《概率論》第2章§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

1、第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1 1/26/26XmR 2 的分布函數(shù)的分布函數(shù).XX2 0 , 0,( ),02,4/ 1 , 2xxF xxx)(xFyO1231x,02,2( )0,ttf t ( )xf t dt第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2 2/26/26r.v X( )( ) , xF xf t dtx ( )0,f t X( )f t第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨

2、機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布3 3/26/26( )0f t ( )1f t dt211221()()( )xxP xXxF xF xf x dx12 xx( )f x( )( )f xFxyxO( )fx12 xxx( )fxyO12P xXx x( )f x0()( )( )limxF xxF xf xx 0limxP xXxxx x( )P xXxxf xx xxxxO( )fxyP xXxx 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其

3、分布4 4/26/26501000PX r.v X2,100( ) 0 ,100kxxf xx 1( )f x dx2100kdxx100k 100k , kX( )F x( )( )xF xf t dt2100100,100 0 , 100 xdt xtx1001,100 0 , 100 xxxX100050501000( )PXf x dx10002100dxx50100911100()100100010第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布5 5/26/26 X. ,r v cP XcP aX

4、bP aXbP aXbP aXb X. ,r v cXc說(shuō)說(shuō) 明明 由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義；們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題 ，的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為若已知連續(xù)型隨機(jī)變量若已知連續(xù)型隨機(jī)變量xfX取取值值的的概概率率為為，也也可可以以是是無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間）上上間間；可可以以是是有有限限區(qū)區(qū)間間，閉閉區(qū)區(qū)間間，或或半半開(kāi)開(kāi)半半閉閉區(qū)區(qū)也也可可以以是是可可以以是是開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間（在在任任意意區(qū)區(qū)間間則則,GGX Gdxx

5、fGXP 4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第二章 隨機(jī)變量及其分布此公式非常重要！此公式非常重要！退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 1 1設(shè)設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 其其它它020242xxxcxf解：解： 由密度函數(shù)的性質(zhì)由密度函數(shù)的性質(zhì)；常常數(shù)數(shù)求求：c 1 XP 1 dxxf第二章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄 dxxf1得得 20224dxxxc2032322 xxcc38 83 c所所以以， 1 XP GdxxfGXP 4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第二章 隨機(jī)變量及其分布 2122483dxxx213232283 xx21 1dxxf退 出

6、前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 2某電子元件的壽命某電子元件的壽命 X（單位：小時(shí)）是以（單位：小時(shí)）是以 10010010002xxxxf為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求 5 個(gè)同類(lèi)型的元個(gè)同類(lèi)型的元件在使用的前件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)恰有小時(shí)內(nèi)恰有 2 個(gè)需要更換的概率個(gè)需要更換的概率.解：解： 設(shè)設(shè) A= 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)需要更換小時(shí)內(nèi)需要更換 4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第二章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 2（續(xù)）（續(xù)） 150 XPAP則則檢驗(yàn)檢驗(yàn) 5 個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做

7、一個(gè)5重重Bernoulli試驗(yàn)試驗(yàn)設(shè)設(shè) Y 表示表示5 個(gè)元件中使用壽命不超過(guò)個(gè)元件中使用壽命不超過(guò)150小時(shí)小時(shí) 的元的元件數(shù)，件數(shù)， 150dxxf 1501002100dxx31 32253231 C24380 4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第二章 隨機(jī)變量及其分布).3/1, 5( BY則則故所求概率為故所求概率為2 YP退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 3的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X 其它其它021210 xxxxxf的的分分布布函函數(shù)數(shù)試試求求 X解解： xdttfxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)00 xdttfxFx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)10 4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第二章 隨機(jī)變量及其分

8、布退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄 xtdt022x xdttfxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212 xx退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 3（續(xù)）（續(xù)） xdttfxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 xdttfdttfdttfdttf221100120121tdtt dt 4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第二章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 3（續(xù)）（續(xù)）的的分分布布函函數(shù)數(shù)量量綜綜上上所所述述，可可得得隨隨機(jī)機(jī)變變X xxxxxxxxF21211221020022 4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第二章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄第二章第二章

9、第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1515/26/26r.v XX( , )a b( , )XU a b ( )0f x , ( )badxf x dxba1( )f x( )f xOyx1b a ab ( ,)( , )c cLa bcLcdxP cXcLba1 ()LkLkbaba X( ,)c cLr.v X( , )a b1,( ) 0 ,axbbaf x第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1616/2

10、6/26,2XlXX2lXX(0,2 )Ul22XllXllXX/23 /2lXl /23 /2P lXl3 / 2/ 212lldxl12X2lXl第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1717/26/261,0( ) 0 , 0 xexf xxr.v XX0( )XEXP ( )0f x 01xedx( )f x( )f x1Ox( )fx0 te dt1, ( )f x dxX( )( )xF xf t dt01,0 0 , 0txedt xx1,0 0 , 0 xexxxO 1( ) xF第

11、二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1818/26/261,0( ) 0 , 0 xexf xx1, 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1919/26/26( ), 0,0XEXPst|P Xst Xs,P Xst XsP XsP XstP Xs1/1/xs txsedxedx()/s tsee/ te/1(1)te 1( )F tP Xt第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量

12、及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2020/26/2622()21( ),2xf xex r.v XX,0, 2( ,) 2( ,)XN ( )0f x 22()21( )2xf x dxedx22()21()2xxed2212tedt1212( )f x第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2121/26/2622()21( )2xf xe()()fxfx( )yf xxx,( )fxx,( )0,( )fxf x ( )f xx1( )2flim( )lim

13、( )0 xxf xf x( )yf xOx12xO( )f x2( )( )xfxf x 0,( )f xx2, : : : : 10.51.5第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2222/26/26第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2323/26/26人物介紹人物介紹第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其

14、分布2424/26/26Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2525/26/26( ) x222211( ), ( )22txxxexedt20,1(0,1)XNxxxO( )x( )x()x()1( )xx 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2626/26/262( ,) , (0,1)XNXN 2( ,),XN (

15、0,1)XZN( )ZFzP ZzZ XPzP Xz2()2212tzedt2212uzedu( ) z (0,1)ZN2( ,)XN ,tu:tz :uz 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2727/26/262( ,),XN 22 33 PXPXPX()/(0,1)XN PX 11XP (1)( 1) 2(1)10.682622 PX 22XP2(2)10.954433 PX 33XP 2(3)10.99740.68260.95440.9974%26.6822%44.9533%74.99(3

16、 ,3 ) 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2828/26/2642( ,(0.2) ). 4XN6.8 , 6.7 , 7.1 , 8.6.(6.86.77.18.6)/47.33|8.6|8.67.33|1.270.633第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2929/26/26, 1,2,kkpP Xxk12( ), ,p xP Xxxxx( ), f x dxP xXxdxx ( )p x( )f x dxr.v X( )f xr.v X1( )()1, ( )1kxkp xp xf x dx ( )( ) p xf x dx ( )( ) xp xf xdx( )f x 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨