第4章靜電場(chǎng)指導(dǎo)B教材

1、例 4-1如例4-1圖，一半徑為R的半圓形細(xì)棒均勻帶有正電荷q，求環(huán)心O處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)例41圖解場(chǎng)源電荷連續(xù)分布，但不具有球、軸、面對(duì)稱性，所以只能根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)公式，利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，通過(guò)積分來(lái)求解場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布取坐標(biāo)系如例41圖所示， 環(huán)心O處為坐標(biāo)原點(diǎn)在半圓形細(xì)棒上取線元dl，電荷元dq=dl，為半圓形細(xì)棒上的電荷線密度由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)公式，dq在環(huán)心O場(chǎng)強(qiáng)的大小和電勢(shì)分別為場(chǎng)強(qiáng)的方向如圖所示由場(chǎng)強(qiáng)的對(duì)稱性分析，知場(chǎng)強(qiáng)在Y方向的分量為零，即而式中故方向沿X軸正向O點(diǎn)處的電勢(shì)為例 4-2 如例42圖，半徑為R的帶正電半球面，電荷面密度為(b為常數(shù))，求球心O處的場(chǎng)強(qiáng)例42圖解

2、場(chǎng)源電荷連續(xù)分布，但不具有球、軸、面對(duì)稱性可將半球面劃分為無(wú)窮多個(gè)與軸線(X軸)垂直的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，然后基于均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，通過(guò)積分去求出帶電半球面在球心O處(O在軸線上)的場(chǎng)強(qiáng)否則，根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，通過(guò)對(duì)場(chǎng)強(qiáng)分量的積分求場(chǎng)強(qiáng)將是一個(gè)對(duì)曲面面積的曲面積分問(wèn)題如圖，在距球心O為x處取一個(gè)細(xì)圓環(huán)，其上均勻帶電，所帶電量為式中為細(xì)圓環(huán)的半徑，代入，有根據(jù)均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)公式，在O處的場(chǎng)強(qiáng)大小為方向?yàn)閄軸的負(fù)向由于所有細(xì)圓環(huán)在O點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)方向均相同，都沿X軸的負(fù)向，故O點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)為對(duì)的直接積分，即方向?yàn)閄軸的負(fù)向例 4-3如例43圖，厚度

3、為a的無(wú)限大非均勻帶電平板，電荷體密度cx(c為常數(shù))求：(1)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布；(2) 選取處的為電勢(shì)零點(diǎn)，區(qū)域的電勢(shì)分布例43圖解由于場(chǎng)源電荷不具有球、軸、面對(duì)稱性，所以不能利用高斯定理先求場(chǎng)強(qiáng)分布，再由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的積分關(guān)系求電勢(shì)分布又由于場(chǎng)源電荷在非有限區(qū)域連續(xù)分布，因而也不能直接利用電勢(shì)疊加原理，通過(guò)積分先求電勢(shì)分布，再由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系求場(chǎng)強(qiáng)分布但在這里可將無(wú)限大非均勻帶電平板劃分為無(wú)窮多個(gè)互相平行的無(wú)限大均勻帶電平面，然后基于無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，通過(guò)積分去求出無(wú)限大非均勻帶電平板場(chǎng)強(qiáng)，進(jìn)而利用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的積分關(guān)系求電勢(shì)分布(1) 如圖，在x與x+dx間取一

4、無(wú)限大平面，該平面均勻帶電，電荷面密度為由無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)公式，該帶電平面所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為方向垂直于帶電平面指向兩側(cè)由于所劃分的所有帶電平面場(chǎng)強(qiáng)的方向均垂直于帶電平面指向兩側(cè)，因而在x點(diǎn)左邊的那些帶電平面在x點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)方向沿X軸正向，在x點(diǎn)右邊的那些帶電平面在x點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)方向沿X軸負(fù)向故有在區(qū)域即在區(qū)域即(2) 取積分路徑沿X軸方向，即，有在區(qū)域在區(qū)域例 4-4半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱，柱內(nèi)電荷體密度為，r為某點(diǎn)到圓柱軸線的距離，a、b為常數(shù)求：(1) 圓柱內(nèi)、外場(chǎng)強(qiáng)的分布；(2) 圓柱內(nèi)、外電勢(shì)的分布（選取軸線處U=0）例44圖解由于場(chǎng)源電荷分布具有軸對(duì)稱性，所以可利用高斯定理先求場(chǎng)強(qiáng)

5、分布，再由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的積分關(guān)系求電勢(shì)分布(1) 如例4-4圖，選長(zhǎng)為l，半徑為r與圓柱同軸的圓筒面作為高斯面S，通過(guò)該面的電通量為高斯面內(nèi)電荷的代數(shù)和為故有E= 方向?yàn)榇怪庇趫A柱軸線的徑向?qū)懗墒噶渴綖?(2) 積分路徑為垂直于圓柱軸線的徑向，即有，則有圓柱內(nèi)、外電勢(shì)的分布為當(dāng)當(dāng)例 4-5如例45圖，在半徑為R1，電荷體密度為的均勻帶電球體中挖去一個(gè)半徑為R2的球形空腔，空腔的中心為，球心與空腔中心的距離求空腔內(nèi)任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)例45圖解用積分解決這個(gè)問(wèn)題很復(fù)雜又因?yàn)橥诹丝涨坏膸щ娗蝮w，其電荷的分布(場(chǎng)源電荷)失去球?qū)ΨQ性，因而不能直接利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布在這種情形下，可考慮用填補(bǔ)法使場(chǎng)源電荷具

6、有對(duì)稱性后再應(yīng)用高斯定理進(jìn)行求解即設(shè)想空腔內(nèi)均勻分布有體密度為和的正負(fù)電荷，這并不影響空間電場(chǎng)分布因此，空間場(chǎng)強(qiáng)的分布可視為由帶正電的大球體及帶負(fù)電的小球體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的疊加設(shè)大、小帶電球體在P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)分別為和，則P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為由高斯定理有 即方向分別沿和(見(jiàn)例4-5圖)寫成矢量式有則即空腔內(nèi)的場(chǎng)為均勻場(chǎng) 例 4-6 將半徑為R2的帶電圓盤，在盤心處挖去一半徑為R1的小圓孔，并使圓盤均勻帶電，電荷面密度為求這個(gè)中空的圓盤軸線上任一點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng)例46圖解場(chǎng)源電荷在有限區(qū)域連續(xù)分布，但不具有球、軸、面對(duì)稱性，所以不能利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布但可將中空帶電圓盤劃分為無(wú)窮多個(gè)細(xì)圓環(huán)，然后基于均勻帶電細(xì)圓

7、環(huán)軸線上的電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理，通過(guò)積分去求出中空帶電圓盤在軸線上的電勢(shì)，最后利用場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的微分關(guān)系求出場(chǎng)強(qiáng)如例46圖，在圓盤上取半徑為r，寬為dr的細(xì)圓環(huán)，其上帶電為根據(jù)均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上的電勢(shì)公式，dq在P點(diǎn)處的電勢(shì)為整個(gè)中空帶電圓盤在P點(diǎn)處的電勢(shì)為故中空帶電圓盤在軸線(X軸)上任一點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng)為例 4-7如例47圖，兩塊靠得很近的平行導(dǎo)體板，板的面積均為S，間距為d，帶電量分別為和，求：(1) 各板面的電荷面密度；(2) 兩極間的電勢(shì)差例47圖解(1) 忽略邊緣效應(yīng)，各板面上的電荷可認(rèn)為是均勻分布，其電荷面密度分別為、和(圖見(jiàn)例47圖)由電荷守恒定律可得由靜電平衡的性質(zhì)，可求得四個(gè)

8、板面上的電荷在A、B導(dǎo)體內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零，即聯(lián)立以上四個(gè)方程，可求得由此可以看出：兩板的外側(cè)帶等量同號(hào)的電荷，內(nèi)側(cè)帶等量異號(hào)的電荷；若，則, ，異號(hào)電荷相吸，電荷只分布在兩板內(nèi)側(cè)表面上，此時(shí)可視作平行板電容器；若，則，同號(hào)電荷相斥，電荷只分布在兩板外側(cè)表面上 (2) 兩板間的電場(chǎng)為均勻場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)大小為方向垂直于板面兩極間的電勢(shì)差為例 4-8如例48圖所示，在半徑為R的金屬球外距球心為a處放置點(diǎn)電荷十Q球內(nèi)一點(diǎn)P到球心的距離為r求： (1) 感應(yīng)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)；(2) P點(diǎn)的電勢(shì).例48圖解(1)P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是點(diǎn)電荷Q在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與感應(yīng)電荷產(chǎn)生在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和在靜電平衡時(shí)，金屬導(dǎo)體球內(nèi)任

9、一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零，所以即則的大小為方向由P指向Q點(diǎn)(2)靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體是等勢(shì)體，P點(diǎn)的電勢(shì)等于球心的電勢(shì)感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球的表面，任一感應(yīng)電荷元dq在球心的電勢(shì)為全部感應(yīng)電荷在球心的電勢(shì)為根據(jù)電荷守恒定律，導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷的代數(shù)和為零，即所以點(diǎn)電荷Q在P點(diǎn)的電勢(shì)為故有P點(diǎn)的電勢(shì)為例 4-9 半徑為R1的導(dǎo)體球帶電量為q，球外有一內(nèi)外半徑分別為R2、R3的同心導(dǎo)體球殼，帶電為Q求：(1) 場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分布；(2) 若用導(dǎo)線連接球和球殼后，電勢(shì)分布如何?(3) 若外球殼接地，球及球殼的電勢(shì)各為多少? (4) 若內(nèi)球接地，球與球殼間的電勢(shì)差為多少?解(1) 首先必須分析電荷的分布情況根據(jù)導(dǎo)體靜

10、電平衡時(shí)電荷的分布情況和電荷守恒定律，可知電荷在半徑為R1、R2和R3的三個(gè)球面上作均勻分布，帶電量分別為q、-q和q+Q由于所有電荷(場(chǎng)源電荷)的分布均具有球?qū)ΨQ性，所以可以根據(jù)高斯定理先求場(chǎng)強(qiáng)分布，再由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的積分關(guān)系求電勢(shì)分布例49圖作一半徑為r同心球面為高斯面S，由高斯定理有即方向均沿徑向選積分路徑沿徑向，即，由有電勢(shì)分布為 (2) 若用導(dǎo)線連接球和球殼后，半徑為R1和R2的球面上所帶電為零，所有電荷q+Q全部均勻分布在半徑為R3的球面上根據(jù)高斯定理，這時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分布(矢量形式)為電勢(shì)分布為(3) 若外球殼接地，則半徑為R1和R2的球面上所帶電荷分別為q，半徑為R3的球面上的電荷q+

11、Q全部與地面電荷中和根據(jù)高斯定理，這時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分布(矢量形式)為此時(shí)，導(dǎo)體球的電勢(shì)為(地為電勢(shì)零點(diǎn))導(dǎo)體球殼的電勢(shì)為(4) 若內(nèi)導(dǎo)體球接地，則內(nèi)導(dǎo)體球的電勢(shì)為零，即，但其表面帶電并不為零，設(shè)其為，則由于靜電感應(yīng)，外球殼內(nèi)、外表面將分別帶電和此時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)仍為零，由(1)問(wèn)中的結(jié)果，有導(dǎo)體球的電勢(shì)為令其為零，可求得另由(1)問(wèn)中的結(jié)果，有導(dǎo)體球殼的電勢(shì)為代入，可得導(dǎo)體球殼的電勢(shì)為故導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電勢(shì)差為例 4-10如例410圖，平行板電容器兩極板的面積為A，距離為d板間左半部分空間充滿相對(duì)電容率為的電介質(zhì)，右半部分空間為真空已知兩極板間的電勢(shì)差為，求：(1) 電介質(zhì)和真空中的電位移及場(chǎng)強(qiáng)

12、；(2) 電容器的電容例410圖解(1) 若忽略邊緣效應(yīng)，則電容器內(nèi)部空間的場(chǎng)分布具有平面對(duì)稱性，可利用電介質(zhì)中的高斯定理先求電位移的分布，然后再求場(chǎng)強(qiáng)的分布設(shè)電容器左、右兩部分空間的上、下極板上均勻分布的電荷之面密度分別為和(例410圖，圖中為電介質(zhì)表面上的極化電荷面密度)，則整個(gè)電容器上、下極板所帶的電量分別為 電介質(zhì)和真空中的電位移及場(chǎng)強(qiáng)分別用、和、表示 在電容器極板間的左半部空間取一底面積為的閉合圓筒面作為高斯面S，其側(cè)面與板面垂直，兩底面與極板平行，且上底面在導(dǎo)體極板內(nèi)，下底面在電介質(zhì)中通過(guò)高斯面的電位移通量為由于上底面在導(dǎo)體極板內(nèi)，處處為零，所以上的亦處處為零；在側(cè)面上處處與垂直，

13、故通過(guò)和的電位移通量為零，即有包圍在此高斯面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和為，由電介質(zhì)中的高斯定理有而同理，對(duì)于電容器極板間的右半部空間由于靜電平衡時(shí)兩導(dǎo)體極板都是等勢(shì)體，所以電容器左右兩部分兩極板間的電勢(shì)差相等，均為，即 由此可得、和、的方向均為垂直于極板由上指向下(2) 由電容器電容的定義，該平行板電容器的電容為例411圖例 4-11有兩個(gè)半徑分別為和的同心金屬球殼，內(nèi)球殼帶電量為，緊靠其外面包一層半徑為，相對(duì)電容率為的電介質(zhì)，外球殼接地，如例411圖所示求：(1) 兩球殼間的場(chǎng)強(qiáng)分布；(2) 兩球殼的電勢(shì)差；(3) 兩球殼構(gòu)成的電容器的電容；(4) 兩球殼間的電場(chǎng)能量解(1) 在本題中，靜電平衡時(shí)，自由電荷的分布情況為：內(nèi)球殼的外表面均勻分布有電荷，外球殼的內(nèi)表面均勻分布有電荷，外球殼的外表面不帶電因?yàn)樽杂呻姾煞植际乔驅(qū)ΨQ的，電介質(zhì)表面又是與帶電球殼同心的球面(極化電荷的分布亦具有球?qū)ΨQ性)，因而不會(huì)破壞電場(chǎng)分布的球?qū)ΨQ性，所以可用電介質(zhì)中的高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的分布作一半徑為r同心球面為高斯面S，由電介質(zhì)中的高斯定理有即由可得在兩球殼間()的場(chǎng)強(qiáng)分布為的方向沿徑向(