綜合評價方法及其應(yīng)用優(yōu)秀課件

1、數(shù)學建模培訓講座之一數(shù)學建模培訓講座之一- Institute of Information Engineering, Information Engineering University 基本內(nèi)容： 1、綜合評價方法的基本概念綜合評價方法的基本概念； 2、評價指標的規(guī)范化處理評價指標的規(guī)范化處理; 3、綜合評價的數(shù)學模型構(gòu)建綜合評價的數(shù)學模型構(gòu)建; 4、動態(tài)加權(quán)綜合評價方法動態(tài)加權(quán)綜合評價方法; 5、長江水質(zhì)的綜合評價模型長江水質(zhì)的綜合評價模型.5/27/20223一、一、綜合評價方法的基本概念綜合評價方法的基本概念 綜合評價的問題綜合評價的問題: :對被評價對象所進行的客觀、對被評價對象所

2、進行的客觀、公正、合理的全面評價。通常的綜合評價問題都是公正、合理的全面評價。通常的綜合評價問題都是有若干個同類的被評價對象有若干個同類的被評價對象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )，每個被評價，每個被評價對象往往都涉及到多個屬性（或指標）。對象往往都涉及到多個屬性（或指標）。 綜合評價的目的綜合評價的目的: :根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運行（或發(fā)展）狀況哪個優(yōu)，哪個劣，即按系統(tǒng)的運行（或發(fā)展）狀況哪個優(yōu)，哪個劣，即按優(yōu)劣對各被評價對象進排序或分類。這類問題又稱優(yōu)劣對各被評價對象進排序或分類。這類問題又稱為為多屬性（或多指標）的綜合評價問題多屬性（或多指標）的綜合評價問題

3、。 綜合評價的應(yīng)用綜合評價的應(yīng)用: :研究多目標決策問題的前提，研究多目標決策問題的前提，因此研究解決這類問題在實際中是很有意義的，特因此研究解決這類問題在實際中是很有意義的，特別是在政治、經(jīng)濟、社會及軍事管理、工程技術(shù)及別是在政治、經(jīng)濟、社會及軍事管理、工程技術(shù)及科學決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價值。科學決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價值。 5/27/20224 構(gòu)成綜合評價問題的構(gòu)成綜合評價問題的五個要素五個要素分別為分別為: :被評價對被評價對象、評價指標、權(quán)重系數(shù)、綜合評價模型和評價者。象、評價指標、權(quán)重系數(shù)、綜合評價模型和評價者。一、一、綜合評價方法的基本概念綜合評價方法的基本概念 1 1 構(gòu)

4、成綜合評價問題的五個要素構(gòu)成綜合評價問題的五個要素 （1）被被評評價價對對象象 被被評評價價對對象象就就是是綜綜合合評評價價問問題題中中所所研研究究的的對對象象，或或稱稱為為系系統(tǒng)統(tǒng)。通通常常情情況況下下，在在一一個個問問題題中中被被評評價價對對象象是是屬屬于于同同一一類類的的，且且個個數(shù)數(shù)要要大大于于 1 1，不不妨妨假假設(shè)設(shè)一一個個綜綜合合評評價價問問題題中中有有n個個被被評評價價對對象象（或或系系統(tǒng)統(tǒng)） ，分分別別記記為為12,(1)nS SS n。 5/27/20225評評價價指指標標體體系系應(yīng)應(yīng)遵遵守守的的原原則則：系系統(tǒng)統(tǒng)性性、科科學學性性、可可比比性性、可可測測性性（即即可可觀觀

5、測測性性）和和獨獨立立性性。這這里里不不妨妨設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)有有m個個評評價價指指標標 （或或?qū)賹傩孕裕?， 分分別別記記為為12,(1)mx xxm， 即即評評價價指指標標向向量量為為12( ,)Tmx xxx。 1 1 構(gòu)成綜合評價問題的五個要素構(gòu)成綜合評價問題的五個要素 （2 2）評價指標）評價指標 評價指標評價指標是反映被評價對象是反映被評價對象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )的運行的運行( (或發(fā)展或發(fā)展) )狀況狀況的基本要素。通常的問題都是有多項指標構(gòu)成，每一項指標都的基本要素。通常的問題都是有多項指標構(gòu)成，每一項指標都是從不同的側(cè)面刻畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個度量。是從不同的側(cè)面刻畫系

6、統(tǒng)所具有某種特征大小的一個度量。 一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個向量向量表示，其表示，其中每一個分量就是從一個側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為中每一個分量就是從一個側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評綜合評價的指標體系價的指標體系。 5/27/20226 注意到注意到: :當各被評價對象和評價指標值都確定以后，當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題的綜合評價結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，問題的綜合評價結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評價結(jié)果即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評價結(jié)果的可信度，甚至影響到最

7、后決策的正確性。的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。1 1 構(gòu)成綜合評價問題的五個要素構(gòu)成綜合評價問題的五個要素 （3）權(quán)重系數(shù)）權(quán)重系數(shù) 每一綜合評價的問題都有相應(yīng)的評價目的，針對某每一綜合評價的問題都有相應(yīng)的評價目的，針對某種評價目的，各評價指標之間的相對重要性是不同的，種評價目的，各評價指標之間的相對重要性是不同的，評價指標之間的這種相對重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)評價指標之間的這種相對重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)來刻畫。如果用來刻畫。如果用jw來表示評價指標來表示評價指標(1,2,)jxjm的的權(quán)重系數(shù)，則應(yīng)有權(quán)重系數(shù)，則應(yīng)有0(1,2,)jwjm，且，且11mjjw。 5/27/202

8、27 （4 4）綜合評價模型）綜合評價模型 對于多指標（或多因素）的綜合評價問題對于多指標（或多因素）的綜合評價問題, ,就是要就是要通過建立合適的綜合評價數(shù)學模型將多個評價指標綜合通過建立合適的綜合評價數(shù)學模型將多個評價指標綜合成為一個整體的綜合評價指標，作為綜合評價的依據(jù)，成為一個整體的綜合評價指標，作為綜合評價的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評價結(jié)果。從而得到相應(yīng)的評價結(jié)果。不不妨妨假假設(shè)設(shè)n個個被被評評價價對對象象的的m個個評評價價指指標標向向量量為為12( ,)Tmx xxx，指指標標權(quán)權(quán)重重向向量量為為12(,)Tmw www，由由此此構(gòu)構(gòu)造造綜綜合合評評價價函函數(shù)數(shù)為為( , )yfw x

9、。 如如果果已已知知各各評評價價指指標標的的n個個觀觀測測值值為為 (1,2, , ;ijxin 1,2, , )jm，則則可可以以計計算算出出各各系系統(tǒng)統(tǒng)的的綜綜合合評評價價值值( )( ,)iiyfw x，( )12( , ,)iTiiimx xxx(1,2, , )in。根根據(jù)據(jù)(1,2, )iy in值值的的大大小小將將這這n個個系系統(tǒng)統(tǒng)進進行行排排序序或或分分類類，即即得得到到綜綜合合評評價價結(jié)結(jié)果果。 5/27/20228 （5 5）評價者）評價者 評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，也可以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體也可

10、以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體系確定、評價模型的建立和權(quán)重系數(shù)的確定都與評價系確定、評價模型的建立和權(quán)重系數(shù)的確定都與評價者有關(guān)。者有關(guān)。 綜合評價的一般步驟：綜合評價的一般步驟： 明確評價目的；確定被評價對象；建立評價指標明確評價目的；確定被評價對象；建立評價指標體系（包括評價指標的原始值、評價指標的若干預(yù)處體系（包括評價指標的原始值、評價指標的若干預(yù)處理等）；確定與各項評價指標相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選理等）；確定與各項評價指標相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選擇或構(gòu)造綜合評價模型；計算各系統(tǒng)的綜合評價值擇或構(gòu)造綜合評價模型；計算各系統(tǒng)的綜合評價值, ,并給出綜合評價結(jié)果。并給出綜合評價結(jié)果。 1

11、 1 構(gòu)成綜合評價問題的五個要素構(gòu)成綜合評價問題的五個要素 返回返回5/27/20229 1. 評價指標類型的一致化評價指標類型的一致化 極大型指標極大型指標: :總是期望指標的取值越大越好；總是期望指標的取值越大越好； 極小型指標極小型指標: :總是期望指標的取值越小越好；總是期望指標的取值越小越好； 中間型指標中間型指標: :總是期望指標的取值既不要太大，也不要總是期望指標的取值既不要太大，也不要太小為好，即取適當?shù)闹虚g值為最好太小為好，即取適當?shù)闹虚g值為最好; ; 區(qū)間型指標區(qū)間型指標: :總是期望指標的取值最好是落在某一個確總是期望指標的取值最好是落在某一個確定的區(qū)間內(nèi)為最好。定的區(qū)間

12、內(nèi)為最好。 二、評價指標的規(guī)范化處理二、評價指標的規(guī)范化處理 一一般般說說來來，在在評評價價指指標標12,(1)mx xxm 中中可可能能包包含含有有“極極大大型型”指指標標、 “極極小小型型”指指標標、 “中中間間型型”指指標標和和“區(qū)區(qū)間間型型”指指標標。 5/27/202210（1） 極極小小型型指指標標: 對對于于某某個個極極小小型型指指標標x， 則則通通過過變變換換1(0)xxx , ,或或變變換換xMx , ,其其中中M為為指指標標x的的可可能能取取值值的的最最大大值值，即即可可將將指指標標x極極大大化化。 1. 評價指標類型的一致化評價指標類型的一致化 （2）中中間間型型指指標標

13、: 對對于于某某個個中中間間型型指指標標x，則則通通過過變變換換 2()1,()22()1,()2xmmxMmMmxMxMmxMMm 其其中中M和和m分分別別為為指指標標x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值，即即可可將將中中間間型型指指標標x極極大大化化。 5/27/202211 1. 評價指標類型的一致化評價指標類型的一致化 （3）區(qū)區(qū)間間型型指指標標 對對于于某某個個區(qū)區(qū)間間型型指指標標x，則則通通過過變變換換 1,1,1,axxacxaxbx bxbc 其其中中 , a b為為指指標標x的的最最佳佳穩(wěn)穩(wěn)定定的的區(qū)區(qū)間間，max,ca m Mb，M和和m分分別別為為指指標

14、標x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值。即即可可將將區(qū)區(qū)間間型型指指標標x極極大大化化。 5/27/202212 2. 評價指標的無量綱化評價指標的無量綱化 二、評價指標的規(guī)范化處理二、評價指標的規(guī)范化處理 在在實實際際中中的的評評價價指指標標12,(1)mx xxm之之間間，往往往往都都存存在在著著各各自自不不同同的的單單位位和和數(shù)數(shù)量量級級，使使得得這這些些指指標標之之間間存存在在著著不不可可公公度度性性，這這就就為為綜綜合合評評價價帶帶來來了了困困難難，尤尤其其是是為為綜綜合合評評價價指指標標建建立立和和依依據(jù)據(jù)這這個個指指標標的的大大小小排排序序產(chǎn)產(chǎn)生生不不合合理理性

15、性。 如果不對這些指標作相應(yīng)的無量綱處理，則在綜合評如果不對這些指標作相應(yīng)的無量綱處理，則在綜合評價過程中就會出價過程中就會出“大數(shù)吃小數(shù)大數(shù)吃小數(shù)”的錯誤結(jié)果，從而導致最的錯誤結(jié)果，從而導致最后得到錯誤的評價結(jié)論。后得到錯誤的評價結(jié)論。 無量綱化處理又稱為指標數(shù)據(jù)的無量綱化處理又稱為指標數(shù)據(jù)的標準化標準化,或或規(guī)范化規(guī)范化處理。處理。 常用方法常用方法:標準差方法、極值差方法和功效系數(shù)方法等。標準差方法、極值差方法和功效系數(shù)方法等。 5/27/202213 2. 評價指標的無量綱化評價指標的無量綱化 假假設(shè)設(shè)m個個評評價價指指標標12,mx xx，在在此此不不妨妨假假設(shè)設(shè)已已進進行行了了類類

16、 型型 的的 一一 致致 化化 處處 理理 ， 并并 都都 有有n組組 樣樣 本本 觀觀 測測 值值(1,2, ;1,2, )ijx in jm，則則將將其其作作無無量量綱綱化化處處理理。 （1）標標準準差差方方法法: 令令ijjijjxxxs (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中1221111,() (1,2, )nnjijjijjiixx sxxjmnn。 顯顯然然指指標標(1,2, ;1,2, )ijx in jm的的均均值值和和均均方方差差分分別別為為0 0和和1 1，即即0,1ijx 是是無無量量綱綱的的指指標標，稱稱之之為為ijx的的標標準準觀觀測測值值。 5/27/2

17、02214 2. 評價指標的無量綱化評價指標的無量綱化 （2）極極值值差差方方法法: 令令ijjijjjxmxMm (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中11max ,min (1,2, )jijjiji ni nMxmxjm 。則則0,1ijx 是是無無量量綱綱的的指指標標觀觀測測值值。 （3）功功效效系系數(shù)數(shù)法法: 令令ijjijjjxmxcdMm (1,2, , ;1,2, , )in jm， 其其中中, c d均均為為確確定定的的常常數(shù)數(shù)。c表表示示 “平平移移量量” ，d表表示示 “旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)量量” ，即即表表示示“放放大大”或或“縮縮小小”倍倍數(shù)數(shù)，則則 ,ijxc c d

18、 。 譬譬如如若若取取60,40cd，則則60,100ijx 。 返回返回5/27/202215三、綜合評價的數(shù)學模型三、綜合評價的數(shù)學模型 為為了了全全面面地地綜綜合合分分析析評評價價n個個系系統(tǒng)統(tǒng)（被被評評價價對對象象）的的運運行行（或或發(fā)發(fā)展展）狀狀況況，如如果果已已知知n個個狀狀態(tài)態(tài)向向量量（即即n組組觀觀測測值值）( )12( ,)iTiiimx xxx(1,2, )in，則則根根據(jù)據(jù)m個個評評價價指指標標的的實實際際影影響響作作用用，確確定定相相應(yīng)應(yīng)的的權(quán)權(quán)重重向向量量12( ,)Tmw www，且且選選擇擇合合適適的的數(shù)數(shù)學學方方法法構(gòu)構(gòu)造造綜綜合合評評價價函函數(shù)數(shù)（即即綜綜合合

19、評評價價模模型型） ( , )yfw x， 由由此此計計算算綜綜合合評評價價指指標標函函數(shù)數(shù)值值( )( ,)(1,2, )iiyfinw x，并并按按(1,2, )iy in取取值值的的大大小小對對n個個系系統(tǒng)統(tǒng)進進行行排排序序或或分分類類。 問題問題:如何來構(gòu)造合適的綜合評價模型？如何來構(gòu)造合適的綜合評價模型？ 5/27/202216 線性加權(quán)綜合法的線性加權(quán)綜合法的適用條件適用條件: :各評價指標之間各評價指標之間相互獨立。相互獨立。 對于不完全獨立的情況采用該方法，其結(jié)果將對于不完全獨立的情況采用該方法，其結(jié)果將導致各指標間信息的重復(fù)，使得評價結(jié)果不能客觀導致各指標間信息的重復(fù)，使得評

20、價結(jié)果不能客觀地反映實際。地反映實際。三、綜合評價的數(shù)學模型三、綜合評價的數(shù)學模型 1. 線性加權(quán)綜合法線性加權(quán)綜合法 線線性性加加權(quán)權(quán)綜綜合合法法: : 用用線線性性加加權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)1mjjjyw x 作作為為綜綜合合評評價價模模型型，對對n個個系系統(tǒng)統(tǒng)進進行行綜綜合合評評價價。 5/27/202217線性加權(quán)綜合法的線性加權(quán)綜合法的特點：特點： （1 1）該方法能使得各評價指標間作用得到線性）該方法能使得各評價指標間作用得到線性補償，保證綜合評價指標的公平性；補償，保證綜合評價指標的公平性； （2 2）該方法中權(quán)重系數(shù)的對評價結(jié)果的影響明）該方法中權(quán)重系數(shù)的對評價結(jié)果的影響明顯，即權(quán)重較大

21、指標值對綜合指標作用較大；顯，即權(quán)重較大指標值對綜合指標作用較大； （3 3）當權(quán)重系數(shù)預(yù)先給定時，該方法使評價結(jié)）當權(quán)重系數(shù)預(yù)先給定時，該方法使評價結(jié)果對于各備選方案之間的差異表現(xiàn)不敏感；果對于各備選方案之間的差異表現(xiàn)不敏感； （4 4）該方法計算簡便，可操作性強，便于推廣）該方法計算簡便，可操作性強，便于推廣使用。使用。 1. 線性加權(quán)綜合法線性加權(quán)綜合法 5/27/202218 2. 非非線性加權(quán)綜合法線性加權(quán)綜合法 非非線線性性加加權(quán)權(quán)綜綜合合法法: : 用用非非線線性性函函數(shù)數(shù)mjwjjxy1作作為為綜綜合合評評價價模模型型， 對對n個個系系統(tǒng)統(tǒng)進進行行綜綜合合評評價價。 其其中中j

22、w為為權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)，且且要要求求1jx。 非非線線性性加加權(quán)權(quán)綜綜合合法法適適用用于于各各指指標標間間有有較較強強關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)的的情情況況。 非線性加權(quán)綜合法的特點：非線性加權(quán)綜合法的特點：（1 1）該方法突出了各備選方案指標值的一致性，即可以平）該方法突出了各備選方案指標值的一致性，即可以平衡評價指標值較小的指標影響的作用；衡評價指標值較小的指標影響的作用；（2 2）在綜合評價指標中權(quán)重系數(shù)大小的影響作用不是特別）在綜合評價指標中權(quán)重系數(shù)大小的影響作用不是特別明顯，而對指標值的大小差異相對較敏感；明顯，而對指標值的大小差異相對較敏感；（3 3）要求所有的評價指標值（無量綱）都大于或等于）要求所有

23、的評價指標值（無量綱）都大于或等于1 1；（4 4）非線性加權(quán)綜合法相對線性加法計算復(fù)雜。）非線性加權(quán)綜合法相對線性加法計算復(fù)雜。5/27/202219三、綜合評價的數(shù)學模型三、綜合評價的數(shù)學模型 3. 逼近理想點（逼近理想點（TOPSISTOPSIS）方法）方法 實實際際中中，經(jīng)經(jīng)常常會會遇遇到到這這樣樣的的一一類類綜綜合合評評價價問問題題，即即首首先先設(shè)設(shè)定定系系統(tǒng)統(tǒng)的的一一個個理理想想（樣樣本本）點點),(*2*1mxxx，然然后后對對于于每每一一個個被被評評價價對對象象與與理理想想點點進進行行比比較較。如如果果某某一一個個被被評評價價對對象象),(21imiixxx在在某某種種意意義義

24、下下與與理理想想點點),(*2*1mxxx最最接接近近，則則可可以以認認為為被被評評價價對對象象),(21imiixxx就就是是最最好好的的。 基基于于這這種種思思想想的的綜綜合合評評價價方方法法稱稱為為逼逼近近理理想想點點的的排排序序方方法法（T Th he e t te ec ch hn ni iq qu ue e f fo or r o or rd de er r p pr re ef fe er re en nc ce e b by y s si im mi il la ar ri it ty y t to o i id de ea al l s so ol lu ut ti io o

25、n n，簡簡稱稱為為T TO OP PS SI IS S） 。 5/27/202220 3. 逼近理想點（逼近理想點（TOPSISTOPSIS）方法）方法 假假設(shè)設(shè)理理想想點點（系系統(tǒng)統(tǒng)）為為),(*2*1mxxx，對對于于一一個個被被評評價價對對象象),(21imiixxx，定定義義二二者者之之間間的的加加權(quán)權(quán)距距離離為為 nixxfwymjjijji, 2 , 1, )(1*， 其其中中jw為為權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)，),(*jijxxf為為ijx與與*jx之之間間的的某某種種意意義義下下距距離離。 通通常常情情況況下下可可取取簡簡單單的的歐歐氏氏距距離離，即即取取2*)(),(jijjijxxxx

26、f，則則綜綜合合評評價價函函數(shù)數(shù)為為nixxwymjjijji, 2 , 1,)(12*。 經(jīng)經(jīng)過過計計算算，按按照照), 2 , 1(niyi值值的的大大小小對對各各被被評評價價方方案案進進行行排排序序選選優(yōu)優(yōu)，顯顯然然是是其其值值越越小小方方案案就就越越好好。特特別別地地，當當某某個個0iy時時，即即達達到到了了理理想想點點，則則對對應(yīng)應(yīng)的的方方案案就就是是最最優(yōu)優(yōu)的的。 返回返回5/27/202221 2005 2005年中國大學生數(shù)學建模競賽的年中國大學生數(shù)學建模競賽的A A題：題：“長江水質(zhì)的評長江水質(zhì)的評價和預(yù)測價和預(yù)測”問題的第一部份給出了問題的第一部份給出了1717個觀測站（城

27、市）的最個觀測站（城市）的最近近2828個月的實際檢測指標數(shù)據(jù)，包括反映水質(zhì)污染程度的最個月的實際檢測指標數(shù)據(jù)，包括反映水質(zhì)污染程度的最主要的四項指標：溶解氧（主要的四項指標：溶解氧（DODO）、高錳酸鹽指數(shù)（）、高錳酸鹽指數(shù)（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求綜合這四種污染指標的值，要求綜合這四種污染指標的2828個月的個月的檢測數(shù)據(jù)對檢測數(shù)據(jù)對1717個城市的水質(zhì)情況做出綜合評價。個城市的水質(zhì)情況做出綜合評價。 1. 動態(tài)加權(quán)綜合評價問題的提法動態(tài)加權(quán)綜合評價問題的提法 在以上在以上綜合加權(quán)評價方法中，關(guān)于權(quán)值綜合加權(quán)評價方法中，關(guān)于權(quán)

28、值(1,2,)jwjm都是屬于都是屬于定常權(quán)定常權(quán)，即權(quán)值均為常數(shù)。，即權(quán)值均為常數(shù)。雖然這種方法簡單易行，雖然這種方法簡單易行，對某些較簡單的實際問題也是可行的，但是主觀性強、科學性對某些較簡單的實際問題也是可行的，但是主觀性強、科學性差，有些時候不能很好地為決策提供有效的依據(jù)。差，有些時候不能很好地為決策提供有效的依據(jù)。 5/27/202222 根據(jù)國標（根據(jù)國標（GB 38382002GB 38382002）的規(guī)定，關(guān)于地表水的水）的規(guī)定，關(guān)于地表水的水質(zhì)可分為質(zhì)可分為類、類、類、類、類、類、類、類、類、劣類、劣類共六個類類共六個類別，每一個類別對每一項指標都有相應(yīng)的標準值（區(qū)間），別，

29、每一個類別對每一項指標都有相應(yīng)的標準值（區(qū)間），只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質(zhì)，所只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質(zhì)，所以實際中以實際中不同類別的水質(zhì)有很大的差別不同類別的水質(zhì)有很大的差別，而且，而且同一類別的水同一類別的水在污染物的含量上也有一定的差別在污染物的含量上也有一定的差別。 在對在對1717個城市的水質(zhì)做綜合評價時，要充分考慮這些指個城市的水質(zhì)做綜合評價時，要充分考慮這些指標值不同類別水的標值不同類別水的“質(zhì)的差異質(zhì)的差異”和同類別水的和同類別水的“量的差異量的差異”, ,在此簡稱為在此簡稱為“質(zhì)差質(zhì)差”和和“量差量差”。因此，這是一個較復(fù)。因此，這

30、是一個較復(fù)雜的多因素多屬性的綜合評價問題。雜的多因素多屬性的綜合評價問題。 1. 動態(tài)加權(quán)綜合評價問題的提法動態(tài)加權(quán)綜合評價問題的提法 5/27/202223 動態(tài)加權(quán)綜合評價問題的一般提法：動態(tài)加權(quán)綜合評價問題的一般提法： 現(xiàn)現(xiàn)設(shè)設(shè)有有n個個被被評評價價對對象象 （或或系系統(tǒng)統(tǒng)） ， 分分別別記記為為12,(1)nS SS n， 每每個個系系統(tǒng)統(tǒng)都都有有m屬屬性性（或或評評價價指指標標） ，分分別別記記為為12,(1)mx xx m，對對于于每每一一個個屬屬性性ix都都可可以以分分為為K個個等等級級，記記為為12,Kp pp (1)K。而而對對于于每每一一個個等等級級kp都都包包含含一一個個

31、區(qū)區(qū)間間范范圍圍，記記為為( )( ),)iikkab，且且( )( )iikkab(1,2, ;1,2, )im kK，即即當當屬屬性性( )( ),)iiikkxab時時，則則屬屬性性ix屬屬于于第第k類類kp(1)kK 。也也就就是是對對于于每每一一個個屬屬性性而而言言， 既既有有不不同同類類別別的的差差異異，同同類類別別的的又又有有不不同同量量值值的的差差異異。對對于于這這種種既既有有“質(zhì)質(zhì)差差” ，又又有有 “量量差差” 的的問問題題， 如如果果用用通通常常的的定定常常權(quán)權(quán)綜綜合合評評價價法法做做綜綜合合評評價價顯顯然然是是不不合合理理的的，然然而而合合理理有有效效的的方方法法是是動

32、動態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)綜綜合合評評價價方方法法。 5/27/202224 根據(jù)這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，根據(jù)這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，解決問題的解決問題的主要過程分三步完成主要過程分三步完成：將各評價指標作標準化處理；將各評價指標作標準化處理；根據(jù)各屬性的特性構(gòu)造動態(tài)加權(quán)函數(shù)；根據(jù)各屬性的特性構(gòu)造動態(tài)加權(quán)函數(shù)；構(gòu)建問題的綜合評價模型，并做出評價。構(gòu)建問題的綜合評價模型，并做出評價。 實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型的、中間型，或區(qū)間型的四種情況，也有時各有不同的、中間型，或區(qū)間型的四種情況，也有時各有不同的量綱，這就需要根

33、據(jù)不同情況分別作標準化處理，的量綱，這就需要根據(jù)不同情況分別作標準化處理，即對三種不同類型指標變換成統(tǒng)一的、無量綱的標準即對三種不同類型指標變換成統(tǒng)一的、無量綱的標準化指標。化指標。 2. 動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法 5/27/2022252.1 評價指標的標準化處理評價指標的標準化處理 2. 動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法 (1) 極極大大型型指指標標的的標標準準化化 如如果果指指標標ix為為極極大大型型指指標標，首首先先要要將將數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)指指標標作作極極小小化化處處理理，即即通通過過倒倒數(shù)數(shù)變變換換1iixx ，或或(max )iiiiixMx

34、 Mx 實實現(xiàn)現(xiàn)，然然后后再再作作極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化，即即令令 (1)iiiiixmximMm ， 其其中中min ,max iiiimxMx。則則ix被被化化為為無無量量綱綱的的標標準準化化指指標標，對對應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間也也隨隨之之相相應(yīng)應(yīng)地地變變化化，在在這這里里為為了了方方便便仍仍記記為為 ( )( ),) (1,2,;1)iikkabkKim 。 5/27/202226（2 2） 中間型指標的標準化中間型指標的標準化 對于中間型指標，即越靠近某個中間值評價效果越好。如果指對于中間型指標，即越靠近某個中間值評價效果越好。如果指標標ix是關(guān)于均值對稱的，則

35、用變換是關(guān)于均值對稱的，則用變換 (1)iiiixxximx ， 其中其中1(),min ,max 2iiiiiiixMmmxMx。 否則， 取某一。 否則， 取某一個理想值個理想值(0)(,)iiixm M，則令，則令 (0)(1)iiiixxximx . . 可將其指標標準化，相應(yīng)的分類區(qū)間也隨之變化，同樣仍記為可將其指標標準化，相應(yīng)的分類區(qū)間也隨之變化，同樣仍記為 ( )( ),) (1,2,;1)iikkabkKim 。 2.1 評價指標的標準化處理評價指標的標準化處理 5/27/202227 考慮到評價指標的考慮到評價指標的“質(zhì)差質(zhì)差”與與“量差量差”的關(guān)系，的關(guān)系，在確定綜合評價指

36、標時，既要能體現(xiàn)不同類型指標在確定綜合評價指標時，既要能體現(xiàn)不同類型指標之間的差異，也要能體現(xiàn)同類型指標的數(shù)量差異。之間的差異，也要能體現(xiàn)同類型指標的數(shù)量差異。 根據(jù)實際問題具體取什么樣的根據(jù)實際問題具體取什么樣的動態(tài)加權(quán)函數(shù)動態(tài)加權(quán)函數(shù)，主要是從實際問題出發(fā)分析確定。主要是從實際問題出發(fā)分析確定。 對于不同的指標可以取相同的權(quán)函數(shù)，也可以對于不同的指標可以取相同的權(quán)函數(shù)，也可以取不同的權(quán)函數(shù)。取不同的權(quán)函數(shù)。 2.2 動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 2. 動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法 hzg:2.2 動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 （1） 分分段段變變冪冪

37、函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項項評評價價指指標標ix對對于于綜綜合合評評價價效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加而而按按正正冪冪次次增增加加，同同時時在在某某一一類類中中隨隨著著指指標標值值的的增增加加按按相相應(yīng)應(yīng)的的一一個個冪冪函函數(shù)數(shù)增增加加，則則對對指指標標ix可可以以設(shè)設(shè)定定分分段段 冪冪函函數(shù)數(shù)為為變變權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)。即即 1( )( )( ),(1,2,)iikikkw xxxabkK， 其其中中1im 。 5/27/2022292.2 動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 （2 2）偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項項指指標

38、標ix對對于于綜綜合合評評價價效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加，先先是是緩緩慢慢增增加加，中中間間有有一一個個快快速速增增長長的的過過程程，隨隨后后平平緩緩增增加加趨趨于于最最大大， 相相應(yīng)應(yīng)的的圖圖形形呈呈正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線 （左左側(cè)側(cè)） 形形狀狀。 那那么么，此此時時對對指指標標ix的的變變權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)可可以以設(shè)設(shè)定定為為偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)。即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 當時,當時, 其其中中參參數(shù)數(shù)i可可取取( )( )11,)iiab中中的的某某 定定值值，在在此此不不妨妨取取( )( )11

39、()/2iiiba， i由由( )()0.9(1)iiKw aim 確確定定。 5/27/2022302.2 動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 （3 3）S S 型型分分布布函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項項指指標標ix對對于于綜綜合合評評價價效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加而而增增加加的的過過程程，呈呈一一條條“S S”曲曲線線，那那么么，此此時時對對指指標標ix的的變變權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)可可以以設(shè)設(shè)定定為為 S S 型型分分布布函函數(shù)數(shù)。即即 2( )( )11( )( )12( )( )( )( )12,( )12,iiiiKiiiKKiiKxaa

40、xcbaw xxbcxbba 其其中中參參數(shù)數(shù)( )( )11(),( )0.52(1)iiKicabw cim 且。 5/27/2022312.3 綜合評價模型的構(gòu)建綜合評價模型的構(gòu)建 2. 動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法 根根據(jù)據(jù)標標準準化化后后的的各各評評價價指指標標值值，不不妨妨仍仍用用 ix表表示示，以以及及相相應(yīng)應(yīng)的的動動態(tài)態(tài)權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)( )(1,2, )iw x im， 建建立立綜綜合合評評價價模模型型來來對對 n個個被被評評價價對對象象做做出出綜綜合合評評價價。在在此此，取取綜綜合合評評價價模模型型為為各各評評價價指指標標的的動動態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)和和，即即

41、1( )miiiiXw xx。 以以此此作作為為問問題題的的綜綜合合評評價價指指標標函函數(shù)數(shù)，如如果果每每個個被被評評價價對對象象的的 m個個屬屬性性都都有有N N 組組樣樣本本觀觀測測值值 (1,2, ;1,2,)ijxim jN，代代入入上上式式計計算算，則則每每一一個個被被評評價價對對象象都都有有N N個個綜綜合合評評價價指指標標值值( )(1,2, ;kXjkn 1,2,)jN。由由此此按按其其大大小小排排序序，可可以以給給出出 n個個被被評評價價對對象象的的N N個個排排序序方方案案。 5/27/2022322.3 綜合評價模型的構(gòu)建綜合評價模型的構(gòu)建 2. 動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方

42、法動態(tài)加權(quán)綜合評價的一般方法 利利用用決決策策分分析析中中的的 B Bo or rd da a 函函數(shù)數(shù)方方法法來來確確定定綜綜合合排排序序方方案案。記記在在第第j個個排排序序方方案案中中排排在在第第k個個被被評評價價對對象象kS后后面面的的個個數(shù)數(shù)為為()jkB S，則則被被評評價價對對象象kS的的 B Bo or rd da a 數(shù)數(shù)為為 1()() (1,2, )NkjkjB SB Skn 由由此此式式的的計計算算結(jié)結(jié)果果按按其其大大小小排排序序， 就就可可以以得得到到n個個被被評評價價對對象象的的綜綜合合評評價價結(jié)結(jié)果果，即即總總排排序序結(jié)結(jié)果果。 返回返回5/27/202233針針對

43、對長長江江水水質(zhì)質(zhì)的的綜綜合合評評價價這這一一問問題題，采采用用動動態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)綜綜合合評評價價方方法法來來解解決決。假假設(shè)設(shè)1 17 7個個城城市市為為被被評評價價對對象象1217,S SS，共共有有四四項項評評價價指指標標（或或?qū)賹傩孕裕〥 DO O、C CO OD DM Mn n、N NH H3 3- -N N 和和P PH H值值，分分別別記記為為321,xxx和和4x，前前三三項項指指標標都都有有 6 6 個個等等級級126,p pp，相相應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間值值如如表表（1 1）所所示示，而而P PH H值值沒沒有有等等級級之之分分。 表表（1）: 地地表表水水環(huán)環(huán)境境質(zhì)質(zhì)量量

44、標標準準 （G GB B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4 個個主主要要項項目目標標準準限限值值 單單位位：mg/L 指指 標標 類類 類類 類類 類類 類類 劣劣類類 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高錳錳酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)( (C CO OD DM Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（無無量量綱綱） 6 ,

45、9 5/27/202234 1. 指標數(shù)據(jù)的標準化處理指標數(shù)據(jù)的標準化處理（1）溶溶解解氧氧（DO）的的標標準準化化 注注意意到到溶溶解解氧氧（D DO O）為為極極大大型型指指標標，首首先先將將數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)指指標標作作極極小小化化處處理理，即即令令倒倒數(shù)數(shù)變變換換111xx ，相相應(yīng)應(yīng)的的分分類類標標準準區(qū)區(qū)間間變變?yōu)闉?1111 11 11 11(0,(, ,( , ,( , ,( , ,( , )7.57.5 66 55 33 22， 然然后后通通過過極極差差變變換換5 . 011xx 將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化，對對應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.2667,(0.26

46、67,0.3333,(0.3333,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) 5/27/202235 1. 指標數(shù)據(jù)的標準化處理指標數(shù)據(jù)的標準化處理（）高高錳錳酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)（CODMn）的的標標準準化化 高高猛猛酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)本本身身就就是是極極小小型型指指標標，即即由由極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化， 即即令令1522xx , , 對對應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.1333,(0.1333,0.2667,(0.2667,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) （）氨氨氮氮（NH3-N）的的標標準準化化 氨

47、氨氮氮也也是是極極小小型型指指標標， 對對指指標標數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)作作極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化，即即令令233xx ，對對應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.075,(0.075,0.25,(0.25,0.5,(0.5,0.75,(0.75,1,(1,) 5/27/202236 1. 指標數(shù)據(jù)的標準化處理指標數(shù)據(jù)的標準化處理（）PH值值的的處處理理 酸酸堿堿度度（P PH H 值值）的的大大小小反反映映出出水水質(zhì)質(zhì)呈呈酸酸堿堿性性的的程程度度，通通常常的的水水生生物物都都適適應(yīng)應(yīng)于于中中性性水水質(zhì)質(zhì)， 即即酸酸堿堿度度的的平平衡衡值值 （P PH H值值略略大大于于

48、） ， 在在這這里里不不妨妨取取正正常常值值的的中中值值7 7. .5 5。 當當P PH H 7 7. .5 5 時時偏偏酸酸性性，而而偏偏離離值值越越大大水水質(zhì)質(zhì)就就越越壞壞，P PH H 值值屬屬于于中中間間型型指指標標。為為此此，對對所所有有的的P PH H 值值指指標標數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)作作均均值值差差處處理理，即即令令 5 . 7325 . 15 . 7444xxx， 則則將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化。 5/27/202237 2. 動態(tài)加權(quán)函數(shù)的確定動態(tài)加權(quán)函數(shù)的確定 根根據(jù)據(jù)對對這這一一實實際際問問題題的的分分析析，不不妨妨取取動動態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)為為偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函

49、數(shù)數(shù)，即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 當時,當時, 其其中中i在在這這里里取取指指標標ix的的類類水水標標準準區(qū)區(qū)間間的的中中值值，即即( )( )11()/2iiiba，i由由) 3 , 2 , 1( 9 . 0)()(4iawii確確定定。 由由實實際際數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)經(jīng)經(jīng)計計算算可可得得0375. 0,0667. 0,1333. 0321，,2197. 0,1757. 021 3048. 03， 則則代代入入上上式式可可以以得得到到D DO O、 C CO OD DM Mn n和和N NH H3 3- -N N三三項項指指標標的的動動態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)。 5/27/20223

50、8 3.綜合評價指標函數(shù)的確定綜合評價指標函數(shù)的確定 考考慮慮到到對對實實際際評評價價效效果果影影響響差差異異較較大大的的是是前前三三項項指指標標，以以及及指指標標P PH H值值的的特特殊殊性性，這這里里取取前前三三項項指指標標的的綜綜合合影影響響權(quán)權(quán)值值為為0 0. .8 8，而而P PH H 值值的的影影響響權(quán)權(quán)值值取取0 0. .2 2。因因此此，根根據(jù)據(jù)綜綜合合評評價價模模型型， 某某城城市市某某一一時時間間的的水水質(zhì)質(zhì)綜綜合合評評價價指指標標定定義義為為 4312 . 0)(8 . 0 xxxwXiiii。 根根據(jù)據(jù)1 17 7 個個城城市市的的2 28 8 組組實實際際檢檢測測數(shù)

51、數(shù)據(jù)據(jù)，經(jīng)經(jīng)計計算算可可得得各各城城市市的的水水質(zhì)質(zhì)綜綜合合評評價價指指標標值值，即即可可得得到到一一個個17 28階階的的綜綜合合評評價價矩矩陣陣17 28()ijX。 5/27/202239 4.各城市水質(zhì)的綜合評價各城市水質(zhì)的綜合評價 由由 1717 個城市個城市 2828 個月的水質(zhì)綜合評價指標個月的水質(zhì)綜合評價指標(1,2,17;ijXi 1,2,28)j ，根據(jù)其大?。次廴镜某潭龋┻M行排序，數(shù)值越，根據(jù)其大小（即污染的程度）進行排序，數(shù)值越大說明水質(zhì)越差。由此可得反映大說明水質(zhì)越差。由此可得反映 1717 個城市水質(zhì)污染程度的個城市水質(zhì)污染程度的 2828 個排個排序結(jié)果， 根據(jù)

52、序結(jié)果， 根據(jù)BordaBorda數(shù)的計算方法則得到第數(shù)的計算方法則得到第i個城市個城市( (被評價對象被評價對象) )iS的的 BordaBorda 數(shù)為數(shù)為 281()() (1,2,17)ijijB SB Si。 經(jīng)計算可得到各城市的經(jīng)計算可得到各城市的 BordaBorda 數(shù)及總排序結(jié)果如表數(shù)及總排序結(jié)果如表(2)(2)所示。所示。 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水水質(zhì)質(zhì)污污染染總總排排序序結(jié)結(jié)果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S 11S 12S 13S 14S 15S 16S 17S Borda 數(shù) 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 214 2