線性代數(shù)中必考知識(shí)點(diǎn)歸結(jié)總結(jié)

1、11.2.3.4.5.6.7.21.2008年線性代數(shù)必考的知識(shí)點(diǎn)、行列式n行列式共有n2個(gè)元素，展開(kāi)后有n!項(xiàng)，可分解為2n行列式； 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、州和a的大小無(wú)關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij =（-1） j AijAj = （1） j M ij設(shè)n行列式D :n（ n 丄） 將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D,，則Dt =（一1） D ；n（ n） 將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，所得行列式為 D2，則D2 =（-1） D ； 將D主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），

2、所得行列式為D3，則D3二D ；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為行列式的重要公式：主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積;、副對(duì)角行列式：畐U對(duì)角元素的乘積上、下三角行列式（|i ）匚和丄：副對(duì)角元素的乘積n （n 1）（-廠；:主對(duì)角元素的乘積;AOAC二 a|b|、CA=。ACBOBBO BC= (-1)mn AB拉普拉斯展開(kāi)式:n（ n 二）（-1廠；范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積; 特征值；n對(duì)于n階行列式A，恒有： E -A = n亠二（1）k Sk n_k，其中Sk為k階主子式;k士證明A =0的方法： 、A 7 ; 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax =0 ,證明其有非零解； 、利

3、用秩，證明r（A） : n ; 、證明0是其特征值；、矩陣A是n階可逆矩陣：A -0 （是非奇異矩陣）；=r（A） =n （是滿秩矩陣）二A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)；二齊次方程組 Ax二0有非零解；b Rn , Ax =b 總有唯一解；A與E等價(jià)；二A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；=A的特征值全不為0;=ata是正定矩陣；二A的行（列）向量組是 Rn的一組基;二A是Rn中某兩組基的過(guò)渡矩陣；2. 對(duì)于n階矩陣A : AA * = A* A=AE無(wú)條件恒 成立；1 * ii tt 1* tt *3. (A -)=( A)1(A -)=( A )-(A)=( A )(AB)T=BtAt(AB)二B

4、 A(AB)丄二B -A-4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、B可逆：:A若 A =A2 .，則：卜As丿I、A 卜 1 A2 II| As| ；A、0（主對(duì)角分塊）、O A 二。二逞 0丿 4（副對(duì)角分塊）、（拉普拉斯）（拉普拉斯）A 0 1A 丄 0C b-B 丄cab 13、矩陣的初等變換與線性方程組fEr 0 1. 一個(gè)m n矩陣A，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F= r；2 0扁 等價(jià)類：所有與 A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣A、B，若r

5、（A） = r但）：=AL B ；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣： 、只能通過(guò)初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元素必須為1 ； 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0;3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r 、若（A , E） （ E , X），則A可逆，且X =A丄；c 、對(duì)矩陣（A, B）做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A A B，即：（A B ）-（ E, AB）； 、求解線形方程組：對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax=b，如果（A, bQ （E, x），則A可逆，且x=Ab ；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行

6、矩陣、右乘為初等列矩陣； 、人= 址.，左乘矩陣A ,人乘A的各行元素；右乘， 芯乘A的各列元素;卜5.、對(duì)調(diào)兩行或兩列,、倍乘某行或某列，、倍加某行或某列，矩陣秩的基本性質(zhì):、符號(hào)符號(hào)符號(hào)廣1、r1)，且 E (i, j)- = E (i, j)，例如：1=1 1丿 1丿E (i , j)i1E (i (k)，且 E (i (k)-=： E (i(!)，例如: kE(ij(k)，且 E(ij(k)1 = E(ij(_k)，如:qCr1-k、1=11b 1(k = 0);0 r(Am nHmin(m, n)r(AT )二r(A)；若 ALB，則 r (A) = r (B)；若P、Q可逆，則r(

7、A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩max(r(A),r(B) r(A, B) r(A) r(B); ( )r(A - B) r(A) r(B);(探)、r(AB)乞min(r(A),r(B);(探)如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB =0U:(探)I、B的列向量全部是齊次方程組 AX = 0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；n、 r (A) r (B ) n、若A、B均為n階方陣，則r(AB) _ r(A) r(B)_n ;6. 三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量) 行矩陣(向量) 的形式，再采用結(jié)合律；彳a c 、型

8、如0 1 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；0 1 Jn二項(xiàng)展開(kāi)式：(a+b)n =C：an +C；anb1 +|切|+C：七 1bn丄 + C：bn =瓦；m zQ注：I、 (a b)n展開(kāi)后有n 1項(xiàng)； C =Cn =1 m!(n _m)!川、組合的性質(zhì)：Cnm二m . mm ACn 1 一 CnCnny =2nr -0心二 nG：；n、Cm _n(n 1)1111)1(n m+1) 、利用特征值和相似對(duì)角化:7.伴隨矩陣:ln 、伴隨矩陣的秩：r(A*)二1b 、伴隨矩陣的特征值：(AXZn .1、8.關(guān)于、r (A) r (A) r (A)=n=n-1 ；:n -1A = A A 1、|A =

9、 AA矩陣秩的描述：r(A)=n , A中有n階子式不為0, n 1階子式全部為 r(A) n , A中有n階子式全部為0;0;(兩句話)9.10.11.4、1.2.3.4.5.6.7. 、r（A） _n , A中有n階子式不為0;線性方程組：Ax=b，其中A為m n矩陣，則： 、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個(gè)方程； 、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;線性方程組Ax二b的求解：只能使用初等行變換）； 、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換 、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得； 由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程:anX1甌x2ina

10、nXn =b、a21 x1a 22 X 2山a2 nxn = b2I III川I川川川川川川Hill川am 1 x1am2 x2 -inanm xn =bn、1 a11a12H |a1 n1 x11a21a 22H |a2 n x2:J ： :二I fm1am 2 IIIamn ym 丿1 x 2 ty a2 川 a. ） ：= P7 、 Ax-b （向量方程，A為mxn矩陣， :I&丿（全部按列分塊，其中 p =b）；m個(gè)方程,n個(gè)未知數(shù)）、a1 x a 2 X2 TH PnXn -（線性表出）、有解的充要條件：r（A）二r（A, ） 1,=2, , : s線性相關(guān)，則:1,2,川=s, s

11、 1必線性相關(guān)；若1, ：2,川，:s線性無(wú)關(guān)，則1,2川1,s _L必線性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若r維向量組A的每個(gè)向量上添上 n-r個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無(wú)關(guān)，則B也線性無(wú)關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減） 簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；向量組A （個(gè)數(shù)為r ）能由向量組B （個(gè)數(shù)為s ）線性表示，且 A線性無(wú)關(guān)，則r乞s；向量組A能由向量組B線性表示，則r（A） _r（B）；向量組A能由向量組B線性表示8.9.10.11.12.13.14.15.16.5、1.2.3.4.AX =B有解；r(A)二 r (A, B)

12、向量組A能由向量組B等價(jià)二r (A)二r(B)二r(A, B)方陣A可逆二 存在有限個(gè)初等矩陣 P, P2,|,R，使A=RP2川R ; 、矩陣行等價(jià)：A B：=PA=B (左乘，R可逆)=Ax二0與Bx二0同解c 、矩陣列等價(jià)：A - B：= AQ=B (右乘，Q可逆)； 、矩陣等價(jià)：A - B= PAQ=B( P、Q可逆)；對(duì)于矩陣Am n與Bl n : 、若A與B行等價(jià)，貝y A與B的行秩相等； 、若A與B行等價(jià)，則Ax =0與Bx二0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；右 Am s Bs n Cm n ,則

13、： 、C的列向量組能由 A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)齊次方程組Bx =0的解一定是ABx二0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無(wú)需證明； 、ABx=0只有零解二Bx二0只有零解； 、Bx =0 有非零解 =ABx =0 定存在非零解；設(shè)向量組Bnr：b, b2,Hl, br可由向量組 An s : , a 2, , Ss線性表示為：(b , b2 川 I, b )=何，a 2JII, as) K ( B=AK )其中K為s r，且A線性無(wú)關(guān)，則B組線性無(wú)關(guān)r (K )= r ； ( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)

14、(必要性：r =r但)=r(AK) r(K), r(K) r” r(K) = r ;充分性：反證法)注：當(dāng)r二s時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用； 、對(duì)矩陣Am n，存在Qn m， AQ = Emr(A) = m、Q的列向量線性無(wú)關(guān)； 、對(duì)矩陣Amn，存在Pn m , PA二En=r(A)二M、P的行向量線性無(wú)關(guān)；：-12 JlL ： s線性相關(guān)：=存在一組不全為0的數(shù), kJI|,ks ,使得人冷 也2 Fl s：、二0成立；(定義)-川，氓j =0有非零解，即Ax=0有非零解；込s=r(：1,2,川，s) :：s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；設(shè)m n的矩陣A的秩為r，貝U n元齊次線性方程組

15、 Ax二0的解集S的秩為：r(S)=n-r ；若*為Ax=b的一個(gè)解，1,2,川，2為Ax =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則*,2, ,2線性無(wú)關(guān)；相似矩陣和二次型正交矩陣=AT A = E或A丄二At (定義)，性質(zhì)：Hj = j 、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aTa j(j ,j= 1,2,l|) n)；0i H j 、若A為正交矩陣，則 A丄=AT也為正交陣，且|A二1 ； 、若A、B正交陣，則 AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬(wàn)不要忘記 施密特正交化 和單位化；施密特正交化：(a, S2, , Sr)b = a ；b p -3忸- a 廠直山-辱*2-H Jb, bb b 1 bb ,2 b_ b , 1 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交； 、A與B等價(jià)二A經(jīng)過(guò)初等變換得到 B ；PAQ=B , P、Q 可逆；r(A)二r(B) , A、B 同型； 、A與B合同