氫原子的量子力學處理

1、氫原子的量子力學處理氫原子的量子力學處理2222222202() ( , , )40meEx y zxyzr，則勢能為，與核距離為，電量電子質(zhì)量rem20( )4eU rr 薛定諤方程cossinsincossinrzryrx用分離變量法,令( )( )( ,)( , ,)( )( )rR rR r Y 2220ldmd 221(sin) (1)0 sinsinlmddl ldd 22222012(1)()()04ddRmel lrERr drdrrr解此方程組可得波函數(shù)解此方程組可得波函數(shù),( , , )( , )ln ll mRr Yr(, )( , , )x,y zr 作變換有22222

2、22111()(sin)sinsinrrrrrr2202()04meEr 03211001000011( , , )( )( , )rarRrYea 032220020000011(, , )( )( , )24 2rarrRrYeaa 032221021100031, ,ecos423rarrRr Yaa 032221121110031, ,esin823rairrR r Yeaa 032221 1211 10031, ,esin823rairrR r Yeaa 電子的幾個波函數(shù), ,lnlmr 氫原子的量子力學結(jié)論氫原子的量子力學結(jié)論: :1）能量是量子化的n1,2,3.,主量子數(shù)與玻爾理

3、論結(jié)論相同。與玻爾理論結(jié)論相同。4222018nmeEnh 422013.68meeVh2113.6nEeVn 2)電子“軌道”角動量是量子化的0.1.2(1)ln(1) =(1)2hLl ll l角量子數(shù)角量子數(shù)或或副量子數(shù)副量子數(shù)3)3)角動量的空間取向是量子化的角動量的空間取向是量子化的角動量在空間取向不是任意的,以外磁場為Z軸方向,則角動量在Z軸上的分量:,zlLm0, 1, 2,.,lml 對于一定的角量子數(shù) 可以取 個值。,ll m2(1)l 磁量子數(shù)角動量L在Z軸上的投影LZ也只有 21l 0ZB1l ZB2l LL26022 =(1)Ll l ,zlLm0, 1,.,lml0,

4、 ,zL 2L 每個角動量與Z軸的夾角cos(1)(1)llZmmLLl ll larccos(1)lml l角動量的空間取向角動量的空間取向是量子化的是量子化的例例 假設氫原子處于假設氫原子處于l =3狀態(tài)，求軌道角動量狀態(tài)，求軌道角動量L及其及其與與z軸方向的夾角軸方向的夾角和投影值和投影值Lz。解：解： 321331llLlzmL 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2, 3lm3,2,0,2,3zLcos2 3(1)lZlmLLlml150,125,107,0 .90,3 .72,8 .54,0 .30無外磁場時氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)無外磁場時氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)n =1n =2n =3n

5、 =4n =5n =6l = 0 l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s電子的第電子的第n n 個能級個能級 E En n 是是 n n2 2 度簡并的度簡并的 粒子處在束縛態(tài)，對于第粒子處在束縛態(tài)，對于第 個能級個能級 ，角量子數(shù)，角量子數(shù)取取 ，共，共 個值；對于一個個值；對于一個 值，磁量子值，磁量子數(shù)數(shù) 可取可取 ，共，共 個值。因此，對于個值。因此，對于第第 個能級個能級 ，共有，共有1, 2, 1 , 0nl, 2, 1, 0)

6、 12(lnnElnllmnnE102) 12(531) 12(nlnnl個波函數(shù)，即個波函數(shù)，即 的簡并度為的簡并度為n n2 2nE121210211200,Ex.Ex.n n = 2 = 2 時，時，E E2 2 是是4 4度簡并的，對應的波函數(shù)有度簡并的，對應的波函數(shù)有 庫侖場中電子的能級庫侖場中電子的能級 只與只與 有關(guān)，與有關(guān)，與 無無關(guān)，對關(guān)，對 簡并，這是庫侖場所特有的。簡并，這是庫侖場所特有的。nEn( ,)ll mll m、2 2氫原子核外電子的概率分布氫原子核外電子的概率分布 電子處在點電子處在點 附近的體積元附近的體積元 中的概率中的概率d( , , )r 2( , ,

7、 )( , , )llnlmnlmPrrd *2( )( , )( )( , )sinlln ll mn ll mRr YRr Yrdrd d *22002( , ) sin( )( )( )lnlnlnllmP r drRr Rr r drYd d drrrRnl22)(電子處于半徑為電子處于半徑為 的球殼內(nèi)的概率的球殼內(nèi)的概率: :r r dr徑向概率密度：徑向概率密度：22( )( )nln lP rRrr徑向概率分布：徑向概率分布： 01 . 02 . 03 . 04 . 05 . 05100r a01ln01 . 02 . 0510150r a12ln0ra峰值位置： 1003/21

8、10( )2araRre徑向概率密度：徑向概率密度：22( )( )nln lP rRrr120003/2112123( )araaRrre04ra峰值位置：01 . 05101520250r a23ln09ra峰值位置：2110025.29 10hamme玻爾半徑玻爾半徑 玻爾的氫原子軌道半徑：玻爾的氫原子軌道半徑：20rn a結(jié)論：結(jié)論：電子在玻爾軌道上電子在玻爾軌道上出現(xiàn)的概率最大。出現(xiàn)的概率最大。 基態(tài)氫原子電子云基態(tài)氫原子電子云0a無外磁場無外磁場有外磁場有外磁場塞曼效應：塞曼效應：在磁場中一些光譜線在磁場中一些光譜線會發(fā)生分裂的現(xiàn)象。會發(fā)生分裂的現(xiàn)象。rvm電子環(huán)電流：電子環(huán)電流：

9、 reI2v軌道磁矩：軌道磁矩： 222rerreISvv電子的磁矩電子的磁矩 原子的殼層結(jié)構(gòu)原子的殼層結(jié)構(gòu)電子的角動量：電子的角動量： rmLvLme2軌道磁矩矢量式：軌道磁矩矢量式： 電子磁矩與磁場的相互作用能：電子磁矩與磁場的相互作用能：E- B cosBzEB BL22zzleLmemm 2lemBm2leEmBm lml, 2, 1, 0n12340l1l2llmlm000011011011022EeV6 .13eV40. 3eV51. 1eV85. 0lm在外磁場作用下，原來的一個能在外磁場作用下，原來的一個能級將分裂成（級將分裂成（2l + 1）個能級）個能級 。2EeBm電子磁

10、矩與磁場的相互作用能：電子磁矩與磁場的相互作用能：磁場中氫原子能量：42220182nlEEEmehmneBm 電子的自旋電子的自旋 銀原子束經(jīng)過非銀原子束經(jīng)過非均勻磁場后分裂均勻磁場后分裂成兩束，在照相成兩束，在照相底片上留下底片上留下兩條兩條感光條紋。感光條紋。 斯特恩斯特恩蓋拉赫實驗蓋拉赫實驗猜測：（1）電子有除了 軌道磁矩之外的一種未知磁矩。（2）該磁矩在外磁場方向只有兩種取向。1927年費浦斯和泰勒實驗: 基態(tài)的氫原子（基態(tài)的氫原子（l = 0）氫原子束分裂為氫原子束分裂為兩束兩束 1925年，烏倫貝克和哥德斯密特提出電子自旋假設：電子除年，烏倫貝克和哥德斯密特提出電子自旋假設：電子

11、除了具有軌道角動量外還具有了具有軌道角動量外還具有內(nèi)稟內(nèi)稟角動量。這是由于電子繞自身角動量。這是由于電子繞自身軸旋轉(zhuǎn)所引起的，故稱為軸旋轉(zhuǎn)所引起的，故稱為自旋角動量自旋角動量，簡稱，簡稱自旋自旋。 自旋量子數(shù)：自旋量子數(shù)：s 21s電子自旋角動量：電子自旋角動量： 1ssS23自旋角動量在外磁場方的分量：自旋角動量在外磁場方的分量：12zsSm sm自旋磁量子數(shù) 21sm2s zem ,SmeS自旋磁矩：原子在Z方向（磁場方向）所受到的力：2ZSSZBBBFZZZem 21oSzBs21sS四個量子數(shù)：四個量子數(shù)： 主量子數(shù)主量子數(shù) n（n = 1，2，3，）用于確定原子中）用于確定原子中電子

12、能量的主要部分；電子能量的主要部分； 軌道量子數(shù)軌道量子數(shù) （l ，l = 0，1，2， ，n-1），用于），用于確定電子的軌道角動量；確定電子的軌道角動量； 磁量子數(shù)磁量子數(shù) ml ， （ml = 0，1，2 ，l ），），用于確定軌道角動量的空間取向。用于確定軌道角動量的空間取向。 自旋量子數(shù)自旋量子數(shù) ms ， （ms = 1/2），用于確定自旋），用于確定自旋角動量的空間取向。角動量的空間取向。 電子的運動狀態(tài)由電子的運動狀態(tài)由4個量子數(shù)決定個量子數(shù)決定原子的殼層結(jié)構(gòu)模型：原子的殼層結(jié)構(gòu)模型： n1234567KLMNOPQ主殼層主殼層次殼層次殼層l0123456 spdfghi191

13、6年柯塞耳年柯塞耳具有相同主量子數(shù)n的電子構(gòu)成一個殼層（1 1）泡利不相容原理：）泡利不相容原理： 在一個原子中不可能有兩個或兩個以上的在一個原子中不可能有兩個或兩個以上的電子處于相同的狀態(tài)，即不可能具有相同電子處于相同的狀態(tài)，即不可能具有相同的四個量子數(shù)。的四個量子數(shù)。 給定的主量子數(shù)（主殼層）給定的主量子數(shù)（主殼層）n ：軌道量子數(shù)軌道量子數(shù) l 取值：取值：0，1，2，n-1，共，共 n個個 ； 磁量子數(shù)磁量子數(shù) ml 取值：取值：0，1,2 ,l , 共共 2l + 1個；個；自旋量子數(shù)自旋量子數(shù) ms 取值：取值：1/2，-1/2，共，共2個。個。2102122nlZnln最多容納電

14、子數(shù)：n = 1l = 0ms = 1/2 ，- 1/2ml = 0K殼層殼層s次殼層：次殼層： 兩個電子兩個電子 21s1110 010 022（， ， ，）和（， ， ，）n = 2，l = 0 ml = 0ms = 1/2 ，- 1/222sl = 1 ml = -1，0，1，ms = 1/2 ，- 1/262pL（n2）殼層共有八個電子。）殼層共有八個電子。 0123456Znspdfghi1, K222, L2683, M2610184, N261014325, O26101418506, P2610141822727, Q26101418222698原子殼層和次殼層上最多可能容納的電子數(shù)原子殼層和次殼層上最多可能容納的電子數(shù) ln（2）能量最小原理：）能量最小原理：在原子處于正常狀態(tài)下，每個在原子處于正常狀態(tài)下，每個電子