平面的法向量與平面的向量表示教材

1、3.23.2.2平面平面的法的法向量向量與平與平面的面的向量向量表示表示理解教材新知把握熱點考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點一考點二第第三三章章空空間間向向量量與與立立體體幾幾何何考點三返回返回返回返回32.2平面的法向量與平面的向量表示平面的法向量與平面的向量表示平行與垂直關(guān)系的向量表示平行與垂直關(guān)系的向量表示（1）平行關(guān)系）平行關(guān)系設(shè)直線設(shè)直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為 ， ，平面平面 ， 的法向量分別為的法向量分別為 ， abuvml /線線平行線線平行/l線面平行線面平行/面面平行面面平行baba/0uauavuvu/新知探究新知探究 （2）垂直關(guān)系）垂直關(guān)系設(shè)直線設(shè)直線l，m的方向向

2、量分別為的方向向量分別為 ， ，平面平面 ， 的法向量分別為的法向量分別為 ， abuvml 線線垂直線線垂直l線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直0baba0vuvuuaua/（3）用向量處理平行問題）用向量處理平行問題 用向量處理垂直問題用向量處理垂直問題返回返回1平面的法向量平面的法向量已知平面已知平面，如果向量，如果向量n的基線與平面的基線與平面，則向，則向量量n叫做平面叫做平面的法向量或說向量的法向量或說向量n與平面與平面正交正交2平面的向量表示式平面的向量表示式設(shè)設(shè)A是空間任一點，是空間任一點，n為空間內(nèi)任一非零向量，適合條為空間內(nèi)任一非零向量，適合條件件 n0的點的點M構(gòu)成的圖形是過

3、點構(gòu)成的圖形是過點A并且與向量并且與向量n垂直垂直的的， 通常稱為一個平面的向量表示式通常稱為一個平面的向量表示式垂直垂直平面平面返回返回3兩平面平行、垂直的判定兩平面平行、垂直的判定設(shè)設(shè)n1，n2分別是平面分別是平面，的法向量，則的法向量，則或或與與重合重合 ； 4正射影與三垂線定理正射影與三垂線定理(1)正射影：正射影：已知平面已知平面和一點和一點A，過點，過點A作作的垂線的垂線l與與相交于點相交于點A，則，則A就是點就是點A在平面在平面內(nèi)的內(nèi)的，簡稱，簡稱n1n2n1n2n1.n2=0正射影正射影射影射影返回返回(2)三垂線定理：三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平

4、如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的面內(nèi)的垂直，則它也和這條斜線垂直垂直，則它也和這條斜線垂直(3)三垂線定理的逆定理：三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的則它也和這條斜線在平面內(nèi)的垂直垂直射影射影射影射影返回返回1用向量法證明線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系，用向量法證明線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系，主要是找出直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系，主要是找出直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系，因此求直線的方向向量及平面的法向量是解題關(guān)鍵因此求直線的方向向量及平面的法向量

5、是解題關(guān)鍵2一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可以一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可以根據(jù)需要進行選取，一個平面的所有法向量共線根據(jù)需要進行選取，一個平面的所有法向量共線返回返回例例1已知點已知點A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面求平面ABC的一個法向量的一個法向量思路點撥思路點撥返回返回返回返回一點通一點通利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟：利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟：返回返回1已知平面內(nèi)的兩個向量已知平面內(nèi)的兩個向量a(2，3，1)，b(5，6，4)，則該平面的一個法向量為則該平面的一個法向量為()A(1，1，1)B(2，1，1)C(2，1，1)D(

6、1，1，1)答案：答案：C返回返回返回返回返回返回思路點撥思路點撥建立空間坐標(biāo)系求出平面建立空間坐標(biāo)系求出平面ADE與平與平面面A1D1F的法向量求解的法向量求解返回返回返回返回返回返回返回返回一點通一點通設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量的方向向量a(a1，b1，c1)，平面，平面的的法向量法向量u(a2，b2，c2)，平面，平面的法向量的法向量v(a3，b3，c3)，且，且l ，與與不重合，則不重合，則(1)lauau0a1a2b1b2c1c20；(2)lau(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)；(3)uv(a2，b2，c2)m(a3，b3，c3)；(4)uvu0a2a3b2b3c2c30.返回

7、返回3在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：平面中，求證：平面A1BD平面平面CD1B1.返回返回返回返回4正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是BB1、CD的中的中點，求證：平面點，求證：平面AED平面平面A1FD1.證明：證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.返回返回返回返回返回返回例例3在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：中，求證：A1C平面平面BDC1.思路點撥思路點撥根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面在平面ABCD和平面和平面CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證內(nèi)的射影，由三

8、垂線定理證明明BDA1C，C1DA1C.返回返回精解詳析精解詳析在正方體中，在正方體中，AA1平面平面ABCD，所以，所以AC是是A1C在平面在平面ABCD內(nèi)的射影，又內(nèi)的射影，又ACBD，所以，所以BDA1C.同理同理D1C是是A1C在平面在平面CDD1C1內(nèi)的射影內(nèi)的射影所以所以C1DA1C.又又C1DBDD，所以，所以A1C平面平面BDC1.返回返回一點通一點通(1)三垂線定理及其逆定理主要用于證明空間兩條直線三垂線定理及其逆定理主要用于證明空間兩條直線的垂直問題對于同一平面內(nèi)的兩直線垂直問題也可用的垂直問題對于同一平面內(nèi)的兩直線垂直問題也可用“平平移法移法”，將其轉(zhuǎn)化為空間兩直線的垂直

9、問題，用三垂線定理，將其轉(zhuǎn)化為空間兩直線的垂直問題，用三垂線定理證明證明(2)當(dāng)圖形比較復(fù)雜時，要認真觀察圖形，證題的思維當(dāng)圖形比較復(fù)雜時，要認真觀察圖形，證題的思維過程是過程是“一定二找三證一定二找三證”，即，即“一定一定”是定平面和平面內(nèi)的直是定平面和平面內(nèi)的直線，線，“二找二找”是找平面的垂線、斜線和斜線在平面內(nèi)的射影，是找平面的垂線、斜線和斜線在平面內(nèi)的射影，“三證三證”是證直線垂直于射影或斜線是證直線垂直于射影或斜線返回返回5正三棱錐正三棱錐PABC中，求證：中，求證：BCPA.證明：證明：在正三棱錐在正三棱錐PABC中，中，P在底在底面面ABC內(nèi)的射影內(nèi)的射影O為正三角形為正三角形

10、ABC的的中心，連接中心，連接AO，則，則AO是是PA在底面在底面ABC內(nèi)的射影，且內(nèi)的射影，且BCAO，所以，所以BCPA.返回返回6在空間四邊形在空間四邊形ABCD中，中，A在平面在平面BCD內(nèi)的射影內(nèi)的射影O1是是BCD的垂心，試證明的垂心，試證明B在平面在平面ACD內(nèi)的射影內(nèi)的射影O2必是必是ACD的垂心的垂心證明：證明：連接連接DO1、BO1、AO2、CO2.O1是是BCD的垂心，的垂心，DO1BC.又又AO1平面平面BCD，BCAD(三垂三垂線定理線定理)BC是平面是平面ACD的斜線，的斜線，BO2平面平面ACD，CO2是是BC在平面在平面ACD內(nèi)的射影，內(nèi)的射影，CO2AD(三垂

11、線定理的逆定理三垂線定理的逆定理)同理，同理，AO2CD.故故O2是是ACD的垂心的垂心返回返回1確定平面的法向量通常有兩種方法：確定平面的法向量通常有兩種方法：(1)利用幾何體中已知的線面垂直關(guān)系；利用幾何體中已知的線面垂直關(guān)系；(2)用待定系數(shù)法，設(shè)出法向量，根據(jù)它和用待定系數(shù)法，設(shè)出法向量，根據(jù)它和內(nèi)不共線內(nèi)不共線兩向量的垂直關(guān)系建立方程組進行求解由于一個平面兩向量的垂直關(guān)系建立方程組進行求解由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可從方程組的解中取一個最簡單的法向量有無數(shù)個，故可從方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量的作為平面的法向量2用空間向量處理平行問題的常用方法：用空間向量處理平行問題的常用方法：(1)線線平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量平行線線平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量平行(2)線面平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量垂直線面平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量垂直返回返回(3)面面平行轉(zhuǎn)化為平面法向量的平行面面平行轉(zhuǎn)化為平面法向量的平行(4)線線垂直轉(zhuǎn)化為