剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)

1、3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)3.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理3.2.4 開普勒定律開普勒定律3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律3.2.5 例題分析例題分析3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律1. 力矩力矩對于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動而言：對于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動而言： MFdM rmF doFrM sinFr 對于定軸轉(zhuǎn)動而言：對于定軸轉(zhuǎn)動而言： zorFP/F FFrM Fr注意注意: : ( (1) )力矩是對點(diǎn)或?qū)S而言的力矩是對點(diǎn)或?qū)S而言的; ( (2) )一

2、般規(guī)定，使剛體逆時針繞定軸轉(zhuǎn)動一般規(guī)定，使剛體逆時針繞定軸轉(zhuǎn)動時時 ；使剛體順時針繞定軸轉(zhuǎn)動時；使剛體順時針繞定軸轉(zhuǎn)動時 . . 0 M0 M2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 對質(zhì)元對質(zhì)元 ，由，由牛頓第二運(yùn)動定律得牛頓第二運(yùn)動定律得 im iiamFF 內(nèi)力內(nèi)力外力外力zoir內(nèi)力內(nèi)力Fi im i 外力外力F ,其中其中 是質(zhì)元是質(zhì)元 繞繞轉(zhuǎn)軸作圓運(yùn)動的加速轉(zhuǎn)軸作圓運(yùn)動的加速度，寫為分量式如下：度，寫為分量式如下： iaim iiiiiniiiamFFamFFsinsincoscos內(nèi)內(nèi)力力外外力力內(nèi)內(nèi)力力外外力力 其中其中 和和 是質(zhì)元是質(zhì)元 繞軸作圓運(yùn)動繞軸作圓運(yùn)動的

3、法向加速度和切向加速度，所以的法向加速度和切向加速度，所以 ina iaim iiiiiiiirmFFrmFFsinsincoscos2內(nèi)內(nèi)力力外外力力內(nèi)內(nèi)力力外外力力切切向向：法法向向： 2sinsiniiiiiirmrFrF 內(nèi)力內(nèi)力外力外力法向力的作用線過轉(zhuǎn)軸法向力的作用線過轉(zhuǎn)軸, ,其力矩為零其力矩為零. . iiiiiiiiirmrFrF2sinsin內(nèi)力內(nèi)力外力外力內(nèi)力矩為零內(nèi)力矩為零外力矩為外力矩為M J轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時對慣性的量度描述轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時對慣性的量度描述. .3. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 iiir

4、mJ2 mdmrJ2適用于離散剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算適用于離散剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算適用于連續(xù)剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算適用于連續(xù)剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算 在國際單位制在國際單位制（SI）中，轉(zhuǎn)動慣量的單中，轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克二次方米，即位為千克二次方米，即 . . 2mkg 3.2.5 例題分析例題分析 1.一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量分別為分別為m 和和M 的物體，且的物體，且 . . 滑輪可滑輪可看作是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為看作是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為 ，半徑為半徑為R ， 轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如圖所示圖所示. .由于軸上有摩擦，

5、滑輪轉(zhuǎn)動時受到由于軸上有摩擦，滑輪轉(zhuǎn)動時受到了摩擦阻力矩了摩擦阻力矩 的作用的作用. . 設(shè)繩不可伸長且設(shè)繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動與滑輪間無相對滑動. .求物體的加速度及繩求物體的加速度及繩中的張力中的張力. . mM 阻阻Mm mG1TMG2T1a2a阻阻MRm mMo 解解 受力分析如圖所示受力分析如圖所示. .對上下做平動的兩物體，對上下做平動的兩物體，可以視為質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第可以視為質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第二運(yùn)動定律得二運(yùn)動定律得 2211MaTMgMmamgTm：對對：對對 若以順時針方向轉(zhuǎn)的若以順時針方向轉(zhuǎn)的力矩為正，逆時針轉(zhuǎn)的方力矩為正，逆時針轉(zhuǎn)的方向?yàn)樨?fù)，則由剛體定軸轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)，則由剛

6、體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律得動的轉(zhuǎn)動定律得 21221RmJMRTRT阻阻 Raaaa 21 據(jù)題意可知，繩與滑輪間無相對滑動，所據(jù)題意可知，繩與滑輪間無相對滑動，所以滑輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速以滑輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速度相等，即度相等，即 聯(lián)立以上三個方程，得聯(lián)立以上三個方程，得 2)(mmMRMgmMa 阻阻2)22()(1mmMRmMmgmMagmT 阻阻2)22()(2mmMRMMMgmmagMT 阻阻 注意：注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦阻力矩當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦阻力矩時，此時有時，此時有 ，物理學(xué)中稱這樣的滑輪，物理學(xué)中稱這樣的滑輪為為“理想滑輪理想滑輪”，稱這

7、樣的裝置為，稱這樣的裝置為阿特伍德阿特伍德機(jī)機(jī). . 21TT 2. 求長為求長為L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒AB 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量. . （2）對于通過棒的中點(diǎn)與棒垂直的軸對于通過棒的中點(diǎn)與棒垂直的軸. . （1）對于通過棒的一端與棒垂直的軸；對于通過棒的一端與棒垂直的軸；解解 （1）如圖所示，以過如圖所示，以過A 端垂直于棒的端垂直于棒的 為軸，沿棒長方向?yàn)闉檩S，沿棒長方向?yàn)閤 軸，原點(diǎn)在軸上，在軸，原點(diǎn)在軸上，在棒上取長度元棒上取長度元 ，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有: :dxoo xo odxxdmLAB mdmxJ2端端點(diǎn)點(diǎn) LdxLmx02231m

8、L （2）如圖所示，以過如圖所示，以過中點(diǎn)中點(diǎn)垂直于棒的垂直于棒的 為軸，沿棒長方向?yàn)闉檩S，沿棒長方向?yàn)閤 軸，原點(diǎn)在軸上，在軸，原點(diǎn)在軸上，在棒上取長度元棒上取長度元 ，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有: :dxoo mdmxJ2中中點(diǎn)點(diǎn) 222LLdxLmx2121mL xo odxxdm2LAB2LRo 3.試求質(zhì)量為試求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的勻質(zhì)圓環(huán)的勻質(zhì)圓環(huán)對垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量對垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量. . dm解解 作示意圖如右作示意圖如右, ,由于質(zhì)由于質(zhì)量連續(xù)分布，所以由轉(zhuǎn)動量連續(xù)分布，所以由轉(zhuǎn)動慣量的定義得慣量的定義得 mdmRJ2 R

9、dlRmR 20222mR lo 4.試求質(zhì)量為試求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的勻質(zhì)圓盤的勻質(zhì)圓盤對垂直于盤面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量對垂直于盤面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量. . rRdr解解 如圖所示如圖所示, , 由于質(zhì)由于質(zhì)量連續(xù)分布，設(shè)圓盤的量連續(xù)分布，設(shè)圓盤的厚度為厚度為l，則圓盤的質(zhì)量，則圓盤的質(zhì)量密度為密度為 lRm2 mdmrJ2 Rldrrr022 lR421 221mR 部分均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量部分均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量 薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直中心與盤面垂直221mrJ2r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑球體轉(zhuǎn)軸沿直徑522mrJl 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直中心與棒垂直1

10、22mlJl 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直端點(diǎn)與棒垂直32mlJ(2)(2)質(zhì)量元的選?。嘿|(zhì)量元的選?。?(dldxdm或線分布線分布面分布面分布 dsdm體分布體分布 dvdm(1)(1)剛體的轉(zhuǎn)動慣量：剛體的轉(zhuǎn)動慣量： 以上各例說明：以上各例說明：線分布線分布體分布體分布面分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。與軸的位置有關(guān)。 (3) (3)由于剛體是一個特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無相對位移，由于剛體是一個特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無相對位移，對于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時間變化，故對于對于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨

11、時間變化，故對于 定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù)。定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù)。 剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小與下列因素有關(guān)：剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小與下列因素有關(guān)： （1）形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動慣量大；轉(zhuǎn)動慣量大； （2）總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動慣量越大；越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動慣量越大； （3）對同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對軸的分布不同，轉(zhuǎn)動慣量的大小不同對軸的分布不同，轉(zhuǎn)動慣量的大小不同. . 3.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能(

12、 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 ) oo irim iv對于第對于第i 個質(zhì)元個質(zhì)元, ,動能為動能為221iikimEv 2221 iirm NikikEE121221 Niiirm對于整個剛體對于整個剛體, ,動能為動能為221 J 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動時力矩所做的功及功率剛體定軸轉(zhuǎn)動時力矩所做的功及功率oyxr dPrd FrdFdW dsF)cos( dFr)sin( MddW 0MdW MdtdMdtdWN 3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理0kkkEEEWW 內(nèi)內(nèi)力力外外力力,0 MdW外外力力, 0 內(nèi)內(nèi)力力W,21200 JEk .212 JEk 20222121210 JJ

13、MdJdMd積分形式：積分形式：微分形式：微分形式： 1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量J是桿的轉(zhuǎn)動是桿的轉(zhuǎn)動慣量慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動慣量與小球的轉(zhuǎn)動慣量J2之和之和.o練習(xí)練習(xí): 一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個大小可一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個大小可以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動.某瞬時細(xì)桿某瞬時細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動的角速度為在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動的角速度為 ，桿與豎直軸的夾角，桿與豎直軸的夾角為為 . 設(shè)桿的質(zhì)量為設(shè)桿的質(zhì)量為 、桿長為、桿長為 l，小球的質(zhì)量為小球的質(zhì)量為 .1m2m求：求： 1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量；）系統(tǒng)對軸

14、的轉(zhuǎn)動慣量； 2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能；）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能； 3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對軸的力矩）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對軸的力矩.gm1gm2解解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能為：）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能為：2k21JE22213121lmm)(3）系統(tǒng)所受重力有桿的重力和小球的重力）系統(tǒng)所受重力有桿的重力和小球的重力.則系統(tǒng)所受重力對軸的力矩的大小為：則系統(tǒng)所受重力對軸的力矩的大小為：21MMMglmlgmsinsin221glmmsin)(2121ogm1l 5. 如圖所示，一質(zhì)如圖所示，一質(zhì)量為量為M 、半徑為、半徑為R 的勻的勻質(zhì)圓盤形滑輪

15、，可繞一質(zhì)圓盤形滑輪，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動. . 圓盤上繞有質(zhì)量可不計(jì)圓盤上繞有質(zhì)量可不計(jì)的繩子，繩子一端固定的繩子，繩子一端固定在滑輪上，另一端懸掛在滑輪上，另一端懸掛一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 的物體，問的物體，問物體由靜止落下物體由靜止落下h 高度高度時時, , 物體運(yùn)動的速率為物體運(yùn)動的速率為多少？多少？ RMh 物體下降的加速度的物體下降的加速度的大小就是轉(zhuǎn)動時滑輪邊緣大小就是轉(zhuǎn)動時滑輪邊緣上切向加速度，所以上切向加速度，所以GTao RMh 解法一解法一 用牛頓第二運(yùn)動用牛頓第二運(yùn)動定律及轉(zhuǎn)動定律求解定律及轉(zhuǎn)動定律求解. .分分析受力如圖所示析受力如圖所示. . 對物

16、體對物體m用牛頓第二用牛頓第二運(yùn)動定律得運(yùn)動定律得 maTmg 對勻質(zhì)圓盤形滑輪用對勻質(zhì)圓盤形滑輪用轉(zhuǎn)動定律有轉(zhuǎn)動定律有 JTR 物體物體m 落下落下h 高度時的速率為高度時的速率為 Ra ah2 v221MRJ 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為 聯(lián)立以上五式，可得物體聯(lián)立以上五式，可得物體m 落下落下h 高度高度時的速率為時的速率為mMmgh22 v.2gh小于物體自由下落的速率小于物體自由下落的速率解法二解法二 利用動能定理求解利用動能定理求解. . 對于物體對于物體m 利用質(zhì)點(diǎn)的動能定理有利用質(zhì)點(diǎn)的動能定理有2022121vvmmThmgh 其中其中 和和 是物體的初速度和末速度是物體的

17、初速度和末速度. . 0vv對于滑輪由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理有對于滑輪由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理有2022121 JJTR 其中其中 是在拉力矩是在拉力矩TR 的作用下滑輪轉(zhuǎn)的作用下滑輪轉(zhuǎn)過的角度，過的角度， 和和 是滑輪的初末角速度是滑輪的初末角速度. . 0 由于滑輪和繩子間無相對滑動，所以物由于滑輪和繩子間無相對滑動，所以物體落下的距離應(yīng)等于滑輪邊緣上任意一點(diǎn)所體落下的距離應(yīng)等于滑輪邊緣上任意一點(diǎn)所經(jīng)過的弧長，即經(jīng)過的弧長，即 . . Rh, 00 v又又因因?yàn)闉? 00 ,R v.212MRJ 聯(lián)立以上各式，可得物體聯(lián)立以上各式，可得物體 m 落下落下h 高度高度時的速率為時的速率為mM

18、mgh22 v解法三解法三 利用機(jī)械能守恒定律求解利用機(jī)械能守恒定律求解. . 若把滑輪、物體和地球看成一個系統(tǒng)，若把滑輪、物體和地球看成一個系統(tǒng)，則在物體落下、滑輪轉(zhuǎn)動的過程中，繩子的則在物體落下、滑輪轉(zhuǎn)動的過程中，繩子的拉力拉力T 對物體做負(fù)功對物體做負(fù)功（ ），對滑輪做正，對滑輪做正功功（ ）即內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，所以即內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒. . Th Th 若把系統(tǒng)開始運(yùn)動而還沒有運(yùn)動時的狀若把系統(tǒng)開始運(yùn)動而還沒有運(yùn)動時的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，系統(tǒng)在物體落下高度態(tài)作為初始狀態(tài)，系統(tǒng)在物體落下高度h 時時的狀態(tài)作為末狀態(tài)，則的狀態(tài)作為末狀態(tài)，則 021

19、2121222 mghmRMRvv解之可得物體解之可得物體 m 落下落下h 高度時的速率高度時的速率. .3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律1. 角動量角動量( 動量矩動量矩 ) 對于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動而言：對于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動而言： LPrL rmvmP sinro vmr 在國際單位制在國際單位制（SI）中，角動量的單位為中，角動量的單位為12smkg irim ivzLiiiimrLv krmii 2 對于繞固定軸對于繞固定軸oz 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動的整個剛體而言動的整個剛體而言: : 對于繞固定軸對于繞固定軸oz的的轉(zhuǎn)動的質(zhì)元轉(zhuǎn)動的質(zhì)元 而言而言: : im JrmLNiii 2

20、角動量的方向不是沿軸的正向，就是沿角動量的方向不是沿軸的正向，就是沿軸的負(fù)向軸的負(fù)向, ,所以可用代數(shù)量來描述所以可用代數(shù)量來描述. . 2. 角動量定理（動量矩定理）角動量定理（動量矩定理） dtdJM dtJd dtdL dLJdMdt 微微分分形形式式：00 JJMdttt 積積分分形形式式：00LLMdttt 或或3. 角動量守恒定律角動量守恒定律 0 M若若： .0常常量量或或，則則： JLJddL即系統(tǒng)所受的合外力矩為零即系統(tǒng)所受的合外力矩為零.角動量守恒的條件角動量守恒的條件 角動量守恒的內(nèi)容角動量守恒的內(nèi)容 注意：注意：在推導(dǎo)角動量守恒定律的過程中受在推導(dǎo)角動量守恒定律的過程中

21、受到了剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范到了剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范圍卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這些限制圍卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這些限制. . 如如: : 滑冰運(yùn)動員的表演滑冰運(yùn)動員的表演. .3.2.4 開普勒定律開普勒定律1. 開普勒第一定律開普勒第一定律 每一行星繞太陽作橢圓軌道運(yùn)動，太陽是每一行星繞太陽作橢圓軌道運(yùn)動，太陽是橢圓軌道的一個焦點(diǎn)這一定律也稱為橢圓軌道的一個焦點(diǎn)這一定律也稱為軌道定軌道定律律 太陽太陽冥王星冥王星海王星海王星天王星天王星土星土星木星木星火星火星地球地球金星金星水星水星2. 開普勒第二定律開普勒第二定律 行星運(yùn)動過程中，行星相對于太陽的位矢行星運(yùn)動過程中，行星相對于太陽

22、的位矢在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等這一定律也在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等這一定律也稱為稱為面積定律面積定律. . 2a太陽太陽行星行星3. 開普勒第三定律開普勒第三定律 KTa 23.42稱稱為為開開普普勒勒常常數(shù)數(shù)其其中中 sMGK 行星繞太陽公轉(zhuǎn)時，橢圓軌道半長軸的立行星繞太陽公轉(zhuǎn)時，橢圓軌道半長軸的立方與公轉(zhuǎn)周期的平方成正比，即方與公轉(zhuǎn)周期的平方成正比，即這一定律也稱為這一定律也稱為周期定律周期定律 6. 哈雷慧星繞太陽運(yùn)行時的軌道是一個哈雷慧星繞太陽運(yùn)行時的軌道是一個橢圓，橢圓， 如圖所示，它距離太陽最近的距離是如圖所示，它距離太陽最近的距離是 , , 速率速率它離太陽最遠(yuǎn)時的速率它離

23、太陽最遠(yuǎn)時的速率這時它離太陽的距離這時它離太陽的距離 m1075. 810 近日近日r1-4sm1046. 5 近日近日v1-2sm1008. 9 遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日v？遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日 r遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日v近日近日v近日近日r遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日r解解 彗星受太陽引力的作用，而引力通過了彗星受太陽引力的作用，而引力通過了太陽，所以對太陽的力矩為零，故彗星在運(yùn)太陽，所以對太陽的力矩為零，故彗星在運(yùn)行的過程中角動量守恒行的過程中角動量守恒. . 于是有于是有 遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日近近日日近近日日vv rr遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日近近日日近近日日，因因?yàn)闉関v rr遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日近近日日近近日日遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日所所以以vvrr m1026. 512 遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日r

24、代入數(shù)據(jù)可代入數(shù)據(jù)可, 得得 7.如圖所示，一個長為如圖所示，一個長為l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為M 的的勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)動自由轉(zhuǎn)動. .一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 、速、速率為率為v 的子彈以與水平方向成角的子彈以與水平方向成角 的方向射的方向射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使桿的偏轉(zhuǎn)角為處，使桿的偏轉(zhuǎn)角為 . . 問子彈的初速率為多少？問子彈的初速率為多少？ 6030解解 把子彈和勻質(zhì)桿作為把子彈和勻質(zhì)桿作為一個系統(tǒng)一個系統(tǒng), , 分析可知在碰分析可知在碰撞過程中角動量守恒撞過程中角動量守恒. . 設(shè)子彈射入桿后與桿設(shè)子彈射入桿后與桿一同前進(jìn)的角速度為一同前進(jìn)的角速度為 , ,則

25、則 3060lav 223160cosmaMlamv 子彈在射入桿后與桿一起擺動的過程中只子彈在射入桿后與桿一起擺動的過程中只有重力做功，所以由子彈、桿和地球組成的系有重力做功，所以由子彈、桿和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有 30cos1230cos13121222 lMgmgamaMl 聯(lián)立上述這兩個方程得子彈的初速率為聯(lián)立上述這兩個方程得子彈的初速率為 22326322maMlmaMlgma v 8. 如圖所示，一根質(zhì)量為如圖所示，一根質(zhì)量為M 、長為、長為2l 的的均勻細(xì)棒，可以在豎直平面內(nèi)繞通過其中心均勻細(xì)棒，可以在豎直平面內(nèi)繞通過其中心的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，開始時細(xì)

26、棒靜止于水平的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，開始時細(xì)棒靜止于水平位置位置. . 今有一質(zhì)量為今有一質(zhì)量為m 的小球，以速度的小球，以速度 垂垂直向下落到了棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒的碰撞直向下落到了棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒的碰撞為完全彈性碰撞為完全彈性碰撞. . 試求碰撞后小球的回跳速試求碰撞后小球的回跳速度度 及棒繞軸轉(zhuǎn)動的角速度及棒繞軸轉(zhuǎn)動的角速度 . . uv oMllum解解 分析可知分析可知, ,以棒和小球組成的系統(tǒng)的角動以棒和小球組成的系統(tǒng)的角動量守恒量守恒. . 由于碰撞前棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以由于碰撞前棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以碰撞前系統(tǒng)的角動量就是小球的角動量碰撞前系統(tǒng)的角動量就是小球的角動量 ; ; lmu由于碰撞后小球以速度由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒獲得的角回跳，棒獲得的角速度為速度為 ，所以碰撞后系統(tǒng)的角動量為，所以碰撞后系統(tǒng)的角動量為 231Mllm v由角動量守恒定律得由角動量守恒定律得 231Mllmlmu v 由題意知，碰撞是完全彈性碰撞，所以由題意知，碰撞是完全彈性碰撞，所以碰撞前后系統(tǒng)的動能守恒，即碰撞前后系統(tǒng)的動能守恒，即 222231212121 Mlmmuv聯(lián)立以上兩式，可得小球的速度為聯(lián)立以上兩式，可得小球的速度為uMmMm 33v棒的角速度為棒的角速度為luMmm 36 0 v要保證小球回跳要保證小球回跳 ，