第四章4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用.

1、4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的方程的應(yīng)用 直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐以及數(shù)學(xué)直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐以及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，下面通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明直線中有著廣泛的應(yīng)用，下面通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明直線與圓的方程在實(shí)際生活以及平面幾何中的應(yīng)用與圓的方程在實(shí)際生活以及平面幾何中的應(yīng)用.問(wèn)題：?jiǎn)栴}：趙州橋的跨度是趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為，圓拱高約為7.2m你能用一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？你能用一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程

2、表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何結(jié)論成幾何結(jié)論. 例例1：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的的長(zhǎng)度（精確到長(zhǎng)度（精確到0.01m)yx解解：建系如圖，建系如圖，02+(4b)2= r2102+(0b)2=r2解得：

3、解得：b= 10.5 ， r2=14.52 .所以圓的方程是：所以圓的方程是： x2 +(y+10.5)2 = 14.52把點(diǎn)把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo) x = 2 代入圓的方程，得代入圓的方程，得 (2)2+(y+10.5)2=14.52因?yàn)橐驗(yàn)閥0,所以所以y=14.52 (2)2 10.514.3610.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的長(zhǎng)度約為的長(zhǎng)度約為3.86m。由題意可設(shè)圓的方程：由題意可設(shè)圓的方程：x2 + (y-b)2 = r2因因P(0，4)、B(10，0)都在圓上，都在圓上，例例1：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱

4、跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱需用一個(gè)支柱支撐，求支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度（精確到的長(zhǎng)度（精確到0.01m)yxC1解解2：練習(xí)：練習(xí)：趙州橋的跨度是趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為，圓拱高約為7.2m你能用一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？你能用一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？建立如圖所示的直角坐標(biāo)系建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. 解解：即有即有A(18.7，0)，B (18.7，0)，P(0，7.2) .OCxy則由題意：則由題意：|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.設(shè)所求圓的方程是設(shè)所求圓的方程是(x a)2 + (y

5、 b)2 = r2. 222222222(18.7),(18.7),(7.2)abrabrabr則則解方程組得解方程組得a = 0，b = 20.7，r = 27.9.所以這圓拱橋的拱圓的方程是所以這圓拱橋的拱圓的方程是: x2 + (y + 20.7)2 = 27.92(0y7.2)2.如圖，等腰梯形如圖，等腰梯形ABCD的底邊長(zhǎng)分別為的底邊長(zhǎng)分別為6和和4，高，高為為3，求這個(gè)等腰梯形的外接圓的方程，并求這個(gè)，求這個(gè)等腰梯形的外接圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng).xyOEABCD解：解：建立直角坐標(biāo)系如圖，建立直角坐標(biāo)系如圖， 則則, )03( ，B).32( ，

6、CBC邊的中點(diǎn)：邊的中點(diǎn)：),2325( ，M直線直線BC的斜率：的斜率：3203 BCk. 3 線段線段BC的中垂線：的中垂線：)25(3123 xy線段線段AB的中垂線：的中垂線：0 x),320( ，圓心圓心E半徑長(zhǎng)半徑長(zhǎng):22)02()30(| EB.385 等腰梯形的外接圓的方程：等腰梯形的外接圓的方程：.985)32(22 yx. 例例2. 已知四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的已知四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和，求證它的對(duì)角線互相垂直平方和，求證它的對(duì)角線互相垂直.xyO證明：證明：已知四邊形已知四邊形ABCD（如圖），（如圖），|AB|2 + |CD|2 =

7、|BC|2 + |AD|2求證：求證：AC BD .ABCD建系如圖建系如圖:設(shè)設(shè)A(a, 0) , B(0 , b)，C(c ,0) , D(x , y) .|AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |AD|222222222)()(yaxcbycxba 即即0)( xca,0 ca. 0 x從而從而D(0 , y) 在軸上在軸上. AC BD .例例3.已知圓已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線直線l: (2m+1)x +(m+1)y = 7m +4 (mR).（1）求證：不論）求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓與圓C恒相交；恒相交；（2）求直線）求直線

8、l 被圓被圓C截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線 l 的方程的方程.的方程變形得：的方程變形得：）將直線）將直線（l1解：解：.，方方程程成成立立對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)m 04072yxyx.13），（恒恒過(guò)過(guò)定定點(diǎn)點(diǎn)，直直線線對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)Alm.13 yx22)21()13( AC又又，內(nèi)內(nèi)在在圓圓點(diǎn)點(diǎn)CA.恒相交恒相交與圓與圓，直線，直線對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)Clm，）（）（0472 yxmyx5 5 分析：分析：（1）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，直線，直線l與圓與圓C恒相交，則直線恒相交，則直線l必必過(guò)圓內(nèi)過(guò)圓內(nèi)(上上)一定點(diǎn)，因此應(yīng)從直線一定點(diǎn)，

9、因此應(yīng)從直線l過(guò)定點(diǎn)的角度去考慮問(wèn)題；過(guò)定點(diǎn)的角度去考慮問(wèn)題；.2垂直的弦垂直的弦直徑直徑被圓截得最短的弦是與被圓截得最短的弦是與）由平幾知識(shí)可得，）由平幾知識(shí)可得，（ACl3112 ACk2 lk)3(21 xyl：直線直線.052最短時(shí)的直線方程最短時(shí)的直線方程被圓截的線段被圓截的線段為直線為直線即即lyx |2|ABBD 最短弦長(zhǎng)為最短弦長(zhǎng)為.CABD的距離為的距離為到直線到直線，此時(shí)圓心此時(shí)圓心052)21( yxC22)1(2|52112| CA5252 分析：分析：（2）根據(jù)平面幾何定理，過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)是過(guò)這）根據(jù)平面幾何定理，過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)是過(guò)這點(diǎn)的與弦心距垂直的

10、弦。點(diǎn)的與弦心距垂直的弦。21 5 .54 （2）求直線）求直線 l 被圓被圓C截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線 l 的方程的方程.解解.2垂直的弦垂直的弦直徑直徑被圓截得最短的弦是與被圓截得最短的弦是與）由平幾知識(shí)可得，）由平幾知識(shí)可得，（ACl3112 ACk2 lk)3(21 xyl：直線直線.052最短時(shí)的直線方程最短時(shí)的直線方程被圓截的線段被圓截的線段為直線為直線即即lyx .CABD21 （2）求直線）求直線 l 被圓被圓C截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線 l 的方程的方程.解解0322 xx221221)()(|yyxxAB

11、 則則得得設(shè)設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2),最短時(shí)的直線方程最短時(shí)的直線方程. 25)2()1(05222yxyx由由221221)52()52()( xxxx2212)(21(xx |21212xx 212214)(5xxxx )3(4)2(52 .54 |1212xxk 2122124)(1xxxxk 若直線若直線l:y=kx+b與與圓圓C: (xa)2 + (yb)2=r2交于交于A(x1, y1), B(x2, y2)，弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：則則221221)()(|yyxxAB 221221)()()(bkxbkxxx 2212)(1(xxk |1|212xxkAB y=

12、kx+b(xa)2 + (yb)2=r202 mqxpx課堂練習(xí)課堂練習(xí)教材教材132頁(yè)頁(yè) 1, 3, 4課后作業(yè)課后作業(yè)2. 教輔課時(shí)作業(yè)教輔課時(shí)作業(yè)36頁(yè)頁(yè) 4.2.31. 教材第教材第132頁(yè)頁(yè) 習(xí)題習(xí)題4.2 B組組 1 43. 教輔教輔161頁(yè)頁(yè)163頁(yè)頁(yè) .2|0344)4()0()4()0(22 CDDCyxyxABbbBaaA兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且、相交于相交于與圓與圓，直線，直線，已知點(diǎn)已知點(diǎn)解：解：.)3()2()4)(4()1(面積的最小值面積的最小值求求的軌跡方程；的軌跡方程；中點(diǎn)中點(diǎn)求線段求線段；的值的值求求AOMMABba :)1(AB由題意知直線由題意知直線1 byax

13、)44( ba，又由圓又由圓5)2()2(:22 yx2|22|22 baabab，0448 baab.8)4)(4( ba.2| CD且且AB2442-2-2OxyCD.0 abaybx即即)44( ba，知圓心到直線知圓心到直線AB的距離的距離，2 d即即化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為EM練習(xí)：練習(xí)：，則，則，（的中點(diǎn)的中點(diǎn)設(shè)線段設(shè)線段)2(yxMAB由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：2020byax ，ybxa22 ，即即將它代入將它代入8)4)(4( ba8)42)(42 yx（得得4)2)(2( yx得得)22( yx，.中點(diǎn)的軌跡方程中點(diǎn)的軌跡方程即為所求線段即為所求線段AB|21)3(MAOMy

14、OAS 221ba 得得由由8)4)(4( ba844 baab2 baSAOM6)4()4( ba6)4)(4(2 ba 624 .624)(min AOMS44 ba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)8)4)(4( ba時(shí)，時(shí)，即即422 baAB2442-2-2OxyCD.EMab41 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用（）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用（x,y）表示）表示曲線上任意一點(diǎn)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)（2）寫(xiě)出適合條件）寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)的點(diǎn)M的集合的集合 P=M | p(M); (3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程，列出方程 f(x,y)=

15、0 (4)化方程化方程 f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式為最簡(jiǎn)形式（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。線上的點(diǎn)。建系、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn)等量關(guān)系等量關(guān)系坐標(biāo)化坐標(biāo)化化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)查缺補(bǔ)漏查缺補(bǔ)漏接法、代入法、參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法：直練習(xí)練習(xí)3. 已知定點(diǎn)已知定點(diǎn) A(3，0)，P是圓上是圓上 x2 +y2 =1 上的動(dòng)點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)，AOP 的平分線交的平分線交 PA 于于N ，求點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡的軌跡.解：解：|OPOANPAN yyxx341340012020 yx1)34()134(22 yx169)43(22 yx即即3 MPxyAO.N設(shè)設(shè) N(

16、x，y) ，P(x0，y0) ， 則由角平分線性質(zhì)得則由角平分線性質(zhì)得NPAN3 即即 ), 3(yx),(300yyxx )33 ,33(00yyxx yyyxx3333300 點(diǎn)點(diǎn)N軌跡是以軌跡是以( ,0)為圓心、為圓心、 為半徑的圓為半徑的圓 .4343169)43(22 yx即即解解2： 設(shè)設(shè) N(x，y) ，MPxyAO.N),03( ，A|OPOANPAN 3 NPAN3 ), 3(yx)sin,(cos3yx 點(diǎn)點(diǎn)N軌跡是以軌跡是以( ,0)為圓心、為圓心、 為半徑的圓為半徑的圓 .4343練習(xí)練習(xí)2. 已知定點(diǎn)已知定點(diǎn) A(3，0)，P是圓上是圓上 x2 +y2 =1 上的動(dòng)

17、點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)，AOP 的平分線交的平分線交 PA 于于N ，求點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡的軌跡.，)sin(cos P則由角平分線性質(zhì)得則由角平分線性質(zhì)得又又 sin43cos4343yx為參數(shù)）為參數(shù)） (例例4.)21(822的弦的弦且傾斜角為且傾斜角為為過(guò)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)，內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn)圓圓 PABPyx 解：解：時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)43)1( )1(2 xyAB的方程為的方程為直線直線01 yx即即.30 的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；時(shí)，求時(shí)，求當(dāng)當(dāng)AB43)1( .2的方程的方程平分時(shí)，直線平分時(shí)，直線被點(diǎn)被點(diǎn)當(dāng)弦當(dāng)弦）（ABPAB作作OMAB于于M，連連OB，則則 |AB| = 2|MB| 22|OMOB 222|100| OM又又，8| OB2182| ABM143tan kAB的斜率為的斜率為直線直線.P例例4.)21(822的弦的弦且傾斜角為且傾斜角為為過(guò)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)，內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn)圓圓 PABPyx 解解2：時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)43)1( )1(2 xyAB的方程為的方程為直線直線1 xy即即 8122yxxy07222 xx221221)()(|yyxxAB 的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；時(shí)，求時(shí)，求當(dāng)當(dāng)AB43)1( .2的方程的方程平分時(shí)，直線平分時(shí)，直線被點(diǎn)被點(diǎn)當(dāng)弦當(dāng)弦）（ABPAB則則由由得得P.143tan kAB的斜率為的斜率為直線直線