同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1.2數(shù)列的極限

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限二二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果按照某一法則，對每個nxnNnx，對應(yīng)著一個確定的實數(shù)，這些實數(shù)按照下標n從小到大排列得到的一個序列123,nx xxx就叫做數(shù)列數(shù)列，簡記為數(shù)列 .nx數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項項，第n項 叫做數(shù)列的一般項一般項或或通項通項。 nx1、數(shù)列、數(shù)列定義定義一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例

2、如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1)n注意： (1).數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx(2).數(shù)列是整標函數(shù)),(nfxn . Nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 有界性有界性在數(shù)軸上在數(shù)軸上,有界數(shù)列的點有界數(shù)列的點nx都落在閉區(qū)間都落在閉區(qū)間-M,M上上.數(shù)列數(shù)列 xn 有上界有上界, ,即存在即存在M, , 使使xnM (n=1,2,). .數(shù)列數(shù)列 xn 有下界有下界, ,即存在即存在m, ,使使xn m(n

3、=1,2,).| 有界；否則，稱無界有界；否則，稱無界稱數(shù)列稱數(shù)列成立，成立，恒有，恒有，若存在正數(shù)，若存在正數(shù)對數(shù)列對數(shù)列定義定義nnnxMxMx 2.數(shù)列的性質(zhì)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,) 1(,43,34,21,21nnn1( 1)nnn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1)n,1,43,32,21nn1nn 有界有界有界有界有界有界;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n無界無界有界有界 判斷下列數(shù)列判斷下列數(shù)列目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx如果數(shù)列滿足條件如果數(shù)列滿足條件1

4、21,nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加121,nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列(2) 單調(diào)性單調(diào)性;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n單調(diào)增加單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)減少判斷下列數(shù)列的單調(diào)性判斷下列數(shù)列的單調(diào)性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,) 1(,43,34,21,21nnn1( 1)nnn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1)n,1,43,32,21nn1nn 單調(diào)增加單調(diào)增加無單調(diào)性無單調(diào)性無單調(diào)性無單調(diào)性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 觀察下列數(shù)列當(dāng)觀察下列數(shù)列當(dāng)n無限增大時，

5、無限增大時，, 2 1, 0從上面可以看出從上面可以看出 :當(dāng)當(dāng) n時時 , 無限地接近于無限地接近于 1 , 數(shù)列數(shù)列(2)從原點的兩側(cè)無限地接近于從原點的兩側(cè)無限地接近于0, 一般項一般項的變化趨勢的變化趨勢: :nx11(2)( 1):2nn,21)1(1nn :1)1( nn數(shù)列數(shù)列 (1) 從從 的右側(cè)的右側(cè)1 x xo 1 2 23 34 xo 21 41 81.11時時的的極極限限當(dāng)當(dāng)為為數(shù)數(shù)列列稱稱 nnn.21)1(01時時的的極極限限當(dāng)當(dāng)為為數(shù)數(shù)列列稱稱 nnn3,24,35,46,57,68,71,nn1,21,41,81,16 116目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄

6、上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.3.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義 當(dāng)n無限增大時, 如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于一個確定的常數(shù)a, 則常數(shù)a稱為數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂于a, 記為axnnlim， 或)(naxn如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目

7、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過觀察:當(dāng)n無限增大時,1( 1)1nnxn 無限接近于1.引例引例觀察數(shù)列1( 1)1nnn 當(dāng)時的變化趨勢.1nx 111( 1)nnn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11,10000nx 有1,10000給定10000,n 只要時1nx 111( 1)nnn,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有6110 ,nx有610 ,給定610,n 只要時0,給定1( ),nN只要時1.nx有成立目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返

8、回 結(jié)束 數(shù)列極限的精確定義數(shù)列極限的精確定義axnnlim， 當(dāng)n無限增大時, xn無限接近于a .當(dāng)n無限增大時, |xn-a|無限接近于0 .當(dāng)n無限增大時, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小.當(dāng)n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).或)(naxn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 0 任任意意給給定定,)1(時時只要只要 Nn.1成成立立有有 nx只要只要n無限增大，無限增大，xn 就會與就會與1無限靠近。無限靠近。Nn 確保 1nx引入符號引入符號N和和 來刻化無限增大和無限接近。來刻化無限增大和無限接近。注：0 就會

9、暫時確定下來,一旦給定,以此來確定相應(yīng)的N.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nxnxa記作此時也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .axnnlim或)(naxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,定義:設(shè) 為一數(shù)列,如果存在常數(shù)a,對于任意給定的正數(shù) (不論它多小)總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN 時,不等式都成立，數(shù)列極限的精確定義數(shù)列極限的精確定義目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 都落在都落在a點的點的鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)),( aa因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個點因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個點x a aa 22 Nx1x2x1 Nx3

10、x注意：注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義, 0N 使得使得 N 項以后的所有項項以后的所有項,321 NNNxxx注：越小,表示nx與a接近得越好.axnnlim目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 anNaanxn目的：目的：lim0, nnnxaNnNaxa 要找到一個自然數(shù) 使得時，有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Naaa 越來越小，N越來越大！nxn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限

11、為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當(dāng)Nn 時, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnnN 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .注：注： 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當(dāng)Nn 時, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說明說明:

12、取11N機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 則當(dāng) n N 時,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為 0 . 1nq機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)1 用定義證明lim11xnn 證明 對于任意給定的 要使01|1|1|11nnxnn 只要 11n取自然數(shù) 11N 則當(dāng) 時，有 , 所以 nN1nxlim11xnn 注：0 就會暫時確定下來,一

13、旦給定,以此來確定相應(yīng)的N.23baab22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時, 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n N1 時, 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時, ,max21NNN 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

14、2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設(shè),limaxnn取,1,N則當(dāng)Nn 時, 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.aaxn)(, 1axn有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂. 無界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無界. . ) 1( :nnx反例3. 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性.若,limaxnn且0a,NN則Nn 當(dāng)時, 有0nx, )0(. )0(證證: 對 a 0 , 取,2a,NN則,時當(dāng)Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 劉徽劉徽