彈性力學第3章——平面問題的直角坐標解答

1、彈性力學及有限元法柴華友QQ：1298352089Email： Chy_ 武漢工程大學，資源與土木工程學院，430073 第三章 平面問題的直角坐標解答第三章 平面問題的直角坐標解答3.1 逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 位移分量的求出3.3 簡支梁受均布荷載3.4 楔形體受重力和液體壓力3.5 級數(shù)式解答3.6 簡支梁受任意橫向載荷3.7 算例1、常體力情況下，相容方程簡化為（調(diào)和方程） 02yx2、如果滿足以下三個條件：（1）體力為常量；（2）邊界形狀相同且均為應(yīng)力邊界條件（無位移條件）；（3）彈性體為單連體（位移單值條件自然滿足）。則求解應(yīng)力分量 和 的平衡

2、微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件中均不包含任何彈性常數(shù)，得出的應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)。yx,xy3-1 逆解法與半逆解法 多項式解答上一章回顧3、常體力情況下，平衡微分方程是非齊次微分方程，它的解答是任一特解和對應(yīng)的齊次微分方程的通解之和。 特解： ， ，xfxxyfyy0 xy通解： ， ，22yx22xyyxxy200yxyyxxyxfxyfyx00 xyyxxyyxyx全解： ， ，xfyxx22yfxyy22yxxy2 其中 稱為艾里應(yīng)力函數(shù)，是一個未知函數(shù)。艾里應(yīng)力函數(shù)的引入在一定程度上簡化了平面問題的求解：從求解三個應(yīng)力未知函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解一個應(yīng)力函數(shù)。特別需要指出的是，推導應(yīng)力函數(shù)

3、 的過程本身也證明了 的存在性。 yx, 4、用應(yīng)力函數(shù)求解平面問題需滿足的條件： （1）相容方程： ； （2）應(yīng)力邊界條件（全部為應(yīng)力邊界條件）； （3）對于多連體，須滿足位移單值條件。 04 ysxyyxsyxxflmfml22yx22xyyxxy2022022222222xyyx3-1 逆解法與半逆解法 多項式解答應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程(用應(yīng)力函數(shù)表示的變形協(xié)調(diào)）應(yīng)力分量可由應(yīng)力函數(shù)計算（由平衡微分方程）力邊界條件3-1 逆解法與半逆解法 多項式解答彈性力學平面問題應(yīng)力解法的數(shù)學模型（相容方程、邊界條件應(yīng)力函數(shù)表示）上在上在內(nèi)在uSvvuuSYymyxlXyxmxlVyyxx, 0222

4、22224422444(3-1) 在給定邊界條件的情況下用直接積分去求解彈性力學的基本方程，確定物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，一般地講是很困難的，只有對一些簡單的問題才適用。所以，往往對具體問題采用逆解法或半逆解法求解，而解的唯一性定理為彈性力學問題的逆解法提供了一個理論根據(jù)。問題歸結(jié)為v 一是如何構(gòu)造可以作為應(yīng)力一般解的雙調(diào)和函數(shù)，即尋求雙調(diào)和函數(shù)的一般解；v 二是對具體問題(即給定邊界條件下的問題)求解。逆解法 這種解法有兩種含義。 一種含義是先設(shè)定各種形式的滿足雙調(diào)和方程的應(yīng)力函數(shù) ，然后求出應(yīng)力分量，再根據(jù)應(yīng)力邊界條件，求出邊界上對應(yīng)的表面力（見應(yīng)力函數(shù)表示的力邊界條件），從而得知所設(shè)定的

5、應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的力學問題。 另一種含義是：通過材料力學或某種分析得到某問題的可能解答，然后檢查它是否滿足全部方程和邊界條件。半逆解法 本解法是根據(jù)具體問題中邊界的幾何形狀和受力特征，或某些問題的解答，或通過某種分析，湊出一部或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式或應(yīng)力函數(shù)的形式，然后檢查全部邊界條件，以最后確定這些函數(shù)，若不滿足，或出現(xiàn)矛盾，則需修改原來所設(shè)的函數(shù)，重新檢查，一直到滿足為止。半逆解法系由圣維南提出，所以又稱圣維南解法，或湊合解法。多項式解答應(yīng)力函數(shù)取多項式形式經(jīng)過驗證，下列函數(shù),322443232xyxyyxxyyxyyyxxx都是滿足雙調(diào)和方程的（代入前面調(diào)和方程），因而，它們都是

6、可能的應(yīng)力函數(shù)。只要根據(jù)物體邊界上的外力分布，從上列各函數(shù)中選一些雙調(diào)和函數(shù)進行組合，即得443422434443323233322222110yexydyxcyxbxaydxycyxbxaycxybxaybxaa(a) 既然雙調(diào)和方程是一個線性方程，因此，經(jīng)疊加后的式(a)也仍然是一個雙調(diào)和函數(shù)。不過，當式(a)中的四次項和四次以上的多項式代入雙調(diào)和方程后，各系數(shù)必須滿足由此而建立的關(guān)于該系數(shù)的代數(shù)方程。 因為在雙調(diào)和方程中有最高的四階導數(shù)，要使得方程滿足高階項必須滿足一定的條件。 下面給出一些應(yīng)力函數(shù)，觀測這些應(yīng)力函數(shù)可以滿足的應(yīng)力邊界。反過來，這些結(jié)果有助于在出現(xiàn)相同的應(yīng)力邊界條件情況下

7、，選擇應(yīng)力函數(shù)。04例3-1 選取式(a)中的一次項作為應(yīng)力函數(shù)，不計體積力求在圖示矩形板邊界上對應(yīng)的表而力。ABCDoxy解：所取一次式為ybxaa110不論系數(shù)a0、a1和b1取何值， 總是滿足雙調(diào)和方程。由公式(2-31)求得應(yīng)力分量0, 0, 022222yxxyxyyx不論彈性體為什么形狀，也不論坐標系如何選擇，由應(yīng)力邊界條件總能得出。由此可見：0, 0YXv 線性應(yīng)力函數(shù)總是對應(yīng)于自然狀態(tài)v 在任何平面問題的應(yīng)力函數(shù)中，加上或減去一個線性函數(shù)并不影響求解應(yīng)力例3-2 選取(a)中的二次式為應(yīng)力函數(shù)，不計體積力試求在上例圖中所示矩形板(單位厚度)邊界上對應(yīng)的表面力。 解：所取二次式為

8、ABCDoxy22222ycxybxa不論系數(shù)a2、b2和c2取何值， 總是滿足雙調(diào)和方程。為簡明起見，現(xiàn)分別考察 式中的每一項，即令1= a2x2，2= b2xy， 3= c2 y2。這時， = 1 + 2 + 3 ，看其每一項所能解決的問題。022222222xyyx 對于1= a2x2 ，代入式(2-31)，得0,2, 0222222yxaxyxyyxABCDoy對于圖示的矩形板和坐標方向，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由應(yīng)力邊界條件可知22, 0aYX22, 0aYX0, 0YX0, 0YXAB邊CD邊BC邊DA邊YlmXmlsxyysyxx說明矩形板左右兩邊界上沒有面力作用，而上下兩邊分別受

9、有向上和向下的均布面力2a2。可見，應(yīng)力函數(shù)1= a2x2 能解決矩形板在y方向受均勻拉力(設(shè)a20)或均布壓力(設(shè)a20)或均布壓力(設(shè)c2 0 , b 0, c 0)檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有20, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù) ) 3計算應(yīng)力分量：byxxy2cyx222axy222(1)對應(yīng)于 ， 應(yīng)力分量 2ax0,2, 0yxxyyxaxyoa2a22ax結(jié)論：應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設(shè) ）或均布壓力（設(shè) ）的問題。如圖3-1（a）。y0a0a(2)對應(yīng)于 ， 應(yīng)力分量 bxybyxxyyx, 0, 0結(jié)論：應(yīng)力函數(shù) 能解決矩

10、形板受均布剪力問題。bxyxyobbbbx(3)應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設(shè) ）或均布壓力（設(shè) ）的問題。2cy0c0cxyoc2c2xy2c2c2abxy結(jié)論2： 二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。22222222 2xxyyxyxyccyaaxbbx y xy0試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy000( , )x yxy 202),(yyx22222222 2xxyyxyxyccyaaxbbx y 22cybxyax圖a) a=0,b=0, 2/0c圖b) a=0,c=0, 0b三、 三次多項式（1）3223dycxyybxaxa、b、c 、d 為待定系數(shù)。檢驗(x,y) 是否滿足

11、雙調(diào)和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù) )(假定：體力 = 0)（3）計算應(yīng)力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy62223ay對應(yīng)的應(yīng)力分量：0, 0,6yxxyyxay結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問題。如圖3-2所示的矩形梁。（a）MMhl2h2hyxx圖xy圖3-21a 的系數(shù)決定于力偶矩的大小。取單位寬度的梁來考察,并命每單位寬度上力偶的矩為 。M在左端或右端，水平面力應(yīng)當合成為力偶，而力偶的矩為 ，這就要求：M22220,hhhhxxdyydyM2222260,6hhhhaydyay dyM前一式總能滿足

12、，而后一式要求：32hMa 代入式（a）0, 0,123yxxyyxyhM將式（a）中的 代入，上列二式成為：x圖3-2MMhl2h2hyxxy1因為梁截面的慣矩是 ， 所以上式可改寫為：1213hI0, 0,yxxyyxyIM結(jié)果與材料力學中完全相同。注意： 對于長度 遠大于深度 的梁，上面答案是有實用價值的；對于長度 與深度 同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用意義的。lhlh但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。xy12h2hllMMdh3mindh3max說明：(1)組成梁端力偶 M 的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則

13、此結(jié)果不精確，有誤差；(3)當 l 遠大于 h 時，誤差較??；反之誤差較大。即在梁小（次要）邊界作用力偶可取應(yīng)力函數(shù)3ay檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程2cyx8244ax2444ey2444代入：04得033eca024824eca432234eydxyycxybxax可見，對于函數(shù)：033eca其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)力函數(shù)：四、四次多項式432234eydxyycxybxax13應(yīng)力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。4特例：44eyax 212eyx0 xy212a

14、xy（須滿足：a + e =0）總結(jié)：（多項式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)） （1） 多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。04多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足 。04多項式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2） 一次多項式，對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。二次多項式，對應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項式，對應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3） （4） 用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法 逆解法（只能解決簡單直線應(yīng)力邊界問題）。例：圖示矩形板，長為 l ，高為 h ，體力不計，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函

15、數(shù)，并指出能解決什么問題。式中k為常數(shù)。xyOlhhkxyhkxy23233解：(1)應(yīng)力分量：yhkxyx32212022xyhkhkyyxxy236322邊界條件：02326322hkhhkhyxy02hyy顯然，上下邊界無面力作用。上下邊界(2)xyOlh:0 x01222322hhhhxdyhkxydy012223222hhhhxdyhkxyydy左邊界223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232k右邊界: lx 01222322hhhhxdyhklydy22322212hhhhxdyhklyydy2233312hhhklykl223222236hh

16、hhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232kkl結(jié)論：可解決懸臂梁左端受集中力問題。 0 , 0 ,6 xyyxay ayx22yx3ay , 0)( , 0)(2/2/ hyyxhyy , 0)( , 0)(0 lxxyxxy 邊界條件h/2h/2xyM3-2 位移分量的求出 以矩形梁的純彎曲問題為例，說明如何由應(yīng)力分量求出位移分量。按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為： ，本節(jié)說明如何由 求出形變分量、位移分量？xyyx,xyyx,0)(2/2/, 0 dyFhhlxxN 2)2(426)(332/022/2/, 0ahhadyyaydyMhhhlxx 32hMa 0 , 0

17、 ,123 xyyxhMy 1213hI 0 , 0 , xyyxIMy 純彎曲問題材力解是精確解。注意：v對于細長梁，應(yīng)力邊界條件在上下表面必須得到精確滿足，而在兩個端面上，只需在圣維南概念下得到滿足即可。即：dyFhhlxxN 2/2/, 0)( ydyMhhlxx 2/2/, 0)( dyFhhlxxyS 2/2/, 0)( 3-2 位移分量的求出xyl1hMM一、 形變分量與位移分量12/3hMyyIMx0 xy0y平面應(yīng)力情況下的物理方程：1、形變分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)將式（a）代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)二、位移分量將式（b）代入幾何方程得

18、：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)將式（c）前兩式積分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)將式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：為待定函數(shù)。0)()(21xfyfxEIM)()(12yfxfxEIM整理得：（僅為 x 的函數(shù)）（僅為 y 的函數(shù)）)(),(21xfyf0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。)(2xfxEIM)(1yf(e)式中： 為常數(shù)。 積分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf將上式代入式（d），得要使上式成立，須有（1）討論：常數(shù)00 xEIMyuxx當 x

19、 = x0 =常數(shù)xEIMyu u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。常數(shù)00 xEIMyuxxyu0|xx說明： 同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面 材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。（2）常數(shù)EIMxv22102222vxxEIMyEIMv將下式中的第二式對 x 求二階導數(shù)：0uyxyEIMu說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即EIMxv221 材料力學中撓曲線微分方程將其代入(f)式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2將其代回(f)式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的撓曲線方程：xxlEIMvy)(20 與材力

20、結(jié)果相同三、位移邊界條件的利用1 兩端簡支02222vxxEIMyEIMv、(f)00ylxv000yxv000yxu0uyxyEIMuxylMM2 懸臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)邊界條件0lxv0lxu22hyh由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。0, 000ylxylxvu（中點不動）00ylxxv（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）代入式（f），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMvxylMMh/2h/2yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)撓曲線方程：20)

21、(2|xlEIMvy與材料力學中結(jié)果相同說明： （1） 求位移的過程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。xylMMh/2h/2（2）若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)E、 作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：0, 000ylxylxvu（中點不動）00ylxyu（中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）00u得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：00uEIMlv220EIMlla2 已知懸掛的單位厚度板，其長度為 ，寬度為板材料的比重為

22、 ，試求在自重作用下板的應(yīng)力分量和位移分量。)(xlx0 xyy解：將應(yīng)力分量帶入物理方程,0 xxxyxylxlxEEEE 帶入幾何方程,0 xyxylxlxuvvuxEyExy 上兩式積分后可得 12/2,lxlxuxfyvyfxEE （a）（b）（c）自重作用下板的應(yīng)力分量將（c）式帶入（b）式后可得 120fyfxyyEx移項后可得 2121020200,2/2,2fxfyyxyEfyyyufxxvElxlxuxyyu vyxvEEE 邊界條件： 0000000,0,0 xxyyxyvuvx（d）將（d）式代入邊界條件000,0,0uv222,2lxulxxyvyEE 代入200/22

23、lxuxyyuEElxvyxvE 可得試檢驗223126yaya能否做為應(yīng)力函數(shù)?若能，試求應(yīng)力分量(不計體力)，并畫出如圖所示桿件上的面力，指出該應(yīng)力函數(shù)所能解的問題。 滿足雙調(diào)和方程,能作為應(yīng)力函數(shù)。 223126yaya應(yīng)力分量為： 21ayax0 xyy2Na bhMNe1/2a h22112ahae x方向的合力為，若偏心距為e，則彎矩為，由彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力為，可以求得因此，所解的問題是偏心距為e的拉伸問題 設(shè)有矩形截面的簡支梁，深度為 ，長度為 ，受均布載荷 ，體力不計，由兩端的反力 維持平衡。如圖所示。取單位寬度的梁來考慮，可視為平面應(yīng)力問題。hl 2qqlqlqqlllox

24、y2h2h圖 用半逆解法。假設(shè) 只是 的函數(shù)：yy)(yfy則：)(22yfx對 積分，得：)()(1yfyxfxx)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中， 、 是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。)(1yf)(2yf（a）（b）123-3 簡支梁受均布載荷3-3 簡支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q一、應(yīng)力函數(shù)的確定1分析：y 主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；xy由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。又 q =常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱， 不隨 x 變化。y推得：)(yfy 設(shè)有矩形截面的簡支梁，深度為 ，長度為 ，受均布載荷 ，體力不計，由兩端的反力 維持平衡。如圖所示。取單位寬度

25、的梁來考慮，可視為平面應(yīng)力問題。用半逆解法。hl 2qqlxyllqh/2h/22由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：),(yx)(22yfxy積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù))(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy(3) 由 確定：04)(),(),(21yfyfyf代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx方程的特點： 關(guān)于 x 的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立

26、。即上述方程在此區(qū)域有無窮個根。非零解的條件系數(shù)矩陣行列式為零。由“高等代數(shù)”理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf對前兩個方程積分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項對第三個方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412積分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlq

27、l1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)將(c) (d) 代入 (b) ，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項式中含有9個待定常數(shù)。)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)2. 應(yīng)力分量的確定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 對稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對稱條件的

28、應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由 q 對稱、幾何對稱：yx, x 的偶函數(shù)xy x 的奇函數(shù)？由(f),(g),(h)得：026 FEy0232GFyEy要使上式對任意的 y 成立，須有：0GFE)()();()(xfxfxfxf)(xyxyy)(xy力邊界條件KHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy（2）邊界條件的應(yīng)用：(a) 上下邊界（主要邊界）; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23

29、代入應(yīng)力公式xyllqlqlqKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )(b) 左右邊界（次要邊界）： （由于對稱，只考慮右邊界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxxyllqlqlKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqlly

30、hqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223可見，這一條件自動滿足。qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxxyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)由上式可得截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線22112hyhyqy22346yhxhqxy圖x2h2h圖y圖xy)()(4. 與材料力學結(jié)果比較 （略）材力中幾個參數(shù)：截面寬：b=1 ,3121hI截面慣矩：靜矩：2822yhS彎矩：)(222xlqM剪力：qxQ將其

31、代入式 ( p ) ，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）021120534222IbQShyhyqhyhyqyIMxyyx(3-6)在式(3-6)中，虛線左邊的項與材料力學的解答相同，而右邊的項是彈性力學所給出的修正項。 y 表示縱向纖維的擠壓應(yīng)力，而在材料力學中這一應(yīng)力則被假定為零；這里的剪應(yīng)力xy 與材料力學結(jié)果相同；x 的表達式中的第一項與材料力學結(jié)果相同，第二項表示彈性力學提出的修正項。對于通常的長而低的梁，修正項很小，可以忽略不計。對于短而深的梁，修正項不能被忽視。xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyh

32、yqybIQSxy（3-6）比較，得：（1）xxy第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。第二項為修正項。當 h / l1，該項誤差很小，可略；當 h / l較大時，須修正。（2）y為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意： 按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：lxxX53422hyhyq說明式（3-6）在兩端不適用。解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計某個應(yīng)力分量（ ）的變化形式。xyyx,由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式，求得應(yīng)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。xyyx,),(yx（4）（5）將具有待定

33、函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程： 確定 中的待定函數(shù)形式。),(yx04),(yx由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式求得應(yīng)力分量 xyyx,),(yx由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。xyyx,用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學平面問題的基本步驟：附：應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學方法”（略）要點：利用材料力學中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個應(yīng)力分量的函數(shù)形式。適用性：直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。應(yīng)力函數(shù)常可表示為：)()(),(ygxfyx設(shè)法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個函數(shù)。)()(ygxf或04材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：)()(2yfxQxy)(

34、)(1yfxMx式中： M(x) 彎矩方程；Q(x) 剪力方程。例：懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。xyObl解：(1) 應(yīng)力函數(shù)的確定xQM取任意截面，其內(nèi)力如圖：bxQ)(0)()()(xlbbxlxM取 作為分析對象，可假設(shè)：xy)()()(ybfyfxQxy（a） f(y)為待定函數(shù)由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：)(2ybfyx（b）對 x 積分一次，有：)()(0yfybxfyxy對 y 再積分一次，有：其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1)()()(321xfyfybxf（c）)()(0yfybxfy04由雙調(diào)和方程確定待定函數(shù)：0244224

35、44yyxx0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxf（d）要使上式對任意的 x，y成立，有0)()()4(3)4(2xfyf0)()4(1yf（e）（f）由式（ e）求得CyByAyyf231)(（g）由式（ f）得)()4(3xf)()4(2yf（h）（i）積分式（ h）和（i）得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyf（j）（k）xyOblxQM)(223242xCxBxA)(23CyByAybx)(213141yCyByA( l )包含9個待定常數(shù)，由邊界條件確定。(2) 應(yīng)力分量的確定1121222612)26(CyByABAybxyx)23(

36、22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy( m )(3) 利用邊界條件確定常數(shù)xyOblxQM1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy(3) 利用邊界條件確定常數(shù)22, 0byxybyylxxylxx, 022, 0byxybyy( o )代入可確定常數(shù)為：0222CBA0111CBABAbC1代入式（m）得xyOblxQMxy0 x0yxy注：也可利用 M（x）= 0，考慮0)()(yfxMx進行分析。此時有：022yx)(1xfy)()(21xfxyf)(),(21xfxf為待定函數(shù)，由相容方程

37、確定。llqlql1yzh/2h/2qqxxQ)(剪力：可假設(shè)剪應(yīng)力：)(yqxfxy)(yxfy0y)(yfy 圖示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為：yFxExyDxyCxyBxyAx333533求簡支梁的應(yīng)力分量(體力不計)。解 (1)由滿足相容方程確定系數(shù)A與B的關(guān)系： BABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444yFxExyDxyCxyBxyAx333533 (2)含待定系數(shù)的應(yīng)力分量為 )3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyxx (3)由邊界條件確定待定系數(shù)0)(6

38、2626 ,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq0233252922422FhDCxhBhAx0)(2hyy0626263ExhCxhAx0)(2hyxy0233252922422FhDCxhBhAx , , lhqClhqBlhqAlqE4,5,3,120303006804,6)(02030220lqlhqFhDhlqdyhhxxy, 0)(22hhlxxydy022DBhAl 由此可解得 lhqhlqFhlqlhqD804,31000300由以上式子可求得(4)應(yīng)力分量為 10344432103222222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhq

39、hlxyxylhqxyyx 03292ChA0232524FDhhB0 x0 xx(5)分析a.因?qū)取任意值時都成立，邊界條件式(6)可分解為以下兩個等式： , b.在處,能精確滿足，由此得知在簡支梁左端為精確解。3-4 楔形體受重力和液體壓力要點半逆解法（因次或量綱分析法）問題的提法：楔形體，下部可無限延伸。g側(cè)面受水壓作用：)m/N(3（水的容重）；自重作用：g)m/N(3（楔形體的容重）；1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1) 分析：(a),gg,x 的量綱為：,gg)m/N(3 的形式應(yīng)為：xgygxgygx,的線性組合。x 的量綱為：2N/m(b) 由 推理得：22yx應(yīng)為 x、y 的三次

40、函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：3223eycxyybxaxgxyOg求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。 xyyx,ggyxyO(2) 應(yīng)力分量考慮到：X = 0，Y = （常體力）gcybx22Xxyx22eycx62Yyxy22yxxy2gybyax26(a)顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。2. 邊界條件的利用(1) x=0 （應(yīng)力邊界）：gyxx000 xxygyey602 cy0c6ge代入式（a），則應(yīng)力分量為：3223eycxyybxaxgggyxyON2bxxy2gyxgybyaxy26(b)(2) ( 應(yīng)力邊界）： tanyx 0YX0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlco

41、sl其中：sin將(b)代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)26()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gybyaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl)2cos(m代入，可求得：gggyxyObxxy2gyxgybyaxy26(b)3cot3cot6ggacot2gb 代入式（b），有：(3-7)xyx)(y)( 李維（Levy）解答沿水平方向的應(yīng)力分布與材力結(jié)果比較： 沿水平方向不變，在材力中無法求得。 沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同。 沿水平方向線性分布，材力中為拋物線分布。gyxyggxggy

42、)cot()cot2cot(232cotgxyxxyxyxygr結(jié)果的適用性：（1）當壩的橫截面變化時，不再為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤差較大。（2）假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。（3）實際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大。 三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。工程應(yīng)用：ggyxyOxyx)(y)(沿水平方向的應(yīng)力分布沿水平方向的應(yīng)力分布g 求使壩穩(wěn)定時的角度 ，稱為安息角。3-5 級數(shù)式解答問題的提出多項式解答： 只能求解載荷簡單，且連續(xù)分布的問題。不能求解載荷復(fù)雜，且間斷分布的問題。級數(shù)式解答

43、：（屬逆解法）1. 級數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)假設(shè)：)(sin),(yfxyx(a)式中：為任意常數(shù)，其量綱為 ,1長度)(yf為 y 的任意（待定）函數(shù)。)(sin)2(2224yfxyx)(sin444yfxx)(sin)4(44yfxy將其代入 ：04載荷復(fù)雜，且間斷分布的問題，可由級數(shù)式解答解決。其基本思路是將應(yīng)力函數(shù) 分解成關(guān)于 xy 的兩個單變量函數(shù)的乘積。 分離變量法。),(yx有：)(cos),(1yfxyx442244442yyxx)(sin)(sin2)(sin)4()2(24yfxyfxyfx0)()(2)(sin4)2(2)4(yfyfyfx(b)解上述方程，得0)()(2)(

44、4)2(2)4(yfyfyf其中：A、B、C、D 都是任意常數(shù)， 將其代入應(yīng)力函數(shù) ，得ychyshyBchysh)(DyCyAyf(c)再取如下應(yīng)力函數(shù)：y)chyshyBchysh(sin),(DyCyAxyx式中：也為任意常數(shù) ,為 y 的任意（待定）函數(shù)。)(1yf類似于上面的運算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解：(d)顯然，將式(c) 與(d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：)chshchsh(cos),(yyDyyCyByAxyx1)chshchsh(cosmmmmmmmmmmyyDyyCyByAx)chshchsh(sin),(yDyyCyyByAxyx(e)取 和 的一系列值，即?。簃,m)(

45、m將由此構(gòu)成的 加起來，有),(yx)chshchsh(cosyyDyyCyByAx1)chshchsh(sinmmmmmmmmmmyyDyyCyByA(3-8)顯然，式(3-8) 滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。且在其上再加若干個滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，仍可作為應(yīng)力函數(shù)。2. 級數(shù)形式的應(yīng)力分量將上述應(yīng)力函數(shù) 代入應(yīng)力分量表達式（2-26），有),(yx12ch)2(sh)2(cosmmmmmmmmmmmyCByDAx1222ch)2(sh)2(sinmmmmmmmmmmmxyCByDAxyyyDyyCmmmmchshyyDyyCmmmmchsh122myx12mxyyx(3-9) 式（3-9

46、）滿足相容方程、平衡方程，只要適當選?。?使其滿足邊界條件，即為某問題的解。mmmmmmmmmmDCBADCBA,;,3-6 簡支梁受任意橫向載荷問題： 設(shè)簡支梁的跨度為l ，高度為 H，坐標軸如圖3-7所示，上下兩邊的橫向載荷分別為 q(x) 及q1(x) , 左右兩端的反力分別為 R 及R1 。 R1R)(xq)(1xqlHxyo圖3-7邊界條件1. 邊界條件的級數(shù)表示上下邊界：0Hyxy)(0 xqyy)(1xqHyyRdyHxxy00左右邊界：00yxy0lxx00 xx10RdyHlxxy（a）（b）（c）（d）由邊界條件（c）及應(yīng)力級數(shù)表示式（3-9），得; 0mmmmDCBA),

47、 3 , 2 , 1(mlmmR1R)(xq)(1xqlHyo圖3-7此時應(yīng)力分量式（3-9）簡化為1222ch)2(sh)2(sinmmmmmxlymmlCBlymmlDAlxmlmlymyDlymyCmmchshlymyClymBlymAlxmlmmmmmyshchshsin1222lymyDmch1222ch)(sh)(cosmmmmmxylymmlDAlymmlCBlxmlmlymyClymyDmmchsh（3-10）將此應(yīng)力分量式（3-10）代入邊界條件（b），有0cos12mmmDmlAlxmm（e）12ch)(sh)(cosmmmmmlHmmlDAlHmmlCBlxmm0chsh

48、lHmHClHmHDmm（f）0Hyxy00yxy（b）0mmDmlA（i）lHmHlHmmlClHmBlHmAmmmchshshch0shchlHmHlHmmlDm（j）)(sin1222xqBlxmmlmm（g）)(0 xqyy)(1xqHyy（a）1m222chshsinmmlHmBlHmAlxmml)(chsh1xqlHmHDlHmHCmm（h）將此應(yīng)力分量式（3-10）代入邊界條件（a），有將在區(qū)間（0，l）上展為和等式左邊相同的級數(shù)，即的級數(shù)，由Fourier級數(shù)的展開法則，有l(wèi)xmdxlxmxqlxqmlsinsin)(2)(10lxmdxlxmxqlxqmlsinsin)(2)

49、(1011（3-11）)(),(1xqxqlxmsin比較式（3-11）與式（g）和（h）兩邊的系數(shù)，有l(wèi)mdxlxmxqlBml0222sin)(2lmdxlxmxqmlB022sin)(2（k）lHmBlHmAmchshmlHmHDlHmHCmmchshldxlxmxqml0122sin)(2（l）說明：（1）邊界條件（d）在求解中沒有用到，但可以證明是自動滿足的。（2）級數(shù)求解計算工作量很大，通常由有關(guān)計算軟件求解，如：Matlab、Mathematica等。（3）結(jié)果在梁的端部誤差較大；另外，當梁的跨度與高度相當時結(jié)果誤差也較大。 由式 (i)、(j)、(k)、(l) 可求得全部和系數(shù)

50、： ，代入式（3-10）求得應(yīng)力分量。mmmmDCBA,3-7 平面問題的直角坐標解答習題課練習1設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為 ，在一邊側(cè)面上受均布剪力 ，如圖1，試求應(yīng)力分量。q解：1.采用半逆解法，設(shè) 。導出 使其滿足雙調(diào)和方程：0 x0)()(, 00, 0)()()()()(, 0414444224444144444122dxxfddxxfdyyxydxxfddxxfdyxxfxyfxfyXxyx34xyqhg圖1o 取任意值時，上式都應(yīng)成立，因而有：y23232312341444)()(,)(0)(, 0)(FxExCxBxAxyFxExxfCxBxAxxfdxxfddxxfd式中，

51、 中略去了常數(shù)項， 中略去了 的一次項及常數(shù)項，因為它們對應(yīng)力無影響。)(xf)(1xfx（1）2.含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：)23(26)26(0222222CBxAxyxgyFExBAxyYyxXxyxyyx（2）3.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：, 0)(0 xx能自然滿足：0, 0)(0Cxyx, 0)(hxx能自然滿足：0, 026 , 0)(23,)(02FEFExqBhAhqyyhxyx（3）, 0)(0yyx不能精確滿足，只能近似滿足：hhyyxydxBxAxdy000200)23(, 0)(023BhAh由式（3）、（4）解出常數(shù) 和 ，進而可求得應(yīng)力分量：ABhqBh

52、qA,2（4）（1） 中的 不能略去，因為 對剪應(yīng)力有影響。（2）在上端部，首先應(yīng)使應(yīng)力分量精確滿足邊界條件，如不能，則可運用圣維南原理放松滿足。本題 能精確滿足，因此， 在此處是精確解，而 在上端部是近似解。（3）若設(shè) ，則導出的應(yīng)力函數(shù) 和應(yīng)力分量為：DCxxBgyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfdyyfdxxfyxyyx2231212)(),(26)(,2)()()()(4.分析：)(xfCxCx0)(0yyyxy)(xfxy)32(,)31 (2, 0hxhqxgyhxhqyxyyx（5）（6）（7）常數(shù)確定后代入式（7），所得結(jié)果與式（5）相同。練習2 如圖2（a），

53、三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為 ，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。lxygolxygo0q0qlx圖2（a）（b）解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：3223DyCxyyBxAx不難驗證其滿足 。所以應(yīng)力分量為：04CyBxyxgyByAxYyxDyCxXxyxyyx222662222222.用邊界條件確定常數(shù)，進而求出應(yīng)力解答：上邊界：0)( , 0)(00yxyyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotcot3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyx3.分析：本題的應(yīng)力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可

54、用來求解上邊界受線形載荷 作用的問題，見圖2（b）。0qlxq 練習3 如果 為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足，問02)( ,22yxyx是否可作為應(yīng)力函數(shù)。滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)。將代入相容條件得解： 將代入相容條件，得：x10)(2)2(2)(2)(221222222222212xxxyxxxxyx1y2也能作為應(yīng)力函數(shù)。把 代入相容條件，得：2)(223yx 0)444(444)()()(2322222222232yyxxyyxxyxyx所以， 也可作為應(yīng)力函數(shù)。3練習4 圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： ，求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不計）。FxyExDxyy

55、CxBxyyAx3335330)2(,2222222yylxq00qO60lqyl30lqxlh解： 1、由滿足相容方程確定系數(shù)A與B的關(guān)系：BABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444（1）圖32、含待定系數(shù)的應(yīng)力分量為)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyyx3、由邊界條件確定待定系數(shù)：) 3 (0)(6)2(6)2(6 ,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx)6(0)2(33)2(5)2(9 , 0

56、)() 5(06)2(6)2(6, 0)(22422232FhDCxhBhAxExhCxhAxhyxyhyy由以上式子可求得：)8(0, 0)()7(6804,6)(4,5,3,12222202030022030300DBhAlydylqlhqFhDhlqdylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,310003004、應(yīng)力分量為)9(203)(4(4)43(2)1032(22222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx練習5 如圖所示，右端固定懸臂梁，長為l，高為h，在左端面上受分布力

57、作用（其合力為P）。不計體力，試求梁的應(yīng)力分量。 PyOhlx圖41、用湊和冪次不同的雙調(diào)和多項式函數(shù)的半逆解法來求解。顯然，應(yīng)力函數(shù) 所對應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個大小為 的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)力函數(shù) 上再添加一個與純剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ：34xyd解：2443hd34xydxyb2xybxyd2342、由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達式為：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx左端部： Pdyhhxxyxx2200)(,0)(解得： 233342623, 0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx3、利用邊界條件

58、確定，并求出應(yīng)力分量：上、下邊界： 24,bd0)(,0)(22hyxyhyy習題3-8 如圖所示，三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。lxygo解： 1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：3223AxBx yCxyDy不難驗證其滿足 。所以應(yīng)力分量為：4022222266222xxyyxyf xCxDyyf yAxBygyxBxCyx y lxygo3223AxBx yCxyDy2.用邊界條件確定常數(shù)，進而求出應(yīng)力解答：上邊界：0)( , 0)(00yxyyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotco

59、t3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyxlxygo 擋水墻的密度為 ，厚度為b,如圖,水的密度為 ，試求應(yīng)力分量。12yox2b2bg1g2解： 用用半逆解法求解。求解。1. 由于水壓力沿x方向線形變化,可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)沿x 向 也應(yīng)是一次式變化，即 y( )yxf yyox2b2bg1g22. 按應(yīng)力函數(shù)的形式，由 推測 的形式:y22( )yxf yx21 ( )( ) 2x f yf yx312 ( )( )( )6xf yxf yf y 3. 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入 得, 04 44342124442dddd206 ddddffxffxxyyyy要使上式在任意的x

60、處都成立，必須 4324d0 , dffAyByCy Dy得432224d0, df fEyFyy得4254321142dd20, dd106ffABfyyGyHyIyyy得312 ( )( )( )6xf yxf yf y 4. 由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將 代入式(2-24) ,注意體力 ，求得應(yīng)力分量為0 ,1yxfgf232321()3( 2262 ) (62 ),xxBxfx AyyxAyByGyHEyFgx2322222432 (),(32)22(32).23yyxyyfx AyByCyDxxAyByCx yAByyGyHyI 5. 考察邊界條件： 主要邊界上，有/2( )0 xyy