第4章 機械振動

1、力學 振動力學授課教師 楊宏春4.1 簡諧振動的動力學方程與運動學方程簡諧振動的動力學方程與運動學方程4.1.1 典型簡諧振動的動力學方程典型簡諧振動的動力學方程(1) 彈簧諧振子彈簧諧振子)()(tkxtF 諧振子模型諧振子模型牛頓第二定律牛頓第二定律22d)(d)(ttxmtF F o x x y (2) 單擺單擺回復力方程回復力方程)(tmgF 牛頓第二定律牛頓第二定律 22d)(d)(ttlmtF xtx222dd mk 2 222dd tlg 2 (3) 復擺復擺回復力矩方程回復力矩方程 mghM 剛體轉動定律剛體轉動定律22ddtIM 222dd tImgh 2 (4) LC振蕩電

2、路振蕩電路 tiLdd 線圈電動勢線圈電動勢 tiCCqUd1電容電壓電容電壓iti222dd LC12 討論討論 各類簡諧振動問題的動力學方程具有相同形式的微分方程各類簡諧振動問題的動力學方程具有相同形式的微分方程 動力學方程中，動力學方程中， 2 包含了各典型振動的具體特征包含了各典型振動的具體特征例例4.1.1 比重計圓筒半徑為比重計圓筒半徑為 d，液體密度為，液體密度為 ，不計液體粘滯阻力不計液體粘滯阻力證明證明：用力下壓處于平衡的比重計，放手后比重計將作簡諧振動：用力下壓處于平衡的比重計，放手后比重計將作簡諧振動 證明證明：以比重計平衡位置為原點建立圖示坐標系：以比重計平衡位置為原點

3、建立圖示坐標系平衡時平衡時gVmg 偏離平衡位置位移為偏離平衡位置位移為 x 時時mggxdVF )2(2gxdF 2)2( 由牛頓第二定律可得比重計運動的動力學方程為由牛頓第二定律可得比重計運動的動力學方程為xmgdtx4dd222 定義定義 得得mgd42 xtx222dd 4.1.2 簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程xtx222dd 簡諧振動動力學方程的一般形式簡諧振動動力學方程的一般形式0dd222 xtx 動力學方程的解動力學方程的解運動學方程運動學方程)cos( tAx(1) 運動學方程運動學方程簡諧振動的速度、加速度簡諧振動的速度、加速度)sin(dd tAtxv)cos

4、(dd2 tAtav F o x x y 簡諧振動總能量簡諧振動總能量222212121kAkxmE v(2) 描述簡諧振動的解析參量描述簡諧振動的解析參量振幅振幅 (A) 諧振子距離平衡位置最大位移的絕對值諧振子距離平衡位置最大位移的絕對值振幅還表示了振動系統(tǒng)的總能量振幅還表示了振動系統(tǒng)的總能量 E A2，(E =kA2/2)024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+全振動全振動 諧振子從某振動狀態(tài)開始，發(fā)生周而復始的一

5、次變化諧振子從某振動狀態(tài)開始，發(fā)生周而復始的一次變化周期周期(T) 諧振子完成一次全振動所需時間諧振子完成一次全振動所需時間頻率頻率(f) 單位時間內諧振子完成全振動的次數單位時間內諧振子完成全振動的次數角頻率角頻率( ) 諧振子在諧振子在 2 秒秒內所作的全振動的次數內所作的全振動的次數 22 T )cos()(cos tATtAT1 初相位初相位 ( ) 振子的初始振動狀態(tài)振子的初始振動狀態(tài)相位相位 ( t+ ) 振子振子 t 時刻的振動狀態(tài)時刻的振動狀態(tài)024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+ 課堂討論課堂討論：相位參量的雙值問題及求解：相位參量的雙值問題

6、及求解 )()(arctantxtt v)cos( tAx運動學方程運動學方程)sin(dd tAtxv速度方程速度方程結論結論：時刻：時刻 t，相位參數的雙值問題可以通過運動學方程和速度方程判定，相位參數的雙值問題可以通過運動學方程和速度方程判定例例4.1.2 已知已知 A=0.12 m，T=2 s。當當t=0 時，時，x0=0.06 m，且，且 vx0求求：(1) 諧振動方程諧振動方程(2) 當當 t=2 s 時，質點的位置、速度、加速度時，質點的位置、速度、加速度(3) 由初始時刻到由初始時刻到 x=-0.06 m 處所需的最短時間處所需的最短時間解解：(1) 因因 T = 2 s2 T

7、 3 A=0.12 m，T=2 s，x0=0.06 m)cos( tAx3 運動學方程運動學方程)3cos(12. 0 tx0sin0 Av(2) 當當 t=0.5 s 時，質點的位置、速度、加速度時，質點的位置、速度、加速度x= 0.104 m， v= -0.189 m/s， a=-1.03 m/s2(3) 當當 x= -0.06 m 時，由運動學方程時，由運動學方程34,323)3cos(12. 006. 0 tt由題意，質點沿由題意，質點沿 x 負方向運動到負方向運動到 x= -0.06 m所需時間最短所需時間最短10)3sin(12. 0 ttv例例4.1.3 證明勻速圓周運動在證明勻

8、速圓周運動在x軸上的分量是一簡諧振動軸上的分量是一簡諧振動 x A v 024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+證明證明：物體角速度：物體角速度 ，初始位置與，初始位置與 x 軸夾角為軸夾角為 ，時刻，時刻 t 在在 x 軸上的位移軸上的位移)cos( tAx滿足簡諧振動運動學方程，勻速圓周運動在滿足簡諧振動運動學方程，勻速圓周運動在 x 軸上的分量是簡諧振動軸上的分量是簡諧振動討論討論： 代表物體運動的角速度，又稱簡諧振動的角速度或角頻率代表物體運動的角速度，又稱簡諧振動的角速度或角頻率 勻速圓周運動在勻速圓周運動在 x 軸上的分量是簡諧振動的軸上的分量是簡諧

9、振動的物理圖像物理圖像 高中簡諧振動的高中簡諧振動的物理實驗物理實驗 (3) 簡諧振動的幾何描述簡諧振動的幾何描述旋轉矢量法旋轉矢量法A 物理模型物理模型 x A v 024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+B 旋轉矢量方法：旋轉矢量方法：用矢量作勻速圓周運動的圖形來表示簡諧振動用矢量作勻速圓周運動的圖形來表示簡諧振動例例4.1.4 如圖，如圖，A=20 cm，m=10 g，T=4 s；t=0時，時，x0=-10 cm，此時，此時，vx0求求：(1) t=1 s 時的位移時的位移(2) 何時物體第一次到達何時物體第一次到達 x =10 cm (3) 經多少時間第

10、二次到達經多少時間第二次到達x=10 cm，此時的速度、加速度，此時的速度、加速度 第二次第二次 t=0,m=10g A=20cm x0 t=1 第一次第一次 解解：由題給條件和旋轉矢量方法，初始時刻振幅矢量位置：由題給條件和旋轉矢量方法，初始時刻振幅矢量位置22 T 32 )322cos(20 tx(2) 第一次到達第一次到達 x=10 cm時，時，m剛運動了半個周期剛運動了半個周期 (1) t=1s 時時 32.17)322cos(20)1( x(cm) 221 Tt(s) (3) 物體需再旋轉物體需再旋轉2 /3再次到達再次到達 x=10 cm，從，從t=0算起，需經時間間隔算起，需經時

11、間間隔 第二次第二次 t=0,m=10g A=20cm x0 t=1 第一次第一次 T+ T/3=10/3 (s) 將將 t=10/3 s 代入速度、加速度計算公式代入速度、加速度計算公式21.27)sin( tAv(cm/s) 67.24)cos(2 tAa(cm/s2) F o x x y 4.2簡諧振動簡諧振動的能量的能量諧振子諧振子勢能勢能)(cos2121222 tkAkxEp諧振子諧振子動能動能)(sin21212222 tAmmEkv(1) 簡諧振動簡諧振動的的瞬時瞬時機械能機械能2222221212121kAAmkxmEEEkp v諧振子諧振子機械能機械能(2) 簡諧振動簡諧振

12、動的能量平均值的能量平均值彈簧振子在一個周期內的平均動能、平均勢能彈簧振子在一個周期內的平均動能、平均勢能2022041d )(cos211d1kAttkATtETETTpp 2022041d )(sin211d1kAttkATtETETTkk 221kAEEEkp 結論結論 諧振子的瞬時能量諧振子的瞬時能量守恒守恒、且等于一個周期的平均總能量、且等于一個周期的平均總能量 平均動能、平均勢能等于總平均能量的一半平均動能、平均勢能等于總平均能量的一半(3) 簡諧振動簡諧振動的能量的能量與動力學方程與動力學方程2221)dd(21kxtxmEEEkp 簡諧振動的能量簡諧振動的能量簡諧振動能量守恒簡

13、諧振動能量守恒0dd tExtx222dd mk 2 例例4.2.1 定滑輪的半徑定滑輪的半徑 R，轉動慣量，轉動慣量 I，彈簧勁度系數彈簧勁度系數 k，物體質量物體質量 m證明證明：將物體拉離平衡位置后的自由振動為簡諧振動：將物體拉離平衡位置后的自由振動為簡諧振動 (不計體系的不計體系的 摩擦摩擦)證明證明：以平衡位置為原點，建立坐標系，物體系的機械能為：以平衡位置為原點，建立坐標系，物體系的機械能為mgyyykxImE 2022)(212121 v對上式求時間一次導對上式求時間一次導0dd222 RImkyty2RImk 定義定義xtx222dd 有有(4) 微振動系統(tǒng)的簡諧近似微振動系統(tǒng)

14、的簡諧近似 系統(tǒng)在平衡位置作微振動，將勢能函數在系統(tǒng)在平衡位置作微振動，將勢能函數在 x=0 附近作級數展開附近作級數展開 202200)(dd21)(dd)()(00 xxxExxxExExExxpxxppp在平衡位置處，勢能的一階導數為零，忽略高階級數項在平衡位置處，勢能的一階導數為零，忽略高階級數項 20220)(dd21)()(0 xxxExExExxppp 保守力為保守力為 )(dddd0220 xxxExEFxxpp 結論結論：作微振動的系統(tǒng)一般都可以看作為簡諧振動的系統(tǒng)：作微振動的系統(tǒng)一般都可以看作為簡諧振動的系統(tǒng) 例例4.2.2 長為長為 L 的剛性輕桿一端連質量為的剛性輕桿一

15、端連質量為 m 的小球，另一端可繞的小球，另一端可繞 o 點轉動，點轉動， 剛性輕桿中點與彈簧相連并使其在水平位置平衡，彈簧的勁度系數為剛性輕桿中點與彈簧相連并使其在水平位置平衡，彈簧的勁度系數為 k 求求：系統(tǒng)微振動的固有周期：系統(tǒng)微振動的固有周期 解解：設輕桿平衡時彈簧伸長量為：設輕桿平衡時彈簧伸長量為 y0，由力矩平衡，由力矩平衡kmgyLkymgL2200 輕桿順時針轉過輕桿順時針轉過 微小角時，彈簧被拉長微小角時，彈簧被拉長 yykLLyykmgLM22)(0 2Ly 42kLM 222ddtmLIM 4dd2222kLtML mk42 kmT422 4.3 阻尼振動受迫振動共振阻尼

16、振動受迫振動共振4.3.1 阻尼振動阻尼振動 (1) 阻尼振動的相關概念阻尼振動的相關概念阻尼振動阻尼振動：物體在阻尼情形下的振動：物體在阻尼情形下的振動摩擦阻尼摩擦阻尼：物體在摩擦阻尼情形下的振動：物體在摩擦阻尼情形下的振動輻射阻尼輻射阻尼：物體在有物體在有能量向外輻射下的振動能量向外輻射下的振動阻尼振動周期阻尼振動周期：阻尼振動完成一次完全振動所需的時間：阻尼振動完成一次完全振動所需的時間說明說明：阻尼振動的周期只是一種準周期：阻尼振動的周期只是一種準周期 阻尼振動的周期比相應簡諧振動的周期長阻尼振動的周期比相應簡諧振動的周期長設阻尼振動的阻力為設阻尼振動的阻力為 ，討論質點的振動情況，討

17、論質點的振動情況v f(2) 案例分析案例分析 v kxF22ddtxmmaF 0dd2dd022 xtxtx 振子固有頻率振子固有頻率m2 mk 20 阻尼因素或衰減常數阻尼因素或衰減常數B 微分方程的解微分方程的解I 小阻尼情形小阻尼情形0220 )cos(0 teAxt02202TT 220 0.00.81.0-1.0-0.50.00.51.0 x=-e-txtx=e-tA 動力學方程動力學方程對數衰減對數衰減TeAeATtAtATtt )(00ln)()(ln品質因素品質因素)()()(2TETtEtEQ 0.00.81.0-1.0-0.50.00.

18、51.0 x=-e-txtx=e-tteAmEtxmkxE 220202221)dd(2121 對小阻尼情形對小阻尼情形 211202 TeQII 臨界阻尼情形臨界阻尼情形0220 )(21tCCext 0 T0.00.81.0-1.0-0.50.00.51.0 x=-e-txtx=e-tIII 過阻尼情形過阻尼情形0220 0tteAeAx)(2)(1202202 T0.00.81.0-1.0-0.50.00.51.0 xt例例4.3.2 水平桌面上彈簧振子質量水平桌面上彈簧振子質量 m=0.5 kg，勁度系數，勁度系數 k=250 N/m ，與桌面，與桌

19、面 摩擦阻力為摩擦阻力為 - v，設初始振幅，設初始振幅 A0=5.0 cm，初相位，初相位 0=3 /2，2s 后振動曲后振動曲 線的包絡線下降到線的包絡線下降到 1.0 cm求求：(1) 和和 ； (2) 振動的角頻率；振動的角頻率；(3) 振動的初速度振動的初速度 解解(1) 8 . 0520020 eAAAAt/s 8 . 02 mNs/m (2) 3 .22220 rad/s (3)sin()cos(0000 teAteAttv當當 t=0 時時 12. 1sincos000000 vv AAm/s (1) 受迫振動的相關概念受迫振動的相關概念4.3.2 受迫振動受迫振動 受迫振動受

20、迫振動：系統(tǒng)在持續(xù)周期外力：系統(tǒng)在持續(xù)周期外力(簡諧力簡諧力)作用下發(fā)生的振動作用下發(fā)生的振動受迫力受迫力：振動系統(tǒng)所受的周期性外力：振動系統(tǒng)所受的周期性外力(2) 案例分析案例分析設所受周期性外力為設所受周期性外力為 ，阻尼振動的阻力為阻尼振動的阻力為 ptFFcos0 v fA 動力學方程動力學方程220ddcosddtxmptFtxkx 令令mk 0 m2 mFf00 ptfxtxtxcosdd2dd02022 B 動力學方程的解動力學方程的解)cos()cos(102200 ptAeAxt22222004)(ppfA 22012arctanpp 討論：受迫振動特征討論：受迫振動特征05

21、1015202530-20246810 x=A0e-tcos(t+)+Acos(pt+)x=Acos(pt+)x=A0e-tcos(t+) xtI 受迫振動受迫振動 = 減幅振動減幅振動 + 穩(wěn)定振動穩(wěn)定振動II 強迫力頻率對穩(wěn)定振動振幅的影響強迫力頻率對穩(wěn)定振動振幅的影響穩(wěn)定態(tài)運動參量穩(wěn)定態(tài)運動參量 )cos(1 ptAx)2cos(10 ptvv22022202200)(4)/( pppfpkmpFv22222004)(ppfA 當當 p0A0p當當kFA02202 p當當2200max2 fAIII 位移共振位移共振22222004)(ppfA 2202 p2200max2 fA0dd

22、pA 發(fā)生位移共振時，強迫力頻率始終小于系統(tǒng)固有振動頻率發(fā)生位移共振時，強迫力頻率始終小于系統(tǒng)固有振動頻率 弱阻尼情況下，受迫力頻率近似等于系統(tǒng)固有頻率弱阻尼情況下，受迫力頻率近似等于系統(tǒng)固有頻率 無阻尼位移共振時，無阻尼位移共振時，AIV 速度共振速度共振)2cos(10 ptvv22022200)(4 pppfv0dd0 pv0 p 20maxf v 發(fā)生速度共振條件：強迫力頻率等于系統(tǒng)固有振動頻率發(fā)生速度共振條件：強迫力頻率等于系統(tǒng)固有振動頻率 弱阻尼情形，位移共振頻率近似等于速度共振頻率或系統(tǒng)固有頻率弱阻尼情形，位移共振頻率近似等于速度共振頻率或系統(tǒng)固有頻率 無阻尼速度共振時，無阻尼速

23、度共振時，v0V 穩(wěn)定受迫振動情形的能量特征穩(wěn)定受迫振動情形的能量特征穩(wěn)定受迫情形下，時刻穩(wěn)定受迫情形下，時刻 t 系統(tǒng)機械能系統(tǒng)機械能)(cos)(sin2121)dd(21122012222 ptptmAkxtxmEconstpmAdttETET )(41)(120220 穩(wěn)定受迫情形下，系統(tǒng)一個周期的穩(wěn)定受迫情形下，系統(tǒng)一個周期的平均平均機械能機械能 不同時刻不同時刻 t，系統(tǒng)機械能，系統(tǒng)機械能不守恒不守恒 系統(tǒng)平均機械能系統(tǒng)平均機械能守恒守恒，表明系統(tǒng)能量阻尼損耗與受迫力輸入能量相等，表明系統(tǒng)能量阻尼損耗與受迫力輸入能量相等VI 受迫力輸入能量與系統(tǒng)阻尼損耗能量的相位關系受迫力輸入能量

24、與系統(tǒng)阻尼損耗能量的相位關系穩(wěn)定受迫振動情形下，一個周期內受迫力輸入能量穩(wěn)定受迫振動情形下，一個周期內受迫力輸入能量1001000sind)sin(cosdcos2 AFtptptFxptFWpTf 20122202d)(sind)(2pAmtpttApxdtdxWpT WWf 于是于是02sin01 fmpA 在穩(wěn)定受迫振動下，受迫力輸入能量相位在穩(wěn)定受迫振動下，受迫力輸入能量相位超前超前于阻尼損耗能量相位于阻尼損耗能量相位穩(wěn)定受迫振動情形下，一個周期內阻尼損耗能量穩(wěn)定受迫振動情形下，一個周期內阻尼損耗能量穩(wěn)定受迫振動情形下，一個周期內系統(tǒng)平均能量守恒穩(wěn)定受迫振動情形下，一個周期內系統(tǒng)平均能

25、量守恒4.4 振動的合成與分解振動的合成與分解4.4.1 振動的分解振動的分解例例4.4.1 設設 f(t) 是以是以 2 為周期的非簡諧振動，其波形函數為為周期的非簡諧振動，其波形函數為 101011)(tttf用傅里葉級數方法，將該非簡諧振動分解為若干簡諧振動的疊加用傅里葉級數方法，將該非簡諧振動分解為若干簡諧振動的疊加 解解：依：依傅里葉級數定理傅里葉級數定理，f(t) 是奇函數，故有是奇函數，故有an=0 (n=0,1,2)，可得，可得 knknnnnttnttnbn2012)/(4)cos1(2dsindsin1001(1) 周期性振動分解周期性振動分解f(t) 的傅里葉級數為的傅里

26、葉級數為 tnnttttfsin15sin513sin31sin4)( 任何周期性非簡諧振動都可以視任何周期性非簡諧振動都可以視 為若干簡諧振動的疊加為若干簡諧振動的疊加 周期性非簡諧振動頻譜為周期性非簡諧振動頻譜為分離分離頻譜頻譜 周期性振動依周期性振動依傅里葉級數定理傅里葉級數定理分解分解(2) 非周期性振動分解非周期性振動分解例例4.4.2 計算由計算由 2N (N為整數為整數)個正弦波組成的有限正弦波列的傅里葉積分個正弦波組成的有限正弦波列的傅里葉積分 解解：有限正弦波列函數可表示為：有限正弦波列函數可表示為 000202sin)( NtNttAtf依依傅里葉積分公式傅里葉積分公式可得

27、可得xexfFxd)(21)(i - 02020/20i -02sin2dsin20 NAtetANtF( )在在 0處有一個極大值，處有一個極大值， 0 稱為稱為中心頻率中心頻率 任何非周期性非簡諧振動都可以視為若干簡諧振動的疊加任何非周期性非簡諧振動都可以視為若干簡諧振動的疊加 非周期性非簡諧振動頻譜為非周期性非簡諧振動頻譜為連續(xù)連續(xù)頻譜頻譜 周期性振動依周期性振動依傅里葉積分定理傅里葉積分定理分解分解4.4.2 振動的合成振動的合成(1) 同偏振方向、同頻率的簡諧振動合成同偏振方向、同頻率的簡諧振動合成 2 x 1 )cos(111 tAx)cos(222 tAx)cos(21 tAxx

28、x)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsinarctan AAAA 合振動仍為簡諧振動；合振幅與分振動振幅及其初相有關合振動仍為簡諧振動；合振幅與分振動振幅及其初相有關 當當 時，時， 當當 時，時，212k 21maxAAA )12(12 k 21minAAA 例例4.4.3 n 個同偏振、同振幅、同頻率，相位依次相差個同偏振、同振幅、同頻率，相位依次相差 的簡諧振動的簡諧振動求求 它們的合振動它們的合振動 解解 n 個簡諧振動的振動方程可寫為個簡諧振動的振動方程可寫為 tax cos1 )cos(2 tax)1(cos ntaxn 2)1(cos)2s

29、in()2sin( ntnax 21)(21)(21 nn A R x y a 如圖幾何法表示如圖幾何法表示2sin2 Ra 2sin2 nRA 2)1(cos)2sin()2sin( ntnax A R x y a 2k 2, 1, 0 knanaA )2(sin)2(sinlim0max nk 2 2, 1, 0, knkk0)(sin)sin(limmin nkkaAn當各分振動構成一個封閉的多邊形時，合振幅為零當各分振動構成一個封閉的多邊形時，合振幅為零 d 課后思考題課后思考題：定量計算光柵干涉效應在屏幕上明、暗條紋的光強分布：定量計算光柵干涉效應在屏幕上明、暗條紋的光強分布提示提示

30、：經光柵衍射后電磁波方程：經光柵衍射后電磁波方程 光強光強 )1(cos0 ntEEn20EI (2) 同偏振方向、不同頻率的簡諧振動合成同偏振方向、不同頻率的簡諧振動合成 2 x 1 )cos(1111 tAx)cos(2222 tAx)cos()cos(22211121 tAtAxxx)()cos(21212212221 tAAAAA )()(11tt12221212cosAAAAA 討論討論 A 振幅、相位和角頻率是時間函數，合振動不再是一個簡諧振動振幅、相位和角頻率是時間函數，合振動不再是一個簡諧振動B 當當 A1=A2， = 2- 1=0 時時tAA2cos2121 tt2)(21 ttAx2cos2cos22112 051015202530-2