第8章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法

1、結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的基本分類結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。如果不計材料的應(yīng)變，在其受到如果不計材料的應(yīng)變，在其受到任意載荷作用時其形狀和位置沒有發(fā)生剛體位移時，稱之為任意載荷作用時其形狀和位置沒有發(fā)生剛體位移時，稱之為幾何幾何不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，反之則稱為，反之則稱為幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)定結(jié)構(gòu)。幾何可變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對結(jié)構(gòu)進行幾何構(gòu)。幾何可變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對結(jié)構(gòu)進行幾何構(gòu)造分析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。造分析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。 造成幾何可變的幾種原因造

2、成幾何可變的幾種原因結(jié)構(gòu)的計算簡圖（力學(xué)模型）實際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實際情況進行力學(xué)分析實際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實際情況進行力學(xué)分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實際結(jié)構(gòu)進行力學(xué)計算之是不可能的，也是不必要的，因此在對實際結(jié)構(gòu)進行力學(xué)計算之前，必須將其作合理的簡化，使之成為前，必須將其作合理的簡化，使之成為既反映實際結(jié)構(gòu)的受力狀既反映實際結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)與特點，又便于計算的幾何圖形態(tài)與特點，又便于計算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為想圖形稱之為結(jié)構(gòu)的計算簡圖，有時也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型結(jié)構(gòu)的計算簡圖，有時也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。

3、結(jié)構(gòu)計算所常用的結(jié)點和支座的簡化形式結(jié)構(gòu)計算所常用的結(jié)點和支座的簡化形式: :（1 1）結(jié)點：）結(jié)點： 鉸結(jié)點；鉸結(jié)點； 剛結(jié)點；剛結(jié)點； 混合結(jié)點?；旌辖Y(jié)點。（2 2）支座：）支座： 活動鉸支座；活動鉸支座； 固定鉸支座固定鉸支座 ； 固定支座固定支座 ； 定向支座定向支座 。結(jié)構(gòu)的分類與基本特征按結(jié)構(gòu)在空間的位置分按結(jié)構(gòu)在空間的位置分結(jié)構(gòu)可分為結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)平面結(jié)構(gòu)和和空間結(jié)構(gòu)空間結(jié)構(gòu)兩大類兩大類按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分 桿系結(jié)構(gòu)：桿系結(jié)構(gòu)：梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。 板殼結(jié)構(gòu)板殼結(jié)構(gòu) 實體結(jié)構(gòu)：實體結(jié)構(gòu)：長、寬、高三個尺寸都很

4、大，具有同一量級。長、寬、高三個尺寸都很大，具有同一量級。 混合結(jié)構(gòu)混合結(jié)構(gòu) 按結(jié)構(gòu)的自由度分按結(jié)構(gòu)的自由度分 靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。 超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)自由度小于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。自由度小于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征靜定結(jié)構(gòu)的靜定結(jié)構(gòu)的特征特征a. a. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。一的。b. b. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面特征（幾何尺寸，形靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面特征（幾何尺寸，形狀）無關(guān)。狀）無

5、關(guān)。c. c. 靜定結(jié)構(gòu)上無外載荷作用時，其內(nèi)力及支座反力全為零。靜定結(jié)構(gòu)上無外載荷作用時，其內(nèi)力及支座反力全為零。d. d. 若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下，若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下， 結(jié)構(gòu)中的某一部分能不依靠于其它部分，結(jié)構(gòu)中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨立地與載荷保持平衡時，則其它部分的內(nèi)力為零。獨立地與載荷保持平衡時，則其它部分的內(nèi)力為零。e. e. 當(dāng)將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個幾何不變部分時，結(jié)構(gòu)的其余當(dāng)將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個幾何不變部分時，結(jié)構(gòu)的其余部分都無內(nèi)力產(chǎn)生。部分都無內(nèi)力產(chǎn)生。 f. f. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個內(nèi)部幾何不變部分上的載荷作等效變換時，其余當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的

6、一個內(nèi)部幾何不變部分上的載荷作等效變換時，其余部分的內(nèi)力不變。部分的內(nèi)力不變。g. g. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個內(nèi)部兒何不變部分作構(gòu)造改變時，其余部分的內(nèi)當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個內(nèi)部兒何不變部分作構(gòu)造改變時，其余部分的內(nèi)力不變。力不變。 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定結(jié)構(gòu)的特征特征a. a. 超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個，但同時滿足結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個，但同時滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個。變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個。 b. b. 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而且與林料的力學(xué)性能超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而且與林料的力學(xué)性能和

7、截面尺寸有關(guān)。和截面尺寸有關(guān)。 c. c. 超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產(chǎn)生的位移會受到多余約束的限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。等而產(chǎn)生的位移會受到多余約束的限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。 d. d. 超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持幾何不變性，因而仍超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的承載能力，有一定的承載能力， 不致整個結(jié)構(gòu)遭受破壞。不致整個結(jié)構(gòu)遭受破壞。 e. e. 超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)具有較大的超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而

8、比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)具有較大的剛度和穩(wěn)定性，剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內(nèi)力分布也較均勻，且內(nèi)力峰值也較靜在載荷作用下，內(nèi)力分布也較均勻，且內(nèi)力峰值也較靜定結(jié)構(gòu)為小。定結(jié)構(gòu)為小。結(jié)構(gòu)的對稱性及其利用對稱結(jié)構(gòu)在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產(chǎn)生正對稱的位對稱結(jié)構(gòu)在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產(chǎn)生正對稱的位移，反對稱的位移為零；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷下，對稱軸截移，反對稱的位移為零；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。奇數(shù)跨的剛架奇數(shù)跨的剛架正對稱荷載作用下的變形及分析簡化正對稱荷載作用下的變形及分析簡化結(jié)構(gòu)的對稱性及其利用

9、奇數(shù)跨的剛架奇數(shù)跨的剛架反對稱荷載作用下的變形及分析簡化反對稱荷載作用下的變形及分析簡化結(jié)構(gòu)的對稱性及其利用偶數(shù)跨的剛架偶數(shù)跨的剛架正對稱荷載作用下的變形及分析簡化正對稱荷載作用下的變形及分析簡化結(jié)構(gòu)的對稱性及其利用偶數(shù)跨的剛架偶數(shù)跨的剛架反對稱荷載作用下的變形及分析簡化反對稱荷載作用下的變形及分析簡化結(jié)構(gòu)的自由度及其計算自由度：自由度：指結(jié)構(gòu)在所在空間運動時，可以獨立改變的幾何參數(shù)指結(jié)構(gòu)在所在空間運動時，可以獨立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。約束：約束：指減少結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)運動的裝置。指減少

10、結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)運動的裝置。具體包括：具體包括：a. a. 支座鏈桿的約束；支座鏈桿的約束；b. b. 鉸的約束鉸的約束: : 單鉸；單鉸； 復(fù)鉸；復(fù)鉸； 完全鉸與不完全鉸。完全鉸與不完全鉸。桁架自由度計算公式桁架自由度計算公式桁架中的結(jié)點數(shù)為桁架中的結(jié)點數(shù)為j，桿件數(shù)為，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為，支座鏈桿數(shù)為z，則桁架的自由度則桁架的自由度W 為為平面桁架平面桁架空間桁架空間桁架結(jié)構(gòu)的自由度及其計算平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計算平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計算其計算過程比較復(fù)雜，主要原因在于必須先進行一些構(gòu)件的其計算過程比較復(fù)雜，主要原因在于必須先進行一些構(gòu)件的拆分，拆分完畢之后計算方式與桁架

11、一致。拆分，拆分完畢之后計算方式與桁架一致。計算結(jié)果有三種可能：計算結(jié)果有三種可能：a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束，表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運動，可運動， 故結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。故結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。b. W=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的約束數(shù)。表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的約束數(shù)。c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。注意：結(jié)構(gòu)的自由度注意：結(jié)構(gòu)的自由度W0是組成幾何不變體系的必要條件，是組成幾何不變體系的必要條件，但不是充分條件。為什么？但不是充分條件。為什么？幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律(1) (1) 二元體規(guī)則二元體規(guī)

12、則由兩根不在同一條直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點所組成的結(jié)由兩根不在同一條直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點所組成的結(jié)構(gòu)稱為二元體。構(gòu)稱為二元體。二元體規(guī)則是指在一個幾何不變結(jié)構(gòu)上，由二元體規(guī)則是指在一個幾何不變結(jié)構(gòu)上，由增加二元體而發(fā)展的結(jié)構(gòu)，是一個幾何不變結(jié)構(gòu)。鉸接三角增加二元體而發(fā)展的結(jié)構(gòu)，是一個幾何不變結(jié)構(gòu)。鉸接三角形是最簡單的幾何不變結(jié)構(gòu)。形是最簡單的幾何不變結(jié)構(gòu)。鉸接三角形鉸接三角形幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律瞬變結(jié)構(gòu)瞬變結(jié)構(gòu)一個結(jié)構(gòu)，當(dāng)它受載荷作用時會產(chǎn)生微小的位移，但位移一一個結(jié)構(gòu)，當(dāng)它受載荷作用時會產(chǎn)生微小的位移，但位移一旦發(fā)生后，即轉(zhuǎn)變成一幾何不變結(jié)構(gòu)，但結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可能

13、為旦發(fā)生后，即轉(zhuǎn)變成一幾何不變結(jié)構(gòu)，但結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可能為無限大值或不定值，這樣的結(jié)構(gòu)稱為瞬變結(jié)構(gòu)。顯然，瞬變無限大值或不定值，這樣的結(jié)構(gòu)稱為瞬變結(jié)構(gòu)。顯然，瞬變結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)盡量避免。結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)盡量避免。 最簡單的瞬變結(jié)構(gòu)最簡單的瞬變結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律(2) (2) 兩剛片規(guī)則兩剛片規(guī)則兩剛片用三根既不完全平行也不交于同一點的鏈桿相聯(lián)，所兩剛片用三根既不完全平行也不交于同一點的鏈桿相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。兩剛片連接規(guī)則兩剛片連接規(guī)則瞬變結(jié)構(gòu)瞬變結(jié)構(gòu)常變結(jié)構(gòu)常變結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律(3) (3

14、) 三剛片規(guī)則三剛片規(guī)則三個剛片用不在同一直線上的三個單鉸兩兩相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)三個剛片用不在同一直線上的三個單鉸兩兩相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。是幾何不變結(jié)構(gòu)?；救切谓Y(jié)構(gòu)基本三角形結(jié)構(gòu)三剛片規(guī)則示意圖三剛片規(guī)則示意圖幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例如果用自由度公式計算：如果用自由度公式計算：結(jié)構(gòu)示意圖結(jié)構(gòu)示意圖j=6， g=8， z= 4自由度為零，應(yīng)是幾何不變結(jié)構(gòu)。自由度為零，應(yīng)是幾何不變結(jié)構(gòu)。剛片剛片和和間用桿件間用桿件DB、FE相聯(lián)，虛鉸位置相聯(lián)，虛鉸位置在此二平行桿件延長線的無窮遠處；在此二平行桿件延長線的無窮遠處；剛片剛片和和間

15、用桿件間用桿件DA及支座鏈桿及支座鏈桿相聯(lián)，相聯(lián)，虛鉸位置在虛鉸位置在F點；點；剛片剛片和和用桿件用桿件BA、支座鏈桿、支座鏈桿相聯(lián)，相聯(lián)， 虛鉸位置在虛鉸位置在C點。點。三鉸可看成位于同一條直線上，三鉸可看成位于同一條直線上，故此結(jié)構(gòu)為幾何瞬變結(jié)構(gòu)。故此結(jié)構(gòu)為幾何瞬變結(jié)構(gòu)?？臻g結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析規(guī)律規(guī)律1 1空間中一點與一剛體用三根鏈桿相連且三鏈桿不在同一平空間中一點與一剛體用三根鏈桿相連且三鏈桿不在同一平面內(nèi)，則組成幾何不變的結(jié)構(gòu)、且無多余約束。面內(nèi)，則組成幾何不變的結(jié)構(gòu)、且無多余約束。 空間點與基礎(chǔ)連接空間點與基礎(chǔ)連接瞬變結(jié)構(gòu)瞬變結(jié)構(gòu)空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造

16、分析規(guī)律規(guī)律2 2一個幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）與基礎(chǔ)用六根即不平行也不相一個幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）與基礎(chǔ)用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無多余約束。構(gòu)，且無多余約束。幾何不變結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)可變結(jié)構(gòu)可變結(jié)構(gòu)瞬變結(jié)構(gòu)瞬變結(jié)構(gòu)常變結(jié)構(gòu)常變結(jié)構(gòu)空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析規(guī)律規(guī)律3 3一個幾何不變結(jié)構(gòu)（一個幾何不變結(jié)構(gòu)（ 或剛體或剛體 ）與另一個幾何不變結(jié)構(gòu)）與另一個幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相（或剛體）用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的

17、結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無多余約束。聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無多余約束?？臻g桁架結(jié)構(gòu)空間桁架結(jié)構(gòu)空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)實際工程中的桿系結(jié)構(gòu)工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu)支承架、起重工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu)支承架、起重機起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。機起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)構(gòu)可按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系桿系結(jié)構(gòu)可按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)，也可按各桿之間是鉸接還是剛接分為桁架結(jié)構(gòu)和空間桿系結(jié)構(gòu)，也可按各桿之間是鉸接還是剛接分為桁架結(jié)構(gòu)

18、和剛架結(jié)構(gòu)。和剛架結(jié)構(gòu)。桁架和剛架的區(qū)別桁架結(jié)構(gòu)桁架結(jié)構(gòu)平面桁架平面桁架空間桁架空間桁架桿件與桿件間為鉸接桿件與桿件間為鉸接鉸接點只傳遞力而不傳遞轉(zhuǎn)矩鉸接點只傳遞力而不傳遞轉(zhuǎn)矩每根桿件均為二力桿每根桿件均為二力桿桿件不產(chǎn)生彎曲變形和彎曲應(yīng)桿件不產(chǎn)生彎曲變形和彎曲應(yīng)力力有限元計算采用桿元（桿單元：有限元計算采用桿元（桿單元：barbar）桁架和剛架的區(qū)別剛架結(jié)構(gòu)剛架結(jié)構(gòu)平面剛架平面剛架空間剛架空間剛架桿件與桿件間可理解為焊接桿件與桿件間可理解為焊接連接點可傳遞力也可傳遞轉(zhuǎn)連接點可傳遞力也可傳遞轉(zhuǎn)矩矩剛架有限元分析采用梁元剛架有限元分析采用梁元（beambeam）可當(dāng)作剛架的常見結(jié)構(gòu)：高可當(dāng)作剛架

19、的常見結(jié)構(gòu)：高壓線塔；客車車身骨架；管壓線塔；客車車身骨架；管式摩托車車架；自行車車架；式摩托車車架；自行車車架；長江大橋長江大橋桿系結(jié)構(gòu)的離散由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實桿件聯(lián)接而成，故離散化比較簡單，由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實桿件聯(lián)接而成，故離散化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段一般將桿件或者桿件的一段( ( 一根桿又分為幾個單元一根桿又分為幾個單元 ) )作為一個作為一個單元，桿件與桿件相連接的交點稱為結(jié)點。離散要點為：單元，桿件與桿件相連接的交點稱為結(jié)點。離散要點為：a. a. 桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點、支承桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點、支承點以及沿桿長

20、截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點。這些結(jié)點都是根點以及沿桿長截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點。這些結(jié)點都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點來確定的。據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點來確定的。b. b. 結(jié)構(gòu)中兩個結(jié)點間的每一個等截面直桿可以設(shè)置為一個單元。結(jié)構(gòu)中兩個結(jié)點間的每一個等截面直桿可以設(shè)置為一個單元。c. c. 變截面桿件可分段處理成多個單元，取各段中點處的截面變截面桿件可分段處理成多個單元，取各段中點處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進行計算。近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進行計算。桿系結(jié)構(gòu)的離散d. d. 對曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折線代替，每端折線為一個對曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折線代替，每端折線為一

21、個單元。如若提高計算精度，也可以在桿件中間增加結(jié)點。單元。如若提高計算精度，也可以在桿件中間增加結(jié)點。e. e. 在有限元法計算中，載荷作用到結(jié)點上。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點在有限元法計算中，載荷作用到結(jié)點上。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點載荷作用時，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其變換為作用在結(jié)點載荷作用時，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其變換為作用在結(jié)點上的等效結(jié)點載荷。上的等效結(jié)點載荷。 桿系結(jié)構(gòu)的離散及荷載等效桿系結(jié)構(gòu)的離散及荷載等效桿系結(jié)構(gòu)有限元中的坐標(biāo)系為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對結(jié)構(gòu)進行整體分析，尚需要建立為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對結(jié)構(gòu)進行整體分析，尚需要建立一個對每個單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為一個對

22、每個單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。在進行有限元法計算中，由于涉及到對所有單元進行類似運算，在進行有限元法計算中，由于涉及到對所有單元進行類似運算，所以這些計算以單元自己的所以這些計算以單元自己的i-ji-j為基準(zhǔn)建立的局部坐標(biāo)系是會為基準(zhǔn)建立的局部坐標(biāo)系是會帶來很大方便的。帶來很大方便的。 整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系桿系結(jié)構(gòu)單元位移與載荷向量結(jié)點位移列向量為：結(jié)點位移列向量為：二維情況下單元的位移和載荷二維情況下單元的位移和載荷單元單元e結(jié)點位移列向量為結(jié)點位移列向量為 單元單元e結(jié)點力列向量為結(jié)點力列向量為當(dāng)線位

23、移及相應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時為正，反之為負；轉(zhuǎn)角位當(dāng)線位移及相應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時為正，反之為負；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一致時移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一致時為正。對于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo)軸方向的分量。為正。對于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo)軸方向的分量。正負號規(guī)定：正負號規(guī)定：桿系結(jié)構(gòu)單元的位移函數(shù)有限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會采取不同的單元類有限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型

24、的性能、能否真實反映真實結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律等，直接模型的性能、能否真實反映真實結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律等，直接影響計算結(jié)果的真實性、計算精度及解的收斂性。影響計算結(jié)果的真實性、計算精度及解的收斂性。為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求: :a. a. 單元位移函數(shù)的項數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階單元位移函數(shù)的項數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應(yīng)數(shù)至少包含常數(shù)項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應(yīng)視單元的類型而定。視單元的類型而定。b. b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)

25、當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。c. c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。位移協(xié)調(diào)性。桿系結(jié)構(gòu)單元的位移函數(shù)桁架結(jié)構(gòu)桿單元的位移函數(shù)桁架結(jié)構(gòu)桿單元的位移函數(shù)由于每根桿件均為二力桿，事實上剛才的由于每根桿件均為二力桿，事實上剛才的由單元結(jié)點位移，確定待定系數(shù)項由單元結(jié)點位移，確定待定系數(shù)項上式不僅是桁架結(jié)構(gòu)中桿單元的位移函數(shù)，對于桿系結(jié)構(gòu)中單上式不僅是桁架結(jié)構(gòu)中桿單元的位移函數(shù)，對于桿系結(jié)構(gòu)中單元的軸向位移狀態(tài)，都是采用這個位移函數(shù)進行表示的。元的軸向位移狀態(tài)，都是

26、采用這個位移函數(shù)進行表示的。=0=0=0=0桿系結(jié)構(gòu)單元的位移函數(shù)剛架結(jié)構(gòu)梁單元的位移函數(shù)剛架結(jié)構(gòu)梁單元的位移函數(shù)軸向位移狀態(tài)的表達和前面一樣，現(xiàn)在軸向位移狀態(tài)的表達和前面一樣，現(xiàn)在只考慮節(jié)點另外的四個位移分量，根據(jù)只考慮節(jié)點另外的四個位移分量，根據(jù)材料力學(xué)，沿梁長各截面的轉(zhuǎn)角為材料力學(xué)，沿梁長各截面的轉(zhuǎn)角為故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個待定系數(shù)的故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個待定系數(shù)的多項式：多項式：桿系結(jié)構(gòu)單元的位移函數(shù)剛架結(jié)構(gòu)梁單元的位移函數(shù)剛架結(jié)構(gòu)梁單元的位移函數(shù)將其代回將其代回v(x)的表達式進行整理后的表達式進行整理后于是：于是：平面剛架梁單元的應(yīng)力應(yīng)變

27、在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內(nèi)任在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內(nèi)任一點的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，一點的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向應(yīng)變相同。其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向應(yīng)變相同。軸向應(yīng)變?yōu)檩S向應(yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)變?yōu)閥為梁單元任意截面上任意點至中性為梁單元任意截面上任意點至中性軸軸(x軸軸)的距離。的距離。彎曲應(yīng)變計算示意圖得出平面剛架單元應(yīng)變得出平面剛架單元應(yīng)變平面剛架梁單元的應(yīng)力應(yīng)變將剛才已經(jīng)建立的位移函數(shù)代入，則應(yīng)變?yōu)閷偛乓呀?jīng)建立的位移函數(shù)代入，則應(yīng)變?yōu)檫M一步的，應(yīng)力為進一步

28、的，應(yīng)力為其中，其中，B 稱為平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。稱為平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。 平面剛架梁單元的有限元方程采用虛功原理進行推導(dǎo)：采用虛功原理進行推導(dǎo)：假設(shè)梁單元的假設(shè)梁單元的i，j 結(jié)點發(fā)生虛位移為結(jié)點發(fā)生虛位移為那么單元內(nèi)會發(fā)生相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)椋耗敲磫卧獌?nèi)會發(fā)生相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)椋?外力在虛位移上的功與內(nèi)力在虛應(yīng)變上的功相等：外力在虛位移上的功與內(nèi)力在虛應(yīng)變上的功相等： 上式為局部坐標(biāo)下的平面剛架梁單元的有限元方程。上式為局部坐標(biāo)下的平面剛架梁單元的有限元方程。平面剛架梁單元的剛度矩陣根據(jù)習(xí)慣，那么單元剛度為根據(jù)習(xí)慣，那么單元剛度為進行積分運算后得到進行積分運算后得到 A：桿的橫截

29、面：桿的橫截面面積；面積；I：桿的橫截面：桿的橫截面對主軸的慣性矩對主軸的慣性矩 桁架桿單元的剛度矩陣如果是桁架結(jié)構(gòu)，那么矩陣形式將比較簡單如果是桁架結(jié)構(gòu)，那么矩陣形式將比較簡單平面桁架桿單元，每個單元自由度平面桁架桿單元，每個單元自由度未知量未知量只有兩個節(jié)點位移只有兩個節(jié)點位移空間桁架桿單元，每個單元自由度空間桁架桿單元，每個單元自由度未知量也未知量也只有兩個節(jié)點位移，只有兩個節(jié)點位移，但是由于空間性，所以每個節(jié)點位移會表現(xiàn)為但是由于空間性，所以每個節(jié)點位移會表現(xiàn)為3 3個分量個分量空間剛架梁單元的剛度矩陣當(dāng)剛架結(jié)構(gòu)擴展到了空間狀態(tài)，則每個結(jié)點有當(dāng)剛架結(jié)構(gòu)擴展到了空間狀態(tài)，則每個結(jié)點有6

30、6個位移分量，個位移分量，其單元結(jié)點位移列向量其單元結(jié)點位移列向量 空間剛架局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣是空間剛架局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣是12121212的。的。 空間剛架梁單元的剛度矩陣桿系結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣的性質(zhì)a.a. 單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積單元的橫截面積A A、慣性矩、慣性矩I I、單元長度單元長度l l、單元的彈性模、單元的彈性模量量E E有關(guān)。有關(guān)。b. b. 單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側(cè)單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側(cè)對稱位置上的兩個元素數(shù)值相等，即，根

31、據(jù)是反力互等定對稱位置上的兩個元素數(shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。理。c. c. 單元剛度矩陣是一個奇異陣。單元剛度矩陣是一個奇異陣。d. d. 單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。意義。單元剛度矩陣的物理意義物理意義：物理意義：Kij代表在代表在i結(jié)點發(fā)生單位位移時，結(jié)點發(fā)生單位位移時，j結(jié)點需要施加的力。結(jié)點需要施加的力。整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點力向量和結(jié)點位移列向量可分別表示成在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點力向量和結(jié)點位移列向量可分別表示成向量轉(zhuǎn)換于是于是整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣那么就有那么就有一般簡寫

32、為一般簡寫為同樣的道理同樣的道理T：平面剛架梁單元的從局部：平面剛架梁單元的從局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣將坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣代入原有限元控制方程，則將坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣代入原有限元控制方程，則整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣仍然為對稱陣、奇異陣。整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣仍然為對稱陣、奇異陣。整體剛度矩陣的集成以下圖所示的剛架結(jié)構(gòu)為例以下圖所示的剛架結(jié)構(gòu)為例剛架實例其結(jié)點載荷列向量分別為其結(jié)點載荷列向量分別為結(jié)構(gòu)載荷列向量：結(jié)構(gòu)載荷列向量：結(jié)點位移列向量結(jié)點位移列向量整體剛度矩陣的集成以下圖所示的剛架結(jié)構(gòu)

33、為例以下圖所示的剛架結(jié)構(gòu)為例剛架實例其結(jié)點載荷列向量分別為其結(jié)點載荷列向量分別為結(jié)構(gòu)載荷列向量：結(jié)構(gòu)載荷列向量：結(jié)點位移列向量結(jié)點位移列向量整體剛度矩陣的集成其整體的平衡方程為其整體的平衡方程為簡寫為：簡寫為：整體剛度矩陣整體剛度矩陣整體剛度矩陣的性質(zhì)1.僅與各單元的幾何特性、材料特性，即僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E 等因素有關(guān)。等因素有關(guān)。2.為對稱方陣為對稱方陣3.為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。4.為稀疏矩陣為稀疏矩陣約束的處理建立結(jié)構(gòu)平衡方程式

34、建立結(jié)構(gòu)平衡方程式時，并未考慮支承條件（約束），也就時，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解。幾何可變結(jié)構(gòu)。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解。約束處理常用方法有約束處理常用方法有劃劃0 0置置1 1法和乘大數(shù)法。法和乘大數(shù)法。（a）固定支座（b）支座發(fā)生位移對于如圖對于如圖 (a)(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全部為零，此時做約束處理時，所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全部為零，此時做約束處理時，采用填采用填0 0置置1 1法比較適宜。對于如圖法比較適宜。對于如圖 (b)(b)所示，某約束（支座）位移為給定所示，某約束（支座）位移為給定的強迫值，此時做約束處理時，采用乘大數(shù)法比較適宜。的強