解解 注注意意：( ), ( ),f x g x已已知知 ( )( )f g xg f x求求或或時(shí)時(shí)，一一般般,用用代代入入法法逐逐次次復(fù)復(fù)合合即即可可( )g x應(yīng)應(yīng)特特別別注注意意的的是是的的( ).f x值值域域與與的的定定義義域域的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系15例例4. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)31,1( ), ( ).,1xxf xf f xxx 求求解解 (

13、)f f x 3 ( )1,( )1f xf x( ),( )1f xf x 0 x 3(31)1x 94,0 xx 31,x 01x,1xx 161( ),( )1 ( )=0, ( )1g xg xf g xg x 1,1(0,15), x xf xx 函函數(shù)數(shù)例例 設(shè)設(shè),2( ),2,2x xg xx x ( ).f g x求求1, x 解解1x 2-1x 1+(2- ),x0,其其它它1, 1=xx 13x3- , x0,其其它它17例例6 6. .下列各種關(guān)系式表示的下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為是否為 x 的函數(shù)的函數(shù)? ? 為為什么什么? ?1(1)sin1yx ， 2(2)m

14、axsin,cos,0, yxxx 2(3)arcsin,2yuux不是不是40 x cos,x42xsin,x是是不是不是提示提示: (2): (2)y 18例例7.設(shè)在區(qū)間設(shè)在區(qū)間(,)( )0,f xk 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)且且當(dāng)當(dāng) 為為大大于于0 0的的常常1(),(,)( )( )f xkf xf x 數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有則則在在內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)是是( )( ).A奇奇函函數(shù)數(shù)；B.B.偶偶函函數(shù)數(shù)；C.C.周周期期函函數(shù)數(shù)；D.D.單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)(2 )f xk1()f xk 11( )f x ( ),f x(2 )f xk( )f x(,)( )f x 在在內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)是是周周期期函函數(shù)數(shù). .解

15、解C19”定定義義“N , 0 ，0 NNn axnlimnnxa .nxa也也稱稱數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于.nxa 即即從從某某一一項(xiàng)項(xiàng)開開始始，能能任任意意小小2,( )xf x （ ）當(dāng)當(dāng)?shù)牡臉O極限限定定義義定定義義X ,0,0 X( ),f xAXx lim().xfxA 二、極限二、極限03( )xxf x（）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，的的極極限限定定義義 定定 義義0,0, 00 xx ( ),f xA 0lim( ).xxf xA, 0, 0 0()xx 00 xxx .)( Axf0().f xA 00()lim( ).xxf xf x 即即0()xx , 0, 0 00 xxx .)( Axf0

16、().f xA 00()lim( ).xxf xf x 即即20（5） 極限定義的等價(jià)形式極限定義的等價(jià)形式 (以以 為例為例 )0 xx 0lim( )xxf xA 0lim ( )0 xxf xA( )f xA ( (即即 = =為為無無窮窮小小00()()f xf xA000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xf xAf xAlim( )lim( )lim( )xxxf xf xAf xA213. 無窮小無窮?。?）無窮小的性質(zhì)）無窮小的性質(zhì) ;sin ( )u x( );u xtan ( )u x( );u x1cosu 21;2uarctanu;uarcsinu;u

17、ln(1)u ;u1ue ;u1ua ln ;ua(1)1au;ua（2）常用等價(jià)無窮?。┏Ｓ玫葍r(jià)無窮小: 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0( )u x 2. 函數(shù)極限的性質(zhì)：函數(shù)極限的性質(zhì)：惟一性；局部有界性；惟一性；局部有界性； 局部保號(hào)性；歸并性局部保號(hào)性；歸并性.ln1uae ln(1)1aue 22（3）無窮小的比較）無窮小的比較 ;設(shè)設(shè) ，是是同一過程同一過程中的兩個(gè)無窮小，中的兩個(gè)無窮小， 且且.0 就說就說 是比是比 較較高階高階的無窮??；的無窮??； 如果如果, 0lim 1)( o 記作：記作：就說就說 是比是比 較較低階低階的無窮小；的無窮??；就說就說 與與 同階同階的無窮小的無窮小, 如果如

18、果,lim 2 如果如果, 0lim C 3特別地特別地,若若C =1時(shí)時(shí),就說就說 與與 是是等價(jià)等價(jià)的無窮??；的無窮小；. 就說就說 是關(guān)于是關(guān)于 的的 k 階無窮小階無窮小.記作：記作： 如果如果,0lim Ck 40 234. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 ; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程, 設(shè)設(shè)為為某某過過程程中中的的無無窮窮小小5. 求極限的法則求極限的法則（1）極限的四則運(yùn)算法則）極限的四則運(yùn)算法則定理：定理：,)(limBxg 如果如果,)(limAxf 則則 )()(limxgxf (1)(lim)(limxgxf (2) )()(limx

19、gxf )(lim)(limxgxf (3)()(limxgxf)(lim)(limxgxf 其中其中0 BBA AB BA ()（2）數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則）數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則（3）復(fù)合函數(shù)的求極限法則（變量代換法）復(fù)合函數(shù)的求極限法則（變量代換法）0lim ( )xxf g x)(lim0ufuu( )ug x 令令00lim ( )xxug x 222200011limcoslimlimcosxxxxxxx如如： sinlim1xxx ?存在存在+ +存在存在= =存在存在存在存在+ +不存在不存在= =不存在不存在不存在不存在+ +不存在不存在= =不一定存在不

20、一定存在24求極限的方法求極限的方法1.利用四則法則利用四則法則2. 恒等變形法恒等變形法3.利用無窮小的性質(zhì)利用無窮小的性質(zhì)4.利用兩個(gè)重要極限利用兩個(gè)重要極限5.利用函數(shù)的利用函數(shù)的 連續(xù)性連續(xù)性 001.型型: 型型:2.4.變量替換變量替換約去零因式約去零因式 3.：通分通分 等價(jià)無窮小代換等價(jià)無窮小代換.分子分母有理化分子分母有理化,6.6.利用極限存在的充要條件利用極限存在的充要條件6. 求極限的基本方法求極限的基本方法 無窮小因子分出法無窮小因子分出法7.7.利用夾逼準(zhǔn)則利用夾逼準(zhǔn)則253200sin6( )6( )lim0,lim( ) 1 xxxxf xf xxx則則例例.0

21、A ； B B. .6 6； C C. .3 36 6； D D. .解解3sin6( )0,xxf xx 30sin6( )lim0,xxxf xx 0 x 其其中中 是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小，206( )limxf xx 則則220sin66limxxxxx 306sin6limxxxx 2066cos6lim3xxx 036sin6lim6xxx 36.C2sin6( ),xf xxx 26例例2. 求下列極限：求下列極限：(1) lim(sin1sin)xxx解解sinsin2cossin22 (1) sin1sinxx112sincos22xxxx 112sincos22(1)xxxx 無窮小無窮小有界有界0 故故原原式式1212 lis n( )mixxx 令令1tx 0limt (2)sin(1)t tt 0limt (2)sint tt 0limt (2)t tt 2. 27復(fù)