三角函數(shù)與解三角形46

1、理數(shù)4.64.6三角函數(shù)的綜合應用三角函數(shù)的綜合應用知識數(shù)據(jù)庫知識數(shù)據(jù)庫技能數(shù)據(jù)庫技能數(shù)據(jù)庫預測數(shù)據(jù)庫預測數(shù)據(jù)庫1 1三角函數(shù)是高中數(shù)學的基礎，是解決高中數(shù)學問題的有力工三角函數(shù)是高中數(shù)學的基礎，是解決高中數(shù)學問題的有力工具，也是高考必考知識點，教學中要注意把握具，也是高考必考知識點，教學中要注意把握“高考問題導航高考問題導航”中所中所涉及的四個高考問題，它們揭示了高考對本節(jié)知識的考查重點與方向涉及的四個高考問題，它們揭示了高考對本節(jié)知識的考查重點與方向，是本節(jié)復習的重點與主要題型，是本節(jié)復習的重點與主要題型2 2通過近幾年的高考試題可以看出對此節(jié)內(nèi)容高考命題多以三通過近幾年的高考試題可以看出

2、對此節(jié)內(nèi)容高考命題多以三角函數(shù)為背景，并以函數(shù)、方程、不等式、平面向量、解三角形等內(nèi)角函數(shù)為背景，并以函數(shù)、方程、不等式、平面向量、解三角形等內(nèi)容為載體，結合實際應用考查三角函數(shù)公式、性質(zhì)、圖象及應用，因容為載體，結合實際應用考查三角函數(shù)公式、性質(zhì)、圖象及應用，因此復習時，應立足基礎，加強訓練，學會建模，提高應用能力此復習時，應立足基礎，加強訓練，學會建模，提高應用能力4.6三角函數(shù)的綜合應用3 3教學中教師應對本節(jié)所列例題有所選擇，不一定要全部講完教學中教師應對本節(jié)所列例題有所選擇，不一定要全部講完，對，對“預測數(shù)據(jù)庫預測數(shù)據(jù)庫”中所列練習也不一定要全部做完，對綜合性較強中所列練習也不一定要

3、全部做完，對綜合性較強的題目，不必要求所有學生完成的題目，不必要求所有學生完成高考問題高考問題1 1：考查三角函數(shù)求值與化簡：考查三角函數(shù)求值與化簡綜合考查三角函數(shù)公式的應用，以化簡與求值的形式出現(xiàn)，解綜合考查三角函數(shù)公式的應用，以化簡與求值的形式出現(xiàn)，解題時注意角的范圍以及角之間關系的變化，一般為選擇、填空題的中題時注意角的范圍以及角之間關系的變化，一般為選擇、填空題的中檔題或解答題的容易題檔題或解答題的容易題高考問題高考問題2 2：考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)：考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合考查圖象變換與函數(shù)性質(zhì)的應用，以函數(shù)綜合考查圖象變換與函數(shù)性質(zhì)的應用，以函數(shù)y yA Asin(sin(xx)

4、()(A A0 0，0 0，| | | ) )為命題對象，以根據(jù)圖象及性質(zhì)確定函為命題對象，以根據(jù)圖象及性質(zhì)確定函數(shù)中的系數(shù)為主要命題形式，一般為選擇、填空題中的中檔題數(shù)中的系數(shù)為主要命題形式，一般為選擇、填空題中的中檔題高考問題高考問題3 3：考查求最值問題：考查求最值問題以復合函數(shù)為命題對象，考查指定區(qū)間上的最值問題，解決問以復合函數(shù)為命題對象，考查指定區(qū)間上的最值問題，解決問題的關鍵是轉(zhuǎn)化基本函數(shù)，特別注意函數(shù)單調(diào)性的變化，一般為解答題的關鍵是轉(zhuǎn)化基本函數(shù)，特別注意函數(shù)單調(diào)性的變化，一般為解答題中的容易題題中的容易題高考問題高考問題4 4：考查三角函數(shù)與其他知識的綜合：考查三角函數(shù)與其他

5、知識的綜合將三角函數(shù)與解三角形綜合在一起，考查三角函數(shù)定義、公式將三角函數(shù)與解三角形綜合在一起，考查三角函數(shù)定義、公式、圖象與性質(zhì)的運用，一般為解答題中的容易題、圖象與性質(zhì)的運用，一般為解答題中的容易題. . 1 1三角函數(shù)的求值與化簡三角函數(shù)的求值與化簡(1)(1)常用方法：直接應用公式進行降冪、消項；切割化弦，常用方法：直接應用公式進行降冪、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等(2)(2)化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；使分母盡量不含三角函數(shù)；使被開

6、方數(shù)盡少；使項數(shù)盡量少；使分母盡量不含三角函數(shù)；使被開方數(shù)盡量不含三角函數(shù)量不含三角函數(shù)2 2求三角函數(shù)的值域或最值求三角函數(shù)的值域或最值求三角函數(shù)最值的常用方法有：求三角函數(shù)最值的常用方法有：(1)(1)配方法；配方法；(2)(2)化為一個角的化為一個角的三角函數(shù)形式，如三角函數(shù)形式，如y yA Asin(sin(xx) )k k等，利用三角函數(shù)的有界性等，利用三角函數(shù)的有界性求解；求解；(3)(3)數(shù)形結合法；數(shù)形結合法；(4)(4)換元法；換元法；(5)(5)基本不等式法等基本不等式法等三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要

7、注意題設中所給出的角的范圍，還要注意弦函數(shù)的有界性設中所給出的角的范圍，還要注意弦函數(shù)的有界性3 3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)包括定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性三角函數(shù)的性質(zhì)包括定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值、對稱性等要結合圖象記憶性質(zhì)，反過來要用性質(zhì)鞏固圖象、最值、對稱性等要結合圖象記憶性質(zhì)，反過來要用性質(zhì)鞏固圖象，三角函數(shù)性質(zhì)的討論要遵循定義域優(yōu)先的原則，研究函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)性質(zhì)的討論要遵循定義域優(yōu)先的原則，研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值都要先考慮函數(shù)的定義域三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、周期性、最值都要先考慮函數(shù)的定義域三角函數(shù)的圖象

8、和性質(zhì)，應重視從數(shù)和形兩個角度認識，注意用數(shù)形結合的思想方法和性質(zhì)，應重視從數(shù)和形兩個角度認識，注意用數(shù)形結合的思想方法去分析問題，解決問題去分析問題，解決問題解這類題的關鍵是利用降冪公式，輔助角公式將題中三角式化解這類題的關鍵是利用降冪公式，輔助角公式將題中三角式化為某個角的弦函數(shù)，利用弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答問題為某個角的弦函數(shù)，利用弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答問題4 4三角函數(shù)在代數(shù)中的運用，精髓是三角函數(shù)在代數(shù)中的運用，精髓是“代換代換”，將數(shù)學中的問，將數(shù)學中的問題的變量用三角函數(shù)代替稱為三角代換三角代換的原則是角的取值題的變量用三角函數(shù)代替稱為三角代換三角代換的原則是角的取值范圍決定三角函

9、數(shù)的取值范圍，三角函數(shù)的取值范圍必須確保被代換范圍決定三角函數(shù)的取值范圍，三角函數(shù)的取值范圍必須確保被代換的變量的取值范圍不發(fā)生變化，適合的條件不發(fā)生變化的變量的取值范圍不發(fā)生變化，適合的條件不發(fā)生變化注意導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求三角函數(shù)的最值的方法注意導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求三角函數(shù)的最值的方法5 5解答三角函數(shù)應用題的一般步驟：解答三角函數(shù)應用題的一般步驟：(1)(1)閱讀理解材料，三角函數(shù)應用題的語言形式多為文字語言，閱讀理解材料，三角函數(shù)應用題的語言形式多為文字語言，圖形語言，符號語言并用閱讀理解中要讀懂題目中所反映的實際問圖形語言，符號語言并用閱讀理解中要讀懂題目中所反映

10、的實際問題的背景，領悟其中的數(shù)學本質(zhì)，把題目中出現(xiàn)的邊角關系和三角關題的背景，領悟其中的數(shù)學本質(zhì)，把題目中出現(xiàn)的邊角關系和三角關系聯(lián)系起來確立以什么樣的三角形為模型系聯(lián)系起來確立以什么樣的三角形為模型(2)(2)建立變量關系，根據(jù)建立變量關系，根據(jù)(1)(1)的分析，把實際問題抽象成數(shù)學問題的分析，把實際問題抽象成數(shù)學問題，建立變量關系其中要充分運用數(shù)形結合的思想，圖形語言和符號，建立變量關系其中要充分運用數(shù)形結合的思想，圖形語言和符號語言并用的思維模式語言并用的思維模式(3)(3)討論變量性質(zhì)，根據(jù)討論變量性質(zhì)，根據(jù)(2)(2)中建立起來的變量關系，結合題目中建立起來的變量關系，結合題目的要

11、求，與已知數(shù)學模型的性質(zhì)對照，討論變量的有關性質(zhì)，從而得的要求，與已知數(shù)學模型的性質(zhì)對照，討論變量的有關性質(zhì)，從而得到所求問題的理論參數(shù)值到所求問題的理論參數(shù)值(4)(4)作出結論，根據(jù)作出結論，根據(jù)(3)(3)中得到的理論參數(shù)值按題目要求作出相中得到的理論參數(shù)值按題目要求作出相應的結論應的結論3 3(2010(2010年年黃岡模擬黃岡模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)y y2sin 2sin x x的定義域為的定義域為 a a，b b ，值域為，值域為 2,12,1，則，則b ba a的值不可能是的值不可能是( () )【解析解析】值域值域2,1含最小值不含最大值，故定義域小于一含最小值不含最大值，

12、故定義域小于一個周期，故選個周期，故選C.【答案答案】C【點評點評】1.1.本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本知識，以及推理和運算能力變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本知識，以及推理和運算能力2 2將一個形式較復雜的三角函數(shù)化為某一個角的正弦函數(shù)，利將一個形式較復雜的三角函數(shù)化為某一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答問題是高考中常出現(xiàn)的題型解這類題用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答問題是高考中常出現(xiàn)的題型解這類題的關鍵是利用降冪公式，輔助角公式將題中三角式化為某個角的正弦的關鍵是利用降冪公式，輔助角公式將題中三角

13、式化為某個角的正弦函數(shù)函數(shù)能力訓練能力訓練2 2關于關于x x的方程的方程sin sin x x cos cos x xa a0 0在區(qū)間在區(qū)間0,20,2上有且只有兩個不同的實根上有且只有兩個不同的實根(1)(1)求實數(shù)求實數(shù)a a的范圍；的范圍；(2)(2)求這兩個實根的和求這兩個實根的和例例3 3如圖所示，某園林單位準備綠化一塊直徑為如圖所示，某園林單位準備綠化一塊直徑為BCBC的半圓形空的半圓形空地，地，ABCABC外的地方種草，外的地方種草，ABCABC的內(nèi)接正方形的內(nèi)接正方形PQRSPQRS為一水池，其余地為一水池，其余地方種花若方種花若BCBCa, a, ABCABC，設，設AB

14、CABC的面積為的面積為S S1 1，正方形，正方形PQRSPQRS的的面積為面積為S S2 2. .(1)(1)用用a a，表示表示S S1 1和和S S2 2；(2)(2)當當a a固定，固定，變化時，求變化時，求 取得最小值時取得最小值時的值的值【指點迷津指點迷津】(1)(1)直接運用直角三角形的知識可求出直接運用直角三角形的知識可求出S S1 1，再通，再通過解方程求出正方形的邊長從而求出面積過解方程求出正方形的邊長從而求出面積S S2 2. .(2)(2)把把 的表達式化為同角同名三角函數(shù)，接著用換元法將問的表達式化為同角同名三角函數(shù)，接著用換元法將問題化為熟悉的形式，再利用導數(shù)知識

15、求得最值及結果題化為熟悉的形式，再利用導數(shù)知識求得最值及結果【點評點評】1.1.本題是三角函數(shù)在實際問題中的運用，是三角函數(shù)與本題是三角函數(shù)在實際問題中的運用，是三角函數(shù)與解三角形、導數(shù)、方程的綜合解三角形、導數(shù)、方程的綜合2 2此題是以實際生活為背景的求三角函數(shù)最值問題，經(jīng)過三角變此題是以實際生活為背景的求三角函數(shù)最值問題，經(jīng)過三角變換將函數(shù)式化為同角同名三角函數(shù)是解題的必經(jīng)之路，接著用換元法將換將函數(shù)式化為同角同名三角函數(shù)是解題的必經(jīng)之路，接著用換元法將問題化為熟悉的形式，再利用求導探索其單調(diào)性，最后由單調(diào)性求得最問題化為熟悉的形式，再利用求導探索其單調(diào)性，最后由單調(diào)性求得最值及結果，顯得

16、整個解題過程流暢，簡潔自然，很好地體現(xiàn)了函數(shù)這一值及結果，顯得整個解題過程流暢，簡潔自然，很好地體現(xiàn)了函數(shù)這一主干知識在解決問題中的重要地位主干知識在解決問題中的重要地位3 3本題容易忽視換元后新變量的取值范圍，錯誤的使用均值不等本題容易忽視換元后新變量的取值范圍，錯誤的使用均值不等式求得最小值使用均值不等式求最值必須要符合條件式求得最小值使用均值不等式求最值必須要符合條件“一正，二定，一正，二定，三相等三相等”能力訓練能力訓練3 3如圖，如圖，ABCDABCD是一塊邊長為是一塊邊長為100100米的正方形地皮，其中米的正方形地皮，其中ATPSATPS是一半徑為是一半徑為9090米的扇形小山，

17、米的扇形小山，P P是弧是弧TSTS上一點，其余部分都是平地，上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在BCBC與與CDCD上的長方形停車場上的長方形停車場PQCRPQCR，求長方形停車場的最大值與最小值，求長方形停車場的最大值與最小值【解析解析】如圖，連結如圖，連結APAP，設設PABPAB(0(0 9090) )，延長延長RPRP交交ABAB于于M M，則則AMAM90cos 90cos ，MPMP90sin 90sin ，PQPQMBMBABABAMAM10010090cos 90cos ，PRPRMRMRMPMP10010090s

18、in 90sin ，1 1解三角函數(shù)的求值化簡問題必須明確求值的目標，解題時應解三角函數(shù)的求值化簡問題必須明確求值的目標，解題時應在認準目標的前提下從題目特點去分析，尋找到合理，簡潔的方法，在認準目標的前提下從題目特點去分析，尋找到合理，簡潔的方法，切忌盲目運用公式溝通已知與未知之間的聯(lián)系，靈活運用公式是關切忌盲目運用公式溝通已知與未知之間的聯(lián)系，靈活運用公式是關鍵鍵2 2求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，周期，及判斷函數(shù)的奇偶性，要注求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，周期，及判斷函數(shù)的奇偶性，要注意化歸思想的運用主要是通過恒等變換將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為基本三角函意化歸思想的運用主要是通過恒等變換將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)類

19、型但要注意變形前后的等價性，要牢記基本三角函數(shù)的性質(zhì)數(shù)類型但要注意變形前后的等價性，要牢記基本三角函數(shù)的性質(zhì)3 3三角函數(shù)求最值的兩個基本類型是：三角函數(shù)求最值的兩個基本類型是：(1) (1) 化成一個角的一個三角函數(shù)如化成一個角的一個三角函數(shù)如a asin sin b bcos cos sin(sin() )，再利用單調(diào)性，有界性求最值；，再利用單調(diào)性，有界性求最值；(2) (2) 化成關于某三角函數(shù)的二次型，利用配方法轉(zhuǎn)化為二次函化成關于某三角函數(shù)的二次型，利用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的問題，要注意三角函數(shù)的有界性數(shù)在閉區(qū)間上求最值的問題，要注意三角函數(shù)的有界性4. 4. 三角

20、函數(shù)應用題中，建立目標函數(shù)是關鍵，適當設角，可得三角函數(shù)應用題中，建立目標函數(shù)是關鍵，適當設角，可得到三角函數(shù)關系式，特別要注意定義域的限制到三角函數(shù)關系式，特別要注意定義域的限制例例2 2(2010(2010年年蘇北四市二模蘇北四市二模) )一走廊拐角處的橫截面如圖所示一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁，已知內(nèi)壁FGFG和外壁和外壁BCBC都是半徑為都是半徑為1 m1 m的四分之一圓弧，的四分之一圓弧，ABAB、DCDC分別分別與圓弧與圓弧BCBC相切于相切于B B、C C兩點，兩點，EFEFABAB，GHGHCDCD，且兩組平行墻壁的走廊，且兩組平行墻壁的走廊寬度都是寬度都是1 m.1

21、 m.(1)(1)若水平放置的木棒若水平放置的木棒MNMN的兩個端點的兩個端點M M、N N分別在外壁分別在外壁CDCD和和ABAB上，上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點P P，設，設CMNCMN(rad)(rad)，試用，試用表示木棒表示木棒MNMN的長度的長度f f( () )；(2)(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，則求木棒長度若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，則求木棒長度的最大值的最大值【解析解析】如圖，設圓弧如圖，設圓弧FGFG所在的圓的圓心為所在的圓的圓心為Q Q，過，過Q Q點作點作CDCD的的垂線，垂足為點垂線，垂足為點T T，且交，且交MN

22、MN或其延長線于或其延長線于S S，并連結，并連結PQPQ，再過，再過N N點作點作TQTQ的垂線，垂足為的垂線，垂足為W W. .在在RtRtNWSNWS中，因為中，因為NWNW2 2，SNWSNW，所以，所以NSNS . .因為因為MNMN與圓弧與圓弧FGFG切于點切于點P P，所以，所以PQPQMNMN，基礎過關基礎過關【解析解析】由由f f( (x x) )coscos x x，g g( (x x) )sin sin x x，知，知D D正確正確【答案答案】D D4 4(2010(2010年年江西重點中學二模江西重點中學二模) )給出下列命題：給出下列命題：在在ABCABC中，若中，若A AB B，則，則sin sin A Asin sin B B；能力提升能力提升9 9(2010(2010年年蘇南六校模擬蘇南六校模擬)