全國(guó)版2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形36正弦定理和余弦定理課件理

1、第六節(jié)正弦定理和余弦定理【知識(shí)梳理【知識(shí)梳理】1.1.正弦定理正弦定理_,_,其中其中R R是是ABCABC的外接圓半徑的外接圓半徑. .abc2Rsin Asin Bsin C2.2.余弦定理余弦定理a a2 2=_,cosA=_;=_,cosA=_;b b2 2=_,cosB=_;=_,cosB=_;c c2 2=_,cosC=_.=_,cosC=_.222bca2bc222acb2ac222abc2abb b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC3.3.勾股定

2、理勾股定理在在ABCABC中中,C=90,C=90_._.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2【特別提醒【特別提醒】1.1.正弦定理的其他形式正弦定理的其他形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(2) (2) (3)abc=sinAsinBsinC(3)abc=sinAsinBsinC. .abcsin A,sin B,sin C.2R2R2R2.2.解三角形時(shí)用到的平面幾何知識(shí)解三角形時(shí)用到的平面幾何知識(shí)(1)A+B+C=,(1)A+B+C=, A B C222 ，A BCsin(A B) sin C

3、sincos22A BCcossin .22，(2)(2)兩邊之和大于第三邊兩邊之和大于第三邊a+bc,a+cb,c+ba.a+bc,a+cb,c+ba.3.3.三角形中的射影定理三角形中的射影定理在在ABCABC中中,a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, ,a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=bcosA+acosB.c=bcosA+acosB.【小題快練【小題快練】鏈接教材練一練鏈接教材練一練1.(1.(必修必修5P105P10習(xí)題習(xí)題1.1B1.1B組組T2T2改編改編) )在在ABCABC中中, ,若若sinsin2 2A+ A+ sin

4、sin2 2BsinBsin2 2C,C,則則ABCABC的形狀是的形狀是( () )A.A.銳角三角形銳角三角形B.B.直角三角形直角三角形C.C.鈍角三角形鈍角三角形D.D.不能確定不能確定【解析【解析】選選C.C.由正弦定理由正弦定理, ,得得 代入得到代入得到a a2 2+b+b2 2cc2 2, ,由余弦定理得由余弦定理得cosCcosC= 0,= 0,所以所以C C為鈍角為鈍角, ,所以該三角形為鈍角三角形所以該三角形為鈍角三角形. .abcsin A,sin B,sin C,2R2R2R222abc2ab2.(2.(必修必修5P45P4練習(xí)練習(xí)T1(2)T1(2)改編改編) )在

5、在ABCABC中中, ,已知已知A=60A=60, , B=75B=75,c=20,c=20,則則a=a=. .【解析【解析】C=180C=180-(A+B)=180-(A+B)=180-(60-(60+75+75)=45)=45. .由正弦定理由正弦定理, ,得得答案答案: : csin A20 sin 60a10 6.sin Csin 4510 6感悟考題感悟考題 試一試試一試3.(20153.(2015廣東高考廣東高考) )設(shè)設(shè)ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A A，B B，C C的對(duì)邊分的對(duì)邊分別為別為a,b,ca,b,c. .若若 則則b=_.b=_.1a3 sin BC26，【解析【解析】

6、因?yàn)橐驗(yàn)榇鸢福捍鸢福? 11sin BB (0, )B26且，所以52BCBAB C6663aba3sin Asin B3b,b 1.2sinsin36 或，又，所以，又，由正弦定理得，即解得4.(20154.(2015合肥模擬合肥模擬) )已知在已知在ABCABC中中,a,a2 2=b=b2 2+bc,acosB+ +bc,acosB+ bcosA=cbcosA=csinCsinC, ,則則B=B=. .【解析【解析】由于由于acosB+bcosAacosB+bcosA=c,=c,所以所以c=cc=csinCsinC, ,sinCsinC=1.=1.又又0C,0C0,0,所以所以sinBsi

7、nB= ,B= .= ,B= .答案答案: : 21266考向一考向一正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016黃岡模擬黃岡模擬) )在在ABCABC中中, ,內(nèi)角內(nèi)角A,B,CA,B,C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a,b,ca,b,c. .若若asinBcosC+csinBcosAasinBcosC+csinBcosA= b,= b,且且ab,ab,則則B=(B=() )1225A. B. C. D.6336(2)(2)如果滿足如果滿足ABC=60ABC=60,AC=12,BC=k,AC=12,BC=k的的ABCABC恰有一個(gè)恰有

8、一個(gè), ,那么那么k k的取值范圍是的取值范圍是( () )A.kA.k=8 B.0k12=8 B.0k12C.k12 D.0k12C.k12 D.0b,ab,所以所以B B必為銳角必為銳角, ,所以所以B=B= 1,2.6【一題多解【一題多解】解答本題還有以下解法：解答本題還有以下解法： 由由asin Bcos C+csin Bcos A=asin Bcos C+csin Bcos A=得得sin B(acos C+ccos A)=sin B(acos C+ccos A)=所以所以因?yàn)橐驗(yàn)閍b,ab,所以所以B B必為銳角，所以必為銳角，所以1b,21b2，11bsin Bb,sin B22

9、 ，B.6(2)(2)選選D.D.由正弦定理得由正弦定理得因?yàn)橐驗(yàn)?所以由圖象可以知道當(dāng)且僅當(dāng)所以由圖象可以知道當(dāng)且僅當(dāng)k=k=或或0k120k12時(shí)有唯一的時(shí)有唯一的k.k.k12,k 8 3sin A,sin Asin 6020 A3 ，8 3【母題變式【母題變式】1.1.在本例在本例(2)(2)中中, ,條件改為條件改為“ABCABC中中,ABC=60,ABC=60, , AC=12,BC=k”,AC=12,BC=k”,討論討論k k的取值范圍對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的的取值范圍對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的影響影響. .【解析【解析】由由畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù) 圖象，圖象，k12,k 8 3sin Asin A

10、sin 60，y 8 3sin x可知可知(1)(1)當(dāng)當(dāng)k=8 k=8 或或0k1208 k8 時(shí)三角形無(wú)解時(shí)三角形無(wú)解. .(3)(3)當(dāng)當(dāng)12k8 12kbab一解一解一解一解一解一解a=ba=b無(wú)解無(wú)解無(wú)解無(wú)解一解一解ababsinAabsinA兩解兩解a=bsinAa=bsinA一解一解absinAabsinA無(wú)解無(wú)解2.2.利用余弦定理可以解決的兩類問(wèn)題利用余弦定理可以解決的兩類問(wèn)題(1)(1)已知兩邊及夾角已知兩邊及夾角, ,先求第三邊先求第三邊, ,再求其余兩個(gè)角再求其余兩個(gè)角. .(2)(2)已知三邊已知三邊, ,求三個(gè)內(nèi)角求三個(gè)內(nèi)角. .易錯(cuò)提醒易錯(cuò)提醒:(1):(1)應(yīng)用

11、正弦定理求角時(shí)容易出現(xiàn)增解或丟應(yīng)用正弦定理求角時(shí)容易出現(xiàn)增解或丟解的錯(cuò)誤解的錯(cuò)誤, ,要根據(jù)條件和三角形的限制條件合理取舍要根據(jù)條件和三角形的限制條件合理取舍. .(2)(2)求角時(shí)忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤求角時(shí)忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤, ,需要根據(jù)大邊對(duì)需要根據(jù)大邊對(duì)大角大角, ,大角對(duì)大邊的規(guī)則大角對(duì)大邊的規(guī)則, ,畫(huà)圖幫助判斷畫(huà)圖幫助判斷. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015安徽高考安徽高考) )在在ABCABC中中,AB= ,AB= ,A=75A=75,B=45,B=45, ,則則AC=AC=. .【解析【解析】由正弦定理可知由正弦定理可知: : 答案答案: :2 26ABACs

12、in 180(7545 )sin 456ACAC 2.sin 60sin 45【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20161.(2016長(zhǎng)沙模擬長(zhǎng)沙模擬) )ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a,b,ca,b,c，已知，已知b=2b=2， 則則ABCABC的面積為的面積為( )( )BC64，A.2 3 2B. 3 1C.2 3 2D. 3 1 【解析【解析】選選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)橛烧叶ɡ淼糜烧叶ɡ淼盟匀切蔚拿娣e為所以三角形的面積為7B,C,A.6412所以bcc 2 2.sinsin64，解得117bcsin A2 2 2sin.2212 73212sinsi

13、n()12342222231(),2221231bcsin A 2 2()3 1.2222 因?yàn)樗?.(20162.(2016阜陽(yáng)模擬阜陽(yáng)模擬) )ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C的對(duì)邊分別是的對(duì)邊分別是a,b,ca,b,c, ,若若B=2A,a=1,b= ,B=2A,a=1,b= ,則則c=c=( () )A.2 B.2 C. D.1A.2 B.2 C. D.1332【解析【解析】選選B.B.由由B=2A,B=2A,則則sinBsinB=sin2A,=sin2A,由正弦定理知由正弦定理知 所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=1+3=4,c=2.=1+3=4,c=2

14、.ab,sin Asin B1333,sin Asin Bsin 2A2sin Acos A3cos AAB 2A263CB A2 即所以，所以，所以，3.(20163.(2016宿州模擬宿州模擬) )已知已知ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C所對(duì)的邊所對(duì)的邊分別是分別是a,b,ca,b,c. .若若a a2 2+ab+b+ab+b2 2-c-c2 2=0,=0,則角則角C C的大小是的大小是. .【解析【解析】a a2 2+ab+b+ab+b2 2-c-c2 2=0=0cosC= cosC= 答案答案: : 222abc12C2ab23 23考向二考向二利用正弦定理、余弦定理判斷三

15、角形的形狀利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016洛陽(yáng)模擬洛陽(yáng)模擬) )設(shè)設(shè)ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a,b,ca,b,c, ,若若bcosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA, ,則則ABCABC的形狀為的形狀為( () )A.A.直角三角形直角三角形B.B.銳角三角形銳角三角形C.C.鈍角三角形鈍角三角形D.D.不確定不確定(2)(2016(2)(2016成都模擬成都模擬) )在在ABCABC中中,a,b,c,a,b,c分別分別為內(nèi)角為內(nèi)角A,B,CA,B,C的對(duì)邊的對(duì)邊

16、, ,且且2asinA=(2b+c)sinB+2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(2c+b)sinC.求求A A的大小的大小; ;若若sinB+sinCsinB+sinC=1,=1,試判斷試判斷ABCABC的形狀的形狀. .【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】(1)(1)由正弦定理把邊化為角由正弦定理把邊化為角, ,求出角求出角A.A.(2)(2)先由正弦定理把角化為邊先由正弦定理把角化為邊, ,再用余弦定理求角再用余弦定理求角; ;用三角恒等變換公式求出用三角恒等變換公式求出B,C,B,C,判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

17、bcosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA, ,所以由所以由正弦定理得正弦定理得sinBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosB=sin=sin2 2A,A,所以所以sin(B+Csin(B+C)=sin)=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=sin2 2A,sinAA,sinA=1,=1,所以所以A A為直角為直角, ,所以三角形所以三角形ABCABC是直角三角形是直角三角形. .(2)(2)由已知由已知, ,結(jié)合正弦定理結(jié)合正弦定理, ,得得2a2a2 2=(2b+c)=(2b+c)b+(2c+b)c,b+(2c+b)c,即即a a2

18、 2=b=b2 2+c+c2 2+bc,+bc,又由余弦定理又由余弦定理,a,a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA,-2bccosA,所以所以bc=-2bccosA,bc=-2bccosA,即即cosA=- ,cosA=- ,由于由于A A為三角形的內(nèi)角為三角形的內(nèi)角, ,所以所以A= .A= .1223對(duì)于已知對(duì)于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,結(jié)合正弦定理結(jié)合正弦定理, ,有有2sin2sin2 2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,A=(2sinB+

19、sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即即sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C+sinBsinC= C+sinBsinC= 又由又由sinB+sinCsinB+sinC=1,=1,得得sinsin2 2B+sinB+sin2 2C+2sinBsinC=1,C+2sinBsinC=1,223sin,34所以所以sinBsinBsinCsinC= = 從而有從而有sinB=sinCsinB=sinC= = 因?yàn)橐驗(yàn)?B,0C,0B+C,0B,0C,0B+C,所以所以B=C= B=C= 所以所以ABCABC是等腰的鈍角三角形是等腰的鈍角三角形. .

20、1.41.26，【易錯(cuò)警示【易錯(cuò)警示】解答本例題解答本例題(2)(2)會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤: :(1)(1)求得求得cosAcosA= = 后后, ,得得A= A= 或或A= ,A= ,這是由于記錯(cuò)了這是由于記錯(cuò)了特殊角的三角函數(shù)值而致誤特殊角的三角函數(shù)值而致誤. .(2)(2)求得求得sinsin2 2A= A= 后后, ,開(kāi)方得開(kāi)方得sinAsinA= = , ,這是忽略了角這是忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號(hào)而致誤的范圍和三角函數(shù)的符號(hào)而致誤. .125633432【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.應(yīng)用余弦定理判斷三角形形狀的方法應(yīng)用余弦定理判斷三角形形狀的方法在在ABCABC中中,c

21、,c是最大的邊是最大的邊, ,若若c c2 2aaa2 2+b+b2 2, ,則則ABCABC是鈍角三角形是鈍角三角形. .2.2.判斷三角形形狀的常用技巧判斷三角形形狀的常用技巧若已知條件中有邊又有角若已知條件中有邊又有角, ,則則(1)(1)化邊化邊: :通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系, ,從從而判斷三角形的形狀而判斷三角形的形狀. .(2)(2)化角化角: :通過(guò)三角恒等變形通過(guò)三角恒等變形, ,得出內(nèi)角的關(guān)系得出內(nèi)角的關(guān)系, ,從而判從而判斷三角形的形狀斷三角形的形狀. .此時(shí)要注意應(yīng)用此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=A+B+C=這個(gè)結(jié)論這個(gè)結(jié)論.

22、.【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2016(2016蚌埠模擬蚌埠模擬) )若若ABCABC的三個(gè)內(nèi)角滿的三個(gè)內(nèi)角滿足足sinAsinBsinCsinAsinBsinC=51113,=51113,則則ABCABC( () )A.A.一定是銳角三角形一定是銳角三角形B.B.一定是直角三角形一定是直角三角形C.C.一定是鈍角三角形一定是鈍角三角形D.D.可能是銳角三角形可能是銳角三角形, ,也可能是鈍角三角形也可能是鈍角三角形【解析【解析】選選C.C.由由sinAsinBsinCsinAsinBsinC=51113=51113及正弦及正弦定理得定理得abcabc=51113.=51113.由余弦定理得由余弦

23、定理得cosCcosC= 0,= sinCsin2 2A+sinA+sin2 2B.B.又又 =2R,=2R,所以所以,c,c2 2aa2 2+b+b2 2. .由余弦定理得由余弦定理得cosCcosC= 0,= 1,1,則則ABCABC一定是鈍角三角形一定是鈍角三角形; ;若若sinsin2 2A+sinA+sin2 2B=sinB=sin2 2C,C,則則ABCABC一定是直角三角形一定是直角三角形; ;若若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-Acos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,)=1,則則ABCABC一定是等一定是等邊三角形邊三角形. .以上正確命題的序號(hào)為以

24、上正確命題的序號(hào)為. .【解析【解析】tan(A+B)=-tanCtan(A+B)=-tanC= 0,= 0,所以所以C C為銳角為銳角, ,因?yàn)橐驗(yàn)閠anAtanAtanBtanB1,A,B1,A,B為三角形內(nèi)角為三角形內(nèi)角, ,則則tanAtanA0,tanB0,0,tanB0,所以所以A,BA,B均為銳角均為銳角, ,所以所以ABCABC不是鈍角三角形不是鈍角三角形, ,錯(cuò)錯(cuò). .tan A tan B1 tan A tan B由正弦定理由正弦定理, ,得得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, ,所以一定為直角三角形所以一定為直角三角形, ,對(duì)對(duì). .由由cos(A-B)cos(B

25、-C)cos(C-Acos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1)=1可得可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(Ccos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,-A)=1,所以所以A=B=C,A=B=C,對(duì)對(duì). .答案答案: :考向三考向三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用【典例【典例3 3】(1)(2015(1)(2015北京高考北京高考) )在在ABCABC中中,a=4,b=5,a=4,b=5,c=6,c=6,則則 = =. .(2)(2015(2)(2015重慶高考重慶高考) )設(shè)設(shè)ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C的對(duì)邊分別

26、的對(duì)邊分別為為a,b,ca,b,c, ,且且a=2,cosC=- ,3sinA=2sinB,a=2,cosC=- ,3sinA=2sinB,則則c=c=. .sin 2Asin C14【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】(1)(1)利用二倍角公式展開(kāi)利用二倍角公式展開(kāi)sin2A,sin2A,再利用正、再利用正、余弦定理角化邊余弦定理角化邊. .(2)(2)首先根據(jù)正弦定理求出首先根據(jù)正弦定理求出b b的大小的大小, ,再利用余弦定理可再利用余弦定理可求出求出c c的值的值. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)答案答案: :1 122222222a bca45641.bc5 6222bca2asin 2A2

27、sin Acos A2bcsin Csin Cc(2)(2)在在ABCABC中中, ,因?yàn)橐驗(yàn)?sinA=2sinB.3sinA=2sinB.由正弦定理可知由正弦定理可知3a=2b,3a=2b,因?yàn)橐驗(yàn)閍=2,a=2,所以所以b=3.b=3.由余弦定理可知由余弦定理可知c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=4+9-2-2abcosC=4+9-22 23 3 =16, =16,所以所以c=4.c=4.答案答案: :4 41()4【規(guī)律方法【規(guī)律方法】與三角形的邊長(zhǎng)、角度等有關(guān)問(wèn)題的求與三角形的邊長(zhǎng)、角度等有關(guān)問(wèn)題的求解思路解思路(1)(1)若求角若求角, ,則先把已知條件中的

28、邊用正弦定理、余弦則先把已知條件中的邊用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系定理轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系, ,再求解再求解. .(2)(2)若求邊若求邊, ,則先把已知條件中的角用正弦定理、余弦則先把已知條件中的角用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系, ,再求解再求解. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】1.(20161.(2016武漢模擬武漢模擬) )在在ABCABC中中, ,內(nèi)角內(nèi)角A,A,B,CB,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,ca,b,c, ,若若bsinA- acosBbsinA- acosB=0,=0,且且b b2 2=ac,=ac,則則 的值為的值為( ()

29、)A. B. C.2 D.4A. B. C.2 D.43a cb222【解析【解析】選選C.C.ABCABC中中, ,由由bsinA- acosBbsinA- acosB=0,=0,利用正弦定理得利用正弦定理得sinBsinA- sinAcosBsinBsinA- sinAcosB=0,=0,所以所以tanBtanB= ,= ,故故B= .B= .由余弦定理得由余弦定理得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2ac-2accosB=acosB=a2 2+c+c2 2-ac,-ac,即即b b2 2=(a+c)=(a+c)2 2-3ac,-3ac,又又b b2 2=ac,=ac,所以所以4b4b2 2=(a+c)=(a+c)2 2, ,求得求得 =2.=2.3333a cb2.(20162.(2016南陽(yáng)模擬南陽(yáng)模擬) )設(shè)設(shè)ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為分別為a,b,ca,b,c, ,