第一章 偏微分方程概論

1、數(shù)字圖像數(shù)字圖像像素的灰度值像素的灰度值引引 言言 基于偏微分方程的圖像處理方法基于偏微分方程的圖像處理方法 ( Partial Differential Equations, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱PDE ) 定義定義 圖像圖像u 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào) 圖像處理操作圖像處理操作F 偏微分算子偏微分算子 原始圖像原始圖像I 初始條件初始條件 結(jié)果圖像結(jié)果圖像u 方程的解方程的解 ),(tyxuFutyxIyxu,0 ,應(yīng)用應(yīng)用 圖像濾波、圖像修復(fù)、對(duì)比度增強(qiáng)、提取骨架線、圖像濾波、圖像修復(fù)、對(duì)比度增強(qiáng)、提取骨架線、 二值化、邊緣檢測(cè)、圖像分割等二值化、邊緣檢測(cè)、圖像分割等。一、背景介紹一、背景介紹從高斯平滑從高

2、斯平滑算子導(dǎo)出的算子導(dǎo)出的偏微分方程偏微分方程 偏微分方程偏微分方程 濾波模型的導(dǎo)出濾波模型的導(dǎo)出 從最優(yōu)化的從最優(yōu)化的問題出發(fā)，問題出發(fā)，即變分方法即變分方法導(dǎo)出的偏微導(dǎo)出的偏微分方程分方程二、基于偏微分方程的圖像濾波方法二、基于偏微分方程的圖像濾波方法從高斯平滑算子導(dǎo)出的偏微分方程從高斯平滑算子導(dǎo)出的偏微分方程 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程( Witkin ) 不足：不足：各向同性擴(kuò)散方程。各向同性擴(kuò)散方程。 在各個(gè)方向上同等擴(kuò)散，濾波的同時(shí)破壞圖像內(nèi)容，在各個(gè)方向上同等擴(kuò)散，濾波的同時(shí)破壞圖像內(nèi)容， 即圖像邊緣。即圖像邊緣。高斯濾波高斯濾波yxItyxGtyxu,高斯濾波器高斯濾波器uut2yx

3、Iyxu,0 ,熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程二、基于偏微分方程的圖像濾波方法二、基于偏微分方程的圖像濾波方法4)(exp,2221yxCyxG從最優(yōu)化的問題出發(fā)，即變分方法導(dǎo)出的偏微分方程從最優(yōu)化的問題出發(fā)，即變分方法導(dǎo)出的偏微分方程 變分圖像去噪方法通過引入能量函數(shù)，將圖像去噪問變分圖像去噪方法通過引入能量函數(shù)，將圖像去噪問題轉(zhuǎn)化成泛函求極值問題，即變分問題。變分法是研究泛題轉(zhuǎn)化成泛函求極值問題，即變分問題。變分法是研究泛函求極值問題的方法，它的主要步驟為：函求極值問題的方法，它的主要步驟為：u 第一步，從物理問題上建立泛函及其約束條件；第一步，從物理問題上建立泛函及其約束條件；u 第二步，通過泛函

4、變分，求得歐拉拉格朗日方程；第二步，通過泛函變分，求得歐拉拉格朗日方程；u 第三步，在邊界條件下求解，即求解微分方程。第三步，在邊界條件下求解，即求解微分方程。二、基于偏微分方程的圖像濾波方法二、基于偏微分方程的圖像濾波方法偏微分方程的圖像處理方法的優(yōu)點(diǎn)偏微分方程的圖像處理方法的優(yōu)點(diǎn) 方案靈活多樣，借助數(shù)學(xué)的手段建立模型便于方案靈活多樣，借助數(shù)學(xué)的手段建立模型便于對(duì)實(shí)際問題的理解和數(shù)值處理。對(duì)實(shí)際問題的理解和數(shù)值處理。 對(duì)于視覺上重要的幾何特征（例如梯度、切線對(duì)于視覺上重要的幾何特征（例如梯度、切線和曲率等）具有較好的控制。和曲率等）具有較好的控制。 能夠模擬動(dòng)態(tài)視覺處理過程。能夠模擬動(dòng)態(tài)視覺

5、處理過程。 二、基于偏微分方程的圖像濾波方法二、基于偏微分方程的圖像濾波方法可以同時(shí)完成多個(gè)圖像處理任務(wù)，比如同時(shí)進(jìn)可以同時(shí)完成多個(gè)圖像處理任務(wù)，比如同時(shí)進(jìn)行濾波和修復(fù)。行濾波和修復(fù)。 第一章第一章 常微分方程與偏常微分方程與偏微分方程概論微分方程概論主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：常微分方程的基本知識(shí)，包括：方程的建立、常微分方程的基本知識(shí)，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知識(shí)，包括數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)偏微分方程基本知識(shí)，包括數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出，初邊值問題、方程的傅立葉變換等；出，初邊值問題、方程的傅立葉變換等；略微詳細(xì)介紹略微詳細(xì)介紹熱傳導(dǎo)方程熱

6、傳導(dǎo)方程。1.1 常微分方程簡(jiǎn)介常微分方程簡(jiǎn)介1.1.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念牛頓第二定律牛頓第二定律：ddrmFdtdt其中：其中：m是質(zhì)量，是質(zhì)量，r是位置向量，是位置向量，t是時(shí)間，是時(shí)間， F是作用于質(zhì)點(diǎn)的是作用于質(zhì)點(diǎn)的力力牛頓引力定律：牛頓引力定律：2MmrFGrr 其中：其中：G是萬有引力常數(shù)，是萬有引力常數(shù)，M與與m是一對(duì)相互是一對(duì)相互吸引的質(zhì)點(diǎn)，吸引的質(zhì)點(diǎn)，r是從是從M到到m的向量，的向量，r|r|是與是與r同同向的單位向量向的單位向量2ddrMmrmGdtdtrr 這就是描述行星運(yùn)動(dòng)的微分方程這就是描述行星運(yùn)動(dòng)的微分方程微分微分方程中未知函數(shù)只出現(xiàn)一個(gè)自變

7、量。方程中未知函數(shù)只出現(xiàn)一個(gè)自變量。求解方程，可引入極坐標(biāo)變換，令求解方程，可引入極坐標(biāo)變換，令 u = 1r則得到下面的二階常系數(shù)線性微分方程：則得到下面的二階常系數(shù)線性微分方程：222d umuG MdK001cosmuuG MrKu0 , 0是由初始條件確定的是由初始條件確定的2個(gè)常數(shù)。個(gè)常數(shù)。1.1.2 一些典型的常微分方程一些典型的常微分方程一、可分離變量的方程一、可分離變量的方程具有如下形式：具有如下形式：()()d yfxgyd x1()()d yfxgyd x可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為兩邊對(duì)兩邊對(duì)x積分（如果可能的話）積分（如果可能的話）1( )()dydxfx dxg ydx得得 G(

8、y) + C1 = F(x) + C2即即 G(y) = F(x) + C二、齊次方程二、齊次方程具有如下形式具有如下形式d yyfd xx作變量替換，令作變量替換，令 u = yx y = ux( )( ) duduf uuxuf udxdxx是可分離變量的方程是可分離變量的方程三、線性變系數(shù)方程三、線性變系數(shù)方程具有如下形式（一階）具有如下形式（一階）()()dyp xyq xdx相應(yīng)的齊次方程相應(yīng)的齊次方程()0dyp xydx顯然是個(gè)可分離的方程顯然是個(gè)可分離的方程( ) (0)dyp x dxyy 積分得通解積分得通解 yh(x) = Cexp-P(x)其中：其中：定義積分因子定義積

9、分因子則則 m(x) yh(x) = C()Pp xxxd( )expexp)()m xp x dxP x兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hhhhhhhdm xyxdxm xyxm xyxmm xyxpxyxm xp xyxxyx對(duì)于對(duì)于q(x) 0 時(shí)時(shí) m(x) y(x)= C 不成立。不成立。但由上面的推導(dǎo)，可有但由上面的推導(dǎo)，可有( )( )( )( )( )( )( )( )dm xy xm xy xp xy xdxm xq x對(duì)上式積分得對(duì)上式積分得( )( )( )( )m xy xm xq x dxC即

10、有即有1( )( )( )( )y xm xq x dxCm x伯努利方程伯努利方程111()()()()1()()1nnnnndyp xyq xydxdyyp xyq xdxdyp xyq xndx作變換，令作變換，令 u = y1-n( )( )dup xuq xdxn 階常系數(shù)線性微分方程階常系數(shù)線性微分方程0()mnmmmdyafxd x其中，其中，a0,an均為常數(shù)。均為常數(shù)。先考慮齊次情形先考慮齊次情形00mnmmmdyadx令令 y = el lx 代入得代入得00nmmmal解這個(gè)方程得解這個(gè)方程得 l l = l l1 1,l ln 若若 l lil lj , i j方程通解

11、為方程通解為1mnxmmycel若某個(gè)若某個(gè)l lj是是 h 重根，則對(duì)應(yīng)還有如下的重根，則對(duì)應(yīng)還有如下的h個(gè)解個(gè)解10jhxkkkyedxl可以證明上面兩種形式的解都是線性無關(guān)的，它們可以證明上面兩種形式的解都是線性無關(guān)的，它們的任意線性組合都是齊次方程的通解。的任意線性組合都是齊次方程的通解。下面考慮非齊次情形，任取上述一個(gè)根，令下面考慮非齊次情形，任取上述一個(gè)根，令00( )( )( )( )xnxnnmxnmmxnmnnd eadxyez xd za ez xf xdxd zdzabef xdxdxllll令令 dzdx = u10( )( )mnxmmmd ubef xG xdxl這

12、樣，方程降了一階，但還是常系數(shù)，經(jīng)過這樣，方程降了一階，但還是常系數(shù)，經(jīng)過有限次降階、積分，可得非齊次方程的一個(gè)有限次降階、積分，可得非齊次方程的一個(gè)特解特解 y = y0(x)則，原方程通解為則，原方程通解為01()mnxmmyyxcel1.2.1 偏微分方程的概念偏微分方程的概念 未知函數(shù)含有多個(gè)自變量，方程中出現(xiàn)多元函數(shù)未知函數(shù)含有多個(gè)自變量，方程中出現(xiàn)多元函數(shù)對(duì)不同自變量的各階偏導(dǎo)數(shù)，這樣的微分方程稱為對(duì)不同自變量的各階偏導(dǎo)數(shù)，這樣的微分方程稱為偏微分方程（數(shù)學(xué)物理方程）。偏微分方程（數(shù)學(xué)物理方程）。 幾乎所有的研究對(duì)象，包括天文、物理等領(lǐng)域的幾乎所有的研究對(duì)象，包括天文、物理等領(lǐng)域的

13、物體運(yùn)動(dòng)、狀態(tài)變化等都不可能只受一個(gè)因素的影物體運(yùn)動(dòng)、狀態(tài)變化等都不可能只受一個(gè)因素的影響，它們往往與位置、時(shí)間、溫度等諸多因素相關(guān)響，它們往往與位置、時(shí)間、溫度等諸多因素相關(guān)，因此必須用偏微分方程才能描述和求解。，因此必須用偏微分方程才能描述和求解。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解1.2.1 偏微分方程的概念偏微分方程的概念但是，偏微分方程十分復(fù)雜，即使是線性的也會(huì)復(fù)但是，偏微分方程十分復(fù)雜，即使是線性的也會(huì)復(fù)雜到難以處理的程度。至于非線性方程，也只能針雜到難以處理的程度。至于非線性方程，也只能針對(duì)具體問題，提出個(gè)別的解決方法。所以，在

14、數(shù)學(xué)對(duì)具體問題，提出個(gè)別的解決方法。所以，在數(shù)學(xué)上無法建立起偏微分方程研究的一般性理論。上無法建立起偏微分方程研究的一般性理論。 1.2.2 幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程熱傳導(dǎo)方程（溫度分布）熱傳導(dǎo)方程（溫度分布）擴(kuò)散方程（化學(xué)物質(zhì)在溶液中的濃度）擴(kuò)散方程（化學(xué)物質(zhì)在溶液中的濃度）2222222( ,)uu t x y zuuuuatxyz其中其中 a0，a2 = kQ ，k是傳熱系數(shù)，是傳熱系數(shù)，Q是熱容量。是熱容量。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解拉普拉斯方程拉普拉斯方程調(diào)和方程調(diào)和方程當(dāng)物體的溫度處于熱穩(wěn)定狀態(tài)（真空中靜止的電當(dāng)物體的溫度處于熱穩(wěn)定狀態(tài)（真空中

15、靜止的電磁場(chǎng)。經(jīng)典的引力場(chǎng)、或流體的某種穩(wěn)定狀態(tài)）磁場(chǎng)。經(jīng)典的引力場(chǎng)、或流體的某種穩(wěn)定狀態(tài)）2222220uuuuxyz 1.2.2 幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解2222222uuuuatxyz波動(dòng)方程波動(dòng)方程當(dāng)聲波在空氣中傳播時(shí)，如果當(dāng)聲波在空氣中傳播時(shí)，如果u 表示壓強(qiáng)的小擾表示壓強(qiáng)的小擾動(dòng)，動(dòng)，a0 是聲音（電磁波或其他波動(dòng)）在空氣中是聲音（電磁波或其他波動(dòng)）在空氣中的傳播速度的傳播速度222222222uuuuatxyz1.2.2 幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解1.2.

16、3 初邊值問題初邊值問題對(duì)于最典型的求解問題是初始值問題對(duì)于最典型的求解問題是初始值問題柯西問題柯西問題即：求波動(dòng)方程的解即：求波動(dòng)方程的解 u ，使其滿足初始條件，使其滿足初始條件01(0,)( ,)(0,)( ,)ux y zux y zux y zux y ztu0(x, y, z)和和u1(x, y, z),表示在表示在t = 0時(shí)波的形狀和關(guān)時(shí)波的形狀和關(guān)于于t 的變化率。的變化率。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解2222222uuuuatxyz一維情形一維情形弦振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程222220uuatx初始條件初始條件01(0, )( ), (0, )( )uuxuxxu

17、 xt作變換作變換 x x = x - at , h h = x + at方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?0ux xh h 偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解222222222uuuuatxyz且通解為且通解為 u = f (x - at) + g (x + at)其中其中f與與g是任意兩個(gè)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的是任意兩個(gè)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。函數(shù)。并由初始條件，就得到下面弦振動(dòng)的達(dá)朗并由初始條件，就得到下面弦振動(dòng)的達(dá)朗貝爾（貝爾（DAlembert）公式）公式001()()1( )22x atx atuxatuxatuuda偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解20ux xh h 高維情形，

18、把高維情形，把(x，y，z)記記 x = (x1, x2, x3), x x= (x x1, x x2, x x3 )利用傅立葉變換利用傅立葉變換（Fourier）其中其中 x x x = x x1 x1 + x x2 x2 + x x3 x3123123( )(,)i xff x xx edx dx dxxx 偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解且當(dāng)且當(dāng) f 滿足一定條件時(shí)有滿足一定條件時(shí)有Fourier逆變換逆變換12313331( )(,)(2)fxfdddxxxxxx另外有另外有123123( )(,)i xiififxxxedx dx dxxxxx 偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微

19、分方程的導(dǎo)出與定解222222222uuuuatxyz對(duì)于下面方程，利用對(duì)于下面方程，利用Fourier變換變換222221232d uaudtxxx 01(0, , , )( , , )(0, , , )( , , )ux y zux y zux y zux y zt0100( ), ( )ttduuuudtxx偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解變成解常微分方程的初值問題，解得變成解常微分方程的初值問題，解得12301231123( ,)(,) cos()sin() + (,)u tuatatuaxxxxxxxxxxxx其中其中做做Fourier逆變換，得泊松（逆變換，得泊松（Po

20、isson）公式）公式222123xxxx偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解01111101221111( , )()()4411 ()()44ttatatttu t xatu x atl dsatu x atl dstaaatu x l dsatu x l dsta tta t 其中其中ds1（dsat）是球面）是球面 | l |=1（| l |=at）的面）的面積元素。積元素。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解1.3 熱傳導(dǎo)方程初值問題的求解熱傳導(dǎo)方程初值問題的求解2220( , ), , 0 ( ,0)( ), uuaf x txttxu xuxx 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x

21、 做做Fourier變換變換220(, )()tduauftdtull l偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解解常微分方程得解常微分方程得22222222()0()0( , )( , )( , )( , )tatattatatutefedu x tefedllllll l 若記若記且有且有從而從而2241( , )2xa tg x teat22( , )ateg x tl偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解2222()41 21 ( )2atxa teggx edatlxx2222()()4()1( , )( , )2()xatatfefedatxll x x同理同理偏微分方程

22、的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解代入得代入得其中其中通常稱通常稱K(x - x x ,t - )為熱傳導(dǎo)方程基本解，且當(dāng)為熱傳導(dǎo)方程基本解，且當(dāng)f(x,t)0、 (x)適合一定條件時(shí)，可證明泊松公式是適合一定條件時(shí)，可證明泊松公式是給出的初值問題解。給出的初值問題解。0( , )(, )( ) +(,)( , )tu x tK xtddK xtfdx xxxx x221,0( , )20 ,0 xta tetKx tatt偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解1.4 二階偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)二階偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)1.4.1 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類三個(gè)典型的二階偏

23、微分方程的三個(gè)典型的二階偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：2222 uauftuauftuf （波動(dòng)方程）（波動(dòng)方程）（熱傳導(dǎo)方程）（熱傳導(dǎo)方程）（位勢(shì)方程）（位勢(shì)方程）偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解其中其中 ：f是是 (x1,xm)或或 (x1,xm,t)的函數(shù)，的函數(shù)，a為常數(shù)，為常數(shù)， 是是Laplace算子。算子。二階偏微分方程的一般形式：二階偏微分方程的一般形式：221miix2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 其中其中 aij= aji、b、c、f 都是都是 (x1,xm)的函數(shù)。的函數(shù)。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解用用A表示矩陣（表

24、示矩陣（aij)i,j=1,2,.,m對(duì)于波動(dòng)方程，取對(duì)于波動(dòng)方程，取 m = n+1, t = xn+122001aAa偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，取對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，取 m = n+1, t = xn+12120, 100naAba偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 對(duì)于位勢(shì)方程，取對(duì)于位勢(shì)方程，取 m = n1001A偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 如果如果A是個(gè)常系數(shù)矩陣

25、，由于它是對(duì)稱的，所以是個(gè)常系數(shù)矩陣，由于它是對(duì)稱的，所以，一定存在一個(gè)正交矩陣，一定存在一個(gè)正交矩陣 T ，使得，使得 TTAT是對(duì)是對(duì)角陣，且對(duì)角線上的元素就是角陣，且對(duì)角線上的元素就是A的特征值。的特征值。位勢(shì)方程：位勢(shì)方程：A的特征是都是正（或負(fù)）的，即的特征是都是正（或負(fù)）的，即A是正定的或負(fù)定的；是正定的或負(fù)定的；熱傳導(dǎo)方程：熱傳導(dǎo)方程：A的特征值有一個(gè)為的特征值有一個(gè)為0，其它的都，其它的都為正（或負(fù)）的，即為正（或負(fù)）的，即A是非負(fù)（或非正）的；是非負(fù)（或非正）的；波動(dòng)方程：波動(dòng)方程：A的特征值除了一個(gè)為正（負(fù)）外，的特征值除了一個(gè)為正（負(fù)）外，其它的都是負(fù)（正）的，即其它的都

26、是負(fù)（正）的，即A是不定的。是不定的。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解設(shè)設(shè) x0(x01,.,x0m)是空間中一點(diǎn)，是空間中一點(diǎn)，A(x0)表示矩陣表示矩陣A在在x0點(diǎn)的值點(diǎn)的值定義定義：若：若A(x0)的的m個(gè)特征是全是正（或負(fù)），稱方個(gè)特征是全是正（或負(fù)），稱方程在程在x0點(diǎn)是橢圓型的；若點(diǎn)是橢圓型的；若A(x0)的特征是除了一個(gè)為的特征是除了一個(gè)為0外全是正（或負(fù)）的，稱方程在外全是正（或負(fù)）的，稱方程在x0點(diǎn)是拋物型的；點(diǎn)是拋物型的；若若A(x0)的特征值除了一個(gè)為負(fù)（或正）外，其它的特征值除了一個(gè)為負(fù)（或正）外，其它 m-1個(gè)全是正（或負(fù)）的，稱方程在個(gè)全是正（或負(fù)）的，

27、稱方程在x0點(diǎn)是雙曲型的點(diǎn)是雙曲型的。如果對(duì)于區(qū)域。如果對(duì)于區(qū)域上每一個(gè)點(diǎn)，方程是橢圓型的，上每一個(gè)點(diǎn)，方程是橢圓型的，則稱方程在區(qū)域則稱方程在區(qū)域W W上是橢圓型的。類似有拋物型的上是橢圓型的。類似有拋物型的和雙曲型的。和雙曲型的。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解定理定理：如果方程的二階項(xiàng)系數(shù)：如果方程的二階項(xiàng)系數(shù)aij 是常數(shù)，即是常數(shù)，即A是常是常數(shù)矩陣，且它屬于橢圓型數(shù)矩陣，且它屬于橢圓型 （拋物型、雙曲型）方（拋物型、雙曲型）方程，那么一定可以通過一個(gè)非奇異的自變量代換，程，那么一定可以通過一個(gè)非奇異的自變量代換，把方程的二階項(xiàng)化為三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式。把方程的二階項(xiàng)化為三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

28、形式。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解1.4.2 二階偏微分方程的化簡(jiǎn)二階偏微分方程的化簡(jiǎn)定義：定義：稱稱m維空間中的一張曲面維空間中的一張曲面S= (x1,xm)=0為二階偏微分方程一般形式的為二階偏微分方程一般形式的特征曲面特征曲面，如果曲，如果曲面面S的每一個(gè)點(diǎn)，有的每一個(gè)點(diǎn)，有,10mijijijaxx定義：定義：對(duì)于固定點(diǎn)對(duì)于固定點(diǎn) x0 = (x10,xm0) ，如果過，如果過該點(diǎn)的方向該點(diǎn)的方向 l = (a a1 1, a am) 滿足特征方程滿足特征方程則稱則稱 l 為該點(diǎn)的為該點(diǎn)的特征方向特征方向。0,1()0mijiji jaxaa偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分

29、方程的導(dǎo)出與定解由于由于 表示曲面表示曲面 (x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每點(diǎn)的法向?yàn)樵擖c(diǎn)特的法向，所以特征曲面就是每點(diǎn)的法向?yàn)樵擖c(diǎn)特征方向的曲面。征方向的曲面。怎樣求特征方向和特征曲面，總假設(shè)怎樣求特征方向和特征曲面，總假設(shè) a ai2 = 1即取即取a ai為特征方向的方向余弦。為特征方向的方向余弦。1,mxx偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解例：例：熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程的特征方程為的特征方程為 a a12 + a a22 + a a32 = 0由假設(shè)有由假設(shè)有 a a02 + a a12 + a a22 + a a32 = 1從而從而 a a02 = 1因此特征曲面

30、為超平面因此特征曲面為超平面 t = 常數(shù)常數(shù)2222222uuuuatxyz偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解例：例：對(duì)于兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程對(duì)于兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程其特征方程為其特征方程為 a11a a12 + 2+ 2a12a a1a a2 + + a22a a22 = 0 = 0 滿足上述關(guān)系的方向滿足上述關(guān)系的方向(a a1, a a2)為特征方向，其特為特征方向，其特征線征線 (x, y) = 0222211122212222uuuuuaaabbcufxx yyxy 偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解滿足滿足 a11 x2 + 2 2a a1

31、212 x y + a22 y2 = 0 * *求解這個(gè)方程。求解這個(gè)方程。對(duì)對(duì) (x,y) = 0微分并代入上式微分并代入上式 xdx + ydy = 0 x = - ydydx a11dy2 - 2a12dxdy + a22dx2 = 0 * * *偏微化為常微，求出偏微化為常微，求出 * * * 的一族積分曲線的一族積分曲線 1(x, y) = C則，則，z = 1(x, y)是是* *方程的解。方程的解。偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解求求* * *的積分曲線，將它分解為兩個(gè)方程的積分曲線，將它分解為兩個(gè)方程2121211221121212112211aaa adydxaa

32、aa adydxa此時(shí)在此時(shí)在(x0, y0)的近旁有三種情況，記的近旁有三種情況，記 0 = a122-a11a22 = 0 0偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解即，在即，在 (x0,y0)近旁近旁0 此時(shí)此時(shí)* * *有兩族不同的實(shí)積有兩族不同的實(shí)積分曲線分曲線 (x,y) = C和和 y y(x,y) = C引入自變量引入自變量 x x= (x,y) , h h= y y(x,y) * * * *由由* *可看出可看出- - x y、 - -y yx y yy是二次方程是二次方程 a11l l2 + 2+ 2a12l l+ + a22 = 0 = 0 兩個(gè)不同實(shí)根，從而兩個(gè)不同

33、實(shí)根，從而即，上述自變量變換是可逆的。即，上述自變量變換是可逆的。( ,)0( ,)xyxyJx yx hyy偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解由于由于ux = uxxx+uhhxuy= uxxy+uhhyuxx = uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy = uxxxxxy+uxh(xxhy +xyhx) + uhhhxhy + uxxxy+uhhxyuyy = uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化為原方程化為 b11uxx+ 2b12uxh+ b22uhh+ c1ux+ c2uh+Du = f偏微分方程的導(dǎo)出與定解偏微分方程的導(dǎo)出與定解其中其中b11= a11x xx2 + 2a12x xxx xy + a11x xy2 b12