高二數(shù)學(xué)推理與證明蘇教版知識精講)

1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)推理與證明推理與證明蘇教版蘇教版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 推理與證明二. 本周教學(xué)目標(biāo)： 1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活實例，了解合情推理，能利用歸納和類比等方法進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)中的作用。 2. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活實例，了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的模式，并能運用它們進(jìn)行一些簡單的推理。 3. 了解直接證明的兩種基本方法分析法與綜合法；了解間接證明的一種基本方法反證法。三. 本周知識要點：（一）合情推理與演繹推理1. 歸納推理與類比推理（1）已知數(shù)列的通項公式，記 na)Nn() 1n(1a2n，試通過計算的值，推

2、測出的值。)a1 ()a1)(a1 ()n(fn21 )3(f),2(f),1 (f)n(f（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則 na)Nn,m, nm(ya , xanm?，F(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且nmnymxanm )Nn, 0b(bnn，類比以上結(jié)論，可得到什么結(jié)論？你能說明結(jié)論的正確)Nn,m, nm(yb, xbnm性嗎？【學(xué)生討論：】 （學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測如下）（1）43411a1) 1 (f164329843)911 () 1 (f)a1)(a1 ()2(f2185161532)1611 ()2(f)a1)(a1)(a1 ()3(f321由此猜想，) 1n(22n)n(f（2）結(jié)論：nm1

3、nmnm)yx(b證明：證明：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以bnqnmnmqbbnm1nm1nm)yx()bb(q所以nm1nmnmnnmnm)yx()yx(xqbb如（1）是從個別事實中推演出一般結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。 如（2）是根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理。說明：說明：（1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。（2）歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。從已知的相同性

4、質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想） 。（3）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。（4）類比推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或者一致性。用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想） 。2. 演繹推理現(xiàn)在冰雪覆蓋的南極大陸，地質(zhì)學(xué)家說它們曾在赤道附近，是從熱帶飄移到現(xiàn)在的位置的，為什么呢？原來在它們的地底下，有著豐富的煤礦，煤礦中的樹葉表明它們是闊葉樹。從繁茂的闊葉樹可以推知當(dāng)時有溫暖濕潤的氣候。所以南極大陸曾經(jīng)在溫濕的熱帶。被人們稱為世界屋脊的西

5、藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜馬拉雅山橫空出世，雄視世界。珠穆朗瑪峰是世界第一高峰，登上珠峰頂，一覽群山小。誰能想到，喜馬拉雅山所在的地方，曾經(jīng)是一片汪洋，高聳的山峰的前身，竟然是深不可測的大海。地質(zhì)學(xué)家是怎么得出這個結(jié)論的呢？科學(xué)家們在喜馬拉雅山區(qū)考察時，曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)高山的地層中有許多魚類、貝類的化石。還發(fā)現(xiàn)了魚龍的化石。地質(zhì)學(xué)家們推斷說，魚類貝類生活在海洋里，在喜馬拉雅山上發(fā)現(xiàn)它們的化石，說明喜馬拉雅山曾經(jīng)是海洋?？茖W(xué)家們研究喜馬拉雅變遷所使用的方法，就是一種名叫演繹推理的方法。1. 演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法。2. 演繹推理的一

6、般模式分析喜馬拉雅山所在的地方，曾經(jīng)是一片汪洋的推理過程：魚類、貝類、魚龍，都是海洋生物，它們世世代代生活在海洋里大前提在喜馬拉雅山上發(fā)現(xiàn)它們的化石小前提喜馬拉雅山曾經(jīng)是海洋結(jié)論 MP（M 是 P）常用格式： SM（S 是 M） SP（S 是 P）三段論：（1）大前提已知的一般原理（2）小前提所研究的特殊情況（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷用集合論的觀點分析：若集合 M 中的所有元素都具有性質(zhì) P，S 是 M 的一個子集，那么 S 中所有元素也都具有性質(zhì) P。練習(xí)：分析下面幾個推理是否正確，說明為什么？（1）因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，xay （2）因為無理數(shù)是無限小數(shù)而是指數(shù)函數(shù) 而

7、是無限小數(shù)xy)21(所以是增函數(shù) 所以 是無理數(shù)xy)21(（3）因為無理數(shù)是無限小數(shù)，而（=0.333）是無限小數(shù)，所以是無理數(shù)3131說明：說明：在應(yīng)用“三段論”進(jìn)行推理的過程中，大前提、小前提或推理形式之一錯誤，都可能導(dǎo)致結(jié)論錯誤。比較：合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個體到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理。從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待于進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。人們在認(rèn)識世界的過程中，需要通過觀察、實驗等獲取經(jīng)驗；也需要辨別它們的真

8、偽，或?qū)⒎e累的知識加工、整理，使之條理化，系統(tǒng)化，合情推理和演繹推理分別在這兩個環(huán)節(jié)中扮演著重要的角色。就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理。因此，我們不僅要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想。（二）直接證明與間接證明1. 綜合法與分析法（1）綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理證明，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法又叫順推證法。它的基本思路是“由因?qū)Ч?，即從“已知”得“可知” ，再逐步推向未知的方法。（2）分析法我們從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，

9、把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法，它的特點是：從未知看需知，再逐步靠近已知。2. 間接證明反證法一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。（三）數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）證明：當(dāng) n 取第一個值時結(jié)論正確；0n（2）假設(shè)當(dāng) n=k（k，且 k）時結(jié)論正確，證明當(dāng) n=k+1 時結(jié)論也正確。N0n由（1） ， （2）可知，命題對于從 n0開始的所有正整數(shù) n 都正確。數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題： 遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫

10、忘掉?！镜湫屠}典型例題】例 1. 如圖所示，在銳角三角形 ABC 中，ADBC，BEAC，D，E 為垂足，求證：AB的中點 M 到 D，E 的距離相等。 A E M B D C 證明：證明：（1）因為有一個內(nèi)角為直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD 中，ADBC，ADB90，小前提 所以ABD 是直角三角形。 結(jié)論同理，AEB 也是直角三角形（2）因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，大前提而 M 是 RtABD 斜邊 AB 的中點，DM 是斜邊上的中線，小前提所以 DM，結(jié)論AB21同理，EM。 所以 DMEMAB21例 2. 已知，求證：。1xyz22213xyz證法一（綜合法）

11、：證法一（綜合法）：22222213()3xyzxyz2222222221()()()3xyzxyyzzx2222111(222)(),333xyzxyyzzxxyz22213xyz證法二（分析法）：證法二（分析法）：，為了證明，1xyz22213xyz只需證明 ，2222333()xyzxyz即 ，222222333222xyzxyzxyyzzx即 ，222222222xyzxyyzzx即 ，222222(2)(2)(2)0 xxyyyxyzzzxx即 . 成立，222()()()0 xyyzzx成立 22213xyz例 3：證明：不能為同一等差數(shù)列的三項。 5, 3,2證明：證明：假設(shè)、為

12、同一等差數(shù)列的三項，則存在整數(shù) m，n 滿足235=+md =+nd 3252nm 得：nm=（nm）352兩邊平方得： 3n2+5m22mn=2（nm）215 左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)無理數(shù)所以，假設(shè)不正確。即 、不能為同一等差數(shù)列的三項235例 4. 通過計算可得下列等式：11212221222322 132342212) 1(22nnn將以上各式分別相加得：nnn)321 (21) 1(22即：2) 1(321nnn類比上述求法：請你求出的值。2222321n解：解： 11313122331232323233 1333334233133) 1(233nnnn將以上各式分別相加

13、得：nnnn)321 (3)321 (31) 1(222233所以： 2131) 1(3132132222nnnnn) 12)(1(61nnn例 5.自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用表示某魚群在第年年初的總量，且nxn Nn0。不考慮其它因素，設(shè)在第年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與1xnnx成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)。2nxcba, （）求與的關(guān)系式；1nxnx （）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)，滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？1xcba,（不要求證明）解：解：（I）從第 n 年初到第 n+1 年初，魚群

14、的繁殖量為 axn，被捕撈量為 bxn，死亡量為 221,*.(*)nnnnnncxxxaxbxcxnN因此1(1),*.(*)nnnxx abcxnN 即（II）若每年年初魚群總量保持不變，則 xn恒等于 x1， n，從而由（*）式得N. 0*, 0)(11cbaxcxbaNncxbaxnn即所以恒等于因為 x10，所以 ab。猜測：當(dāng)且僅當(dāng) ab，且時，每年年初魚群的總量保持不變。 cbax1【模擬試題模擬試題】1. 如果數(shù)列是等差數(shù)列，則 naA. B. 1845aaaa1845aaaaC. D. 1845aaaa1845a aa a2. 下面使用類比推理正確的是 A. “若，則”類推出

15、“若，則”33ab ab00ababB. “若”類推出“”()ab cacbc()a b cac bcC. “若” 類推出“ （c0） ”()ab cacbcababcccD. “” 類推出“”nnaa bn（b）nnaabn（b）3. 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為 A. 大前提錯誤 B. 小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D. 非以上錯誤4. 設(shè)，nN，則)()(,sin)(010 xfxfxxf21( )( ),fxfx1( )( )nnfxfx2007( )fx A. B. C. D. sin xsin xcosxc

16、osx5. 在十進(jìn)制中，那么在 5 進(jìn)制中數(shù)碼 2004 折012320044 100 100 102 10 合成十進(jìn)制為 A. 29B. 254C. 602 D. 20046. 函數(shù)的圖像與直線相切，則=21yaxyxaA. B. C. D. 11814127. 下面的四個不等式：； cabcabcba222411 aa2abba；。其中不成立的有 22222bdacdcbaA. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個8. 類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的兩邊 AB、AC 互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關(guān)系：。若三棱錐 ABCD 的三個側(cè)面222BCACABA

17、BC、ACD、ADB 兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為 。9. 從中，可得到一般規(guī)律為 2211 2343 2，3+4+5+6+7=5（用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）10. 函數(shù) yf（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù) y=f（x+2）是偶函數(shù)，則 f（1） ，f（2.5） ，f（3.5）的大小關(guān)系是 。11. 在ABC 中，判斷ABC 的形狀CBCBAcoscossinsinsin12. ABC 三邊長的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：。, ,a b c90B13. 在各項為正的數(shù)列中，數(shù)列的前 n 項和滿足 nanSnnnaaS121 （1） 求；（2） 由（1）猜想數(shù)列的通項公式；（3） 求321,aaa nanS【試題答案試題答案】 1. B2. C3. C4. D5. B6. B7. A8. .2222ADBACDABCBCDSSSS9. 2(1)(2).