北科自動(dòng)化控制工程基礎(chǔ)-第二章

1、2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系1設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)應(yīng)完成哪些工作？設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)應(yīng)完成哪些工作？控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定性分析控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定性分析控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定量分析控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定量分析控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合控制對(duì)象控制對(duì)象和和控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)的的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型本章任務(wù)本章任務(wù)2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系22、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程2.2 2.2 線性系統(tǒng)的

2、復(fù)頻域模型線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.3 2.3 方框圖與信號(hào)流圖方框圖與信號(hào)流圖2.4 2.4 狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式2.5 2.5 控制系統(tǒng)不同模型間的關(guān)系控制系統(tǒng)不同模型間的關(guān)系小小 結(jié)結(jié)2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系3本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)簡單物理系統(tǒng)的微分方程的列寫；簡單物理系統(tǒng)的微分方程的列寫；非線性模型的線性化方法；非線性模型的線性化方法；傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)矩陣的概念；傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)矩陣的概念；結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的變換與化簡；結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的變換與化簡； 狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式；狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表

3、達(dá)式；控制系統(tǒng)不同模型形式及其之間的轉(zhuǎn)換?？刂葡到y(tǒng)不同模型形式及其之間的轉(zhuǎn)換。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系42.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程dttduCtitutRidttdiLtuccr)()()()()()( 例例2.1.12.1.1研究研究RLCRLC電路，試找出輸出電壓電路，試找出輸出電壓u uc c(t)(t)隨輸入隨輸入電壓電壓u ur r(t)(t)變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。解解R R、C C、L L以及初以及初始始u uc c(0)(0)確定時(shí)確定時(shí), ,已已知知u ur r(t)(t)就可以確就可以確定定u uc c(

4、t)(t)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc 2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系52.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程例例2.1.22.1.2如圖：由質(zhì)量為如圖：由質(zhì)量為mm的木塊、彈性系數(shù)為的木塊、彈性系數(shù)為K K的的彈簧和阻尼系數(shù)為彈簧和阻尼系數(shù)為B B的系統(tǒng)，試找出木塊的的系統(tǒng)，試找出木塊的位移位移x(t)x(t)與外力與外力f(t)f(t)之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。( ) ( )ddx tf tBdt22( )( )( )( )d x tdx tmBKx tf tdtdt22( )( )( )( ) sdd x

5、 tf tf tf tmdt( )( )sf tKx t解解mm、K K、B B以及初以及初始始x(0)x(0)確定時(shí)確定時(shí), ,已已知知f(t)f(t)就可以確定就可以確定x(t)x(t)2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系62.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)電樞電路，取電樞電壓電樞電路，取電樞電壓u ua a為輸入量為輸入量, ,電動(dòng)機(jī)角電動(dòng)機(jī)角速度速度m m為輸出量為輸出量, ,討論討論它它們們之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。aaaaaaEtiRdttdiLtu )()()(電樞回路電壓平衡方程：電樞回路電壓平衡方程

6、：電磁轉(zhuǎn)矩方程：電磁轉(zhuǎn)矩方程：ammtiCM)( 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma )()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm 例例2.1.32.1.3解解電樞反電勢(shì)電樞反電勢(shì)m( )aeECt是電樞電流產(chǎn)生的電動(dòng)是電樞電流產(chǎn)生的電動(dòng)轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)矩是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)mMmC是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩(t)McJm:Jm:電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

7、；量；fm:fm:電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的黏電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的黏性摩擦系數(shù)；性摩擦系數(shù)；2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系72.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 注意觀察三個(gè)示例的微分方程注意觀察三個(gè)示例的微分方程 可以通過求解得到可以通過求解得到ur(t)uc(t)，f(t)x(t)之間內(nèi)在運(yùn)之間內(nèi)在運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。動(dòng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。 進(jìn)而改造系統(tǒng)進(jìn)而改造系統(tǒng)-選擇適當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)腞、L、C和和m、B、K得得到希望的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。到希望的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其

8、許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其物理背景可能完全不一樣，物理背景可能完全不一樣， 可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來表示，我們可以不單獨(dú)地去研究具體系統(tǒng)而只分來表示，我們可以不單獨(dú)地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即它們具有相同的析其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即它們具有相同的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。這。這類系統(tǒng)被稱為類系統(tǒng)被稱為相似系統(tǒng)相似系統(tǒng)。2.1.32.1.22.1.1例例例)()()()()()()()()()()()()()()()(222222tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLtftKxdttdxBdttxdmtutudttduRCdttudLCcaca

9、ammemmammamammarccc2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系82.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程控制控制系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)施加控制（即輸入控制信號(hào)），對(duì)系統(tǒng)施加控制（即輸入控制信號(hào)），從而得到系統(tǒng)輸出量（即受控量）隨時(shí)間的變化規(guī)律從而得到系統(tǒng)輸出量（即受控量）隨時(shí)間的變化規(guī)律（即輸出響應(yīng)信號(hào)）。（即輸出響應(yīng)信號(hào)）?？刂葡到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)描述系統(tǒng)特性的物理學(xué)定律，根據(jù)描述系統(tǒng)特性的物理學(xué)定律，如機(jī)械，電氣，熱力，液壓等方面的基本定律寫出。如機(jī)械，電氣，熱力，液壓等方面的基本定律寫出。展示系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中各變

10、量之間的相互關(guān)系，既定展示系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中各變量之間的相互關(guān)系，既定性又定量地描述整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程。性又定量地描述整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程。 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，表達(dá)式，是分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。是分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。靜態(tài)模型：靜態(tài)模型：在靜態(tài)條件下（即變量不隨時(shí)間變化），描述變?cè)陟o態(tài)條件下（即變量不隨時(shí)間變化），描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程量之間關(guān)系的代數(shù)方程(組組)。動(dòng)態(tài)模型：動(dòng)態(tài)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程(組組)。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技

11、大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系92.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法解析法 依據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)定律來得依據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)定律來得到微分方程的方法。到微分方程的方法。實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 基于系統(tǒng)輸入輸出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來建立數(shù)基于系統(tǒng)輸入輸出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來建立數(shù)學(xué)模型的方法。學(xué)模型的方法。數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式時(shí)域模型時(shí)域模型微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)頻域模型復(fù)頻域模型傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、頻率特性。傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、頻率特性。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大

12、學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系102.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 問題：從嚴(yán)格意義上講，絕大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都問題：從嚴(yán)格意義上講，絕大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都不是線性模型（即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)）。事實(shí)上，不是線性模型（即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)）。事實(shí)上，任何一個(gè)元件總是存在一定程度的非線性。即使假設(shè)任何一個(gè)元件總是存在一定程度的非線性。即使假設(shè)具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。幾幾種種常常見見的的非非線線性性2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系112.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程兩類非線性系統(tǒng)兩類非線性系統(tǒng) 具有

13、具有連續(xù)變化連續(xù)變化的非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng) 動(dòng)態(tài)：動(dòng)態(tài)：y(n)=f(t;y,y(1),y(n-1),x,x(1),x(m) 靜態(tài)：靜態(tài)：y=f(x) 本質(zhì)本質(zhì)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)2)(1)(2),;(1),;(21)()1(2)()1(1)(條件條件靜態(tài)：條件條件動(dòng)態(tài)：xfxfyxxyyytfxxyyytfynnnnn2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系122.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 非線性微分方程的求解很困難。非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下在一定條件下，近，近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特似地轉(zhuǎn)化為線性微分方

14、程，可以使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的分析大為簡化。實(shí)踐證明，這樣做能夠圓滿性的分析大為簡化。實(shí)踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問題，有很大的實(shí)際意義。地解決許多工程問題，有很大的實(shí)際意義。線性化的方法線性化的方法 忽略忽略弱弱非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)：如果元件的非線性因素較弱或者不：如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小，在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略。就可以忽略。 臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開法臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開法(小偏差法，切線法，增量線性化法小偏差法，切線法，增量線性化法)：適用前提適用前提假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過程中，各個(gè)元假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過

15、程中，各個(gè)元件的輸入和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。件的輸入和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系132.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程202200)(!21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxx0yyy 0 xxx 0 xdxdyk 忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫成：忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫成：A(x0,y0)平衡點(diǎn)，函數(shù)在平平衡點(diǎn)，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開成臺(tái)勞數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)：xky其中：其中：非線性元件的線性化數(shù)學(xué)

16、模型非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系142.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 平均斜率法平均斜率法：如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如下圖：如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如下圖所示，此時(shí)不能所示，此時(shí)不能臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開法臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開法，可用平均斜率法得，可用平均斜率法得線性化方程為線性化方程為 ：kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1其中：其中：2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系152.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程注意：注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低

17、的系統(tǒng)，這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性（本質(zhì)非線性對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性（本質(zhì)非線性)不能作線性化處不能作線性化處理，一般用理，一般用相平面法相平面法及及描述函數(shù)法描述函數(shù)法進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。(此部分此部分超出本課程的內(nèi)容，可參考非線性控制的章節(jié)或教超出本課程的內(nèi)容，可參考非線性控制的章節(jié)或教材。材。)2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系162.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程例例2.1.42.1.4水位自動(dòng)控制系統(tǒng)水位自動(dòng)控制系統(tǒng)：輸入量為：輸入量為QQ1 1 , ,輸出量為水位變化量輸出量為水位變化量 H H

18、，求水箱的微分方程。水箱的橫截面求水箱的微分方程。水箱的橫截面積為積為C C。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系172.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程解解RHQ 2根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有：根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有：R 1其中其中 為比例系數(shù)。為比例系數(shù)。水箱的線性化微分方程水箱的線性化微分方程: :整理得水箱的標(biāo)準(zhǔn)線性化微分方程為整理得水箱的標(biāo)準(zhǔn)線性化微分方程為: :22002001()2HQQHHQRH RRHR 02其中：其中：顯然這個(gè)式子為非線性關(guān)系顯然這個(gè)式子為非線性關(guān)系, ,

19、 在工作點(diǎn)在工作點(diǎn) 附近進(jìn)行臺(tái)勞級(jí)數(shù)附近進(jìn)行臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開。取一次項(xiàng)得：展開。取一次項(xiàng)得：在在 時(shí)間中，水箱內(nèi)流體變化量時(shí)間中，水箱內(nèi)流體變化量 . .則：則：dtCdH12()CdHQQ dt010120()()HCd HHQQQdtR注意：注意： 是常數(shù)；是常數(shù)； 。0H1020QQ1d HHCQdtR 2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系182.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程說明說明 本質(zhì)非線性系統(tǒng)一般不可線性化。本質(zhì)非線性系統(tǒng)一般不可線性化。 多變量情況處理類似。多變量情況處理類似。 工作點(diǎn)不同，所得線性化方程的線性化系數(shù)不同，工作點(diǎn)不同

20、，所得線性化方程的線性化系數(shù)不同，即線性化方程不同。即線性化方程不同。 非線性系統(tǒng)的線性化方程只在非線性系統(tǒng)的線性化方程只在工作點(diǎn)附近工作點(diǎn)附近才成立才成立 。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系192.2 線性系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型2.2.1 2.2.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換2.2.2 2.2.2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2.2.3 2.2.3 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣2.2.4 2.2.4 典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)數(shù)問題：問題： 1）微分方程求解比較困難，不利于工程實(shí)現(xiàn)；）微分方程求解比較困難，不利于工程實(shí)現(xiàn)

21、； 2）有時(shí)分析控制系統(tǒng)的性質(zhì)時(shí)不必求解方程；）有時(shí)分析控制系統(tǒng)的性質(zhì)時(shí)不必求解方程； 是否有更方便的形式描述系統(tǒng)？是否有更方便的形式描述系統(tǒng)？2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系202.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時(shí)域問題通過聯(lián)系起來，把時(shí)域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時(shí)間域的高階微分方程變數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時(shí)間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求

22、解。 )( ) s ( tfF 簡寫簡寫對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 時(shí)域函數(shù)時(shí)域函數(shù)f f( (t t)( )(原函數(shù)原函數(shù)) )復(fù)頻域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù)F(s)(F(s)(象函數(shù)象函數(shù)) ) js s s為復(fù)頻率為復(fù)頻率2.2.1 2.2.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系212.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 ) s (21)( )() s (0dseFjtfdtetfFstjcjcst 正變換正變換反變換反變換1(s) ( ) ( ) (s)Ff tf tF簡寫正變換正變換反變換反變換象函數(shù)象函數(shù)F F(s) (s) 用大寫字母

23、表示用大寫字母表示, ,如如I I(s)(s)，U U(s)(s)。原函數(shù)原函數(shù)f f(t) (t) 用小寫字母表示，如用小寫字母表示，如 i i(t), (t), u u(t)(t)。1 12 2象函數(shù)象函數(shù)F F(s) (s) 存在的條件：存在的條件： dtetfst0)(為為收收斂斂因因子子tes 拉氏變換的定義拉氏變換的定義t t 0 0 , f, f( (t t)=0)=02022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系222.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型如果存在有限常數(shù)如果存在有限常數(shù)MM和和c c使函數(shù)使函數(shù)f f( (t t) )滿足：

24、滿足：), 0 )( tMetfctdtMedtetftct 00)s (s)(CM s則則 總可以找到一個(gè)合適的總可以找到一個(gè)合適的s s值使上式積分為值使上式積分為有限值，即有限值，即f f( (t t) )的拉氏變換式的拉氏變換式F(s)F(s)總存在。總存在。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系232.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型典型函數(shù)的拉氏變換典型函數(shù)的拉氏變換 (1)(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)( )1( )f tt0( ) 1( )1( )stF stt edts1 (2)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)單位沖激

25、函數(shù)的象函數(shù))()(ttf 1)()()(0dtettsFst (3)(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)ate)t (f asdteeesFstatat1)(0 2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系242.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型(4)(4)正弦函數(shù)的象函數(shù)正弦函數(shù)的象函數(shù)ttfsin)(220sinsin)(sdte ttsFst (5)(5)余弦函數(shù)的象函數(shù)余弦函數(shù)的象函數(shù)ttfcos)(2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系252.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯變換的基

26、本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)線性性質(zhì))()()()(2211sFtfsFtf , 若(s)FA(s)FA2211 )t(f)t(f2211AA 則則時(shí)間比例性質(zhì)（相似定理）時(shí)間比例性質(zhì)（相似定理）則),()( 若sFtf：( )( s)tfFL其中其中為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù)2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系262.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型微分性質(zhì)微分性質(zhì)時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì))(ss 0)()(fFdttdf則)()( sFtf若：頻域?qū)?shù)性質(zhì)頻域?qū)?shù)性質(zhì))()(s Ftf設(shè)：ss ddFttf)()(則：)0()0()0()()

27、()1()1(21nnnnnnffsfssFsdttfd)()(sFsdttfdnnn則：則：如果：如果：0)0()0()0()1()1( nfff2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系27積分性質(zhì)積分性質(zhì))()(sFtf 設(shè)：設(shè)：)(1)(0sFsdttf t 則：則：延遲性質(zhì)延遲性質(zhì))()(sFtf 設(shè)：設(shè)：)()(00sFettf st 則：則：(s)( )tFL ef t頻域延遲頻域延遲時(shí)域延遲時(shí)域延遲在時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的衰減變換。在時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的衰減變換。時(shí)間信號(hào)時(shí)間信號(hào)f(t)f(t)在時(shí)間域的

28、指數(shù)衰減，其拉氏變換在在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)平移。復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)平移。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系280(0 )lim( )lims (s)stff tF0( )lim( )lims (s)tsff tF 初值定理初值定理f f( (t t) )和和 的拉氏變換存在，的拉氏變換存在， 也存在，也存在，則則dttdf)(s (s)limsF終值定理終值定理存在時(shí)存在時(shí))(limtft f f( (t t) )和和 的拉氏變換存在，的拉氏變換存在， ，并且除在原點(diǎn)處唯一的極

29、點(diǎn)外，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，sF(s)sF(s)在包含在包含jj軸軸的右半平面是解析的（即的右半平面是解析的（即tt時(shí)，時(shí)，f(t)f(t)為常數(shù)），為常數(shù)），則則dttdf)(時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系292.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.12.2.1)()()()()(0)(0)1(1)(tubtubtyatyatymmnnn 已知微分方程如下，

30、試求已知微分方程如下，試求初值皆為零時(shí)初值皆為零時(shí)輸輸出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。解解)()()()()(0011sUbsUsbsYasYsasYsmmnnn 01101)()(asasbsbsbsUsYnnnmmmm 0)0()0()0()1()1( nyyy初值皆為零有初值皆為零有由微分性質(zhì)對(duì)微分方程作拉氏變換得：由微分性質(zhì)對(duì)微分方程作拉氏變換得：2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系302.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯反變換的求法拉普拉斯反變換的求法(1)(1)按定義按定義dsesFj

31、tfstjcjc)(21)( (2)(2)對(duì)簡單形式的對(duì)簡單形式的F(s)F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)可以查拉氏變換表得原函數(shù)(P28)(P28)f(t)f(t)F(s)F(s)f(t)f(t)F(s)F(s)(t)(t)1 1SinSint t1(t)1(t)1/s1/sCosCost tt t1/(s+a)1/(s+a)21 sate)(22s)(22ssteatsinteatcos22)( as22)(asas2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系31)()()()(2sFsFsFsFn1 )()()()(21tftftftfn

32、 (4)(4)把把F(S)F(S)分解為簡單項(xiàng)的組合分解為簡單項(xiàng)的組合部分分式部分分式展開法展開法(3)(3)利用拉氏變換的性質(zhì)利用拉氏變換的性質(zhì)的原函數(shù)。的原函數(shù)。求求其原函數(shù)為其原函數(shù)為已知：已知：)(sin)(,)(22asFttfssF 解解由延遲性質(zhì)知：由延遲性質(zhì)知：tetfeasFatat sin)()(1 思考思考的原函數(shù)的原函數(shù)22)()s ( asasF2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.22.2.22022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系32為真分式為真分式，設(shè)設(shè))(sFmn 利用部分分式可將利用部分分式可將F F(

33、s)(s)分解為：分解為：象函數(shù)的一般形式：象函數(shù)的一般形式：110110ssY(s)(s) ()U(s)ssmmmmnnnbbbFnmaannpskpskpsksF 2211)(tpntptpnekekektf 2121)(待定常數(shù)待定常數(shù)1U(s)0nppn若有 個(gè)單根分別為12.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系332.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型、n、i pssFkipsii321)( 待定常數(shù)的確定：待定常數(shù)的確定：方法方法1 1方法方法2 2pY(s)(sp )limU(s)iiiskpY (s)(sp

34、 )Y(s)limU (s)iisY(p )U (p )ii求極限的方法求極限的方法nnpskpskpsksF 2211)()( ps)( ps)( ps)( ps2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系342.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型6554)(2 ssssF例例2.2.32.2.3求如下象函數(shù)的原函數(shù)。求如下象函數(shù)的原函數(shù)。解解3s2s21 KK33s5s421 SK72s5s43s2 K解法解法1 16s5s5s4) s (2 F23( )31( )71( )ttf tetet 11s21Y(p )4s5K3U (p )2s5 22s

35、32Y(p )4s5K7U (p2s5)解法解法2 2原函數(shù)的一般形式：原函數(shù)的一般形式：12ppp1212Y(p )Y(p )Y(p )( )U (p )U (p )U (p )ntttnnf teee2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系352.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型一對(duì)共軛復(fù)根為一分解單元一對(duì)共軛復(fù)根為一分解單元,設(shè)：設(shè)： jj21pp)()(2) s (D)s)(s () s (N) s (D) s (N) s (112221sDsNssBsAjjF ) s (D) s (N)(s)(K)(sK11222221 sBKKAK 2

36、21, 222112212221121arccosarccos)()sin()(cossin)(KKKtftKKetfteKteKtfttt 其中：D(s)0若有共軛復(fù)根22022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系362.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.42.2.4解解)(52)(2tfssssF的原函數(shù)的原函數(shù)求求 jp,的根：的根： ss22222)1(12)1(1 ssstetetftt2sin212cos)( ).cos(. tet2222)1(1152)( ssssssF)0()4 .632sin(118. 1 ttet2022

37、年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系372.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型nnnnnmmmmbbbF)ps (K)ps (K)ps (KpsK )ps (ss) s (11111121121111011 11)(limK11psnpsnsF)p(s 11)()(limK111psnpsnsFpsdsd 11)()!1(1limK11111psnnnpssF)p(sdsdn 其中：其中：具具有有重重根根若若0) s (U 32022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系382.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例

38、2.2.52.2.5解解)()()(tfssssF的的原原函函數(shù)數(shù)求求： )()(sKsKsK sssK)( sssK ssFsdsdK)()( sssdsd)0(344)( tteetftt )()(ssssF2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系392.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 n n = =m m 時(shí)將時(shí)將F F(s)(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和化成真分式和多項(xiàng)式之和nnpsKpsKpsKAsF )(小結(jié)小結(jié): :由由F F(s)(s)求求f( f(t) t)的步驟的步驟求真分式分母的根，確定分解單元求真分式分母的根，確定分解單元將

39、真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù)將真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換)()()(0sDsNAsF 2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系402.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.62.2.6解解的原函數(shù)的原函數(shù)求：求： sssssF)( sss ss)0()37()()(23 teettftt sssssF)(2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系412.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型利用拉普拉斯變

40、換求解微分方程利用拉普拉斯變換求解微分方程uyyy222 (t)u(t)( y)y(1000？y(t)例例2.2.72.2.7已知：已知：求：求：解解sY(s)ss2)22(2根據(jù)已知條件對(duì)方程兩邊作拉氏變換：根據(jù)已知條件對(duì)方程兩邊作拉氏變換：)ss(s)s(sss)ss(sY(s)2222222222222221111111)(s)(sss作拉氏反變換：作拉氏反變換：tetetyttsincos1)(2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系422.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.2 2.2.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（1 1）定義：

41、）定義： 單輸入單輸出單輸入單輸出線性定常線性定常動(dòng)態(tài)對(duì)象的傳動(dòng)態(tài)對(duì)象的傳遞函數(shù)遞函數(shù)G(S)G(S)是是零初值零初值下該對(duì)象的輸出量的拉普拉斯下該對(duì)象的輸出量的拉普拉斯變換變換Y(S)Y(S)與輸入量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換U(S)U(S)之比。之比。 回答本節(jié)開始的問題回答本節(jié)開始的問題( )( ) U( )Y SG SS2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系432.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型RLCRLC電路電路rcuuiRdtdiLcduiCdt取取u ur r為輸入，為輸入，u uc c為輸出，得為輸出，得: :22cc

42、crd uduLCRCuudtdt拉氏變換得：拉氏變換得： 21crLCsRCsUsUs則傳遞函數(shù)為：則傳遞函數(shù)為：例例2.2.72.2.7解解2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系442.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.82.2.8解解根據(jù)牛頓第二定律，得根據(jù)牛頓第二定律，得 22sdd x tf tftftmdt sftKx t ddx tftBdt取外力取外力f(t)f(t)為輸入；位移為輸入；位移x(t)x(t)為輸出為輸出 2msBsK X sF s 22d x tdx tmBKx tf tdtdt得微分方程：得微分方程：拉

43、氏變換后得：拉氏變換后得：傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系452.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 一般有一般有nm nm 。同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入量和輸出量的選擇不相同時(shí)，可同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入量和輸出量的選擇不相同時(shí)，可能會(huì)有不同的傳遞函數(shù)。能會(huì)有不同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)性能。它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與外身的動(dòng)態(tài)性能。它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與外部作用

44、等條件無關(guān)。部作用等條件無關(guān)。（2 2）傳遞函數(shù)的性質(zhì)）傳遞函數(shù)的性質(zhì) G(s)G(s)與系統(tǒng)的微分方程有直接聯(lián)系。與系統(tǒng)的微分方程有直接聯(lián)系。G(s)G(s)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換y(t)G(s)(t)u(t)L2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系462.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（3）傳遞函數(shù)的常用表示形式）傳遞函數(shù)的常用表示形式 時(shí)間常數(shù)形式時(shí)間常數(shù)形式根的形式根的形式01110111.)()()(asasasabsbsbsbsDsNsGnnnnmmmm 2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信

45、息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系472.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 212112211221)12()1()12()1()(nllllnkkmjjjjmiisqsqspssssTKsG 212112211221)2()()2()()(nllllnkkmjjjjmiigsspsswswsasKsG 時(shí)間常數(shù)；時(shí)間常數(shù)；，其中其中l(wèi)kjiqpT .2;22121nnnmmm2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系482.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式：G(s)G(s)的分母多項(xiàng)式的分母多項(xiàng)式D(s)D(s)特征方程

46、特征方程：D(s)=0D(s)=0極點(diǎn)極點(diǎn)/ /特征根特征根：D(s)=0D(s)=0的根的根零點(diǎn)零點(diǎn)：N(s)=0N(s)=0的根的根零極點(diǎn)對(duì)消零極點(diǎn)對(duì)消系統(tǒng)的階數(shù)系統(tǒng)的階數(shù)：max(n,m)max(n,m)，（一般，（一般nmnm）系統(tǒng)的類型系統(tǒng)的類型放大系數(shù)放大系數(shù)與傳遞函數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要概念：與傳遞函數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要概念：系統(tǒng)的放大系數(shù)系統(tǒng)的放大系數(shù) K K根軌跡放大系數(shù)根軌跡放大系數(shù) KgKg零極點(diǎn)圖零極點(diǎn)圖2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系492.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（4）傳遞函數(shù)局限）傳遞函數(shù)局限 G(s) G(s)

47、原則上不反映原則上不反映y(0)0y(0)0時(shí)的系統(tǒng)的全部運(yùn)時(shí)的系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律動(dòng)規(guī)律. . G(s)G(s)只適用于單輸入，單輸出系統(tǒng)。只適用于單輸入，單輸出系統(tǒng)。 G(s)G(s)只適用于線性定常系統(tǒng)只適用于線性定常系統(tǒng)由于拉氏變由于拉氏變換是一種線性變換換是一種線性變換. .2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系50G(s) G(s) 的零點(diǎn)、極點(diǎn)表示在的零點(diǎn)、極點(diǎn)表示在S S平面上平面上零極點(diǎn)圖零極點(diǎn)圖)22)(3()2()(2ssssKsGgG(s)G(s)G(s)G(s)零極點(diǎn)分布圖零極點(diǎn)分布圖 系統(tǒng)性能系統(tǒng)性能 G(s)G

48、(s)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系512.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.3 2.2.3 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣將傳遞函數(shù)的概念推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞將傳遞函數(shù)的概念推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)函數(shù)G（s）推廣為傳遞函數(shù)矩陣）推廣為傳遞函數(shù)矩陣G（s）。設(shè)系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)有有p個(gè)輸入量、個(gè)輸入量、q個(gè)輸出量如下圖。個(gè)輸出量如下圖。G(s)u1u2up。y1y2yq。G(s)U(s)Y(s) )()()()()()()()()(G(s)212222111211sgsgsgsgsgsgsgsgsg

49、qpqqpp2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系522.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.92.2.9如圖，直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)；如圖，直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)；u ua a是外加的輸入是外加的輸入變量電樞電壓（伏），變量電樞電壓（伏），mm表示電動(dòng)機(jī)的角表示電動(dòng)機(jī)的角轉(zhuǎn)速（弧度轉(zhuǎn)速（弧度/ /秒），秒），為為輸出量。討論輸出量。討論它它們們之之間的關(guān)系。間的關(guān)系。2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系532.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型由例由例2.1.32.1.3系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：)

50、()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma 解解)()()()()()()()(2sMRssMLsUCsCCfRssJRfLssJLcacaammemmammamamma )()()()(1)(2sMsURsLCCCfRsJRfLsJLscaaamemmamamamam拉氏變換得：拉氏變換得：整理得：整理得：2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系54 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)21crrRxxKxR )()(sKXsXrcKsXsXsWrc)()()( 控制

51、系統(tǒng)通常由若干個(gè)控制系統(tǒng)通常由若干個(gè)基本部件基本部件組合而成，這些基本部件組合而成，這些基本部件稱為典型環(huán)節(jié)。稱為典型環(huán)節(jié)。 包括：包括：比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)比例微分環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)和和延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)。（1 1） 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.4 2.2.4 典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系55比例環(huán)節(jié)的比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)KsXsXsWrc)()()

52、(ssXr1)(當(dāng) 時(shí)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系56 一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)( )1( )( )1crXsW sXsTsK( )rXss當(dāng) 時(shí)，01/( )( )( )(1)(1/)1/crAAKK TXsW s Xss Tss sTssT00(1)sK TAsKs sTKTsTssTKATs/11)/1()/1(/11( )(1/ )cX sKssT微分方程是一階的微分方程是一階的, ,且輸出響應(yīng)需一定且輸出響應(yīng)需一定的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。其中其中T T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

53、。為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系57慣性環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)11( )(1/)cXsKssT/( )(1),0t Tcx tKet求拉氏反變換得求拉氏反變換得 2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系58 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)( )1( )( )crUsKW sUssTs其中其中K=K=1 1/T /T ， T T為積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，表示積分的快慢程度。為積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，表示積分

54、的快慢程度。積分環(huán)節(jié)的積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系59 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)sKsUsUsWrc)()()(其中其中K K為微分環(huán)節(jié)的為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，表示微分時(shí)間常數(shù)，表示微分速率的大小。速率的大小。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 理想微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)（又稱比例微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（又稱比例微分環(huán)節(jié)、實(shí)用微分環(huán)節(jié)）實(shí)用微分環(huán)節(jié)） 2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系60 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩

55、環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)包括有這種環(huán)節(jié)包括有兩個(gè)儲(chǔ)能元件兩個(gè)儲(chǔ)能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，兩種儲(chǔ)能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其兩種儲(chǔ)能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其暫態(tài)響應(yīng)可能作周期性的變化。暫態(tài)響應(yīng)可能作周期性的變化。 222( )2nnnW sss式中：式中：n 自然振蕩角頻率自然振蕩角頻率 阻尼比阻尼比由二階微分方程描述的系統(tǒng)。由二階微分方程描述的系統(tǒng)。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系61當(dāng)輸入量為階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換為：當(dāng)輸入量為階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換為

56、：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式特征方程的根為共軛復(fù)數(shù)。時(shí)，上式特征方程的根為共軛復(fù)數(shù)。1因式分解得：因式分解得：222( )(2)ncnnXss ss2221( )2ncnnsXssss振蕩環(huán)節(jié)的振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：輸出量為輸出量為 ：22( )1sin(1)1ntcnex tt 21arctan2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系62 延遲延遲/ /時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型帶鋼厚度檢測(cè)環(huán)節(jié)帶鋼厚度檢測(cè)環(huán)節(jié) ()cdh th t vl ()crxtx tsrcesXsXsW)()()(寫

57、成一般形式寫成一般形式 : :零初始條件下，拉氏變換為零初始條件下，拉氏變換為 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 例例)()(sXesXrsc 2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系63時(shí)滯環(huán)節(jié)的輸出量時(shí)滯環(huán)節(jié)的輸出量 ()cdh th t 232311( )112!3!W sssss時(shí)滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)srcesXsXsW)()()( 對(duì)于對(duì)于時(shí)滯時(shí)間很小時(shí)滯時(shí)間很小的時(shí)滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級(jí)數(shù)，的時(shí)滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去高次項(xiàng)，得：并略去高次項(xiàng)，得：時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)在一定條在一定條件下可近件下可近似為慣性似為慣性

58、環(huán)節(jié)！環(huán)節(jié)！2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系642.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.4 2.2.4 典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)元部件名稱元部件名稱傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)電位器電位器測(cè)速電機(jī)測(cè)速電機(jī)電加熱爐電加熱爐單容水槽單容水槽雙容水槽雙容水槽KsG )(KssG )(1)( TsKsG1)( TsKsGseTsKsG 1)(1)()(21221 sTTsTTKsG（2 2） 典型元部件典型元部件(有純延遲有純延遲)(也可有延遲，略也可有延遲，略)2022年5月31日8時(shí)48分

59、北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系65線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)電樞電路，取電樞電壓電樞電路，取電樞電壓u ua a為輸入量為輸入量, ,電動(dòng)機(jī)角電動(dòng)機(jī)角速度速度m m為輸出量為輸出量, ,討論討論它它們們之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。aaaaaaEtiRdttdiLtu )()()(電樞回路電壓平衡方程：電樞回路電壓平衡方程：電磁轉(zhuǎn)矩方程：電磁轉(zhuǎn)矩方程：ammtiCM)( 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmamm

60、amamma )()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm 例例2.1.32.1.3解解2022年5月31日8時(shí)48分北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系662.3 方框圖與信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號(hào)流向線組成，它包含方框和一些信號(hào)流向線組成，它包含4種基本單元。種基本單元。2.3.1 2.3.1 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 1）信號(hào)線）信號(hào)線 2）引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）3）比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）4）方框（或環(huán)節(jié)）方框（或環(huán)節(jié)）2022年5月31日