高等數(shù)學-第七版-課件-3-5 函數(shù)的單調性與曲線的凸凹性.

1、第五講 函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調性二、曲線的凹凸性三、小結函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調性二、曲線的凹凸性三、小結一、函數(shù)的單調性一、函數(shù)的單調性（一）概念（二）判定（三）應用一、函數(shù)的單調性一、函數(shù)的單調性（一）概念（二）判定（三）應用x1x2x1x2xoyxoy一、函數(shù)的單調性一、函數(shù)的單調性（一）概念（二）判定（三）應用一、函數(shù)的單調性一、函數(shù)的單調性（一）概念（二）判定（三）應用判定定理判定定理設函數(shù)設函數(shù)y= =f( (x) )在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內可導內可導(

2、1)如果在如果在(a,b)內內f (x)0,且等號僅在有限多個點成立，且等號僅在有限多個點成立，那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x)在在a,b上單調增加上單調增加;(2)如果在如果在(a,b)內內f (x)0,且等號僅在有限多個點成立，且等號僅在有限多個點成立，那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x)在在a,b上單調減少上單調減少.判定定理判定定理設函數(shù)設函數(shù)y= =f( (x) )在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內可導內可導(1)如果在如果在(a,b)內內f (x)0,且等號僅在有限多個點成立，且等號僅在有限多個點成立，那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x)在在a,b上單調增加上單調增加;(2)如果在如果在(a,

3、b)內內f (x)0,且等號僅在有限多個點成立，且等號僅在有限多個點成立，那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x)在在a,b上單調減少上單調減少.u例例1 判定函數(shù)判定函數(shù)sinyxx 在在 0,2 上的單調性上的單調性u例例2 討論函數(shù)討論函數(shù)1xyex 的單調性的單調性u例例3 討論函數(shù)討論函數(shù)32yx 的單調性的單調性xoy單調區(qū)間的求法單調區(qū)間的求法(1) 明確函數(shù)的定義域明確函數(shù)的定義域(2) 求出導數(shù)等于零的點，明確不可導點求出導數(shù)等于零的點，明確不可導點(3) 將上述點從小到大排列，把定義區(qū)間劃分為若干子區(qū)間將上述點從小到大排列，把定義區(qū)間劃分為若干子區(qū)間(4) 在每個子區(qū)間上討論導數(shù)的符號

4、，判定函數(shù)的單調性在每個子區(qū)間上討論導數(shù)的符號，判定函數(shù)的單調性(5) 歸納歸納u例例432(1)yxx確定函數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間的單調區(qū)間一般結論一般結論如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外，如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外，導數(shù)存在且連續(xù)，導數(shù)存在且連續(xù)，那么用那么用f (x)=0的根及的根及f (x)不存在的點劃分不存在的點劃分函數(shù)的定義區(qū)間，就能保證函數(shù)的定義區(qū)間，就能保證f (x)在各部分區(qū)間保持固定符號在各部分區(qū)間保持固定符號.一、函數(shù)的單調性一、函數(shù)的單調性（一）概念（二）判定（三）應用一、函數(shù)的單調性一、函數(shù)的單調性（一）概念（二）判定（三）

5、應用利用函數(shù)的單調性證明不等式利用函數(shù)的單調性證明不等式u例例5xx132當當1x 時時 證明證明證明思路證明思路不等式不等式()()fx 變形變形( )f a ()( )( )fxf af a ()0 (0) ()fxxa （以證明（以證明x a 時某不等式成立為例）時某不等式成立為例）函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調性二、曲線的凹凸性三、小結函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調性二、曲線的凹凸性三、小結二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性（一）概念（二）判定（三）應用二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性（一）概念（二）判定（三）應用x

6、1x2xoy12()()2fxfx 122xxf oxy1x2x122xx 定義定義設函數(shù)設函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)，如果對上連續(xù)，如果對I上上任意兩點任意兩點x1，x2 2恒有恒有那么稱那么稱f(x)在在I上上的圖形是（向上）凹的的圖形是（向上）凹的（或凹?。ɑ虬蓟。﹛yo1212()()22xxfxfxf 1x2x122xx 如果如果恒有恒有1212()()22xxfxfxf 那么稱那么稱f(x)在在I上上的圖形是（向上）凸的（或凸?。┑膱D形是（向上）凸的（或凸?。┒x定義x1x2xoy設設y= =f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)，上連續(xù)，x0 0是是I的內點。的內點

7、。如果曲線如果曲線y= =f( (x) )在經過點在經過點( (x0 0, ,f( (x0 0)時，曲線時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點的凹凸性改變了，那么就稱點( (x0 0, ,f( (x0 0)為為這曲線的拐點。這曲線的拐點。注：注：拐點：曲線上的點拐點：曲線上的點二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性（一）概念（二）判定（三）應用二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性（一）概念（二）判定（三）應用設設f( (x) )在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內具有一階和二階導數(shù)，那么內具有一階和二階導數(shù)，那么判定定理判定定理(1)若在若在( (a, ,b)內內f(x)0,則則f(x)在在a, ,b

8、上的圖形是凹的；上的圖形是凹的；(2)若在若在( (a, ,b)內內f(x)0,則則f(x)在在a, ,b上的圖形是凸的上的圖形是凸的. .xyo設設f( (x) )在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內具有一階和二階導數(shù)，那么內具有一階和二階導數(shù)，那么判定定理判定定理(1)若在若在(a,b)內內f(x)0,則則f(x)在在a,b上的圖形是凹的；上的圖形是凹的；(2)若在若在(a,b)內內f(x)0,則則f(x)在在a,b上的圖形是凸的；上的圖形是凸的；xyo1x2x122xx 1212()()22xxfxfxf 設設f( (x) )在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內具有一階和二階

9、導數(shù)，那么內具有一階和二階導數(shù)，那么判定定理判定定理(1)(1)若在若在( (a, ,b)內內f(x)0,則則f(x)在在a, ,b上的圖形是凹的；上的圖形是凹的；u例例6 判定曲線判定曲線lnyx 的凹凸性的凹凸性u例例7 判定曲線判定曲線3yx 的凹凸性的凹凸性u例例8 判定曲線判定曲線3yx 的凹凸性的凹凸性(2)(2)若在若在( (a, ,b)內內f(x)0,則則f(x)在在a, ,b上的圖形是凸的；上的圖形是凸的；2212xye 確定曲線確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點的凹凸區(qū)間和拐點u例例9解解: 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為(,) 2212xyxe 2212xye 22212xx e 2

10、221(1)2xex 由由0y 得得121,1xx 用上述點將用上述點將(,) 分為三個部分區(qū)間分為三個部分區(qū)間(,1, 1,1,1,) 2212xye 確定曲線確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點的凹凸區(qū)間和拐點u例例9列表討論列表討論xf (x)f (x) 1(,1) ( 1,1) 1(1,) 2221(1)2xyex 00凹凹凹凹凸凸在在(,1 和和1,) 上曲線是凹的上曲線是凹的在在上曲線是凸的上曲線是凸的 1,1 曲線的拐點為曲線的拐點為:1( 1,)2 e 和和1(1,)2 e xyo凹凸區(qū)間及拐點的求法凹凸區(qū)間及拐點的求法(1) 明確函數(shù)的定義域明確函數(shù)的定義域(2) 求出二階導數(shù)等于零的點

11、，明確二階不可導點求出二階導數(shù)等于零的點，明確二階不可導點(3) 將上述點從小到大排列，把定義區(qū)間劃分為若干子區(qū)間將上述點從小到大排列，把定義區(qū)間劃分為若干子區(qū)間(4) 在每個子區(qū)間上討論二階導數(shù)的符號，判定曲線的凹凸性在每個子區(qū)間上討論二階導數(shù)的符號，判定曲線的凹凸性(5) 歸納歸納(6) 曲線上凹凸性發(fā)生變化的點即為拐點曲線上凹凸性發(fā)生變化的點即為拐點u例例10 確定曲線確定曲線的凹凸性和拐點的凹凸性和拐點4xy xyo注注若若f (x0)=0或或f (x)在在x0處二階導數(shù)不存在處二階導數(shù)不存在,點點(x0,f (x0) 不一定是曲線不一定是曲線y=f(x)的拐點的拐點二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性（一）概念（二）判定（三）應用二、曲線的凹凸性二、曲線的凹凸性（一）概念（二）判定（三）應用利用曲線的凹凸性證明不等式利用曲線的凹凸性證明不等式u例例11lnln()ln(0,0,)2xyxxyyxyxyxy 證明證明函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調性二、曲線的凹凸性三、小結函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調性二、曲線的凹凸性三、小結函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性曲線的凹凸性曲線的凹