第一章--2(矩陣與數(shù)值分析)

1、1.3 1.3 向量與矩陣的范數(shù)向量與矩陣的范數(shù) 在討論實數(shù)、復(fù)數(shù)的大小、誤差時，將任意的實數(shù)變量或復(fù)數(shù)變量都與一個非負(fù)實數(shù) xxfxx（2）齊次性齊次性yxyx （3）三角不等式三角不等式 注意到注意到 滿足以下三個性質(zhì)：滿足以下三個性質(zhì)：xxf)(0 x（1）非負(fù)性非負(fù)性 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時時 0 x0 x相聯(lián)系，用它來度量著變量或誤差的大小。把任意一個向量與一個非負(fù)實數(shù)聯(lián)系起來，這個非負(fù)實數(shù)必須能夠度量向量的大小。例如,向量的模(長度).設(shè)想設(shè)想問題問題如何度量一個向量 對另一個向量 的逼近程度?xy巧合巧合向量的模(長度) 也滿足三個性質(zhì):x（3）三角不等式三角不等式xyxy（2）齊

2、次性齊次性xx（1）非負(fù)性非負(fù)性 ; ;當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時時, ,0 xx00 x 二、研究向量序列、級數(shù)的收斂準(zhǔn)則向量范數(shù)的主要應(yīng)用向量范數(shù)的主要應(yīng)用：一、研究向量值誤差估計由向量長度的三個性質(zhì)抽象出的概念就是 向量范數(shù)向量范數(shù)AR :實數(shù)域 C:復(fù)數(shù)域 nC :n維復(fù)向量空間 m nC:nm維復(fù)矩陣集合 ( ):A方陣A的譜半徑 T:xnR : 維實向量空間 nm nR:nm維實矩陣集合 T:A的轉(zhuǎn)置 的轉(zhuǎn)置 矩陣 向量xH:xH:A的共軛轉(zhuǎn)置 的共軛轉(zhuǎn)置 向量矩陣xA1.3.1 1.3.1 向量范向量范數(shù)數(shù)0 x （1）非負(fù)性非負(fù)性 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時時 x00 xxx（2）齊次性齊

3、次性yxyx （3）三角不等式三角不等式則稱函數(shù) 為上的一個向量范數(shù)nC以及任意復(fù)常數(shù)( )fxxC,y即對任意向量 和nC( 維復(fù)向量空間）上的一個非負(fù)，若該函數(shù)滿足以下三個條件： 定義在實值函數(shù)，記為nx定義定義1.41.4常用的向量范數(shù) 表示 的模ixix,),(21Tnxxxx向量 inixx1max-范數(shù): -范數(shù):niix11x2-范數(shù):221niixx P -范數(shù):11()1nppipixp x以1-范數(shù)為例,驗證范數(shù)定義中的三個條件。（1）非負(fù)性非負(fù)性11niixx（2）齊次性齊次性（3）三角不等式三角不等式1111nniiiixxxx1111111()nnnniiiiiiii

4、iixyxyxyxyxy顯然顯然1-范數(shù)和2-范數(shù)分別是p-范數(shù)在，2時的特例。而-范數(shù)是p-范數(shù)當(dāng) 時的極限。事實上,p 111(max)maxnpppppiiii ni nixnxn xxx兩邊開 次方得p111()npppiixnxx令 ,由夾逼準(zhǔn)則,得p pxx例例1 1 求向量 的，2和-范數(shù)。3,4,12Tx解解1341219x 222234( 12)13x max3, 4,1212x例例2 2 求向量 的，2和-范數(shù)。343Ti,ix解解1343527xiimax34 ,35xii22234325429xii 對于給定的任意一種向量范數(shù)xxWW范數(shù)可以表為，其加權(quán)的它的每一個分量

5、的權(quán)系數(shù)。,其中 W 為對角矩陣，其對角元便是加權(quán)加權(quán)1-1-范數(shù)為：范數(shù)為： 1xxWW1321200030001xxx32123xxx3123( ,),Tx x xCx,20003000133CW例如,對 加權(quán)加權(quán)2-2-范數(shù)為：范數(shù)為：2Wxwx2123222149xxx加權(quán)向量范數(shù)例例 對任給3321),(CxxxTx,試問下列實值函數(shù)是否構(gòu)成向量范數(shù)？ ,2. 1321xxx,52. 2321xxx,. 3434241xxx32123. 4xxx答：答：1.1.和2.都不滿足非負(fù)性條件，不是向量范數(shù)；3.不滿足齊次性條件，不是向量范數(shù)；4. 滿足加權(quán)向量范數(shù)的定義，構(gòu)成向量范數(shù)。1x

6、2x111112x12x1x2x111112221 xx1x2x11111, 1max21xx1, 1max21xx1, 1max21xx121xx121 xx121 xx121xx121 xx向量的，向量的，2 2和和-范數(shù)的幾何意義范數(shù)的幾何意義等價范數(shù)等價范數(shù)。 xxx21cc 則稱 和 為 上的 nC定義定義nC設(shè)和為上的兩種向量范數(shù)，使得若存在兩個與向量 無關(guān)的正常數(shù)1,c2,cx1nxxx2nxxx1211nxxx例如，1.3.2 向量范數(shù)的等價性定理1.2 上的任意兩種向量范數(shù)均等價。nC 0detAIA定義定義稱如下集合為矩陣稱如下集合為矩陣 的譜的譜nnCA稱如下實數(shù)為矩陣稱如下實數(shù)為矩陣 的譜半徑的譜半徑nnCA iim