博弈論及其應(yīng)用-混合策略納什均衡.

1、博弈論及其應(yīng)用博弈論及其應(yīng)用完全信息靜態(tài)博弈：完全信息靜態(tài)博弈： 混合策略納什均衡混合策略納什均衡張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略納什均衡混合策略納什均衡4混合策略4混合策略納什均衡張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略納什均衡混合策略納什均衡4混合策略混合策略4混合策略納什均衡張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略The cliffhanger混合策略期望效用NE和最優(yōu)反應(yīng)案例混合策略博弈的性質(zhì)張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略4混合策略：把不確定性引入純戰(zhàn)略，即參與者以一定的概率選擇他的戰(zhàn)略，比如網(wǎng)球比賽中，運(yùn)動(dòng)員以60的概率發(fā)正手球，40的概率發(fā)反手球。張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略4為什么采用

2、“混合策略”？考慮下面的博弈：撲克牌對(duì)色游戲 兩個(gè)人參與這個(gè)游戲，從自己的撲克牌中抽出一張，一起翻開，如果顏色一樣，甲輸給乙一根火柴；如果顏色不一樣，甲贏得乙一根火柴。不允許出大小鬼。描述這個(gè)博弈，尋找納什均衡。張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略紅紅黑黑-1，11，-1-1，11，-1乙甲張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略這個(gè)博弈“不存在”我們前面所講的納什均衡在這個(gè)游戲中，重要的是猜測(cè)對(duì)方的出牌規(guī)律，同時(shí)避免對(duì)方猜到自己的出牌規(guī)律。也就是說，要盡量讓對(duì)手迷失。這種隨機(jī)化自己可選策略的做法，就是采取“混合策略”的思想。局中人以一定的概率p選擇紅，以一定的概率1-p選擇黑，則（p,1-p）概

3、括了某個(gè)局中人所有的混合策略。可知這樣的混合策略有無窮多個(gè)。兩個(gè)局中人的策略組合有無窮多個(gè)張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略紅 p紅q黑1-q黑 1-p-1，11，-1-1，11，-1乙甲張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略當(dāng)參與人可以選擇的策略比較多時(shí)（3個(gè)，4個(gè)，），用一個(gè)字母就不夠用了，需要用多個(gè)字母表示其混合策略可以想象，混合策略情況下，參與人的支付不再是確定性的。需要用期望支付期望支付的概念張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略1)2 1 , 01),(,;,11111KkikikikikiKiiiKiiinnsiissSKSuuSSGn）的概率。選擇參與者為的一個(gè)混合戰(zhàn)略，稱為，那

4、么，概率分布，個(gè)參與人參加的博弈張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略為混合戰(zhàn)略組合),(1niiii混合戰(zhàn)略組合空間：的混合戰(zhàn)略空間：),()(iiiivvi的期望效用函數(shù)：參與人 Ssinjjjisusv)() )()(1張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略4舉例撲克牌對(duì)色游戲中，假設(shè)p0.5，q0.5，寫出雙方在這種情況下的期望支付張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略4舉例：兩人博弈的情況,2;,1232221212111sssSssS的純戰(zhàn)略：參與人的純戰(zhàn)略：參與人),(),(),(),(1),(21231112322111222111121321112112322212ssussuss

5、ussus1jjj時(shí)的期望效用為選擇則參與人的混合策略為認(rèn)為參與人參與人張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略4舉例：兩人博弈的情況),(112111選擇混合戰(zhàn)略如果參與人312121212312111211211),(),(),(,jjjjjjssussuv他的期望效用為那么213121121213121121),(),(kjjkjkkjjkjkssussu張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合策略混合策略4舉例：兩人博弈的情況 類似的，可以寫出參與人2的期望效用Ssiisusv)()()(簡(jiǎn)煉的表達(dá)關(guān)于期望效用函數(shù)更為張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略混合戰(zhàn)略硬幣博弈a1b1a2b21,-1-1, 11, -1

6、-1, 1p(1-p)q(1-q)各種戰(zhàn)略組合及其概率各種戰(zhàn)略組合及其概率(a1,a2)(a1,b2)(b1,a2)(b1,b2)pqp(1-q)(1-p)(1-q)(1-p)q期望效用期望效用1)1)(1 () 1()1 () 1)(1 (1),(211qpqpqppqv) 1()1)(1 (1)1 (1)1 () 1(),(212qpqpqppqv張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡4純戰(zhàn)略納什均衡 混合戰(zhàn)略納什均衡對(duì)于某個(gè)參與人來說，最優(yōu)混合戰(zhàn)略是指期望效用最大化的混合戰(zhàn)略對(duì)于前面的例子：二人博弈來說：222*12*2*1211*211*2*11*2*1*),(),(),

7、(),(),(vvvv必須滿足混合戰(zhàn)略納什均衡張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡iiiiiiiinnnvvniuuSSG),(),(, 2 , 1),(,;,*1*11，有所有的是一個(gè)納什均衡，若對(duì)混合戰(zhàn)略組合對(duì)于博弈衡定義：混合戰(zhàn)略納什均張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡4 4 iijiijiiikiikiiKiiSssvsv),(),(, 0),(1有則對(duì)所有的時(shí)的最優(yōu)混合戰(zhàn)略是給定若iijiiKiiiiiiiiKiSssvsvsv),(),(),(, 0, 0211即，如果這些戰(zhàn)略之間無差異是最優(yōu)戰(zhàn)略，參與人在優(yōu)混合戰(zhàn)略的純戰(zhàn)略都所有以正的概率進(jìn)入最張

8、紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡iiiiiiiinssvvni),(),(, 2 , 1),(*1*，有若對(duì)所有的是一個(gè)納什均衡，定義：混合戰(zhàn)略組合由上述混合戰(zhàn)略納什均衡的定義，以及混合戰(zhàn)略的定義，可以得到：張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系a1b1a2b23,2-1, 30, 0-1, 1社會(huì)福利博弈q(1-q)p(1-p)期望效用期望效用混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡政府流浪漢qqpqqpqqpv) 15()0)1 () 1()(1 ()1)(1 (3(),(211ppqppqppqv3) 12()0)1 (3)(1 () 1)1 (2(),(212張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系011反應(yīng)函數(shù)

9、反應(yīng)函數(shù)0.50.2BR1(q)BR2(p)不救濟(jì)混合策略救濟(jì)qp2 . 0, 015*1qqpv5 . 0, 0) 12(*2ppqv2 . 0, 12 . 0,1 , 02 . 0, 0qifqifqifp5 . 0, 05 . 0,1 , 05 . 0, 1pifpifpifq找工作混合策略不找工作混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡反反應(yīng)應(yīng)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)反應(yīng)對(duì)應(yīng)反應(yīng)對(duì)應(yīng)張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡硬幣博弈a1b1a2b21,-1-1, 11, -1-1, 1p(1-p)q(1-q)期望效用期望效用1)1)(1 () 1()1 () 1)(1 (1),(211qpqpqpp

10、qv) 1()1)(1 (1)1 (1)1 () 1(),(212qpqpqppqv張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系 111/20,11/201/2qBR qqq 201/20,11/211/2pBRppp0.50.5BR1(q)BR2(p)反應(yīng)函數(shù)反應(yīng)函數(shù) 142BR qq 224BRpp011p(a1)q(a2)混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡反反應(yīng)應(yīng)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)反應(yīng)對(duì)應(yīng)反應(yīng)對(duì)應(yīng)張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡4報(bào)案（reporting a crime）n個(gè)人目睹一樁罪行，每個(gè)人都希望報(bào)警，但是都傾向于其他人打電話。特別的，假定能從報(bào)警中得到v單位的收益，而打電話的人需要付出c單位的成

11、本，vc0。分析這個(gè)問題的純戰(zhàn)略NE和混合戰(zhàn)略NE。張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡分析： 參與人：n個(gè) 每個(gè)參與人的戰(zhàn)略集：打電話，不打電話 效用：沒有任何人打，所有人0支付； 打，v-c； 不打，但其他人至少有一個(gè)人打，v純戰(zhàn)略NE 當(dāng)只有兩個(gè)參與人的時(shí)候（公共產(chǎn)品提供的斗雞博弈）兩個(gè)NE n個(gè)人的時(shí)候：假設(shè)有m個(gè)人提供，m1 or m=1 n個(gè)NE張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略NE 任何一個(gè)參與人i的期望效用函數(shù)： 假設(shè)i提供的概率為pi,第i個(gè)參與人最大化自己的期望效用，得到 )1 (1 ()1 (0)1 ()(),(ijjijjiii

12、iipvppcvpVvcpijj/)1 (張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡由此，c/v1，因此，隨著人數(shù)n的增加，p減小，即人越多，每個(gè)人選擇報(bào)案的概率就會(huì)越小，如果n1，則p1社會(huì)心理學(xué)與博弈分析ppppn21)1/(11)/(1)1 (nnvcpvcp張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系1.幾乎所有有限博弈都有有限奇數(shù)個(gè)納什均衡2.對(duì)每個(gè)參與人來講，在構(gòu)成混合戰(zhàn)略均衡純戰(zhàn)略之間是無差異的，即帶來的支即帶來的支付是無差異的付是無差異的3.3.因此，尋找混合戰(zhàn)略納什均衡的方法除因此，尋找混合戰(zhàn)略納什均衡的方法除了優(yōu)化方法，還有等值法了優(yōu)化方法，還有等值法混合戰(zhàn)略納什均衡混合戰(zhàn)略納什均衡張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系案例分析案例分析4有人要打網(wǎng)球嗎？張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系小結(jié)小結(jié)4混合策略的定義，含義4期望效用4混合策略納什均衡：定義求解含義4案例張紅霞國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理系Homework1. Find all “mixed” strategy NE to a Priso