P二次曲線的類型和形狀的判別

1、22112212222200 .a xa yb xb yca（）221122120.a xa yb xc*2*2*11220a xa yc222120a yb xc*2*22120a yb x*2*22=0,a yc10b 1=0b橢圓型橢圓型(1) (1) 橢圓橢圓 (2) (2) 無軌跡無軌跡 (3)(3)點點 *1100;ca c，*1100ca c，*0,c 雙曲型雙曲型(4) (4) 雙曲線：雙曲線：(5) (5) 兩條直線：兩條直線：*0,c *0,c *11220a a*11220a a110,a110a拋物型曲線拋物型曲線*11220,0aa(6) 拋物線拋物線 (7) 一對平

2、行的直線一對平行的直線 (8) 無軌跡無軌跡 (9) 一條直線一條直線10b *1220,0ba c*10,0bc10b *220a c 4 4：二次曲線類型和形狀的判別：二次曲線類型和形狀的判別問題：如何從二次曲線的方程，直接判斷二次曲問題：如何從二次曲線的方程，直接判斷二次曲線的類型？線的類型？二次曲線的類型：二次曲線的類型：2211122212( , )22(21)0.F x ya xa xya yb xb yc*2*2*11220a xa yc*2*2*2212220,=0.a yb xa yc中心型（橢圓型和雙曲型）中心型（橢圓型和雙曲型）非中心型非中心型*11221,.aab c從

3、方程（從方程（1）的系數(shù)計算）的系數(shù)計算2211122212( , )2220.F x ya xa xya yb xb yc= cossin ,sincos .x xyyxy2211122212( ,)=2220.F x ya xa x ya yb xb yc2211111222cos2sin cossinaaaa2212221112()sin cos(cossin)aaaa2222111222sin2sin coscosaaaa112cossinbbb212sincosbbb cc 系數(shù)的關(guān)系系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸代入上面的方程代入上面的方程要使得新方程中沒有要使得新方程中沒有混乘項，即混乘項，

4、即120a112212cot2.2aaa112211221122112212,()cos22sin2 .aaaaaaaaa新方程中沒有混乘項，即新方程中沒有混乘項，即120a11221212cos22cot22sin2aaaa212112212122cos 222sin2.sin2sin2aaaaa221122112211221()() 4a aaaaa112212cot22aaa2212112212()() 4sin2aaa221122121()(2csc2 ) 4aaa2112212.a aa定義：定義：11122211221211221222.aaIa aaa aaa所以所以二次曲線二次

5、曲線的類型可以用的類型可以用 來判別：來判別：2I(I)(I)橢圓型：橢圓型：20I 20I 20I (II)(II)雙曲型：雙曲型：(III)(III)拋物型：拋物型：中心型：中心型：20I （非中心型：（非中心型： ）20I *2112211221122.Ia aa aa a例例1 1：二次曲線的方程是：二次曲線的方程是22240.xxyyxy是雙曲型是雙曲型標準方程里面的系數(shù)可以由下面的關(guān)系來確定標準方程里面的系數(shù)可以由下面的關(guān)系來確定*2112211221122122,a aa aa aaI*112211221122,aaaaaa記記11122Iaa2120II那么那么 就是下面方程的

6、根就是下面方程的根 *1122,aa上面的方程稱做二次方程的上面的方程稱做二次方程的特征方程特征方程，它的根，它的根記作記作 ，叫做特征根。，叫做特征根。12, 接下來我們進一步確定曲線的形狀，也就是說要確接下來我們進一步確定曲線的形狀，也就是說要確定標準方程中的其它系數(shù)定標準方程中的其它系數(shù). .中心型曲線中心型曲線*2*2*11220a xa yc標準方程：標準方程：*11112222,aaaa22*121122.bbccaa求求*c2222*12112211 222 111221122bbca aa ba bccaaa a又因為又因為120a222211 222 111 212 1 22

7、2 12a ba ba ba bba b22112211 222 122211221222 111 212 1 2()2ca aa ba ba aaca ba ba bb因為因為222211 112 1 222 211 112 1 222 222(1)a ba bba ba ba bba b 222212122bbbb11221122(2)aaaa兩邊分別乘以和再減(1)得3I公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)222311221222 111 212 1 2222112212 1 21211 222 1()22Ia aaca ba ba bba a ca bba ca ba b111211222212.aaba

8、abbbc中心型曲線的方程可以用中心型曲線的方程可以用 完全確定。完全確定。123,I II*2*231220IxyI 是特征方程是特征方程 的兩個特征的兩個特征根根12, 2120II*32IcI(I)(I)橢圓型：橢圓型：（1 1）橢圓：）橢圓：（2 2）無軌跡：）無軌跡：（3 3）點：）點： 20I 30,I 1 30I I 30,I 1 30I I 30.I (II)(II)雙曲型雙曲型：（4 4）雙曲線：）雙曲線：（5 5）一對相交的直線：）一對相交的直線：20I 30,I 30.I 中心型曲線標準方程中心型曲線標準方程*2*231220IxyI121122,.II非中心型曲線非中心

9、型曲線非中心型曲線的特點是非中心型曲線的特點是1120,0.aI它的標準方程分它的標準方程分 兩種情況兩種情況 10,b 10b *2*22120a yb x*2*22=0,a yc10b 1=0b2*222221122,.baabb cca*222211221aaaaI如何求如何求*1,b c2223112211 222 122 111.Ica aa ba ba ba （此時=0）310,Ib當，即0時曲線是拋物線，標準方程是*223111IbbI 所以標準方程可以用所以標準方程可以用 表示成表示成13,I I*2*2*33131120.2III yxyxII 即焦參數(shù)為焦參數(shù)為331IpI

10、*2*22120a yb x310Ib ，即 =0,曲線的標準方程*2*22=0,a yc22*22222222.ba cbccaa*2222112211,0aaaaI cc b因為222212,bbb所以所以222222112212()().a cbaacbb記記221112212()().Kaacbb于是于是*221=a cK*11=KcI標準方程可以標準方程可以寫成寫成*2121=0,KyI111222112ababKbcbc（III）拋物型：）拋物型：（6）拋物線）拋物線 ：（7）一對平行的直線：）一對平行的直線：（8）無軌跡：）無軌跡：（9）一條直線：）一條直線：30.I 30,I

11、10K 30,I 10.K 30,I 10.K *2121=0,KyI*2*31120II yxI ，非中心型曲線非中心型曲線標準方程標準方程型別型別類別類別判別標志判別標志標準方程標準方程拋物型雙曲型橢圓型20I 20I 20I (1)橢圓(2)無軌跡(3)一點33133130, ,0, ,0II III II反號同號*2*231220IxyI(4)雙曲線(5)相交直線3300II(6)拋物線(7)平行直線(8)無軌跡(9)一條直線30I 3131310,00,00,0IKIKIK*2121=0,KyI*2*31120II yxI例例2 確定二次曲線確定二次曲線 的類型的形狀的類型的形狀.2

12、681226110 xyyxy解：計算解：計算123,III,1088,I 2039038I 3036381361311I810雙曲型曲線雙曲型曲線2890.特征方程是1291 ，*2*2990.xy方程可以化簡為例例3 確定二次曲線確定二次曲線 的類型的形狀的類型的形狀.222840 xxyyx解：計算解：計算123,III,11 12,I 21 101 1I 3114110160404I 方程可以化簡為*2*24 20.yx 拋物線*2*2 2yx 即，2p 焦參數(shù)為 二次曲線與直線的相關(guān)位置討論二次曲線與直線00(2)xxXtyyYt的交點，可以采用把直線方程（2）代入曲線方程（1）然后

13、討論關(guān)于t的方程2211122212( , )2220 (1)F x ya xa xy a ybxby c 22211122211 012 0112 022 022211 012 0 022 01 02 0(2)2 ()()(3)(222) 0a Xa XYa Y ta xa yb Xa xa yb Y ta xa x ya ybxb yc210020000(, )2(,)(,)(,)0(4)X YtF xyXFxyY tF xy 對（3）或（4）可分以下幾種情況來討論：.)1()2()2()4(. 0121的的兩兩個個不不同同的的實實交交點點與與二二次次曲曲線線得得直直線線，代代入入與與有有

14、兩兩個個不不等等的的實實根根方方程程tt .)1()2()4(. 0221點點有有兩兩個個相相互互重重合合的的實實交交與與二二次次曲曲線線，直直線線與與有有兩兩個個相相等等的的實實根根方方程程tt .)2()4(. 03的的虛虛點點二二次次曲曲線線交交于于兩兩個個共共軛軛與與線線有有兩兩個個共共軛軛的的虛虛根根，直直方方程程 ),(),(),(),(,)4(. 0),(. 1002002001yxFYXYyxFXyxFYX 的的二二次次方方程程是是關(guān)關(guān)于于此此時時t210020000(, )2(,)(,)(,)0(4)X YtF xyXFxyY tF xy ：，這時又可分三種情況，這時又可分三

15、種情況0),(. 2 YX.)1()2(,)4(.0),(),(1002001實實交交點點有有唯唯一一與與二二次次曲曲線線直直線線的的一一次次方方程程關(guān)關(guān)于于是是此此時時tYyxFXyxF .)1()2(,)4(.0),(.0),(),(200002001無無交交點點與與二二次次曲曲線線直直線線是是矛矛盾盾方方程程而而 yxFYyxFXyxF.)1()2(,)4(.0),(),(),(300002001上上全全部部在在二二次次曲曲線線直直線線是是恒恒等等式式此此時時 yxFYyxFXyxF210020000(, )2(,)(,)(,)0(4)X YtF xyXFxyY tF xy 二次曲線的漸

16、近方向即1)橢圓型：I20 2)拋物型： I20 3)雙曲型： I2022111222(, )20(, )定義1滿足條件的方向叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向.：X Ya Xa XYa YX Y橢圓型二次曲線，沒有實漸近方向，雙曲型二次曲線，有兩個實漸近方向，拋物型二次曲線，有一個實漸近方向.22111222(, )20X Ya Xa XYa Y21211222(2)4aa aI 2211122212( , )2220如 果 二 次 曲 線 是 一 條 雙 曲 線 ， 那 么 它 的 兩 條 漸 進 線 為F x ya xa xy a ybxbyc 22112211122200( , ),(, )2( , )其 中 是 方 程 =0 的 兩個 解 ，是 雙 曲 線 的 對 稱 中 心 ， 即 是 下 面 方