復變函數(shù)泰勒級數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)二、泰勒定理三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)一、問題的引入四、典型例題五、小結與思考2一、問題的引入一、問題的引入問題問題: : 任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？DKz.內(nèi)任意點內(nèi)任意點, )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設函數(shù)設函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周為中心的任一圓周內(nèi)以內(nèi)以為為zD如圖如圖:r0z.Krz 0 圓周圓周. 0rz , , KD 記為記為它與它的內(nèi)部全包含于它與它的內(nèi)部全包含于3由柯西積分公式由柯西積分公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向., , 的內(nèi)部的內(nèi)部在在點點上上

2、取在圓周取在圓周因為積分變量因為積分變量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zzzzz 則則4 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 5由高階導數(shù)公式由高階導數(shù)公式, 上式又可寫成上式又可寫成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知在可知在K內(nèi)內(nèi) 000)()(!)()(nnnzznzfzf

3、6, )( 內(nèi)可以用冪級數(shù)來表示內(nèi)可以用冪級數(shù)來表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在DKDzf 則在則在K上連續(xù)上連續(xù), , 10, qq且且無關的量無關的量是與積分變量是與積分變量 , )( 上也連續(xù)上也連續(xù)在在因此因此Kf , )(上有界上有界在在 Kf 7即存在一個正常數(shù)即存在一個正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 80lim nNqK0)(lim zRNN在在內(nèi)成立內(nèi)成立,從而在從而在K內(nèi)內(nèi) 圓周圓周K的半徑可以任意增大的

4、半徑可以任意增大,只要只要K內(nèi)成立內(nèi)成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展開式泰勒展開式,)(zf在在0z泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)9如果如果0z到到D的邊界上各點的最短距離為的邊界上各點的最短距離為,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展開式在內(nèi)成立的泰勒展開式在內(nèi)成立dzz 0因為凡滿足因為凡滿足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上討論得重要定理由上討論得重要定理泰勒展開定理泰勒展開定理)(zf在在0z的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù)的收斂半徑的收斂半徑R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf10二、泰勒定理二、泰勒定理, 2, 1

5、 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒展開式泰勒展開式定理定理設設)(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點的最短距離的邊界上各點的最短距離, 那末那末點點,dzz 0時時, 00)()(nnnzzczf成立成立,當當泰勒介紹泰勒介紹11說明說明:1.復變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實函數(shù)復變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實函數(shù)時弱得多時弱得多; (想一想想一想, 為什么為什么?); , , )( . 200zdzdDzf 即即之間的距離之間的距離一個奇點一個奇點到最近到最近等于等于則則內(nèi)有奇點內(nèi)有奇點在在如果如果;,0

6、. 30級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時時當當 z4.任何解析函數(shù)在一點的泰勒級數(shù)是唯一的任何解析函數(shù)在一點的泰勒級數(shù)是唯一的. (為什么為什么?)12 )( zf因為解析，可以保證無限次可各因為解析，可以保證無限次可各階導數(shù)的連續(xù)性階導數(shù)的連續(xù)性; 所以復變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就所以復變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多要比實變函數(shù)廣闊的多.注意注意問題：問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)數(shù)，展開式是否唯一？展開式是否唯一？13 : )( 0已被展開成冪級數(shù)已被展開成冪級數(shù)在在設設zzf 202010)()()(zzazza

7、azf,)(0 nnzza那末那末,)(00azf ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此, 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結果就是任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結果就是泰勒級數(shù)泰勒級數(shù), 因而是唯一的因而是唯一的.14三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計算系數(shù)由泰勒展開定理計算系數(shù)15例如，例如，. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)

8、( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復平面內(nèi)處處解析在復平面內(nèi)處處解析因為因為ze. R所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因為因為16仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在與與可得可得 zzz172. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結合解析結合解析函數(shù)的性質函數(shù)的性質, 冪級數(shù)運算性質冪級數(shù)運算性質 (逐項求導逐項求導

9、, 積分積分等等)和其它數(shù)學技巧和其它數(shù)學技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒展求函數(shù)的泰勒展開式開式.間接法的優(yōu)點間接法的優(yōu)點: : 不需要求各階導數(shù)與收斂半徑不需要求各階導數(shù)與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開更為簡潔接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .18例如，例如， . 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi19附附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)

10、202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z20,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z21例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z四、典型例題四、典型例題, 11)1(12

11、zzz上有一奇點上有一奇點在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級數(shù)的冪級數(shù)可展開成可展開成 z22 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項求導上式兩邊逐項求導,23例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對數(shù)函數(shù)的主值求對數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負實軸剪開的向左沿負實軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級數(shù)的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成內(nèi)可以展開成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy24zzzzzznnnd)1(d11000

12、即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項積分逐項積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設設zzC 25例例3 3. 231)( 的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即26例例4 4 .0arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zz

13、zz因為因為1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn27例例5 5.cos2的的冪冪級級數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因為因為 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 2216543228例例6 6.1展展為為麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)將將zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz對微分方

14、程逐次求導得對微分方程逐次求導得:, 1所以收斂半徑為所以收斂半徑為, 1 內(nèi)內(nèi)進進行行展展開開可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇點點為為因因為為求求導導得得對對)(zf,1)(zzezfz 29, 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)為為所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz30五、小結與思考五、小結與思考 通過本課的學習通過本課的學習, 應理解泰勒展開定理應理解泰勒展開定理,熟記熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式五個基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法泰勒級數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)展開成泰勒級數(shù).31奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點?思考題思考題32 奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只