第十講_習(xí)題課二

1、現(xiàn)代控制理論習(xí)題課二現(xiàn)代控制理論習(xí)題課二 王凱明王凱明長安大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系長安大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系第二章主要內(nèi)容：第二章主要內(nèi)容：21 線性連續(xù)定常齊次方程求解線性連續(xù)定常齊次方程求解主要知識點(diǎn)主要知識點(diǎn):1、齊次方程的解、齊次方程的解2、矩陣指數(shù)函數(shù)的定義、矩陣指數(shù)函數(shù)的定義 22 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣主要知識點(diǎn)主要知識點(diǎn):1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)；、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)； 2、幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)；、幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)；3、矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法。（定義法、變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型法、矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法。（定義法、變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型法、拉

2、氏反變換法、拉氏反變換法、凱萊哈密頓定理法）凱萊哈密頓定理法）23 線性定常系統(tǒng)的非齊次方程的解線性定常系統(tǒng)的非齊次方程的解主要知識點(diǎn)主要知識點(diǎn):1、線性定常非齊次方程解的一般形式線性定常非齊次方程解的一般形式2、典型輸入信號作用時、典型輸入信號作用時線性定常非齊次方程的解線性定常非齊次方程的解25 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解主要知識點(diǎn)主要知識點(diǎn):1、遞推法（迭代法）、遞推法（迭代法） 2、 Z變換法變換法 26 連續(xù)時間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化連續(xù)時間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化主要知識點(diǎn)主要知識點(diǎn):1、離散化方法；、離散化方法； 2、近似離散化方法；、近似離散化方法；【習(xí)題【

3、習(xí)題21 】試證明同維方陣試證明同維方陣A和和B,當(dāng)當(dāng)AB=BA時時, 而當(dāng)而當(dāng) 時時,tBABtAteee)( BAABtBABtAteee)( 【證明】【證明】（1）根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)定義有：）根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)定義有：kkAttAktAAtIe!1!2122kkBttBktBBtIe!1!2122222)2(!21)(tBABAtBAIeeBtAtkktBAtBAktBAtBAIe)(!1)(! 21)(22)(故當(dāng)故當(dāng)AB=BA時有時有:tBABtAteee)( 當(dāng)當(dāng) 時時,BAABtBABtAteee)( 【習(xí)題【習(xí)題23 】已知矩陣已知矩陣452100010A試用拉氏反變換法求試用拉氏

4、反變換法求Ate【解】【解】4521001sssAsI22231252) 4(214542541)()(ssssssssssssAsIAsIadjAsI2413) 1(12818) 1(32414) 1(22212) 1(12415) 1(32212) 1(22111) 1(12112) 1(321) 1(2) 2() 1() 2() 1(25) 2() 1(2) 2() 1() 2() 1() 4() 2() 1(2) 2() 1(1) 2() 1(4) 2() 1(54)(222222222222222222221ssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

5、sssssssssssssssAsIttttttttttttttttttttttttttAteeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteetessssssssssssssssssssssssssLAsILe222222222222222222111438834422245322222322413) 1(12818) 1(32414) 1(22212) 1(12415) 1(32212) 1(22111) 1(12112) 1(321) 1(2)(【習(xí)題【習(xí)題24 】用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù)用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù)Ate0410)1 (A1411)2(A【解】解法

6、一【解】解法一:根據(jù)定義直接計算根據(jù)定義直接計算2222224141410410!2104101001!1!21tttttttAktAAtIekkAt)1 (222222225.21445.211411!2114111001!1!21tttttttttttAktAAtIekkAt解法二解法二:變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型)2(0441)1 (2AIj22, 1200101T5 .00011T0220200104105 .00011ATTAttttettttettA2cos2sin2sin2coscossinsincosttttttttTTeetAAt2cos2sin22sin5 .02co

7、s5 .00012cos2sin2sin2cos20011)2(0321411AI31212211T212121PP25.05 .025.05 .01T30011ATTAtttAeee300tttttttttttAAteeeeeeeeeeTTee3333315 .05 .025.025.05 .05 .025.05 .025.05 .0002211解法三解法三:拉氏反變換法拉氏反變換法)1 (ssAsI41444414)(22221ssssssAsI2211122144()444cos 20.5sin 22sin 2cos 2AtssseLsIALssstttt2222211()s i nc

8、o sa ta tL a p l a c eesat esaaa tsasa tsa變換表：)2(1411ssAsI35 .015 .03111325.0125.035 .015 .0)3)(1(1)3)(1(4)3)(1(1)3)(1(1)(1ssssssssssssssssssAsIttttttttAteeeeeeeeAsILe3333115 . 05 . 025. 025. 05 . 05 . 0)(解法四解法四:凱萊凱萊哈密頓定理法哈密頓定理法特征方程特征方程:04412AItteeeejeejjeejjeettjtjtjtjtjtjtjtjttt2sin2cos)(25. 0)(5

9、. 025. 025. 05 . 05 . 0212111)()(2222222211211021ttttttttAtIteAt2cos2sin22sin5 . 02cos02sin22sin5 . 002cos002cos)()(10)1 ()2(032AI特征方程特征方程:)(25. 0)3(25. 025. 025. 025. 075. 0311111)()(333311211021tttttttttteeeeeeeeeettttttttttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeAtIte3333333333105.05.025.025.05.05.0)(2

10、5.0)()(25.0)(25.0)3(25.000)3(25.0)()(【習(xí)題【習(xí)題25 】下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件,如果滿如果滿足足,試求與之對應(yīng)的試求與之對應(yīng)的A陣陣tttttsincos0cossin0001)()1 (tteet220)1 (211)()2(tttttttteeeeeeeet22222222)()3()(21)()(41)(21)()4(3333tttttttteeeeeeeet【解】【解】 )1 ( 主要驗(yàn)證矢量不變性主要驗(yàn)證矢量不變性:)()()(2112tttt和組合性質(zhì)和組合性質(zhì):Itt)()(Itttttttttt

11、100010001)sin()cos(0)cos()sin(0001sincos0cossin0001)()(故故:該矩陣不滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件該矩陣不滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件)2(10010)1 (2110)1 (211)()(2222tttteeeett故故:該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件tttteeeedtdt222220)00)1 (211)(201020)00)1 (211)()(2222tttteeeettA)3(Ieeeeeeeeeeeeeeeetttttttttttttttttt2222222222222222)()(tttttttttttttttte

12、eeeeeeeeeeeeeeedtdt222222224224222222)(31204224222222)()(22222222tttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeettA)4(Ieeeeeeeeeeeeeeeetttttttttttttttttt)(21)()(41)(21)(21)()(41)(21)()(33333333)3(21)3()3(41)3(21)(21)()(41)(21)(33333333tttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeedtdt1411)3(21)3()3(41)3(21)(21)()(41)(21)()(3333

13、3333tttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeettA【習(xí)題【習(xí)題26 】求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解xyuxx01100010初始狀態(tài)為初始狀態(tài)為 ,輸入輸入 是單位階躍函數(shù)是單位階躍函數(shù) )(tuTx11)0(【解】【解】 先求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣先求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1011011)()(2111tsssLAsILt1121)( 11010111101)()()0()()(20tttdttdButxttxtto【習(xí)題【習(xí)題210 】有離散系統(tǒng)如下有離散系統(tǒng)如下,求求 )(kx)()(1001)(21818121) 1(21kukukxkx3)0(1)0(21

14、xx輸入輸入 是從斜坡函數(shù)是從斜坡函數(shù)t采樣而來，采樣而來， 是從是從 同步采樣而來。同步采樣而來。)(1ku)(2kute【解】【解】 TezzzuzzTzu)() 1()(221)85)(83(21)85)(83(81)85)(83(81)85)(83(2121818121)(11zzzzzzzzzzzzGzITTezzzzzTzzzzzzzzzzzezzzzTzzzzzzzzzzzzHuzxGzIzx3)1()85)(83(21)85)(83(81)85)(83(81)85)(83(21)1(100131)85)(83(21)85)(83(81)85)(83(81)85)(83(21)(

15、)0()()(221)()85()83()1()1()()85()83()1()1()()1)(85)(83()()()1)(85)(83()()(25242322221151413122112221TTTTezzCzzCzzCzzCzzCezzCzzCzzCzzCzzCezzzzzzBezzzzzzBzxkkkkkkeCCCCkTCeCCCCkTCkx2524232221151413121185838583)(【習(xí)題【習(xí)題211 】某離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下。某離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下。（1）寫出系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程）寫出系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程（2）當(dāng)采樣周期）當(dāng)采樣周期T=0.1S時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（3）輸入為單位階躍函數(shù)，初始條件為零的離散輸出）輸入為單位階躍函數(shù)，初始條件為零的離散輸出y(t)（4）t=0.25s時刻的輸出值。時刻的輸出值。 零階零階保持器保持器)2)(1(1ss)(ty)(trT【解】【解】)2)(1(1)1 ()2)(1(11)(1sssZzssseZzGTsTTTTTTTTTTTTTezeezeezezeeeeezezzezzzzzsssZzzG22223221112)(2