泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用

1、2015年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用教 學(xué) 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 11級(jí)數(shù)本（3）班 姓 名： 袁國(guó)彥 學(xué) 號(hào)： 20110701013056 導(dǎo)師及職稱(chēng)： 程高 講師 2015年 05 月畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包含其他個(gè)人已經(jīng)撰寫(xiě)或發(fā)表過(guò)的研究成果。對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說(shuō)明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說(shuō)明本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解

2、文山學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門(mén)送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書(shū)館被查閱。學(xué)校可以公布論文（設(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名：日期： 日期： 袁國(guó)彥 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)(答辯小組)成員名單姓名職稱(chēng)單位備注文山學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))摘 要泰勒公式是微積分中一個(gè)重要的公式，它將一些復(fù)雜的函數(shù)近似的表示為多項(xiàng)式函數(shù)，為一些復(fù)雜函數(shù)的求解帶來(lái)方便。不僅在數(shù)學(xué)分析中有著重要的地位，在數(shù)值分析中也有著廣泛的應(yīng)用，本

3、文簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用，并討論泰勒公式在泰勒插值，歐拉方法和牛頓迭代法中的具體應(yīng)用，在泰勒插值和數(shù)值積分中，用泰勒公式展開(kāi)的多項(xiàng)式去逼近原函數(shù)，得出近似解，并分析誤差。歐拉方法是通過(guò)迭代的方法，求得近似值，通過(guò)用不同的步長(zhǎng)進(jìn)行對(duì)比，并得到一種通過(guò)控制誤差來(lái)得到步長(zhǎng)的方法。牛頓迭代法是求解非線性方程近似解的一種方法，通過(guò)程序來(lái)得到方程根所在的區(qū)間，求出初值，最后控制其誤差。泰勒公式需要先取點(diǎn)對(duì)原式進(jìn)行泰勒展開(kāi)，如何選取，使得泰勒公式展開(kāi)后，計(jì)算的結(jié)果在誤差的允許范圍內(nèi)，并且計(jì)算過(guò)程盡量簡(jiǎn)單，減少計(jì)算步驟。關(guān)鍵詞：泰勒展開(kāi)；泰勒插值；數(shù)值積分；歐拉方法；牛頓迭代法；數(shù)值分析The

4、application of Taylor formula in numerical analysisABSTRACTTaylor formula is an important formula in Calculus, It will be some function approximation is expressed as a polynomial function. Not only plays an important role in mathematical analysis, and it is widely used in the numerical analysis, thi

5、s paper briefly introduces the application of Taylor formula in numerical analysis, and discuss the Taylor formula in the application of Taylor interpolation, Euler method and Newton iteration method, Taylor interpolation, polynomial using the Taylor expansion to approximate the original function, t

6、he approximate solution and error analysis. The Euler method is obtained by iterative method, approximate value, compared to the different step size, and a method to get him step by controlling the error. The Newton iterative method is a method of approximate solution for solving nonlinear equations

7、, through the program to get the range of equation root, and the error control. Need to select a point on the original Taylor, how to select, the Taylor expansion, the calculation results in the range of allowable error in the calculation of the process as simple as possible, and to reduce the compu

8、tational steps.Keywords: Taylor expansion; Taylor interpolation; Numerical integration; Eulers method; The Newton iteration method; Numerical analysis 目 錄一、引言1二、泰勒公式的應(yīng)用32.1 泰勒插值32.2泰勒公式在數(shù)值積分中的應(yīng)用62.3 歐拉方法72.4 用泰勒公式求方程根的近似解9 2.4.1 牛頓迭代法92.4.2 掃描法10 2.4.3 誤差估計(jì)公式10參考文獻(xiàn)12致謝 13 附錄14 文山學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))一、引言泰勒公式

9、的背景：希臘人在理性數(shù)學(xué)活動(dòng)中，已接觸到了無(wú)限性、聯(lián)系性等概念，這方面最具有代表性的人物是伊利亞學(xué)派的芝諾。他在考慮利用無(wú)窮級(jí)數(shù)求和來(lái)得到有限結(jié)果時(shí)，提出了四個(gè)著名的悖論。后來(lái)，隨著無(wú)限小算法的推廣，英國(guó)的數(shù)學(xué)家們?cè)诖髮W(xué)里教授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，他們中優(yōu)秀的代表有泰勒和麥克勞林。泰勒在1715年出版的正的和反的增量方法一書(shū)中，陳述了它早在1712年就已獲得的著名定理，這就是為人所熟知的泰勒級(jí)數(shù)。愛(ài)丁堡大學(xué)教授麥克勞林發(fā)現(xiàn)了泰勒級(jí)數(shù)的特例，稱(chēng)為“麥克勞林級(jí)數(shù)”。泰勒公式的推導(dǎo)：由導(dǎo)數(shù)和微分的概念，如果函在點(diǎn)可導(dǎo)，則有即在點(diǎn)附近，用一次多項(xiàng)式逼近函數(shù)值時(shí)，其誤差為的高階無(wú)窮小量。然而在很多場(chǎng)合，取

10、一次多項(xiàng)式的逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，并要求誤差為，其中往往為多項(xiàng)式的次數(shù)，為此，我們考察任一次多項(xiàng)式. 逐次求它在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)，得到，.即：， 由此可見(jiàn)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)由其在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定。對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)n次多項(xiàng)式， 稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒（）多項(xiàng)式，的各項(xiàng)系數(shù)稱(chēng)為泰勒系數(shù)。由上面對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)的討論，易知與其泰勒多項(xiàng)式在點(diǎn)有相同的函數(shù)值和直至階導(dǎo)數(shù)值，即 (3)下面將要證明，即以式所示的泰勒多項(xiàng)式逼近時(shí)，其誤差為關(guān)于的高階無(wú)窮小量。定理1.2：若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有，即證：，現(xiàn)在只要證由關(guān)系式可知，并易

11、知因?yàn)榇嬖?，所以點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)。當(dāng)且時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則次，得到=0其中泰勒公式（4）在時(shí)的特殊形式：它也稱(chēng)為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林公。泰勒公式是用一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式，如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這一點(diǎn)的領(lǐng)域中的值，泰勒公式還給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際函數(shù)值之間的偏差。數(shù)值計(jì)算中泰勒公式有廣泛的應(yīng)用，泰勒公式的證明與應(yīng)用方面對(duì)于研究者來(lái)說(shuō)一直具有吸引力，其理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，利用它可以滿足很高的精

12、度要求。泰勒公式可以應(yīng)用于求極限，判斷函數(shù)極值，求函數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值，近似計(jì)算等方面。二、泰勒公式的應(yīng)用2.1泰勒插值實(shí)際問(wèn)題中碰到的函數(shù)是各種各樣的，有的表達(dá)式很復(fù)雜，直接研究函數(shù)可能很困難，面對(duì)這種情況，一個(gè)很自然的想法是將函數(shù)簡(jiǎn)單化，構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)作為的近似函數(shù)，通過(guò)處理獲得關(guān)于的結(jié)果，如果要求近似函數(shù)取給定的離散數(shù)據(jù)，則稱(chēng)之為的插值函數(shù)。其中泰勒公式展開(kāi)公式開(kāi)方法就是一種插值方法，由于代數(shù)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，數(shù)值分析方面就相對(duì)簡(jiǎn)單。已知泰勒多項(xiàng)式成立。求作次多項(xiàng)式，使其滿足條件, 這里為一組已給出的數(shù)據(jù)。容易看出，對(duì)于給定的函數(shù)，若導(dǎo)數(shù)值已給，則上述泰勒插值的問(wèn)題的解就是泰勒多項(xiàng)式。

13、運(yùn)用泰勒公式做近似計(jì)算時(shí)，一般要用到帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)。例2.1.1：求作在節(jié)點(diǎn)的一階和二階泰勒多項(xiàng)式，計(jì)算的近似值，估計(jì)誤差并與精確值0.723805對(duì)比。解： 用MATLAB程序求出在節(jié)點(diǎn)的一階和二階泰勒多項(xiàng)式，相關(guān)程序見(jiàn)附錄1。所以在的一次泰勒多項(xiàng)式是：二次泰勒多項(xiàng)式是：=用作的近似表達(dá)式，將代入一次泰勒多項(xiàng)式得：根據(jù)定理1可估計(jì)出誤差：與精確值比較，誤差為，具有3位有效數(shù)字。二次泰勒多項(xiàng)式的值：這個(gè)結(jié)果有4位有效數(shù)字。我們對(duì)取的不同取值，通過(guò)作圖對(duì)它們的逼近效果進(jìn)行對(duì)比，程序見(jiàn)附錄2。 圖2-1-1圖中“o”代表二次泰勒多項(xiàng)式的值， “*” 代表一次泰勒多項(xiàng)式的值，“+”代表精

14、確值，可以看出二次的泰勒公式展開(kāi)逼近的效果更好，且x0越逼近x，誤差越小。定理：若函數(shù)在上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得：證：作輔助函數(shù)：，所要證明的定理為：或不妨設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且又因?yàn)?，所以由柯西中值定理得：其中，他的余?xiàng)為：如果，為定數(shù)，則取余項(xiàng)不會(huì)超過(guò)，從而可以近似地計(jì)算某些數(shù)值且估計(jì)誤差。例2.1.2：計(jì)算麥克勞林公式展開(kāi)，并計(jì)算的近似值，使其誤差不超過(guò)和。解：當(dāng)時(shí)，。取，便有略取求得的的近似值為：取時(shí)，略取求得的的近似值為：由上面可以看出如果采用更高次的多項(xiàng)式來(lái)逼近，能在更大范圍內(nèi)滿足同一誤差，但同時(shí)也增大了計(jì)算量，所以在

15、計(jì)算時(shí)應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。2.2泰勒公式在數(shù)值積分中的應(yīng)用設(shè)Fx為fx的一個(gè)原函數(shù)，由牛頓萊布尼茨公式知，定義在區(qū)間a,b上的定積分為：abfxdx=F(x)ba=Fb-F(a)但有些原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)或者有的原函數(shù)十分復(fù)雜難以求出或計(jì)算，不能用上述公式。理論上定積分是一客觀存在的確定的數(shù)值，要解決的問(wèn)題是能否找到其他途徑來(lái)解決定積分的近似計(jì)算。泰勒公式是一件很好的工具，它可實(shí)現(xiàn)定積分的近似計(jì)算2。例2.2.1：解定積分01cosxxdx的近似值，當(dāng)取6階導(dǎo)數(shù)值時(shí)誤差范圍是多少？解：定積分01cosxxdx的被積函數(shù)不可積，可用泰勒公式將其展為冪級(jí)數(shù)，然后逐項(xiàng)積分，再利用積分后的級(jí)數(shù)計(jì)算。

16、因?yàn)椋篶osx=1-x22!+x44!-cosx+626!x6cosxx=1x-x2!+x34!-cosx+626!x5所以，01cosxxdx=011x-x2!+x34!-cosx+626!x5d = lnx-x222!+x444!10-01cosx+626!x5dx -122!+144!-0.23958，因?yàn)閏osx+621，所以此時(shí)誤差：R166!0.0002312.3歐拉方法歐拉方法是求解常微分方程初值問(wèn)題的重要方法，下面由泰勒公式導(dǎo)出歐拉公式，用泰勒公式將在處展開(kāi)有取右端前兩項(xiàng)得，設(shè)用的近似值代入上式的右端，記所得結(jié)果為，這樣導(dǎo)出的計(jì)算公式 這就是眾所周知的歐拉格式3，若初值是已知的

17、，則可以根據(jù)公式逐步算出數(shù)值解,。為簡(jiǎn)化分析，人們常在的前提下估計(jì)誤差，這種誤差稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差。稱(chēng)一種數(shù)值方法的精度是階的，則其局部截?cái)嗾`差為；這說(shuō)明歐拉格式僅為一階方法。例2.3.1：取步長(zhǎng)和，用歐拉方法求解初值問(wèn)題的解在點(diǎn)的近似值，即的近似值，并與精確解進(jìn)行比較，分析這兩種步長(zhǎng)的穩(wěn)定性。解:將程序結(jié)果整理成表格，程序見(jiàn)附錄3。表2-3-1 的近似值，絕對(duì)誤差0.11.10000.00460.21.20000.01680.21.19180.00860.31.27740.01250.41.37330.03170.41.35820.01660.51.43510.02090.61.53150.0

18、4830.61.50900.02570.71.58030.03110.81.68110.06860.81.64980.03730.91.71780.04451.01.82690.09491.01.78480.0527 由表格可以看出當(dāng)步長(zhǎng)時(shí)，歐拉方法計(jì)算的近似值為1.7848，與精確解的誤差絕對(duì)值為0.0527。當(dāng)時(shí)，歐拉方法計(jì)算的近似值為1.8269，與精確解的誤差絕對(duì)值為0.0949。所以步長(zhǎng)時(shí)計(jì)算更穩(wěn)定。但從每一步來(lái)看，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差就越小；但隨著步長(zhǎng)的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了。步數(shù)的增加不但引起計(jì)算量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。所以微分方程的數(shù)值解法

19、也需要選擇步長(zhǎng)。先以為步長(zhǎng)，求出一個(gè)近似解，記，然后將步長(zhǎng)取半，即取為步長(zhǎng)從跨兩步到在求得一個(gè)近似解。這樣可以通過(guò)檢查步長(zhǎng)折半前后兩次計(jì)算結(jié)果的偏差 來(lái)判斷所選取的步長(zhǎng)是否合適，若要求求初步誤差為0.01，則程序見(jiàn)附錄4，取其中的幾項(xiàng)進(jìn)行對(duì)比：表2-3-2 的近似值，絕對(duì)誤差0.06251.06250.00180.51.42670.013411.76650.0344得到步長(zhǎng)，并且初次迭代的誤差控制到0.0018。2.4用泰勒公式求方程根的近似解2.4.1 牛頓迭代法牛頓公式的導(dǎo)出：設(shè)方程的近似根為，則在點(diǎn)附近可用一階泰勒多項(xiàng)式代替，故方程可以近似的表示為，后者是個(gè)線性方程，它的求根是容易的，我

20、們?nèi)〉母鳛榈男陆聘?，記，則有：這就是著名的牛頓公式，相應(yīng)的迭代方程為，其中牛頓法是一種逐步線性化方法，這種方法的基本思想是將非線性方程的求根問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算一系列線性方程+=0的根。牛頓法有明顯的幾何解釋?zhuān)匠痰母趲缀紊辖忉尀榍€與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。設(shè)是根的某個(gè)近似值，對(duì)曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)引切線，設(shè)該切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為（見(jiàn)圖），則這樣獲得的即為按牛頓法求得的近似根，由于這種幾何背景，牛頓法亦稱(chēng)切線法4。圖2-4-12.4.2掃描法掃描法是一種在計(jì)算機(jī)上較實(shí)用的方法，簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)就是將有根區(qū)間分為若干個(gè)子區(qū)間，然后從有根區(qū)間的左端點(diǎn)開(kāi)始，一個(gè)一個(gè)小區(qū)間檢查是否是隔根區(qū)間。對(duì)于代數(shù)方程記

21、,則其根的上、下界分別為 和，由此即可確定其有根區(qū)間，其中a=-1+Aa0，b=1+Aa05。2.4.3 誤差估計(jì)公式估計(jì)以作為的近似值的誤差，由中值定，因而記，則例2.4 .1：:方程有幾個(gè)根，并求出最小正根的近似解，是誤差不超過(guò)解：（1）首先用掃描法求出根屬于有根區(qū)間，和，所以方程有3個(gè)根，且在上有最小正根，見(jiàn)附錄5-1。 （2）在上求出根的初值，即0和1誰(shuí)是根的初值，程序見(jiàn)附錄5-2，則求的初值為。（3）在上的最小值為，則可以跟據(jù)誤差公式和牛頓迭代法求出滿足誤差條件的近似根，程序見(jiàn)附錄5-3。結(jié)果為：x0 =0.31250000000000x0 =0.25210736468500x0 =

22、0.25121933490266該程序能求出根所在的區(qū)間及初值，并對(duì)誤差進(jìn)行控制，從而得到誤差允許范圍內(nèi)的近似根,且第三個(gè)根的符合誤差的精度要求時(shí)程序停止運(yùn)算。- 19 -文山學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，2001,134-1582 張春紅.泰勒公式在近似計(jì)算及數(shù)值積分中的應(yīng)用J.黑龍江科學(xué)，2014, 第5卷第七期，1373 孔珊珊.泰勒公式在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用J.濟(jì)寧學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，第32卷第三期，70-724 王能超.數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程M.北京：高等教育出版社，2003,135-1365 孫鳳芝.數(shù)值計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)M.哈爾濱：黑

23、龍江出版社，2013,25-26致 謝 本論文是在我的導(dǎo)師程老師的親切關(guān)懷下完成的，老師淵博的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，精益求精的工作態(tài)度對(duì)我影響深遠(yuǎn)。從課題的選擇到論文的最終完成，每一步都是在程老師的悉心指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血，在此我向他表示衷心的謝意。 這四年來(lái)感謝文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院的老師對(duì)我的培養(yǎng)，他們?cè)趯W(xué)業(yè)上的細(xì)心指導(dǎo)為我打下了良好的基礎(chǔ)，在這里我要向諸位老師深深鞠上一躬。時(shí)光匆匆流去，轉(zhuǎn)眼畢業(yè)在即，從開(kāi)始進(jìn)入課題到論文的完成都離不開(kāi)老師、同學(xué)給我的熱情幫助，很慶幸我遇到了如此多的良師益友，無(wú)論在學(xué)習(xí)上、生都給予了我無(wú)私的幫助，謹(jǐn)以最樸實(shí)的話語(yǔ)致以敬意。附 錄附錄1：輸入程序：clear;s

24、yms x;f=x(1/2);t1=taylor(f,2,100,x)t2=taylor(f,3,100,x)結(jié)果：t1 =5+1/20*xt2 =5+1/20*x-1/8000*(x-100)2附錄2：輸入程序：clear;x=100:1:115;f=sqrt(x);t2=5+0.05*x;t3=5+0.05*x-(1/8000)*(x-100).2;plot(x,f,+,x,t2,*,x,t3,o)結(jié)果： 附錄3：輸入程序：先建立euler.m文件function x0,y0=euler(fun,x0,x1,y0,n);h=(x1-x0)/n;for i=1:n; y1=y0+h*(fun

25、(x0,y0) y=(1+2*(x0+h)(1/2) jd=abs(y1-y) y0=y1; x0=x0+h;end然后取步長(zhǎng)和，即和。（1）時(shí)輸入程序：fun=inline(y0-2*x0/y0);x0,y0=euler(fun,0,1,1,10)結(jié)果：y1=1.1000 y =1.0954 jd =0.0046y1=1.1918 y =1.1832 jd =0.0086y1=1.2774 y =1.2649 jd =0.0125y1=1.3582 y =1.3416 jd =0.0166y1=1.4351 y =1.4142 jd =0.0209y1=1.5090 y =1.4832 jd

26、= 0.0257y1=1.5803 y =1.5492 jd =0.0311y1=1.6498 y =1.6125 jd =0.0373y1=1.7178 y =1.6733 jd =0.0445y1=1.7848 y =1.7321 jd =0.0527x0=1.0000y0 = 1.7848（2）時(shí)fun=inline(y0-2*x0/y0);x0,y0=euler(fun,0,1,1,5)結(jié)果：y1=1.2000 y =1.1832 jd= 0.0168y1=1.3733 y =1.3416 jd= 0.0317y1=1.5315 y =1.4832 jd= 0.0483y1=1.6811 y =1.6125 jd = 0.0686y1=1.8269 y =1.7321 jd =0.0949x0 = 1y0 =1.8269附錄4：輸入程序：x0=0;y