第5章 數(shù)字濾波器的基本概念及一些特殊濾波器

1、第五章第五章 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念及一些特殊濾波器及一些特殊濾波器5.3 5.3 簡單濾波器的設(shè)計(jì)簡單濾波器的設(shè)計(jì)5.2 5.2 理想數(shù)字濾波器理想數(shù)字濾波器5.1 5.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念特殊濾波器特殊濾波器5.4 5.4 數(shù)字諧振器數(shù)字諧振器5.8 5.8 梳狀濾波器梳狀濾波器5.9 5.9 正弦波發(fā)生器正弦波發(fā)生器5.5 5.5 數(shù)字陷波器數(shù)字陷波器5.7 5.7 最小相位濾波器最小相位濾波器5.6 5.6 全通濾波器全通濾波器5.1 5.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念1.1.數(shù)字濾波器與數(shù)字濾波數(shù)字濾波器與數(shù)字濾波濾波：濾波：改

2、變輸入信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，頻率選擇器改變輸入信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，頻率選擇器; ;對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測和參數(shù)估計(jì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測和參數(shù)估計(jì); ;數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算數(shù)值運(yùn)算的方法；的方法；模擬濾波器：模擬濾波器： 電阻、電容、電感及有源器件等構(gòu)成電阻、電容、電感及有源器件等構(gòu)成2.2.數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法 用軟件在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)用軟件在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn) 用專用的數(shù)字信號(hào)處理芯片用專用的數(shù)字信號(hào)處理芯片 用硬件用硬件3.3.數(shù)字濾波器的可實(shí)現(xiàn)性數(shù)字濾波器的可實(shí)現(xiàn)性 要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定 設(shè)計(jì)的系統(tǒng)極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)。設(shè)計(jì)的系統(tǒng)極點(diǎn)全部在單位圓

3、內(nèi)。 差分方程的系數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為實(shí)數(shù)差分方程的系數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為實(shí)數(shù) 系統(tǒng)的零極系統(tǒng)的零極點(diǎn)必須共軛成對(duì)出現(xiàn)，或者是實(shí)數(shù)。點(diǎn)必須共軛成對(duì)出現(xiàn)，或者是實(shí)數(shù)。4.4.數(shù)字濾波器的種類數(shù)字濾波器的種類經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器: :用線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器；用線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器；現(xiàn)代濾波器：建立在隨機(jī)信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)上現(xiàn)代濾波器：建立在隨機(jī)信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)上 濾波特性濾波特性數(shù)字高通、數(shù)字低通、數(shù)字帶通、數(shù)字帶阻；數(shù)字高通、數(shù)字低通、數(shù)字帶通、數(shù)字帶阻； 實(shí)現(xiàn)方法實(shí)現(xiàn)方法 無限脈沖響應(yīng)濾波器，簡稱無限脈沖響應(yīng)濾波器，簡稱IIR (Infinite Impulse IIR (Infinite

4、Impulse Response)Response)，它的單位脈沖響應(yīng)為無限長，網(wǎng)絡(luò)中有，它的單位脈沖響應(yīng)為無限長，網(wǎng)絡(luò)中有反饋回路。其系統(tǒng)函數(shù)為：反饋回路。其系統(tǒng)函數(shù)為： 有限脈沖響應(yīng)濾波器，簡稱有限脈沖響應(yīng)濾波器，簡稱FIR (Finite Impulse FIR (Finite Impulse Response)Response)，它的單位脈沖響應(yīng)為有限長，網(wǎng)絡(luò)中沒，它的單位脈沖響應(yīng)為有限長，網(wǎng)絡(luò)中沒有反饋回路。其系統(tǒng)函數(shù)為：有反饋回路。其系統(tǒng)函數(shù)為： 011MrrrNrrrb zH za z 10,NnnH zh n zh n式中是其單位脈沖響應(yīng)理想濾波器是一類很重要的濾波器，對(duì)信號(hào)進(jìn)

5、行濾波能夠達(dá)到理想濾波器是一類很重要的濾波器，對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波能夠達(dá)到理想的效果，但是只能近似實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)的時(shí)候可以把理想濾波理想的效果，但是只能近似實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)的時(shí)候可以把理想濾波器作為逼近標(biāo)準(zhǔn)用。器作為逼近標(biāo)準(zhǔn)用。本節(jié)主要講述：本節(jié)主要講述：5.2 5.2 理想數(shù)字濾波器理想數(shù)字濾波器5.2.1 5.2.1 理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)及分類理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)及分類5.2.2 5.2.2 理想濾波器的可實(shí)現(xiàn)性理想濾波器的可實(shí)現(xiàn)性理想濾波器的特點(diǎn)：理想濾波器的特點(diǎn)：在濾波器的通帶內(nèi)幅度為常數(shù)（非零），在阻帶中幅度為零；在濾波器的通帶內(nèi)幅度為常數(shù)（非零），在阻帶中幅度為零；具有線性相位；具有線性相位；單位

6、脈沖響應(yīng)是非因果無限長序列。單位脈沖響應(yīng)是非因果無限長序列。理想濾波器的傳輸函數(shù)：理想濾波器的傳輸函數(shù)：0120,0,j njCeH eCn其它式中，和是常數(shù)。5.2.1 5.2.1 理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)及分類理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)及分類幅度放大了幅度放大了C C倍倍 時(shí)間延遲時(shí)間延遲 jHeC 0n 0gdnd 012()()()(),jnjjjjY eX eH eCX ee 0y nCx nn0n x n輸入信號(hào)輸入信號(hào) 輸出信號(hào)輸出信號(hào)群時(shí)延為常數(shù)，則信號(hào)中的所群時(shí)延為常數(shù)，則信號(hào)中的所有頻率分量的時(shí)間延遲相同。有頻率分量的時(shí)間延遲相同。假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為假設(shè)理想低通濾波器的頻

7、率響應(yīng)為: :式中，式中， 是一個(gè)正整數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)， 稱為通帶截止頻率。稱為通帶截止頻率。其幅度特性和相位特性圖形如下：其幅度特性和相位特性圖形如下：0,0,j ncjceH e0nc理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)c c O )(j H1O c c 濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：舉例：假設(shè)舉例：假設(shè) 由此圖看出由此圖看出,h(n),h(n)是無限長非因果序列，因此物理不可實(shí)現(xiàn)是無限長非因果序列，因此物理不可實(shí)現(xiàn)000sin(11( )()22)ccj njjcnj nh nH eedennh nnned05,4cn-50050-0.2

8、00.20.4nx(n)理想濾波器可以分為理想濾波器可以分為低通、高通、帶通低通、高通、帶通及及帶阻帶阻濾波器。濾波器。它們的幅度特性如下：它們的幅度特性如下：低通低通高通高通帶通帶通帶阻帶阻5.2.2 5.2.2 理想濾波器的近似實(shí)現(xiàn)理想濾波器的近似實(shí)現(xiàn)非因果序列非因果序列 不能物理實(shí)現(xiàn)不能物理實(shí)現(xiàn)近似實(shí)現(xiàn)辦法：近似實(shí)現(xiàn)辦法：1 1） 的波形向右移動(dòng)，忽略的波形向右移動(dòng)，忽略 的部分成為因果序列的部分成為因果序列2 2）截取中間幅度最大的部分，以保持濾波器有線性相位）截取中間幅度最大的部分，以保持濾波器有線性相位理想低通濾波器的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 理想低通的近似實(shí)現(xiàn)理想

9、低通的近似實(shí)現(xiàn) h n0n -1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)處理以后濾波器的傳輸函數(shù)處理以后濾波器的傳輸函數(shù) 與理想低通的傳輸與理想低通的傳輸函數(shù)函數(shù) 不同是：不同是： 1 1）通帶中的幅度產(chǎn)生了波動(dòng)，不再是常數(shù)；）通帶中的幅度產(chǎn)生了波動(dòng)，不再是常數(shù)； 2 2）阻帶的幅度不再是零；）阻帶的幅度不再是零； 3 3）原來沒有過渡帶，現(xiàn)在產(chǎn)生了過渡帶。）原來沒有過渡帶，現(xiàn)在產(chǎn)生了過渡帶。jNHejH e()( )( )1()()*()2NNjjjNNhN

10、h n RnHeH eRe5.3 5.3 簡單濾波器的設(shè)計(jì)簡單濾波器的設(shè)計(jì)用用Z Z平面平面零極點(diǎn)放置法零極點(diǎn)放置法設(shè)計(jì)簡單濾波器。設(shè)計(jì)簡單濾波器?；驹恚夯驹恚簶O點(diǎn)放置在要加強(qiáng)的頻率點(diǎn)附近（單位圓內(nèi)），極點(diǎn)越靠近極點(diǎn)放置在要加強(qiáng)的頻率點(diǎn)附近（單位圓內(nèi)），極點(diǎn)越靠近單位圓，頻率響應(yīng)的峰值越高；單位圓，頻率響應(yīng)的峰值越高；零點(diǎn)放置在將要減弱的頻率附近，零點(diǎn)越靠近單位圓頻率響零點(diǎn)放置在將要減弱的頻率附近，零點(diǎn)越靠近單位圓頻率響應(yīng)的谷值越小，如放在單位圓上幅度為零。應(yīng)的谷值越小，如放在單位圓上幅度為零。5.3.1 5.3.1 一階數(shù)字濾波器一階數(shù)字濾波器5.3.2 5.3.2 一階低通濾波器帶

11、寬的計(jì)算一階低通濾波器帶寬的計(jì)算5.3.3 5.3.3 二階數(shù)字濾波器二階數(shù)字濾波器5.3.4 5.3.4 低通到高通的簡單變換低通到高通的簡單變換5.3.1 5.3.1 一階數(shù)字濾波器一階數(shù)字濾波器00.511.5200.511.5/(a) 0.9501200.511.5/(b) 0.95,-1-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.51Real PartImaginary Part 11,0.95aHzaza 121112 1azHzaz0|()| 1jH e-1-0.500.51-1-

12、0.500.51Real PartImaginary Part-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5/(d) -0.95,100.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5/(c) -0.95 11,0.95aH zaza 121112 1azHzaz以上是低通濾波，以下是高通濾波：以上是低通濾波，以下是高通濾波：零極點(diǎn)的作用結(jié)合起來考慮：零極點(diǎn)的作用結(jié)合起來考慮：假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為：假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為：式中式中 ，以保證系統(tǒng)因果穩(wěn)定；，以保證系統(tǒng)因果穩(wěn)定；幅

13、度特性用下圖討論：幅度特性用下圖討論： 1311,0.8,1,0,0.71zbbzHzabzaaz 01a-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part00.510246810/結(jié)論結(jié)論: :設(shè)計(jì)單極點(diǎn)單零點(diǎn)低通濾波器應(yīng)該讓零點(diǎn)遠(yuǎn)離極點(diǎn)。設(shè)計(jì)單極點(diǎn)單零點(diǎn)低通濾波器應(yīng)該讓零點(diǎn)遠(yuǎn)離極點(diǎn)。 一階低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：一階低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 設(shè)設(shè) ，幅度降到，幅度降到-3dB,-3dB,則則因?yàn)闉V波器系數(shù)是實(shí)數(shù)，因此因?yàn)闉V波器系數(shù)是實(shí)數(shù)，因此 1211121azHzazp 223 10320 lg10 lg101

14、 2pppjjjHeHeHe2()()()()()0.5pppppjjjjjH eH eHeH eH e將其系統(tǒng)函數(shù)帶入上式，可推出：將其系統(tǒng)函數(shù)帶入上式，可推出：一般極點(diǎn)很靠近單位圓，上式可以近似表示為一般極點(diǎn)很靠近單位圓，上式可以近似表示為式中，式中， 稱為稱為 帶寬。帶寬。22arccos1paa1pa 3dBa精 確 帶 寬近似帶寬0.60.70.80.90.850.950.490.350.220.160.100.050.400.300.200.150.100.05一階低通濾波器的帶寬一階低通濾波器的帶寬例例5.3.15.3.1 假設(shè)模擬信號(hào)假設(shè)模擬信號(hào) ，設(shè)，設(shè)計(jì)一個(gè)低通數(shù)字濾波器將

15、信號(hào)中的高頻分量濾除。計(jì)一個(gè)低通數(shù)字濾波器將信號(hào)中的高頻分量濾除。解解: : 確定采樣間隔確定采樣間隔T T：顯然要選擇：顯然要選擇 T T /200=0.0157/200=0.0157，確定，確定T=0.015T=0.015。 數(shù)字頻率：低頻分量數(shù)字頻率：低頻分量 高頻分量高頻分量 選擇帶寬選擇帶寬 利用利用 計(jì)算出計(jì)算出a=0.8a=0.8 數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：( )sin 7sin 200axttt7 0.015 0.105rad200 0.0153rad0.2rad1 0.811( )20.8108zzH zzz1pa T (a) (a) 輸入波形輸

16、入波形( )ax t( )ay t(b) (b) 實(shí)際輸出波形實(shí)際輸出波形及理論波形及理論波形sin7sin7t t（虛線）（虛線）5.3.2 5.3.2 二階數(shù)字濾波器二階數(shù)字濾波器特點(diǎn)：特點(diǎn)：2 2個(gè)極點(diǎn)；個(gè)極點(diǎn)；零點(diǎn)可以有零點(diǎn)可以有1 1個(gè)或個(gè)或2 2個(gè)，也可以沒有；個(gè)，也可以沒有；濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)是共軛成對(duì)出現(xiàn)的濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)是共軛成對(duì)出現(xiàn)的, ,以保證濾波器以保證濾波器的系數(shù)是實(shí)數(shù)的系數(shù)是實(shí)數(shù)適當(dāng)?shù)胤胖昧銟O點(diǎn)可得到各種濾波器：適當(dāng)?shù)胤胖昧銟O點(diǎn)可得到各種濾波器： 1212zbzbH zGzpzp二階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般表示為：二階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般表示為：式中：式中：G

17、 G是常數(shù)，一般取是常數(shù)，一般取G G使幅度特性的最大值為使幅度特性的最大值為1 1； 為共軛極點(diǎn)；為共軛極點(diǎn)； 為共軛零點(diǎn)。為共軛零點(diǎn)。12,p p12,b b圖（圖（a a）（）（b b）是二階低通濾波器）是二階低通濾波器圖（圖（c）（）（d）是二階高通濾波器，圖（）是二階高通濾波器，圖（e）是帶通濾波器。）是帶通濾波器。例例5.3.25.3.2 假設(shè)二階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：假設(shè)二階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：試確定試確定G G和和p p使幅度特性滿足：使幅度特性滿足：解：在解：在 處，幅度為處，幅度為1 1，得到：，得到： 在在 處，幅度為處，幅度為 ，得到，得到 211GHzpz020

18、21,11jGH eGpp即24222411cos4sin41122jjpGGH epjppepj p41202411 2jjH eH e上式解出上式解出p=0.32p=0.32，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例例5.3.35.3.3 設(shè)計(jì)一個(gè)二階帶通濾波器，設(shè)計(jì)一個(gè)二階帶通濾波器， 是通帶中是通帶中心，在心，在 兩點(diǎn)，頻率響應(yīng)為零，在兩點(diǎn)，頻率響應(yīng)為零，在 處，幅處，幅度為度為解：極點(diǎn)設(shè)計(jì)在通帶中心解：極點(diǎn)設(shè)計(jì)在通帶中心 ， 極點(diǎn)極點(diǎn) 零點(diǎn)在零點(diǎn)在 處，即處，即 和和 得系統(tǒng)函數(shù)：得系統(tǒng)函數(shù)： 210.4610.32H zz20,49122 0,11z21z 222111zzzH

19、 zGGzjrzjrzr21,2jprejr 幅度最大處幅度為幅度最大處幅度為1 1，因此，因此上式中上式中r r的值由在的值由在 的幅度值確定，因此的幅度值確定，因此 2222112jrHeGGr即4922249422224122 cos 891412cos 8921.94 111.88,0.7jrHerrrrrr即解得最后得到帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為最后得到帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為它的幅度特性和相位特性如下圖：它的幅度特性和相位特性如下圖： 2210.1510.7zH zz二階帶通濾波器的幅度特性和相位特性二階帶通濾波器的幅度特性和相位特性先設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器先設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器 轉(zhuǎn)換成高通濾

20、波器轉(zhuǎn)換成高通濾波器 是高通濾波器的傳輸函數(shù)是高通濾波器的傳輸函數(shù) 是低通濾波器的傳輸函數(shù)是低通濾波器的傳輸函數(shù) 對(duì)上式進(jìn)行傅里葉反變換，得到：對(duì)上式進(jìn)行傅里葉反變換，得到： 也可寫成：也可寫成：5.3.3 5.3.3 低通到高通的簡單變換低通到高通的簡單變換()()()jjhplpHeHe ()jhpHe()jlpHe1jnlnhplppehnhnhn1nlphphnhn 低通濾波器的差分方程為低通濾波器的差分方程為: : 得到低通濾波器的傳輸函數(shù)為得到低通濾波器的傳輸函數(shù)為: : 將將 用用 代替，得到高通濾波器的傳輸函數(shù)代替，得到高通濾波器的傳輸函數(shù): : 10NMkkkky na y

21、nkb x nk 011MjkkjklpNjkkkb eHea e00111111MMkjkj kkkjkkhpNNkjkj kkkkkb eb eHea ea e 由所得傳輸函數(shù)得到高通濾波器的差分方程為由所得傳輸函數(shù)得到高通濾波器的差分方程為: :例例5.3.45.3.4 已知低通濾波器的差分方程為已知低通濾波器的差分方程為: :將低通濾波器轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的高通濾波器，寫出高通濾波器將低通濾波器轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的高通濾波器，寫出高通濾波器的差分方程。的差分方程。解：高通濾波器的差分方程為解：高通濾波器的差分方程為: :相應(yīng)的傳輸函數(shù)為相應(yīng)的傳輸函數(shù)為: : 1011NMkkkkkky na y nk

22、b x nk 0.910.1y ny nx n 0.910.1y ny nx n 0.110.9jhpjHee當(dāng)當(dāng)k k取奇數(shù)取奇數(shù)時(shí)，系數(shù)時(shí)，系數(shù)加負(fù)號(hào)。加負(fù)號(hào)。5.4 5.4 數(shù)字諧振器數(shù)字諧振器特點(diǎn)：是一個(gè)二階濾波器，也是一個(gè)特殊特點(diǎn)：是一個(gè)二階濾波器，也是一個(gè)特殊雙極點(diǎn)帶通濾雙極點(diǎn)帶通濾波器波器；它有一對(duì)共軛極點(diǎn)；它有一對(duì)共軛極點(diǎn) ，r r接近于接近于1 1，幅度特性在，幅度特性在 附近最大，相當(dāng)于在該頻率發(fā)生了諧振。附近最大，相當(dāng)于在該頻率發(fā)生了諧振。應(yīng)用：適合作帶通濾波器，以及語音合成器。應(yīng)用：適合作帶通濾波器，以及語音合成器。數(shù)字諧振器根據(jù)零點(diǎn)放置的位置分為兩種：數(shù)字諧振器根據(jù)零

23、點(diǎn)放置的位置分為兩種：1.1.零點(diǎn)在原點(diǎn)，一對(duì)共軛極點(diǎn)為：零點(diǎn)在原點(diǎn)，一對(duì)共軛極點(diǎn)為： 的數(shù)字諧振器的數(shù)字諧振器, ,其系統(tǒng)函數(shù)為：其系統(tǒng)函數(shù)為：0jre001,2,01jprer 0001111jjbH zrezrez對(duì)任意對(duì)任意r r，可以推導(dǎo)出，可以推導(dǎo)出 的乘積在的乘積在 處取處取最小值，即幅度取最大值：最小值，即幅度取最大值：為諧振器精確的諧振頻率。為諧振器精確的諧振頻率。 012200221020()( )( )112 cos 2( )12 cos(), ( )12 cos()jbH eUUbrrrUrrUrr12( )( )UU和201arccoscos2rrrr 如果兩個(gè)極點(diǎn)非

24、常接近單位圓，則如果兩個(gè)極點(diǎn)非常接近單位圓，則 可以證明它的可以證明它的3dB3dB帶寬為帶寬為 。舉例：舉例： ，r=0.8r=0.8和和0.950.95，零極點(diǎn)分布及幅度特性如下，零極點(diǎn)分布及幅度特性如下0,r2 1r03 (a) (a) 零極點(diǎn)分布零極點(diǎn)分布 (b) (b) 幅度特性幅度特性2.2.兩個(gè)零點(diǎn)分別放置在兩個(gè)零點(diǎn)分別放置在z=1z=1和和z=-1z=-1處，一對(duì)共軛極點(diǎn)為：處，一對(duì)共軛極點(diǎn)為： 的數(shù)字諧振器的數(shù)字諧振器系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為： 傳輸函數(shù)為：傳輸函數(shù)為：它的幅度特性為：它的幅度特性為：式中：式中：上式中，上式中， 是兩個(gè)零點(diǎn)是兩個(gè)零點(diǎn)z=1z=1和和z=-1z=

25、-1到點(diǎn)到點(diǎn)w w的矢量長度之積。的矢量長度之積。01,2,01jprer 002012010112111111o12 c sjjbzzH zre zbrerzzzzr0020()()111jjjjbeHerere 12jNH eUU( )2 1 cos2N( )N舉例：舉例： ，r=0.8, 0.95r=0.8, 0.95，畫出零極點(diǎn)分布和幅度特，畫出零極點(diǎn)分布和幅度特性如下圖：性如下圖：03(a) (a) 零極點(diǎn)分布零極點(diǎn)分布 (b) (b) 幅度特性幅度特性 與零點(diǎn)在原點(diǎn)比較：與零點(diǎn)在原點(diǎn)比較：諧振頻率有微小的變化；諧振頻率有微小的變化；帶寬略小一點(diǎn)；帶寬略小一點(diǎn)； 處的幅度為處的幅度為

26、0 0,0,例例5.4.15.4.1 模擬信號(hào)模擬信號(hào) ，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字諧振，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字諧振器，以濾除模擬信號(hào)中的低頻分量器，以濾除模擬信號(hào)中的低頻分量sin7sin7t t。解解: :諧振器的諧振頻率諧振器的諧振頻率: 200: 200 采樣間隔采樣間隔 模擬頻率模擬頻率200200對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是: : 模擬頻率模擬頻率7 7對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是: : 選擇帶寬選擇帶寬0.020.02，則，則2(1-r)=0.022(1-r)=0.02，r=0.99r=0.99。 得到系統(tǒng)函數(shù)為：得到系統(tǒng)函數(shù)為：( )sin7sin200 x ttt0.002Ts200 0.0

27、02 0.47 0.002=0.0142000.40.42(1)(1)(1)( )(0.99)(0.99)1.82370.9801jjb zzb zH zzezezz為選擇系數(shù)為選擇系數(shù) ，使峰值幅度等于，使峰值幅度等于1 1，將，將 代入上式，得到代入上式，得到 。該濾波器的輸出波形如圖：。該濾波器的輸出波形如圖：0b0.4jze01 100.49b 5.5 5.5 數(shù)字陷波器數(shù)字陷波器特性：一個(gè)二階濾波器，它的幅度特性在特性：一個(gè)二階濾波器，它的幅度特性在 處為零，在其它處為零，在其它頻率上接近于常數(shù)，是一個(gè)頻率上接近于常數(shù)，是一個(gè)濾除單頻干擾濾除單頻干擾的濾波器。的濾波器。用途：一般儀器

28、或設(shè)備都用用途：一般儀器或設(shè)備都用50Hz50Hz的交流電源供電，因而信號(hào)中時(shí)常的交流電源供電，因而信號(hào)中時(shí)常帶有帶有50Hz50Hz的干擾，希望將它濾除，又不影響該信號(hào)。的干擾，希望將它濾除，又不影響該信號(hào)。系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)零點(diǎn)為：系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)零點(diǎn)為： ，使幅度特性在，使幅度特性在 處為零，為處為零，為使幅度離開使幅度離開 后迅速上升到常數(shù)，將兩個(gè)極點(diǎn)放在很靠近后迅速上升到常數(shù)，將兩個(gè)極點(diǎn)放在很靠近零點(diǎn)的地方，極點(diǎn)為：零點(diǎn)的地方，極點(diǎn)為：0 0000()()( ),01()()jjjjzezeH zazaezae0jze0 0 0jzaea=0a=0，濾波器變成，濾波器變成FIRFIR濾波器，缺

29、少極點(diǎn)的作用。濾波器，缺少極點(diǎn)的作用。 a a比較小，缺口將比較大，對(duì)比較小，缺口將比較大，對(duì) 近鄰頻率分量影響顯著近鄰頻率分量影響顯著缺口的寬度和缺口的寬度和a a之間的關(guān)系之間的關(guān)系 ： 0對(duì)上圖分析得出結(jié)論：對(duì)上圖分析得出結(jié)論： 陷波器的陷波器的3dB3dB帶寬為：帶寬為： 說明：說明：a a 越大，極點(diǎn)越靠近零點(diǎn)（越靠近單位圓），陷波器的越大，極點(diǎn)越靠近零點(diǎn)（越靠近單位圓），陷波器的3dB3dB帶寬越窄。帶寬越窄。例例5.5.15.5.1 假設(shè)信號(hào)假設(shè)信號(hào) ， 是低是低于于50Hz50Hz的低頻信號(hào)，試設(shè)計(jì)一個(gè)陷波器將的低頻信號(hào)，試設(shè)計(jì)一個(gè)陷波器將50Hz50Hz干擾濾除。干擾濾除。解

30、解: 50Hz: 50Hz的周期是的周期是0.02s0.02s，采樣周期，采樣周期T T應(yīng)小于應(yīng)小于0.01s0.01s，選擇，選擇T=0.002sT=0.002s。50Hz50Hz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是: :選擇選擇a=0.95a=0.95，陷波器的系統(tǒng)函數(shù)為：，陷波器的系統(tǒng)函數(shù)為：22 1a( )sin(502)( )sx ttxt250 0.0020.628rad0.6280.6280.6280.628()()( )(0.95)(0.95)jjjjzezeH zzeze( )sx t為測試陷波器的特性，令為測試陷波器的特性，令 ，由，由 可得數(shù)字陷波器的輸入信號(hào)波形如下圖。可得

31、數(shù)字陷波器的輸入信號(hào)波形如下圖。0.6280.6280.6280.628222212212()()( )(0.95)(0.95)2 cos0.6281 20.95cos0.6280.951.618111.618 1.5370.902511.5370.9025jjjjzezeH zzezezzzzzzzzzzz( )2 (200)sxnn( )( )sin(100 )( )tnTsx nx tnTxn( )2 (200)sxnn( )( )sin(100 )( )tnTsx nx tnTxn為測試陷波器的特性，令為測試陷波器的特性，令 ，由，由 可得數(shù)字陷波器的輸入信號(hào)波形如下圖。可得數(shù)字陷波器

32、的輸入信號(hào)波形如下圖。( )2 (200)sxnn( )( )sin(100 )( )tnTsx nx tnTxn(a) (a) 輸入信號(hào)波形輸入信號(hào)波形 (b) (b) 陷波器輸出波形陷波器輸出波形過渡時(shí)間：過渡時(shí)間：8888* *0.002=0.167s0.002=0.167s5.6 5.6 全通濾波器全通濾波器定義：濾波器的幅度特性在整個(gè)頻帶定義：濾波器的幅度特性在整個(gè)頻帶002 2 上均等于常上均等于常數(shù)，或者等于數(shù)，或者等于1 1，即，即 則該濾波器稱為全通濾波器。則該濾波器稱為全通濾波器。特點(diǎn)：信號(hào)通過全通濾波器后，其輸出的幅度特性保持不特點(diǎn)：信號(hào)通過全通濾波器后，其輸出的幅度特性

33、保持不 變，僅相位發(fā)生變化。變，僅相位發(fā)生變化。全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為：全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為：1,02jH e21012211210( )1NN kkLkiiNkiiikka zza zaH za za za z二階濾波器形式二階濾波器形式 全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的幅度特性為全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的幅度特性為1 1 因?yàn)樯鲜街邢禂?shù)是實(shí)數(shù)，因此因?yàn)樯鲜街邢禂?shù)是實(shí)數(shù)，因此 全通濾波器的零級(jí)點(diǎn)分布特性倒易關(guān)系全通濾波器的零級(jí)點(diǎn)分布特性倒易關(guān)系 因?yàn)橐驗(yàn)?和和 的系數(shù)是實(shí)數(shù)，零點(diǎn)和極點(diǎn)均以共軛對(duì)的系數(shù)是實(shí)數(shù)，零點(diǎn)和極點(diǎn)均以共軛對(duì)形式出現(xiàn)。形式出現(xiàn)。10000NNNkkkkNNkkNN

34、kkkkkka za zDzHzzzDza za z11jjjzejjjDzDeDeDeHeDe1D z D z全通濾波器的零極點(diǎn)分布全通濾波器的零極點(diǎn)分布 是零點(diǎn)，是零點(diǎn)， 也是零點(diǎn)，也是零點(diǎn)， 是極點(diǎn)，是極點(diǎn)， 也是極點(diǎn)，形成四個(gè)極零點(diǎn)一組的形式。也是極點(diǎn)，形成四個(gè)極零點(diǎn)一組的形式。kzkz1kkpz1kkpz如果將零點(diǎn)如果將零點(diǎn) 和極點(diǎn)和極點(diǎn) 組成一對(duì)，零點(diǎn)組成一對(duì)，零點(diǎn) 和極點(diǎn)和極點(diǎn) 組成一對(duì)，則全通濾波器的系統(tǒng)函組成一對(duì)，則全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示成數(shù)可以表示成: :式中的式中的N N稱為階數(shù)。稱為階數(shù)。 舉例：當(dāng)舉例：當(dāng)N=1N=1時(shí)，零極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)為時(shí)，零極點(diǎn)均為實(shí)

35、數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)為: :應(yīng)用：一般作為相位校正。應(yīng)用：一般作為相位校正。 kz1kkpzkz1kkpz111( )1NkkkzzH zz z11( )1zaH zaz5.7 5.7 最小相位濾波器最小相位濾波器 定義：對(duì)于全部零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)的因果穩(wěn)定濾波器，稱定義：對(duì)于全部零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)的因果穩(wěn)定濾波器，稱 為最小相位濾波器為最小相位濾波器最小相位濾波器的性質(zhì)：最小相位濾波器的性質(zhì)：1 1）任何一個(gè)因果穩(wěn)定的濾波器）任何一個(gè)因果穩(wěn)定的濾波器 均可以用一個(gè)最小相位均可以用一個(gè)最小相位濾波器和一個(gè)全通濾波器濾波器和一個(gè)全通濾波器 級(jí)聯(lián)構(gòu)成，即級(jí)聯(lián)構(gòu)成，即2 2）對(duì)同一系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性相同的所有因果

36、穩(wěn)定系統(tǒng)中，）對(duì)同一系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲最小。最小相位系統(tǒng)的相位延遲最小。3 3）最小相位系統(tǒng)保證它的逆系統(tǒng)因果穩(wěn)定。）最小相位系統(tǒng)保證它的逆系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 minHz Hz apHz minapHzHz Hz例例5.7.15.7.1 確定下面確定下面FIRFIR系統(tǒng)的零點(diǎn)，并指出系統(tǒng)是最小，系統(tǒng)的零點(diǎn)，并指出系統(tǒng)是最小，最大相位系統(tǒng)還是混合相位系統(tǒng)。最大相位系統(tǒng)還是混合相位系統(tǒng)。解：將各系統(tǒng)函數(shù)因數(shù)分解，可得到它們的零點(diǎn)并進(jìn)而解：將各系統(tǒng)函數(shù)因數(shù)分解，可得到它們的零點(diǎn)并進(jìn)而判定系統(tǒng)的性質(zhì)。判定系統(tǒng)的性質(zhì)。 1212121212346,6653521

37、,12233HzzzHzzzHzzzHzzz 11,221,231,221,2:1 2,1 3,:2,3,:1 2,3,:2,1 3,HzzHzzHzzHzz 為最小相位系統(tǒng)。為最大相位系統(tǒng)。為混合相位系統(tǒng)。為混合相位系統(tǒng)。5.8 5.8 梳狀濾波器梳狀濾波器梳狀濾波器的原理：梳狀濾波器的原理： 例例5.8.15.8.1 已知已知 ，利用該系數(shù)函，利用該系數(shù)函數(shù)形成數(shù)形成N=8N=8的梳狀濾波器。的梳狀濾波器。解：解： 的零點(diǎn)是的零點(diǎn)是1 1，極點(diǎn)是，極點(diǎn)是a a，是一個(gè)高通濾波器，畫出，是一個(gè)高通濾波器，畫出它的零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線如下：它的零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線如下：111, 011

38、zHzaaz H z系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 傳輸函數(shù)傳輸函數(shù) H zjH eNzz系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)NH zj NH e 周期周期2 周期2N上例中梳狀濾波器零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線上例中梳狀濾波器零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線將將 的變量的變量z z用用 代替，得到代替，得到式中，式中，N=8N=8，零點(diǎn)，零點(diǎn)極點(diǎn)為極點(diǎn)為畫出它的零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線如上頁圖：畫出它的零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線如上頁圖： 注意：注意：此時(shí)的幅度特性的過渡帶比較窄，或者此時(shí)的幅度特性的過渡帶比較窄，或者說比較陡峭，有利于消除點(diǎn)頻信號(hào)而又不損說比較陡峭，有利于消除點(diǎn)頻信號(hào)而又不損傷其它信號(hào)。傷其它信號(hào)。 H

39、 zNz 1111zH zaz28,0,1, 2,7;jkkzek288,0,1, 2,7jkkpaek。例例5.8.25.8.2 設(shè)計(jì)一個(gè)梳狀濾波器，用于濾除心電信號(hào)中的設(shè)計(jì)一個(gè)梳狀濾波器，用于濾除心電信號(hào)中的50Hz50Hz及其諧波及其諧波100Hz100Hz干擾，設(shè)采樣頻率為干擾，設(shè)采樣頻率為200Hz200Hz。解：系統(tǒng)函數(shù)為解：系統(tǒng)函數(shù)為N N的大小決定于要濾除的點(diǎn)頻的位置，的大小決定于要濾除的點(diǎn)頻的位置，a a要盡量靠近要盡量靠近1 1。由采樣頻率算出由采樣頻率算出50Hz50Hz及其諧波及其諧波100Hz100Hz所對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻所對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率分別為：率分別為： 零點(diǎn)頻率為零點(diǎn)頻

40、率為: : 由由 ，求出，求出N=4N=4。250 1 2002和 ，2,0 1 2 3k N k ， ， 。22N 11NNzHzaza=0.9a=0.9時(shí)的幅頻特性時(shí)的幅頻特性-3-2-10123-101Real PartImaginary Part00.511.52012/幅度5.9 5.9 正弦波發(fā)生器正弦波發(fā)生器定義：濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓上，則可以形定義：濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓上，則可以形 成一個(gè)正弦濾波器。成一個(gè)正弦濾波器?；驹砘驹? :假設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，即假設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，即: : 令令 ，得到，得到: : ,x nAnX zA 110112012021

41、20sin12 cos1cos12 cosYzzHzX zzzYzzHzX zzz經(jīng)變換得時(shí)域信號(hào)分別為：經(jīng)變換得時(shí)域信號(hào)分別為：說明系統(tǒng)函數(shù)說明系統(tǒng)函數(shù) 和和 在在 的激勵(lì)下的激勵(lì)下可以分別產(chǎn)生正弦波和余弦波?？梢苑謩e產(chǎn)生正弦波和余弦波。實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu): : 1.1.數(shù)字正弦波發(fā)生器（如下圖數(shù)字正弦波發(fā)生器（如下圖1 1）2.2.數(shù)字正弦波、余弦波發(fā)生器（如下圖數(shù)字正弦波、余弦波發(fā)生器（如下圖2 2）3.3.軟件查表軟件查表 2Hz 1H z x nAn 101120102120sin1 2 cos1cos1 2 cosAzY zzzAzYzzz 1020sincosynAn u nynA

42、n u n+ + +1z1z x n+ +0sin02cos v n+ +- -+ + 1yn圖（）圖（）圖（）圖（）+ + +1z1z+ + + +- - x n v n2 20cos0sin 1yn 2y n-1-1本章小結(jié)本章小結(jié)1 1 理想濾波器理想濾波器0120,0,j njCeH eCn式中， 和 是常數(shù)其它理想低通濾波器的理想低通濾波器的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)0,0,j ncjceH e理想低通濾波器的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 00sincnnh nnn無限長非因果序列無限長非因果序列物理不可實(shí)現(xiàn)物理不可實(shí)現(xiàn)一階低通濾波器一階低通濾波器 1111,012 1azH zaaz一階高通濾波器一階高通濾波器 1111,012 1azH zaaz二階數(shù)字濾波器二階數(shù)字濾波器 1212zbzbH zGzpzp低通到高通低通到高通的簡單變換的簡單變換 ()()()1jjhplpnlphpHeHehnhn 低通低通高通高通 101011NMkkkkNMkkkkkky na y nkb x nky na y nkb x nk 數(shù)字諧振器數(shù)字諧振器 00000111101