第一章函數(shù)與極限(極限)

1、1 1 第二節(jié)第二節(jié) 極限（數(shù)列的極限）極限（數(shù)列的極限）一、概念的引入一、概念的引入二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)2 2 R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2AnnA形的面積為形的面積為正正126 ,321nAAAAS“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣割，則與圓周合體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)、割圓術(shù)：三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在：三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)九章算術(shù) 注中講到注中講到劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入nnrSn

2、 sin23 3 例如例如; , 2 , , 8 , 4 , 2n; , 21 , , 81 , 41 , 21n2n21n二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義.)1().(.)1( , 321 21nnnxxxxx記為記為數(shù)列數(shù)列一般項(xiàng)一般項(xiàng)稱為數(shù)列的通項(xiàng)稱為數(shù)列的通項(xiàng)列的項(xiàng)，列的項(xiàng)，其中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)其中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)數(shù)列數(shù)列稱為無窮數(shù)列，簡稱為稱為無窮數(shù)列，簡稱為編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù)，按自然數(shù)按自然數(shù)定義定義4 4 注意：注意： 1. 數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx

3、2.數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)).(nfxn ; , )1( , , 1 , 1 , 11 n)1(1 n; , )1( , , 34 , 21 , 21nnn )1(1nnn , 333 , , 33 , 3 5 5 問題問題: 當(dāng)當(dāng) 無限增大時(shí)無限增大時(shí), 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 .)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變

4、化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限6 6 ,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定, 1時(shí)時(shí)只要只要 Nn.1成立成立有有 nx7 7 第二節(jié)第二節(jié) 極限（函數(shù)的極限）極限（函數(shù)的極限）一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限8 8 .sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)

5、觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限9 9 . 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:. )( Axxfy定的值定的值的函數(shù)值無限趨近于確的函數(shù)值無限趨近于確的過程中，對應(yīng)的過程中，對應(yīng)在在函數(shù)函數(shù) 問題：問題：1010 1.定義定義1111 :.10情形情形x:.20情形情形xAxfx )(limAxfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形 Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且1212 二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限

6、值時(shí)函數(shù)的極限. )( 0Axxxfy定的值定的值的函數(shù)值無限趨近于確的函數(shù)值無限趨近于確的過程中，對應(yīng)的過程中，對應(yīng)在在函數(shù)函數(shù) 問題：問題：1313 3.單側(cè)極限單側(cè)極限例如例如,. 1)(lim 0, 10,1)(02 xfxxxxxfx則則設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx, 0 xx 從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作, 0 xx 從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近. 00 xx記作記作yox1xy 112 xy1414 左極限左極限右極限右極限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxx

7、xx 或或記作記作1515 .)0()0()(lim 000AxfxfAxfxx 結(jié)論：結(jié)論：yx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx證明證明, 1)1(lim0 xxxxxxx00limlim . 11lim0 x.lim 50不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證例例xxx例題例題11616 例題例題2性質(zhì)：保號性性質(zhì)：保號性1717 第二節(jié)第二節(jié) 極限（無窮小與無窮大）極限（無窮小與無窮大）一、無窮小一、無窮小二、無窮大二、無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系1818 一、無窮小一、無窮小1.定義定義極限為零的變

8、量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.1919 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意: :1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2020 2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:.)(),()()(lim 1 00時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中定理定理xxxxAxfAxfxx 2121 3.無窮小性質(zhì)無窮小性質(zhì):例題例題32222 1.定義定義絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大. .二、無窮大二、無窮大2323 特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是但是 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.)(