第8章 計算機圖形中曲線的設(shè)計理論

1、第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論第第8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.1 與曲線、曲面有關(guān)的基本概念與曲線、曲面有關(guān)的基本概念8.2 折線段曲線折線段曲線8.3 參數(shù)三次曲線參數(shù)三次曲線8.4 參數(shù)曲線的幾何性質(zhì)參數(shù)曲線的幾何性質(zhì)8.5 Bzier曲線曲線8.6 B-樣條曲線樣條曲線8.7 非均勻有理非均勻有理B-樣條曲線樣條曲線習題習題第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.1 與曲線、曲面有關(guān)的基本概念與曲線、曲面有關(guān)的基本概念8.1.1曲線、曲面的表示方法1.曲線、曲面的非參數(shù)表示曲線、曲面的非參

2、數(shù)表示方法也就是其函數(shù)表示法，可細分為顯函數(shù)和隱函數(shù)兩種表示法。Oxy平面內(nèi)一曲線的顯式函數(shù)與隱式函數(shù)表示形式分別為y=f(x),F(x,y)=0(8.1.1)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論Oxyz空間內(nèi)一曲面的顯函數(shù)與隱函數(shù)表示形式分別為z=f(x,y),F(x,y,z)=0(8.1.2)而Oxyz空間內(nèi)一曲線通常表示為兩個曲面的交線，就像直線作為兩個平面的交線用兩個平面的方程組表示一樣。以曲線為例，在進行幾何形狀的數(shù)學描述時，非參數(shù)形式存在以下問題:(1)在曲線上點的切線垂直于x軸時，斜率為無窮大，這將導致計算機處理時出現(xiàn)溢出問題。作為幾何曲線，這樣的垂

3、直切線是正常的，僅僅是x軸的選擇問題。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論(2)不具有幾何不變性，即幾何形狀的描述與選擇的坐標系有關(guān)。曲線、曲面可以在沒有坐標系的情況下存在，但其函數(shù)描述卻依賴于指定坐標系下的坐標(x,y,z)的確定，以及特定的坐標之間的函數(shù)關(guān)系的建立。(3)平面內(nèi)和空間內(nèi)曲線的描述形式不統(tǒng)一，不便于計算與編程等處理。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論2.曲線、曲面的參數(shù)表示曲線的參數(shù)表示可不依賴于坐標系的描述：特定的參數(shù)值t對應(yīng)了一個幾何的點P(t)，所有參數(shù)值對應(yīng)的點的集合構(gòu)成了曲線。因此，曲線的參數(shù)形式為P=P

4、(t)。在特定的坐標系下，P(t)為從原點到該點的矢(向)量，因此P=P(t)稱為曲線的向量方程。當我們需要在特定的坐標系下表示曲線上的點時，就求出點對應(yīng)的坐標以及各個坐標值對參數(shù)的表達式。因此，Oxyz空間內(nèi)一曲線的參數(shù)方程為x,y,z=x(t),y(t),z(t)或?qū)憺榉匠探M的形式：x=x(t)y=y(t)z=y(t)(8.1.3)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論其每個坐標分量都是以參數(shù)t為變量的標量函數(shù)。通常只需要對某一段曲線進行研究，即參數(shù)t限定在一段區(qū)間ta,b內(nèi)變化時的曲線段。為了方便起見，大多數(shù)情況下可以把區(qū)間a,b標準化為0,1。習慣上，除了上

5、面的兩種表示形式外，參數(shù)曲線方程還可表示為P(t)=x(t)，y(t)，z(t)t0,1(8.1.4)參數(shù)曲線的切向量或?qū)Ш瘮?shù)等于對各分量分別求導，即P(t)=x(t),y(t),z(t)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論相對于Oxyz空間內(nèi)曲線的參數(shù)方程，Oxy平面內(nèi)一曲線的參數(shù)方程只是少了一個分量而已，其它完全相同。在不需要指明時，只說曲線P=P(t)即可。類似地，曲面可用雙參數(shù)(u，v)的向量函數(shù)表示為P(u，v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)(u,v)0,1;0,1(8.1.5)并可以簡記為P=P(u,v)。與非參數(shù)形式相比，參數(shù)形式具有以下

6、優(yōu)點:(1)能滿足幾何不變性的要求。(2)便于進行幾何變換。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論(3)便于處理多值問題和垂直切線等無限大斜率問題。(4)規(guī)格化的參數(shù)變量t0,1，使其相應(yīng)的幾何形體是有邊界的，而不必用另外的參數(shù)去定義其邊界。(5)便于曲線、曲面的分段、分片描述。(6)提供了更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。(7)易于用向量和矩陣的表示來簡化方程，達到簡化計算的目的。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論3.基函數(shù)及其表示的曲線、曲面就參數(shù)表示的曲線、曲面而言，計算機圖形設(shè)計中大多數(shù)曲線方程可以表示為某一組基函數(shù)及相應(yīng)的

7、系數(shù)向量的線性和：式中:Bi(t)是以參數(shù)t為變量的基函數(shù)，Pi為代表空間點的常向量系數(shù)。在曲線設(shè)計時常把一列點Pi解釋成順序連接各點而形成的多邊形，并稱為控制多邊形。,)()(100ttttBPtPniii(8.1.7)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論4.樣條的概念在利用計算機自動繪圖之前，航空、汽車和船舶制造業(yè)中常借助于稱為樣條(spline)的工具手工繪制自由曲線。繪圖用的樣條工具是一根富有彈性的勻質(zhì)細木條、金屬或有機玻璃條，可讓它按要求通過一組指定點來生成平滑曲線。繪圖時，繪圖員用壓鐵強迫彈性條通過給定的數(shù)據(jù)點。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章

8、計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.1.2插值與逼近1.插值插值是函數(shù)逼近的重要方法。設(shè)給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi,i=0,1,n。經(jīng)過兩已知數(shù)據(jù)點P0(x0,y0)和P1(x1,y1)的最簡單的幾何圖形是直線段，可用參數(shù)方程表示為P(t)=P0+t(P1-P0)t0，1(8.1.8)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論用非參數(shù)的函數(shù)表示，就是要求解一線性函數(shù)y=f(x)=ax+b，滿足：f(x0)=y0,f(x1)=y1(8.1.9)這個線性插值函數(shù)可表示為(8.1.10)它在x1-x00時是存在的。如果給定三個數(shù)據(jù)點P0(x0，y0)、P1(x1，y1)和P2(x2，

9、y2)，一般不存在過三點的直線段。由函數(shù)形式構(gòu)造曲線，最簡單的函數(shù)形式應(yīng)該是y=f(x)=ax2+bx+c (8.1.11)()(001010 xxxxyyyxfy第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論這個拋物型函數(shù)曲線應(yīng)該通過這三個指定點，即滿足f(x0)=y0，f(x1)=y1，f(x2)=y2(8.1.12)通過求解這個線性方程組可求出系數(shù)a，b，c。2.逼近在某些情況下，給出的點本身就是用來大體刻畫曲線、曲面的大致輪廓，并沒有一個非常精確的計算要求曲線、曲面嚴格地通過指定點。8.1.3曲線、曲面描述方法的發(fā)展現(xiàn)代化工業(yè)產(chǎn)品的外形大致可由兩類曲線、曲面描述。一

10、類是一次、二次的解析曲面，例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論自由曲線、曲面因其復雜性不易由畫法幾何與機械制圖等簡單方式表達清楚。表達清楚這些曲線、曲面成為擺在工程師面前首要解決的問題。上述方法，尤其是B-樣條方法成功地解決了自由曲線、曲面的數(shù)學描述問題，但作為一種多項式形式的參數(shù)函數(shù)，它們不能精確表達包含（橢）圓弧的二次曲線和、曲面，因此不能適應(yīng)大多數(shù)工業(yè)產(chǎn)品形狀設(shè)計的要求。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.2 折線段曲線折線段曲線對于給定的控制點，通過控制點的折線段連接出的曲線是非常

11、自然的一條曲線，如圖8.1所示它有許多優(yōu)點，這是我們進一步發(fā)展曲線設(shè)計技術(shù)的基礎(chǔ)。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.1折線段連接出的曲線PiPi 1PnP0第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論這一曲線的優(yōu)點有如下幾點:(1)它是一條純粹的幾何圖形的曲線，不依賴于任何我們在處理這條曲線時必須額外附加給它的幾何圖形以外的性質(zhì)。(2)折線段曲線的每個直線段僅存在于兩點之間的有限范圍內(nèi)，這保證了我們在處理它時總能得到結(jié)果。(3)折線段曲線的工作效率是有保障的。(4)其表達式非常簡單，幾何意義非常明確。對于直線段PiPi+1，我們可以寫

12、出其方程為P(t)=(1-t)Pi+tPi+1t0,1(8.2.1)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論點P(t)在直線段上，并把直線段分成兩段，其長度之比為改進折線段曲線的光滑程度的方法也很直觀:切磨各個角點，具體過程如圖8.2所示。)1 ( :)(:)(1ttPtPtPPii第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.2磨角法平滑折線段曲線過程示意圖PiBEFDCAPi1Pi1第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論我們首先用AB取代APi和PiB。這里A，B分別在直線段Pi-1Pi和PiPi+1上,并且有

13、1:1:11iiiiiiiiPPBPPPAP(8.2.2)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.3 參數(shù)三次曲線參數(shù)三次曲線8.3.1參數(shù)三次曲線的表示如圖8.3所示，設(shè)每點處有一個切線向量Ti，點Pi與Pi+1之間的一段曲線Pi(t)，t0，1就應(yīng)該滿足如下條件:Pi(0)=PiPi(1)=Pi+1Pi(0)=TiPi(1)=Ti+1(8.3.1)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.3由位置、切向量產(chǎn)生的曲線P1T1T0P0第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論向量函數(shù)Pi(t)當然可以為任意類型

14、的函數(shù)?？紤]到作為前面直線段函數(shù)的推廣以及計算的方便性，我們要求Pi(t)可表示為Pi(t)=F0(t)Pi+F1(t)Pi+1+F2(t)Ti+F3(t)Ti+1(8.3.2)并且Fi(t),i=0,1,2,3都是參數(shù)t的多項式。結(jié)合式(8.3.1)則有 F0(0)Pi+F1(0)Pi+1+F2(0)Ti+F3(0)Ti+1=Pi F0(1)Pi+F1(1)Pi+1+F2(1)Ti+F3(1)Ti+1=Pi+1F0(0)Pi+F1(0)Pi+1+F2(0)Ti+F3(0)Ti+1=TiF0(1)Pi +F1(1)Pi+1+F2(1)Ti+F3(1)Ti+1=Ti+1(8.3.3)第第8 8章

15、計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論注意到式(8.3.3)對任意的Pi，Pi+1，Ti和Ti+1都成立，我們由此得到F0(0)=1，F(xiàn)1(0)=0，F(xiàn)2(0)=0，F(xiàn)3(0)=0F0(1)=0，F(xiàn)1(1)=1，F(xiàn)2(1)=0，F(xiàn)3(1)=0F0(0)=0,F1(0)=0,F2(0)=1,F3(0)=0 F0(1)=0,F1(1)=0,F2(1)=0,F3(1)=1(8.3.4)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論由式(8.3.4)可知，每個函數(shù)Fi(t)應(yīng)滿足四個等式。因此，作為參數(shù)t的多項式函數(shù)，F(xiàn)i(t)的次數(shù)最低應(yīng)為3。作為三次多項式的Fi

16、(t)根據(jù)式(8.3.4)不難得到其表達式為F0(t)=2t3-3t2+1F1(t)=-2t3+3t2F2(t)=t3-2t2+tF3(t)=t3-t2(8.3.5)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論由式(8.3.2)、式(8.3.1)和式(8.3.4)可得Pi(t)=Pi+tT1+t2(-3Pi+3Pi+1-2Ti-Ti+1)+t3(2Pi-2Pi+1+Ti+Ti+1)(8.3.6)如果定義Ai0=PiAi1=TiAi2=-3Pi+3Pi+1-2Ti-Ti+1Ai3=2Pi-2Pi+1+Ti+Ti+1(8.3.7)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機

17、圖形中曲線的設(shè)計理論則有Pi(t)=Ai0+tAi1+t2Ai2+t3Ai3(8.3.8)由此式可明顯看出Pi(t)是參數(shù)t的三次多項式，因此該曲線是一個三次多項式曲線。參數(shù)三次曲線段簡稱PC曲線。這也是弗格森曲線的代數(shù)形式。對參數(shù)t0，1，P(t)表示曲線上任一點的位置向量，它有三個分量，即Pi(t)=x(t)y(t)z(t)(8.3.9)而Ai3、Ai2、Ai1、Ai0都有三個分量，設(shè)為 Aij=aj1aj2aj3j=0,1,2,3(8.3.10)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論于是式(8.3.8)可更清楚地表示為下面的三個三次多項式等式:x(t)=a01

18、+a11t+a21t2+a31t3y(t)=a02+a12t+a22t2+a32t3z(t)=a03+a13t+a23t2+a33t3三個多項式中的12個常系數(shù)稱為代數(shù)系數(shù)，這組系數(shù)惟一地確定了一條參數(shù)三次曲線的形狀、長短及在空間中的位置。進一步假設(shè):T=1t t2t3(8.3.12)(8.3.11)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論和一個43矩陣Ai=ATi0ATi1ATi2ATi3Ti=1,2,3(8.3.13)其中的上標T是指轉(zhuǎn)置矩陣，則式(8.3.8)又可以寫為更簡潔的矩陣表示形式：Pi(t)=TAi(8.3.14)但是，由參數(shù)三次曲線的幾何形式即式(8

19、.3.2)可以解決這個問題。同代數(shù)形式一樣，如果我們定義F(t)=F0(t)F1(t)F2(t)F3(t)Si=PTiPTi+1TTiTTi+1T(8.3.15)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論則式(8.3.2)又可寫成Pi(t)=F(t)Si(8.3.16)圖8.4中我們會看到，改變端點切向量的大小是如何影響曲線的形狀的。進一步地，下面我們討論參數(shù)三次曲線的代數(shù)系數(shù)矩陣Ai和幾何系數(shù)矩陣Si之間的關(guān)系。實際上，F(xiàn)(t)可以通過T表示為第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論F(t)=2t3-3t2+1-2t3+3t2t3-2t2+t

20、t3-t2=1t t2t3用M代表式(8.3.17)中的44矩陣，則F(t)可寫成F(t)=TM(8.3.18)代人式(8.3.16)有Pi(t)=TMSi (8.3.19)對照式(8.3.14)就有Ai=Msi (8.3.20)1122123301000001(8.3.17)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論或Si=M-1Ai(8.3.21)其中:32100010111100011M(8.3.22)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.3.2參數(shù)三次曲線的其它表示形式任一段參數(shù)三次曲線總有邊界端點及端點處的切向量，亦即任一參數(shù)三

21、次曲線均可表示成式(8.3.16)和式(8.3.19)的形狀，差別僅僅是幾何系數(shù)矩陣Si不相同。依此觀點還有其它很多的方法，如:（1)給出空間四個點P0、P1、P2和P3，要求找出一段參數(shù)三次曲線P(t)，使得當t=t0=0t1t2t3=1時，P(tj)=Pj，j=0,1,2,3。（2)給出曲線兩點P0和P1，兩個單位向量T0和T1及一點C。要求找出一段參數(shù)三次曲線P(t)，使得P(0)=P0，P(1)=P1。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論如果我們希望求得一個44的矩陣K，使得當從右邊乘上四個點的坐標矩陣時，產(chǎn)生該待構(gòu)造曲線的幾何系數(shù)矩陣S,即則我們可求解如

22、下。因為P(t)=TMS(8.3.24)STTPPPPPPKTTTT30303210(8.3.23)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論所以Pj=P(tj)=1tjt2jt3jMSj=0,1,2,3(8.3.25)也就是說MSttttttttttttPPPP3323332222312112020032101111(8.3.26)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論于是有將式(8.3.27)代入式(8.3.23)，并結(jié)合t0=0，t3=1，即可得到所要求的矩陣K為321013323333232312213020011111PPPPttt

23、tttttttttMS(8.3.27)13222231211302001133233322223121130200111111111111tttttttttMttttttttttttMK(8.3.28)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.3.3參數(shù)三次曲線參數(shù)值域的變換假定對前面定義的參數(shù)三次曲線另有參數(shù)u，其值域是uui,ui+1，參數(shù)u和t存在著函數(shù)關(guān)系t=t(u)(8.3.29)并且應(yīng)同時滿足方程t(ui)=0t(ui+1)=1(8.3.30)因此,參數(shù)三次曲線Pi(t)用參數(shù)u可表示為Pi(t)=Pi(t(u)uui,ui+1(8.3.31)第第8 8

24、章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論如果要求Pi(t(u)仍然是參數(shù)u的三次多項式，則函數(shù)t(u)應(yīng)該是參數(shù)u的一次多項式，即參數(shù)u和t存在著線性函數(shù)關(guān)系，這個表示關(guān)系是惟一的，可表示如下: ,ui=ui+1-ui(8.3.32)分別用u=ui和u=ui+1代入式(8.3.31)可得Pi(t(ui)=Pi(0)=PiPi(t(ui+1)=Pi(1)=Pi+1(8.3.33)iiuuuut)(第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論這也就是說，參數(shù)三次曲線Pi(t)的兩個端點保持不變。再來考察切向量，對參數(shù)u求導可得dttdPududtdttdPdu

25、utdPiiiii)(1)()(8.3.34)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.3.4二階連續(xù)的參數(shù)三次樣條插值曲線1.二階連續(xù)的條件假設(shè)對數(shù)據(jù)點Pi,i=0,1,n實行參數(shù)化，曲線P(u)對應(yīng)著參數(shù)分割u0u1un。若樣條曲線在數(shù)據(jù)點Pi處具有待定的導向量Ti，則可以通過式(8.3.31)中表示出的分段三次參數(shù)插值曲線Pi(t)=Pi(t(u)，uui-1,ui構(gòu)造出一階連續(xù)的曲線。求Pi(t(u)對u的導數(shù)可得iiiiTTiTiTiTiiiuutSttttTTPPtFtFtFtFutP1-32336361)()()()(1)(21132102(8.3.3

26、5)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論將此式中的下標i換成i+1，得相鄰的下一段uui+1,ui+2上的曲線Pi+1(t(u)對u的二階導數(shù)1112121213210211-32336361)()()()(1)(iiiiTTiTiTiTiiiuutSttttTTPPtFtFtFtFutP(8.3.36)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論如果要求整段曲線C2連續(xù)，則在相鄰的兩段曲線的公共端點u=ui+1處有Pi(ui+1)=Pi+1(ui+1)(8.3.37)也就是3-312Si=-33-2-1S(8.3.38)簡單整理后可得i+1

27、Ti+2(i+i+1)Ti+1+iTi+2=3i=0,1,n-2(8.3.39)22i212i111iiiiPiPi第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論2.二階連續(xù)的閉曲線首尾相連的閉曲線這時要分段為三次參數(shù)插值曲線，它也是首尾相連閉曲線，并且處處二階連續(xù)。一般認為數(shù)據(jù)點連出的折線段也是閉的折線段，因此有Pn=P0，但應(yīng)注意：Pn對應(yīng)參數(shù)un，P0對應(yīng)參數(shù)u0。由首尾相連處一階連續(xù)知Tn=T0，實際只有n個待定切向量。由首尾相連處二階連續(xù)知方程組(8.3.39)可以再增加一個方程，因此有n個方程。于是n個待定切向量就可以從方程組(8.3.39)的n個方程中解出。這

28、個方程組的矩陣表示為第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論其中，對i=1,2,n有ai=i+1,bi=2(i-1+i),ci=i-1nnnnnnnnDDDDTTTTTbaaccbacbacb12154321111122211)( 3111iiiiiiiPPD(8.3.40)(8.3.41)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論3.二階連續(xù)的開曲線端點條件的一般形式可表示為b0T0+c0T1=D0,anTn-1+bnTn=Dn(8.3.42)因此由n+1個方程組成的求解n+1個待定切向量的方程組的矩陣為nnnnnnnDDDDTTTTTbac

29、bacbacbacb1215432111122211100(8.3.43)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論這個線性方程組系數(shù)矩陣為標準的三對角方陣，因主對角元素占優(yōu)，系數(shù)矩陣是非奇異的，故存在惟一解。標準三對角方程組可以采用所謂“追趕法”的高斯消元法求解。系數(shù)矩陣中的零元素不占內(nèi)存。具體過程是先自上而下把對角元素下的所有ai都消為零，稱為“追”。追求出Tn后，再回代求出其余全部未知切向量，即所謂“趕”。下面給出這一算法程序的偽代碼描述。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論ProcedureTRIDIA(DIA，T，n，k，IFLA

30、G)BEGINIF(IFLAG=0)THENFORi=1TOnDIA(1，i)=-DIA(1，I)/DIA(2，i-1)DIA(2，i)=DIA(3，i-1)*DIA(1，i)+DIA(2，i)NEXTiENDIFFORi=1TOnFORj=1TOk第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論T(j，i)=T(j，i)+T(j，i-1)*DIA(i，1)NEXTjNEXTiFORj=1TOkT(j，n)=T(j，n)/DIA(2，n)NEXTjFORi=n-1TO0，STEP-1FORj=1TOkT(j，i)=(T(j，i)-DIA(3，i)*T(j，i+1)/DIA(2

31、，i)NEXTjNEXTiEND第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論4.二階連續(xù)的開曲線的邊界條件常用二階連續(xù)的開曲線的邊界條件有如下幾種類型:(1)根據(jù)實際問題直接給出端點處的切向量T0,Tn。這相當于在式(8.3.43)中設(shè)定條件：D0=T0,b0=1,c0=0；Dn=Tn,a0=0,b0=1(8.3.44)(2)設(shè)定第一段和最后一段三次參數(shù)曲線的二階導向量為常向量。這就設(shè)定了這兩段曲線為二次參數(shù)曲線，即為通常的拋物線。根據(jù)式(8.3.35)不難推得11100102,2nnnnPTTPTT(8.3.45)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線

32、的設(shè)計理論這相當于要求在式(8.3.43)中設(shè)定條件：(3)設(shè)定端點處二階導向量為0。這時根據(jù)式(8.3.35)不難推得這相當于要求在式(8.3.43)中設(shè)定條件：1, 1,2; 1, 1,2001100000baPDcbPDnnn(8.3.46)111001032,32nnnnPTTPTT(8.3.47)2, 1,3; 1, 2,30011000000baPDcbPDnn(8.3.48)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.4 參數(shù)曲線的幾何性質(zhì)參數(shù)曲線的幾何性質(zhì)8.4.1參數(shù)三次曲線的幾何形狀定義與Ti同向的單位向量為Ui，則有于是由式(8.3.16)可得i

33、iiiiiUTTTTU,(8.4.1)11111)()(iiiiiiiiiiiiUTUTPPFTTPPFStFtP(8.4.2)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論如圖8.4所示，設(shè)點M是Pi點切線的正方向和Pi+1點切線的反方向的交點.第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.4兩端點處切向量長度同時增加對曲線形狀的影響PiUiMPi 1Ui 1第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.4.2參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性1.曲線段拼接點的連續(xù)性現(xiàn)在我們再考慮對數(shù)據(jù)點Pi,i=0,1,n實行參數(shù)化，用曲線P(u)

34、對應(yīng)的參數(shù)分割u0u1un求解光滑曲線的問題。設(shè)樣條曲線在數(shù)據(jù)點Pi處具有給定的導向量Ti，則可以通過式(8.3.31)中給出的分段三次參數(shù)插值曲線Pi(t)=Pi(t(u)，uui-1,ui構(gòu)造出一階連續(xù)的曲線。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論2.參數(shù)連續(xù)性把參數(shù)曲線看作參數(shù)的函數(shù)，則曲線的參數(shù)連續(xù)性就是曲線的參數(shù)函數(shù)對參數(shù)的連續(xù)性。就前面介紹的分段參數(shù)曲線而言，每一段參數(shù)曲線內(nèi)部為參數(shù)的多項式函數(shù)，因此必然是連續(xù)的，其任意階導函數(shù)也是連續(xù)的，因此也是光滑的。這是毋庸置疑的。需要注意的是組成完整曲線的相鄰段的公共端點處的連續(xù)性。3.幾何連續(xù)性參數(shù)曲線的參數(shù)連

35、續(xù)性實際上是借用函數(shù)曲線的可微性，它與參數(shù)的選取有關(guān)。對于函數(shù)曲線來說，曲線的可微性與光滑性是一致的，函數(shù)的連續(xù)性越高，曲線就越光滑。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論如對于前面的P(s)和Q(t),假設(shè)在連接點處G2連續(xù)，就是說可以在把t看成s的函數(shù)后C2連續(xù)，因此可推得0000222222211)()()()()()()()()()( ttttttttdsstddttdQdssdtdttQddsstQdsPdssdtdttdQdsstdQsP(8.4.3)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論注意到這個表達式中的向量和數(shù)量值，我們

36、可以說式(8.4.3)成立等價于存在數(shù)量值10、2,使得P(s1)=1Q(t0)P(s1)=2Q(t0)+21Q(t0)(8.4.4)反之，此式成立也不難驗證前面的二階幾何連續(xù)性G2即曲率連續(xù)要求。根據(jù)參數(shù)曲線的曲率表達式有311131102101113111)( )()( )( )()( )( )( )()( sQsQsQsQtQtQsQsPsPsP(8.4.5)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.5 Bzier曲線曲線8.5.1Bzier曲線的deCastljau定義借助于折線段求點的方法，我們將得到兩組相鄰的控制點，產(chǎn)生出參數(shù)指定的兩個直線段上的比例分位

37、點。為了產(chǎn)生出參數(shù)對應(yīng)的曲線上的一個點，我們不妨再利用一次這個方法，借助的直線段就是剛剛得到的兩個分位點產(chǎn)生的直線段。這一過程如圖8.5所示，可用數(shù)學的語言描述如下。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.5三個控制點給出的Bzier曲線上點的生成方法P110PP011PP2P(t)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論我們首先按順序給出圖8.5所示的三個控制點P0，P1，P2。對于參數(shù)t0，1，要生成的曲線上的一點P(t)由如下公式給出:P10=(1-t)P0+tP1,P11=(1-t)P1+tP2(8.5.1)P(t)=P20=(

38、1-t)P10+tP11=(1-t)2P0+2(1-t)tP1+t2P2(8.5.2)要生成的曲線上的一點P(t)由如下公式給出:P20=(1-t)P10+tP11=(1-t)2P0+2(1-t)tP1+t2P2(8.5.3)P21=(1-t)P11+tP12=(1-t)2P1+2(1-t)tP2+t2P3(8.5.4)P(t)=P30=(1-t)P20+tP21=(1-t)3P0+3(1-t)2tP1+3(1-t)t2P2+t3P3(8.5.5)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.6四個控制點給出的Bzier曲線上點的生成方法示意圖(a)點的生成方法示意圖

39、;(b)遞推計算方法示意圖P110P11PP212PP321P20PP(t)P3P2P1P012P11P10P21P20P)(30tPP (a)(b)P0第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論反復重復上述方法，對于順序給出的n+1個控制點P0，P1，P2,，Pn和參數(shù)t0,1，生成的n次Bzier曲線上的點P(t)由如下公式直接給出:其中:(8.5.6)ininiPtBtP)()(0,iinnittiinntB)1 (!)!(!)(,i=0,1,n(8.5.7)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論其遞推計算過程如圖8.7所示。遞推過程的

40、表達式為而knink tPPtkPPkikiiki,.1 , 0;,.2 , 1)1 (0111(8.5.8)nknikikniPPtBtP00,)()(8.5.9)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.7n+1個控制點給出的Bzier曲線上點的遞推計算過程PnPn111nP12nP22nP23nP33nPPn2Pn313nPP3P2P1P012P11P10P21P20P30P)(0tnPP 第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.5.2Bzier曲線的性質(zhì)1.端點插值性質(zhì)Bzier曲線首末端點正好是控制多邊形的首末頂點，即P(0

41、)=P0、P(1)=Pn。這使我們能簡單地控制Bzier曲線的起點和終點。2.端點導向量性質(zhì)Bzier曲線在首末端點的k階導向量分別與Bzier多邊形的首末k條邊有關(guān)，與其它邊無關(guān)。根據(jù)Bzier曲線的數(shù)學公式)()()( 1, 11, 10tBtBPntPnininii(8.5.10)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論可知，在起點t=0和終點t=1處：P(0)=n(P1-P0),P(1)=n(Pn-Pn-1)(8.5.11)亦即Bzier曲線在首末端點處分別與控制多邊形的首末條邊相切，這使我們能直接控制Bzier曲線在首末端點處的切線。同樣，因為P(t)=n(

42、n-1)(Pi+2-2Pi+1+Pi)Bi,n-2(t)(8.5.12)所以，在起點t=0和終點t=1處：P(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0) P(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2)(8.5.13)20ni第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論3.整條Bzier曲線的對稱性根據(jù)Bzier曲線的生成方法，反向排列控制點的順序后得到的是同一條Bzier曲線，僅曲線方向相反。反映在Bzier曲線的數(shù)學表示式中，就應(yīng)該是用(1-t)代替t，重新參數(shù)化得到的Bzier曲線。這時我們可以看到有下式成立：)1 ()1 (1 ()1 (!)!(!)1 ()!(

43、 !)(,tBttiinnttinintBniniininini(8.5.14)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論4.幾何不變性根據(jù)Bzier曲線的生成方法，Bzier曲線的生成不需要借助任何坐標系的選擇，Bzier曲線的形狀僅與控制多邊形的頂點有關(guān)，而與坐標系的選擇無關(guān)?？刂泣c的坐標只有在我們需要給出Bzier曲線的數(shù)學表示時才是必須引入的。要知道實際的曲線是沒有坐標的，引入坐標(這卻是完全因人而異的)只是為了處理的方便。Bzier曲線幾何不變性保證在控制點不變時，生成的Bzier曲線不會因坐標選擇的不同而不同。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖

44、形中曲線的設(shè)計理論5.凸包(convexhull)性Bzier曲線一定落在由其控制頂點組成的凸包內(nèi)，如圖8.8所示。凸包是指包圍一組點集的最小凸多邊形或凸多面體?？梢赃@樣來想像確定平面上點集的凸包：在點集的每個點上打上釘子，然后用一根封閉的彈性橡皮繩套在所有釘子的外面，橡皮繩因彈性自然收縮形成封閉的多邊形區(qū)域，這個多邊形區(qū)域就是該點集張成的凸包。對于空間中的一組點集，也可以想像用一封閉的彈性橡皮薄膜包住這些點，因彈性收縮所形成的空間區(qū)域即為其凸包。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.8Bzier曲線位于控制頂點的凸包內(nèi)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章

45、計算機圖形中曲線的設(shè)計理論6.變差縮減性質(zhì)任意平面與Bzier曲線的交點數(shù)目不會超過平面與Bzier曲線的由n+1個頂點構(gòu)成的控制多邊形的交點數(shù)目，如圖8.9所示。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.9Bzier曲線與平面交點數(shù)不會超過其與控制多邊形交點數(shù)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論7.Bzier曲線的保凸性若平面Bzier曲線的由n+1個頂點構(gòu)成的控制多邊形為凸多邊形，則對應(yīng)的n次Bzier曲線也是凸的。這也就是說，相應(yīng)的Bzier曲線上沒有拐點和奇點。8.控制頂點對Bzier曲線的影響如果在交互設(shè)計曲線時，移動n次B

46、zier曲線的第i個控制頂點Pi，產(chǎn)生一個位移向量Pi,則此時新的Bzier曲線P*(t)應(yīng)是P*(t)=P(t)+PiBi,n(t)(8.5.15)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論因此有則可使頂點Pi偏移一個向量:9.Bzier曲線的幾何形狀Bzier曲線及其控制多邊形的幾何形狀如圖8.10所示。| )(,| )(,|max| )(,|max| )()(|max101010niBPtBPtBPtPtPniinitiniitt(8.5.16)(,niBPPnii(8.5.17)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.10Bzie

47、r曲線及其控制多邊形的幾何形狀第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.5.3三次Bzier曲線1.三次Bzier曲線的矩陣表示三次Bzier曲線用4個控制頂點給出的曲線的表達式為P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3(8.5.18)由B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)=1t t2t3iiiPtB)(303 ,1331036300330001(8.5.19)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論不難得到其類似于參數(shù)三次樣條曲線的矩陣表示形式為上面的表達式可簡寫為P(t)=1t

48、t2t3MS(8.5.21)這兩種曲線實際上只是表示形式不同，它們可以互相表示出來：32103213310363003300011 )(PPPPttttP(8.5.20)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論) 1 ( )0( ) 1 ()0(0010310100310100013300003310000001) 1 ( )0( ) 1 ()0(32103210PPPPPPPPPPPPPPPP(8.5.22)(8.5.23)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論用冪基形式即式(8.3.1)表示的參數(shù)的三次多項式曲線也可用三次Bzier曲線

49、的形式表示出來，這只需有1tt2t3=B0，3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)001031010031010001(8.5.24)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論2.三次Bzier曲線的凸性性質(zhì)若由平面Bzier曲線的n+1個頂點構(gòu)成的控制多邊形為凸多邊形，則對應(yīng)的n次Bzier曲線也是凸的。但反過來，則不一定成立。當n=1，2時，控制多邊形總是凸的，相應(yīng)的Bzier曲線也總是凸的(n=1時為直線段，n=2時為拋物線)。當n3時才可能有非凸的Bzier曲線。我們有如下結(jié)論:三次Bzier曲線凸的充分必要條件是它的控制多邊形為凸多邊形。對于n=4

50、，圖8.11所示的凸的Bzier曲線由非凸的控制多邊形生成。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.11由非凸的控制多邊形生成凸的Bzier曲線yxO第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論3.三次Bzier曲線的光滑拼接下面來分析三次Bzier曲線在各端點處的光滑連續(xù)性連接條件。光滑連接時，切向量應(yīng)方向一致。參看圖8.12，設(shè)給定了兩個控制多邊形P0P1P2P3和Q0Q1Q2Q3，要求由它們所定義的Bzier曲線段在連接點P3和Q0處連續(xù)或光滑拼接。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.12兩段Bzi

51、er曲線段的光滑拼接P0P1P2Q1Q2Q3P3 Q0第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論如果只是要求兩條曲線的端點重合，則只需下式成立即可：P3=Q0(8.5.25)要求兩條曲線在連接點處不僅重合，且要沒有形成尖角，則可要求導向量相等，即有3(P3-P2)=3(Q1-Q0)(8.5.26)如果要求沒有尖角，只需在連接點處有共同的切線和導向量同向即可，則只需有下式成立:P3-P2=(Q1-Q0)0(8.5.27)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論要達到C2連續(xù)性，必須要求二階導數(shù)連續(xù)，即下式成立：6(P3-2P2+P1)=6(Q2-

52、2Q1+Q0)(8.5.28)結(jié)合式(8.5.25)，化簡式(8.5.28)可得Q2-P1=2(Q1-P2)(8.5.29)結(jié)合式(8.5.27)，可得Q2-P2=P1-P2+(P3-P2)(8.5.30)如果=1，進一步有Q2=P1+3(P3-P2)(8.5.31) 1(2第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論8.6 B-樣條曲線樣條曲線8.6.1B-樣條曲線的定義B-樣條曲線的出發(fā)點仍是利用控制點給出的控制多邊形產(chǎn)生曲線，以其獲得的曲線的幾何形狀可以通過控制多邊形的形狀直觀地得以控制。但與定義Bzier曲線不同的是：(1)我們假設(shè)有由無限多個控制點組成的控制點序

53、列：Pi：i=,-2,-1,0,1,2,(8.6.1)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論(2)為了克服參數(shù)取值范圍對曲線的影響，我們主動把參數(shù)取值的因素引入到曲線的設(shè)計中來，以便考察這種影響，設(shè)計出更合理的曲線。具體的做法是對每一個控制點Pi引入一個參數(shù)值ui，稱為節(jié)點值，于是有節(jié)點值序列:ui：i=,-2,-1,0,1,2,(8.6.2)1.一階B-樣條曲線現(xiàn)在考察在參數(shù)區(qū)間tuj,uj+1上曲線段的生成。如果只是借助于相鄰的兩個制點Pj和Pj+1產(chǎn)生曲線段，則只要生成折線段曲線即可。曲線段上某一點，具體由參數(shù)指定的直線上的比例分位點給出。這時我們把相鄰的兩個

54、控制點作為一組，產(chǎn)生一段特殊形式的曲線直線段。此時兩個控制點產(chǎn)生的直線段公式為第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論2.二階B-樣條曲線利用Pj-1，Pj產(chǎn)生出的點為在參數(shù)區(qū)間uj，uj+2內(nèi)考慮tuj，uj+1對應(yīng)的比例分位點為,)(111111jjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.3),)(11111111)1(jjjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.4),)(112222)1(1jjjjjjjjjjjuutPuutuPuututP(8.6.5)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論為了產(chǎn)生

55、出參數(shù)對應(yīng)的曲線上的一個點，我們不妨再利用一次這個方法，借助的直線段就是剛剛得到的兩點產(chǎn)生的直線段，只是此時參數(shù)的取值范圍為前一步涉及到的兩個參數(shù)區(qū)間uj-1,uj+1和uj，uj+2的交集，即共同部分uj，uj+1，得到的tuj，uj+1對應(yīng)的比例分位點為,)()()()(1)1(11)1(11)2(jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututPtP(8.6.6)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論3.三階B-樣條曲線于是利用Pj-2，Pj-1產(chǎn)生出的點為于是又利用Pj-1，Pj產(chǎn)生出的點為于是利用Pj,Pj+1產(chǎn)生出的點為,)(112122211)1

56、(1jjjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.7),)(11211122)1(jjjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.8), )()(11333)1(1jjjjjjjjjjjuuttPuuutPuututP(8.6.9)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論得到的tuj,uj+1對應(yīng)的比例分位點為得到的tuj,uj+1對應(yīng)的比例分位點為得到的tuj,uj+1對應(yīng)的比例分位點為, )()()(1(1)111)1(1111)2(1jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututP(8.6.10), )()()(1(1)12

57、)1(22)2(1jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututP(8.6.11), )()()()(1(2)12)2(11)3(jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututPtP(8.6.12)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論四個控制點給出的B-樣條曲線上的生成方法示意圖如圖8.13所示。第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.13uj2四個控制點給出的B-樣條曲線上點的生成方法示意圖Pj 2Pj 1PjPj 111jP2jP21jP11jP1jPP(t)tuj 1uj 2uj 3ujuj 1uj 2第第8

58、8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論4.一般的k階B-樣條曲線一般地，我們可以通過k+1個控制點Pj-k+1，Pj-k+2，Pj和Pj+1定義一段曲線P(t)，tuj,uj+1，其定義公式為1,.1,.2 , 1)1 (,111)()1()()1(1)()()0(jkjikluuutPPPPPikiililililililiii(8.6.13)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論而P(t)=Pkjtuj,uj+1(8.6.14)即有u-2u-1u0u1u2(8.6.15)如果我們把所有控制點的下標減去1，同時保持所有節(jié)點的下標不變，則有由k+

59、1個控制點Pj-k，Pj-k+1，Pj-1和Pj定義一段曲線P(t)，tuj,uj+1，其定義公式為jlkjikluuuitPPPPPilkililililililiii,.,.,2 , 1)1 (,1)()1()()1(1)()()0(8.6.16)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論而P(t)=Pkjtuj,uj+1(8.6.17)這就是通常的B-樣條曲線的deBool公式。圖8.14給出了一段三次B-樣條曲線的遞推計算過程。根據(jù)B-樣條曲線公式，B-樣條曲線可有如下形式的表示:jjkjPtNtP)()(,(8.6.18)第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論

60、章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論圖8.14deBool公式的B-樣條曲線上點的生成方法示意圖Pj 312jPPj 211jPPj 11jPjP21jPP(t)2jPuj 2uj 1ujuj 1uj 2uj 3l3l2l1t第第8 8章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論章計算機圖形中曲線的設(shè)計理論注解:（1）依據(jù)B-樣條曲線的遞推公式，如果所有節(jié)點值擴大或縮小倍數(shù)a，并增加一個常數(shù)b，則對tuj，uj+1，有at+bauj+b,auj+1+b，并且（2）依據(jù)B-樣條曲線的遞推公式，如果在遞推過程中始終有)()()()(12)(baubaubaubatuuutilkiiilkiili(8.6.19)tuuut