陳世民理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程后答案

1、第零章 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備一 泰勒展開式1 二項(xiàng)式的展開 2 一般函數(shù)的展開 特別:時(shí), 3 二元函數(shù)的展開(x=y=0處) 評(píng)注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問題向線性問題的轉(zhuǎn)化。在理論力問題的簡(jiǎn)單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。二 常微分方程1 一階非齊次常微分方程： 通解：注：積分時(shí)不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。2 一個(gè)特殊二階微分方程 通解： 注：為由初始條件決定的常量3 二階非齊次常微分方程 通解：；為對(duì)應(yīng)齊次方程的特解，為非齊次方程的一個(gè)特解。 非齊次方程的一個(gè)特解（1） 對(duì)應(yīng)齊次方程設(shè)得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，； *若則，；（2） 若為二次多項(xiàng)式*時(shí)，可設(shè)*時(shí)，可設(shè)

2、注：以上,A,B,C,D均為常數(shù)，由初始條件決定。三 矢量 1 矢量的標(biāo)積 注：常用于一矢量在一方向上的投影2 矢量的矢積 四 矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。 令*D=0時(shí)，方程組有非零解*D0時(shí)，方程只有零解第一章 牛頓力學(xué)的基本定律萬丈高樓從地起。整個(gè)力學(xué)大廈的地基將在此筑起，三百年的人類最高科學(xué)智慧結(jié)晶將飄來他的古樸與幽香。此時(shí)矢量言語將盡顯英雄本色，微積分更是風(fēng)光占盡。【要點(diǎn)分析與總結(jié)】 1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述（1） 直線坐標(biāo)系 （2） 平面極坐標(biāo)系（3） 自然坐標(biāo)系 （4） 柱坐標(biāo)系 析 上述矢量順序分別為：矢量微分：（其它各矢量微分與此方法相同）微分時(shí)一定要注意矢量順序2

3、 牛頓定律 慣性定律的矢量表述 （1） 直角坐標(biāo)系中（2） 極挫標(biāo)系中（3） 自然坐標(biāo)系中 3 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本定理 幾個(gè)量的定義：動(dòng)量 角動(dòng)量 沖量 力矩 沖量矩 動(dòng)能 （1） 動(dòng)量定理 方向上動(dòng)量守恒：（2） 動(dòng)量矩定理 （3） 動(dòng)能定理 4機(jī)戒能守恒定理 T+V=E 析勢(shì)函數(shù)V: 穩(wěn)定平衡下的勢(shì)函數(shù)：; 此時(shí)勢(shì)能處極小處 且能量滿足【解題演示】 1 細(xì)桿OL繞固定點(diǎn)O以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)，并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng)，O點(diǎn)與鋼絲間的垂直距離為d，如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。解：依幾何關(guān)系知： 又因?yàn)椋?故：2 橢圓規(guī)尺AB的兩端點(diǎn)分別沿相互垂直的直線O與Oy滑動(dòng)，已知B端以勻速c運(yùn)動(dòng)，

4、如圖所示。求橢圓規(guī)尺上M點(diǎn)的軌道方程、速度及加速度的大小與。解：依題知： 且： 得：又因M點(diǎn)位置： 故有：代入（*）式得：即： 3 一半徑為r的圓盤以勻角速率沿一直線滾動(dòng)，如圖所示。求圓盤邊上任意一點(diǎn)M的速度和加速度（以O(shè)、M點(diǎn)的連線與鉛直線間的夾角表示）；并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑指向圓心。 解：設(shè)O點(diǎn)坐標(biāo)為（）。則M點(diǎn)坐標(biāo)為（） 故： 4 一半徑為r的圓盤以勻角深度在一半經(jīng)為R的固定圓形槽內(nèi)作無滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖所示，求圓盤邊上M點(diǎn)的深度和加速度（用參量，表示）。解：依題知：且O點(diǎn)處：則： 5 已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：y=bt,a和b都是非零常數(shù)。（1）寫處質(zhì)點(diǎn)軌道的極坐標(biāo)方程；（2）用

5、極坐標(biāo)表示出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解：得： 6 已知一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)向和橫向的速度分量分別是r和µ，這里和是常數(shù)。求出質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量. 解：由題知： 且： 故： 7 質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常量，證明質(zhì)點(diǎn)的速度矢量與加速度矢量正交。證明：設(shè)速度為。則：由于與為正交矢量。即得證。 8一質(zhì)點(diǎn)沿心臟線以恒定速率v運(yùn)動(dòng)，求出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度.解：設(shè) 且有： 解得： 得：則： 9已知質(zhì)點(diǎn)按 運(yùn)動(dòng)，分別求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的切向和法向分量，經(jīng)向分量和橫向分量。解：（1）極坐標(biāo)系下：由得：且設(shè)：則：得： 則：徑向與橫向的分量分別為，。10質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿一旋輪線運(yùn)動(dòng)，旋輪線方程為。證明質(zhì)點(diǎn)在方

6、向做等加速運(yùn)動(dòng)。解：依題意：得：則： 11 一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線運(yùn)動(dòng)，如圖所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦的一端點(diǎn)以速率出發(fā)，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)正焦弦的另一端點(diǎn)時(shí)的速率。解：建立自然坐標(biāo)系有：且： 積分得：（代入）又因?yàn)椋涸邳c(diǎn)處斜率： 在點(diǎn)處斜率： 故： 即： 12 豎直上拋一小球，設(shè)空氣阻力恒定。證明小球上升的時(shí)間比下落返回至原地點(diǎn)的時(shí)間短。解：設(shè)空氣阻力為，且小球初速為，質(zhì)量為沒，則有：上升時(shí)間：上升高度：下落時(shí)間：得： 即得證。 13 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)自離地面高度處下落。若空氣阻力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比，比例常數(shù)為C，試討論此質(zhì)點(diǎn)下落過程中的運(yùn)動(dòng)狀況。解：設(shè)加速度為，速

7、率為，則：得：積分并代入時(shí)有： 知：質(zhì)點(diǎn)一直在做向下的變加速運(yùn)動(dòng)，且加速度越來越小。 14 將一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以初速度與水平線成角拋出，此質(zhì)點(diǎn)受到的空氣阻力是其速度的倍，這里是常數(shù)。試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度與水平線之間的夾角又為角度時(shí)所需時(shí)間。解：依牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有： 積分并代入初始條件：時(shí)：解得：當(dāng)再次夾角為時(shí)：可解出： 15 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)用一長度為的不可伸長的輕繩懸掛于一小環(huán)上，小環(huán)穿于一固定的水平鋼絲上，其質(zhì)量為。開始時(shí)，小環(huán)靜止質(zhì)點(diǎn)下垂，處于平衡態(tài)。今若沿鋼絲的水平方向給質(zhì)點(diǎn)以大小為的初速度，證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是時(shí)，小環(huán)在鋼絲上仍不滑動(dòng)，則鋼絲與小環(huán)間的摩擦系數(shù)至少是，此時(shí)繩中的張

8、力為。解：依 得：則：又因?yàn)椋旱茫汗剩?即得證。 16 滑輪上繞有輕繩，繩端與一彈簧的一個(gè)端點(diǎn)聯(lián)結(jié)，彈簧的另一端掛一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。當(dāng)滑輪以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)以勻速率下降。若滑輪突然停止轉(zhuǎn)動(dòng)，試求彈簧的最大伸長及彈簧中的最大張力。已知彈簧作用力為W時(shí)的靜止伸長。解：（注：此題中）設(shè)最大伸長為有：依能量守恒： 解得： 則： 17 兩個(gè)相同的輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)為，自然長度是，在它們中間豎直地串接一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。彈簧的另外兩端點(diǎn)分別固定于A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，A、B間的高度差是。設(shè)開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)靜止于AB的中點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。17解：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)勢(shì)能在平衡時(shí)：得:且運(yùn)動(dòng)時(shí)受力滿足：代入初始條

9、件: 可解得： 18 兩個(gè)質(zhì)量都是的質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B用一自然長度為的輕質(zhì)彈簧相連，置于一光滑水平桌面上，如圖所示。彈簧的勁度系數(shù)為。兩質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧呈自然長度；而后，質(zhì)點(diǎn)B沿AB方向受到一大小為的恒力作用。分別求處質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。18解：依受力分析知 +得： 積分得: 代入得：積分得：同理： 積分得：式中。另解：先將AB及彈簧看成一系統(tǒng)，其質(zhì)心做一受恒力的作用，再將A與B 理解成繞質(zhì)心做周期性振動(dòng)，可得A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與A振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，B亦然。計(jì)算亦很簡(jiǎn)單！ 19 一質(zhì)點(diǎn)從一光滑圓柱表面最高處，自靜止下滑，如圖所示。問質(zhì)點(diǎn)滑至何處將脫離圓柱表面？解：將脫離時(shí)滑過相應(yīng)角度為

10、，此時(shí)滿足：可解得： 20 一鋼絲彎成尖端朝上的擺線：，上面穿有一質(zhì)量為的小環(huán)。今若小環(huán)在鋼絲的最低處獲得大小為的初速度，開始沿?cái)[線滑動(dòng)。求出當(dāng)小環(huán)的速度與水平線成角度時(shí)，小環(huán)的速率。已知小環(huán)與鋼絲的摩擦系數(shù)為。解：小環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，依受力分析知： 其對(duì)鋼絲的正壓力為 又因?yàn)椋旱茫?代入：得：則損失能量：再依能量守恒： 得： （其中）現(xiàn)進(jìn)行積分： 解出：代入得：代入得： 再將C代入得：故： 21 如圖所示，用細(xì)線將一質(zhì)量為的圓環(huán)懸掛起來，環(huán)上套有兩個(gè)質(zhì)量都是的小環(huán)，它們可以在大環(huán)上無摩擦地滑動(dòng)。若兩小環(huán)同時(shí)從大環(huán)頂部由靜止向兩邊滑動(dòng)，證明如果，大環(huán)將升起；此時(shí)角是多少？解：小環(huán)因重力對(duì)的壓力。而小環(huán)

11、運(yùn)動(dòng)所需向心力必由對(duì)的彈力F與重力提供，滿足：（法向）又依能量守恒知：且依兩環(huán)的對(duì)稱性知，大環(huán)受合力向上，且大小為： 當(dāng)大環(huán)升起須滿足：故得方程： 故：當(dāng)滿足時(shí)，升起時(shí)角度滿足解出： 則剛升起時(shí)：第三章 非慣性參考系 不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。地球的多姿多彩，宇宙的繁榮，也許在這里可以略見一斑。春光無限，請(qǐng)君且放千里目，別忘了矢量語言在此將大放益彩?！疽c(diǎn)分析與總結(jié)】1 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 析僅此三式便可以使“第心說”與“日心說”歸于一家。（1） 平動(dòng)非慣性系 () 即：（2） 旋轉(zhuǎn)非慣性系 ()2 地球自轉(zhuǎn)的效應(yīng)（以地心為參考點(diǎn)）寫成分量形式為：析坐標(biāo)系選取物質(zhì)在地面上一定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指

12、向南方，y軸指向東方，鉛直方向?yàn)?z軸方向。 為旋轉(zhuǎn)非慣性系 在 條件下忽略 與 所得。正因如此，地球上的物體運(yùn)動(dòng)均受著地球自轉(zhuǎn)而帶來的科氏力 的作用，也正是它導(dǎo)致了氣旋，反氣旋，熱帶風(fēng)暴，信風(fēng)，河岸右側(cè)沖刷嚴(yán)重，自由落體，傅科擺等多姿多彩的自然現(xiàn)象。注自由落體偏東的推導(dǎo)時(shí)，取 =0，且須應(yīng)用級(jí)數(shù)展開，對(duì)小量作近似【解題演示】1 一船蓬高4米，在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著蓬的垂直投影后2m的甲板；但當(dāng)停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前3m 處，如果雨點(diǎn)的速率是8米每秒，求船航行時(shí)的速率？解：取湖面為慣性坐標(biāo)系，如右圖所示建立坐標(biāo)系 依幾何關(guān)系，設(shè)雨點(diǎn)相對(duì)湖面速度為 船相對(duì)雨點(diǎn)的速度為 則：

13、船相對(duì)湖面的航行速度則:u=82. 河的寬度為，水的流速與離開河巖的距離成正比。巖邊水的流速為0，河中心處水的流速為。河中一小船內(nèi)的人，以相對(duì)于水流恒定的速率，垂直于水流向岸邊劃去。求小船的舫行軌道和抵達(dá)對(duì)巖的地點(diǎn)。解：如右圖所示，建立xoy慣性系，且依題意可知人的位置（x,y）滿足： 由得：y=ut分別代入，并聯(lián)立得: 到達(dá)對(duì)岸時(shí),代入得: 3. 一圓盤以勻角速度繞過圓心并與圓盤面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)點(diǎn)M沿圓盤上的弦，以恒定的相對(duì)速度運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知該弦離盤心的距離為，求在以地面為參考系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M的速度和加速度（表示成質(zhì)點(diǎn)M離弦中點(diǎn)的距離的函數(shù)）.解:設(shè)的速度,加速度分別為和,依題意知:

14、4一飛機(jī)在赤道上空以速率水平飛行?？紤]到地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，分別在下列情形下求出飛機(jī)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系（不隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系）的速率：(1)向北飛行；(2)向西飛行；(3)向東飛行。已知地球半徑為.解:以飛機(jī)為坐標(biāo)原點(diǎn),以向東為方向,向南為方向,豎直向上為方向,相對(duì)于地心(設(shè)為慣性系)的速度為:則:三種情況相對(duì)于地心的速度分別為: (1) 則: (2) 則: (3) 則:5一楔子，頂角為，以勻加速度沿水平方向加速度運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的光滑斜面滑下，如圖所示。求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于楔子的加速度及質(zhì)點(diǎn)對(duì)楔子的壓力. 解:依 得: 又因?yàn)樵谄絼?dòng)非慣性中:. 得: 則楔子對(duì)斜面的壓力 6一纜車，以大小為,與地平

15、線成角的勻加速度上升。纜車中一物體自離纜車地板高度處自由下落。求此物體落至地板處的位置。解:以纜車為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如右圖則,物體滿足： ，則：知：又因?yàn)椋?則：即:向后方偏離7一單擺擺長為，懸掛點(diǎn)在水平線上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：。這里是懸掛點(diǎn)離開水平線上的固定點(diǎn)O的距離，如圖所示。開始時(shí)擺錘沿鉛直下垂，相對(duì)于的速度為零。證明單擺此后的微小振動(dòng)規(guī)律為 解:以擺錘為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如右圖,則：C相對(duì)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀況： （利用：）再利用微振動(dòng)，并令有： 可解得: 并代入初始條件得：， 故:積分并代入,得: 8一豎直放置的鋼絲圓圈，半徑為，其上套有一質(zhì)量為的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以勻加速度豎直向上運(yùn)動(dòng)，求小環(huán)相

16、對(duì)于鋼絲圈的速率和鋼絲圈對(duì)小環(huán)的作用力大小。已知初始時(shí)刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線跟鉛直線之間的夾角，小環(huán)的相對(duì)速率.解:設(shè)與沿直線向方向的夾角為。如右圖所示，以小環(huán)質(zhì)心為參考原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則在方向上：即 得 積分得：在方向保持力平衡,則支持力 9一平放于光滑水平桌面上的圓盤，以恒定角速度繞固定的圓盤中心轉(zhuǎn)動(dòng)。有一質(zhì)量為的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相對(duì)速率向圓盤的邊緣走動(dòng)。試分別利用（1）地面慣性系；（2）圓盤非慣性系，討論圓盤對(duì)人的作用力解：（1）以地面慣性參考系討論,設(shè)人走的半徑為，切向?yàn)?則有： （2）以圓盤非慣性討論： 則：10一半徑為豎直放置的光滑圓環(huán)，繞通過其圓心的鉛直軸以恒定的角

17、速度轉(zhuǎn)動(dòng)。在此圓環(huán)上套有一質(zhì)量為的小環(huán)，自處相對(duì)于圓環(huán)無初帶地沿環(huán)下滑。問小環(huán)的位置為何值時(shí)，它的滑動(dòng)將開始反向？這是是圓環(huán)的圓心與小環(huán)的連線跟轉(zhuǎn)軸之間的夾角。解:同（8）題： 在方向上有：得：積分并代入 得：當(dāng)開始反向時(shí),， 代入上式解得： 11一內(nèi)壁光滑的管子，在水平面內(nèi)繞通過其端點(diǎn)O的鉛直軸，以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。管內(nèi)有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，用一自然長度為，勁度系數(shù)為的彈簧和管子的端點(diǎn)O相連，設(shè)初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)到O的距離為且。求質(zhì)點(diǎn)在管中的運(yùn)動(dòng)方程及它對(duì)管壁的壓力。解：以O(shè)為原點(diǎn),如右圖建立直角坐標(biāo)系,則有： 得: 又因?yàn)椋汗剩涸诜较蛴校?（其中：）解方程并代入得： 再由，式得： 故：12質(zhì)量為的小環(huán)

18、，套在半徑為的光滑圓圈上，若圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度繞其圓周上的一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。試分別寫出小環(huán)沿圓圈切線方向和法線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程（以小環(huán)相對(duì)于圓圈繞圓心轉(zhuǎn)過的角度為參量寫出），設(shè)圓圈對(duì)小環(huán)的作用力大小以表示，并可略去小環(huán)重力。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系,則： 則： 又因?yàn)椋海诜较蛲队埃?得切線方向：在方向投影：得在法線方向：13一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，位于光滑的水平平臺(tái)上，此平臺(tái)以勻角速度繞通過平臺(tái)上一定點(diǎn)O的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若質(zhì)點(diǎn)受到O點(diǎn)的吸引力作用，這里是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的徑矢。試證明：質(zhì)點(diǎn)在任何起始條件下，將繞O點(diǎn)以角速度作圓周軌道運(yùn)動(dòng)。證明:（注：此題與12題過程與條件基本相同）如右圖建立坐標(biāo)系： 則

19、： 因?yàn)? ， 且：得: ， 即: 將繞以角速度作圓周軌道運(yùn)動(dòng)。14一拋物線形金屬絲豎直放置，頂點(diǎn)向下，以勻角速率繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫出小環(huán)在金屬絲上滑動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知金屬絲構(gòu)成的拋物線方程為，這里為常數(shù)。解：如右圖建立直解坐標(biāo)系,則： 則： 其中：， ， 且則： 代入得： 15在北緯處，一質(zhì)點(diǎn)以初速率豎直上拋，到達(dá)高度為時(shí)又落回地面?？紤]地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，不計(jì)空氣的阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地位置與上拋點(diǎn)之間的距離；是偏東還是偏西？為什么？解：依地球上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程： 初始條件為對(duì)式進(jìn)行第一次積分代入得：積分得：代入初始條件得： 落地時(shí)：代入上式得： （） 故偏西。16在

20、北緯的地方，以仰角向東方發(fā)射一炮彈，炮彈的出口速率為，考慮地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，證明炮彈地點(diǎn)的橫向偏離為 。解：（此題與上題解題基本相同）初始條件變?yōu)椋簩?duì)進(jìn)行積分代入得：積分并代入初始條件得： 代入得：代入 得：當(dāng)落地時(shí)： 并代入上式得：即橫向偏離：第四章 質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)以彼之道，還施彼身。單身獨(dú)影自是無風(fēng)不起浪,無論是親朋相會(huì),還是冤家聚頭,定有故事流傳.代數(shù)方程在此將笑傲江湖. 【要點(diǎn)分析與總結(jié)】1 質(zhì)點(diǎn)組（1） 質(zhì)心： 對(duì)于連續(xù)體: （2） 內(nèi)力與外力: 且內(nèi)力滿足: 2 質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能（1） 動(dòng)量 （2） 角動(dòng)量 （3） 動(dòng)能 3 質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的基本定理（1） 動(dòng)量定理：質(zhì)心定理

21、：（2） 角動(dòng)量定理： （3） 動(dòng)能定理：對(duì)質(zhì)心：4 開放的質(zhì)點(diǎn)組： 或<析>此章中許多等式的推導(dǎo)多用到分部積分與等量代換.在本章的習(xí)題解答中多用到動(dòng)量定理,角動(dòng)量定理與機(jī)械能守恒定理的聯(lián)立方程組,有時(shí)質(zhì)心定理的橫空出世會(huì)救你于水深火熱之中.【解題演示】1在一半徑為的圓圈上截取一段長為的圓弧，求出這段圓弧的質(zhì)心位置。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系 。則：設(shè) 有：則質(zhì)心位置為，距頂點(diǎn)的位置為2求出半徑為的勻質(zhì)半球的質(zhì)心位置。解：如右圖所示，取一截面元與底面相距，則其質(zhì)量： 則：質(zhì)心與底面距離 3兩只質(zhì)量均為的冰船，靜止地放在光滑的冰面上。一質(zhì)量為的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船

22、跳回第一只船。設(shè)所有的運(yùn)動(dòng)都在一條直線上。求兩船最后的速度之比。解：人在兩船運(yùn)動(dòng)為人與船組成系統(tǒng)的內(nèi)部作用，故此系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有： 得：4一船以速度前進(jìn)，船上某人以相對(duì)速度向船頭拋出一質(zhì)量為的鐵球。已知船和人的總質(zhì)量是。求人拋擲鐵所作的功。解：同上題。動(dòng)量守恒得： 得：系統(tǒng)前后能量變化： 即：人做功5一質(zhì)量為的粒子爆炸成質(zhì)量相同的三小塊。其中兩塊的飛行方向相互垂直。它們的速率分別是和。求出第三塊的速度和動(dòng)量的大小。解：設(shè)三塊的速度分別為 且：則依動(dòng)量守恒 ：得：則：6重量為的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一與它相似的小楔子。小楔了的重量是。大小楔子的水平邊長分別為和。小楔子自大楔子

23、頂部靜止下滑，求小楔子完全下滑到水平面時(shí)，大小楔子完全下滑到水平面時(shí)，大小楔子分別移動(dòng)了多少距離？解：依圖設(shè)大小楔子水平位移分別為 且依水平方向動(dòng)量守恒： 對(duì)其積分得：且有代入上式得：7一炮彈以仰角發(fā)射，速率為，當(dāng)炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，爆炸成質(zhì)量分別為和的兩塊彈片。已知火藥爆炸的能量是。爆炸后的瞬時(shí)，兩彈片仍沿原方向飛行。求兩彈片落地時(shí)相隔的距離。解：炮彈從空中降下的時(shí)間，在最高點(diǎn)處沿飛行方向動(dòng)量守恒。 設(shè)炸后的速率分別為。則有： 可解得： 則：8重量為的人，手里拿著一個(gè)重量為的物體，以與地平線成角度的速度向前跳出。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，將手中的物體以速率向后拋去。問拋出物體后，人向前跳的距離增加多少

24、？解：（同理）設(shè)拋去后，人的速率變?yōu)?，由于最高處水平方向?dòng)量守恒得：解得：故人向前增加的距離：9質(zhì)量為的物體沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的質(zhì)量為傾角為，置于光滑水平面上。求（1）物體水平方向的加速度；（2）劈的加速度；（3）劈對(duì)物體的反作用力和水平面對(duì)劈的反作用力。解：如右圖所示，建立各方向矢量，設(shè)劈與物體間的與反作用力為，則：則物體相對(duì)于尖劈的水平加速度：在方向上，物體受與的作用：依幾何關(guān)系：解得：代入式可得：水平面對(duì)劈的反作用力 10質(zhì)量為，半徑為的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿此半球面下滑。設(shè)質(zhì)點(diǎn)跟球心的連線與鉛直軸之間的夾角為。已知初始時(shí)系統(tǒng)是靜止的，求當(dāng)時(shí)，

25、的值。解：如右圖所示，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于半球的速度滿足： 在水平方向動(dòng)量守恒，聯(lián)立能量守恒得 可解得：則：11質(zhì)量為的小珠A能在一水平光滑的滑軌上滑動(dòng)。另有一質(zhì)量也是的質(zhì)點(diǎn)B用無彈性的輕繩與A聯(lián)結(jié)，質(zhì)點(diǎn)B可以鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。已知繩長為。初始時(shí)系統(tǒng)靜止，繩與鉛直線間的夾角為。證明：當(dāng)夾角時(shí)，有解：證明，如右圖所示。知：水平方向動(dòng)量守恒：得： 又依能量守恒：代入得：得：12在光滑水平桌面上，有兩個(gè)質(zhì)量都是的質(zhì)點(diǎn)，用長為的不可伸長的輕繩聯(lián)結(jié)。今在其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用與繩垂直的沖量求證此后這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別作圓滾線運(yùn)動(dòng)，且它們的能量之比為，其中為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間。證明：如右圖。由于水平光滑，依質(zhì)心定理與解動(dòng)量守恒得：

26、得： 分析可知：則：即兩質(zhì)點(diǎn)間的能量之比為。13質(zhì)量為的小環(huán)，穿在質(zhì)量為的光滑圓圈上，此體系靜止地平放在光滑的水平桌面上。今若突然使小環(huán)沿圓圈的切線方向有一速度。試證明圓圈將不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，而圓心則繞體系的持贈(zèng)作等速圓周運(yùn)動(dòng)。證明：設(shè)圓圈半徑為，以質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如右圖所示，且依質(zhì)心定理有。由于沖量作用在圓圈切線方向，故：。即質(zhì)心不動(dòng)。當(dāng)繞轉(zhuǎn)過時(shí)，有：并代入得：得：即圓圈中心C作圓周運(yùn)動(dòng)。由于小環(huán)動(dòng)時(shí)不受切向力作用，故：而： 得：即得：為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而依動(dòng)量守恒知圓圈無轉(zhuǎn)動(dòng)。14 一長為的勻質(zhì)鏈條，縣掛于釘在墻上的光滑釘子上。開始時(shí)，掛在釘子兩邊的鏈條長度相同，處在平衡狀態(tài)，后因微小

27、擾動(dòng)，鏈條自一邊滑下。耱在鏈條完全脫離釘子的時(shí)刻，鏈條的速度大小。解：依機(jī)械能守恒可得： ，故：15長為的勻質(zhì)鏈條，伸直地平放在光滑水平桌面上，鏈條與桌面的邊緣垂直。初始時(shí)，鏈條的一半從桌面下垂，鏈條的一半從桌面下垂，但處在靜止?fàn)顟B(tài)。求此鏈條的的末端滑到桌子邊緣時(shí)，鏈條的速度大小。解：同上題：，得： 16質(zhì)量為面積為的圓盤，盤心受一與平面垂直的恒力的作用，同時(shí)有一股體密度為的塵土以恒定的速度迎面而來，與盤面相遇的塵土皆粘于盤面上。已知圓盤的初速度為零。求時(shí)刻圓盤的速度及圓盤移動(dòng)過的距離。解：取方向?yàn)椋矗?，則依變質(zhì)量動(dòng)力方程： 得：而：求導(dǎo)得：將代入得：可化為：積分并代入初始條件得：再積分得（

28、并代入時(shí)，）：代入式可得： 第五張 剛體力學(xué) 平動(dòng)中見彼此,轉(zhuǎn)動(dòng)中見分高低.運(yùn)動(dòng)美會(huì)讓你感受到創(chuàng)造的樂趣.走過這遭,也許會(huì)有曾經(jīng)滄海難為水的感嘆.別忘了,坐標(biāo)變換將為你迷津救渡,同時(shí)亦會(huì)略顯身手.【要點(diǎn)分析與總結(jié)】1 剛體的運(yùn)動(dòng)（1）剛體內(nèi)的任一點(diǎn)的速度、加速度（A為基點(diǎn)）（2）剛體內(nèi)的瞬心S： 析為基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的矢量和， 值得注意的是：有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與的微分，引入了與 項(xiàng)。2 剛體的動(dòng)量，角動(dòng)量，動(dòng)能（1）動(dòng)量：（2）角動(dòng)量： 式中： 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 慣量積 且* 方向（以為軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （分別為與軸夾角的余弦）* 慣量主軸 慣量主軸可以是對(duì)稱軸或?qū)ΨQ面的法線 若X軸為慣量主軸，則含X的慣量積為0，即:

29、 若軸均為慣量主軸，則: 析建立的坐標(biāo)軸軸應(yīng)盡可能的是慣量主軸，這樣會(huì)降低解題繁度。 (3) 動(dòng)能： * 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí): * 平面平行運(yùn)動(dòng): 3剛體的動(dòng)力學(xué)方程 與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程相同。析求角動(dòng)量時(shí)，須注意： 4 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng): 質(zhì)心定理: 角動(dòng)量定理:析須注意外力與外力矩包括軸對(duì)物體作用5 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng) 6 剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（1） 基本方程（以慣量主軸為坐標(biāo)軸） 質(zhì)心定理： 機(jī)械能守恒： 析 為活動(dòng)坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速 則有：如： （2）歐拉方程（活動(dòng)坐標(biāo)系隨剛體自旋）寫成分量形式： 析時(shí)，可導(dǎo)出 可以解釋地球的緯度變遷。（3）對(duì)稱重陀螺的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（活動(dòng)坐標(biāo)系不隨剛體自旋） 三個(gè)角速度

30、： 自旋： 進(jìn)動(dòng)： 章動(dòng)： 總角速度： 即 由于對(duì)稱；代入 可得：代入： 可整理出； 析可以用勢(shì)函數(shù)來判斷進(jìn)動(dòng)的規(guī)則性，如：規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)，另外，也可用S來判斷，（其實(shí)更簡(jiǎn)單）。規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)：解題演示1 一長為的棒AB，靠在半徑為的半圓形柱面上，如圖所示。今A點(diǎn)以恒定速度沿水平線運(yùn)動(dòng)。試求:(1)B點(diǎn)的速度;(2)畫出棒的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置.解：如右圖所示建立坐標(biāo)系，依圖知: 得: 瞬心S滿足： 如上圖所示.2 一輪的半徑為，豎直放置于水平面上作無滑動(dòng)地滾動(dòng)，輪心以恒定速度前進(jìn)。求輪緣上任一點(diǎn)（該點(diǎn)處的輪輻與水平線成角）的速度和加速度。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系, 則: 得：故： 3 半徑為的圓柱夾在

31、兩塊相互平等的平板A和B 之間，兩板分別以速度和反向運(yùn)動(dòng)，見圖。若圓柱和兩板間無相對(duì)滑動(dòng)，求（1）圓柱瞬心位置；（2）圓柱與板的接觸點(diǎn)M的加速度。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系，設(shè)瞬心在S點(diǎn)。 得：（1）（2）4 高為，頂角為的圓錐，在一平面上無滑動(dòng)的滾動(dòng)。已知圓錐軸線以恒定角速度繞過頂點(diǎn)的鉛直頑固不化轉(zhuǎn)動(dòng)。求（1）圓錐的角速度；（2）錐體底面上最高點(diǎn)的速度；（3）圓錐的角加速度。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系，并取定點(diǎn)。（1） 得：（2） 則： （3）5 在一半徑為R的球隊(duì)體上置一半徑為的較小的球，它們的連心線與豎直軸間保持角，如圖。若繞豎直軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小球在大球上無滑動(dòng)地滾動(dòng)。分別求出小球最

32、高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B的速度.解：如右圖所示建立坐標(biāo)系，則有： 設(shè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為：則有:又有: 得:則: 6 一邊長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)立方體，分別求出該立方體對(duì)過頂點(diǎn)的棱邊，面對(duì)角線和體對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和.解：如右圖所示，取三條對(duì)稱軸建立坐標(biāo)系.依對(duì)稱性知:再依平行軸定理: 7 一勻質(zhì)等邊三角形的薄板，邊長為。質(zhì)量為,試在圖所示的坐標(biāo)系下，求出薄板對(duì)質(zhì)心C的慣量矩陣，并由此導(dǎo)出對(duì)頂點(diǎn)O的慣量矩陣。圖中坐標(biāo)系和坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸分別相互平行，和都在薄板平面內(nèi).解：（1）又因?yàn)榕c為對(duì)稱軸，則故： （2） 8 質(zhì)量為，長為的細(xì)長桿，繞通過桿端點(diǎn)O的鉛直軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。桿于轉(zhuǎn)軸間的夾角保持恒定。求桿對(duì)端點(diǎn)O的角動(dòng)

33、量.解：如右圖建立坐標(biāo)系 ，有則：角動(dòng)量 9 一半徑為質(zhì)量為的圓盤，在水平面上作純滾動(dòng)，盤面法線與鉛直軸間保持恒定角度，盤心則以恒定速率作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。求圓盤的動(dòng)能.解：如右圖所示取定各參量及坐標(biāo)系，則有： 且有：得： 又依： 得：故：10 一半徑為的勻質(zhì)圓盤，平船在粗糙的水平桌面上，繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)刻圓盤的角速度大小為。已知圓盤與桌面間的磨擦系數(shù)為。問經(jīng)過多少時(shí)間圓盤將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？解： 故：11 如圖，一矩莆勻質(zhì)薄板，長為，寬為，質(zhì)量為。薄板繞豎直軸以初角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，阻力與薄板表面垂直并與面積及速度的平方成正比，比例系數(shù)為。問經(jīng)過多少時(shí)間后，薄板的角速度減為初角速度的一半？解

34、： 得 ：積分并代入： 得：故時(shí)：12 一質(zhì)量為，長為的勻質(zhì)細(xì)長桿，一端與固定點(diǎn)o光滑鉸鏈。初始時(shí)刻桿豎直向上，爾后倒下。試分別求出此后桿繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，作用于鉸鏈上的力與桿轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系.解：（1）如右圖。有： 得：將移至右側(cè)且積分得： 得：（2） 設(shè) 則以質(zhì)心C為參照點(diǎn)有： 得：在方向上：得：故：13 一段勻質(zhì)圓弧，半徑為R繞通過弧線中點(diǎn)并與弧線垂直的水平軸線擺動(dòng)。求弧線作微振動(dòng)時(shí)的周期. 解：參量如右圖所示，易求得：（由4.1題知）而：，故：又因?yàn)槭俏⒄駝?dòng)，故： 積分得：則：14 一矩形薄板，邊長分別為和，以角速度繞對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)。今若突然改為繞邊轉(zhuǎn)動(dòng)，求此時(shí)薄板的角速度。解：如右圖

35、所示，則： 對(duì)OA軸： 設(shè)繞OB軸的角速度為：則有：在轉(zhuǎn)換時(shí)，方向有沖量矩作用，而方向動(dòng)量矩守恒，故有： 得：15 一半徑為，質(zhì)量為的球體，無轉(zhuǎn)動(dòng)地以速度運(yùn)動(dòng)，今若突然將其表面化上的一點(diǎn)O定住不動(dòng)，求此后球體的角速度矢量及球體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量。已知O點(diǎn)和球心C的連線與成角，如圖所示.解：如右圖所示建立坐標(biāo)系，則：當(dāng)點(diǎn)O固定時(shí)： （）又因?yàn)?故： 16 一勻質(zhì)圓盤豎直地在一坡角為的斜面上無滑動(dòng)滾下。證明：（1）圓盤質(zhì)心的加速度大小為；（2）圓盤和斜面間的磨擦系數(shù)至少為。證明：（1） （）以開始處為勢(shì)能原點(diǎn)，則因無滑動(dòng)： 則：得：（2）依 而 得： 17 長為的勻質(zhì)棒，一端以光滑鉸鏈懸掛于固定點(diǎn)。若

36、起始時(shí)，棒自水平位置靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒通過豎直位置時(shí)鉸鏈突然松脫，棒開始自由運(yùn)動(dòng)。在以后的運(yùn)動(dòng)中（1）證明棒質(zhì)心的軌跡為一拋物線；（2）棒的質(zhì)心下降距離時(shí)，棒已轉(zhuǎn)過多少圈?解：（1）證明：如右圖建立坐標(biāo)系 ，剛松脫時(shí)，具有，滿足： 得：則此后：消去參數(shù)得：即為拋物線。（2）質(zhì)心下降時(shí)，有： 得：則轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)：18 質(zhì)量為的平板，受水平力的作用，在一不光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)。平板與水平面間的磨擦系數(shù)為。平板上放有一質(zhì)量為的勻質(zhì)實(shí)心圓球，在平板上作純滾動(dòng)，試求出平板的加速度.解：運(yùn)動(dòng)時(shí)，球與板之間無滑動(dòng)，則：設(shè)球與板磨擦力為，則：可得：故： 而： 依能量守恒，有：得：19 一粗糙的半糙的半球形碗，半徑為

37、，另有一半徑為較小的勻質(zhì)球體從碗邊無初速地沿碗的內(nèi)壁滾下，如圖求出球體的角速度大小與所在位置角的關(guān)系，以及球體在最低處時(shí)球心的速度.解:依題意知： 取開始時(shí)，則：依機(jī)械能守恒 得：得：而：20 一半徑為R的勻質(zhì)圓球，置于同樣的固定球體的表面上。初始時(shí)刻此兩球的連心線與鉛直線成角，球體靜止，爾后開始沿固定球表面無滑動(dòng)地滾下。求出球體脫離固定球表面時(shí)，連心線與鉛直線間的夾角，及此時(shí)球體的角速度的大小。 解；依能量守恒與受力分析知，剛脫離時(shí)： 可解得：21一半徑為的球體，繞其平的直徑以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，爾后將其放置在磨擦系數(shù)為的水平桌面上。求出此球體開始作純滾動(dòng)時(shí)，球體已前進(jìn)的距離。解：依題知球受一穩(wěn)定外

38、力為：，當(dāng)純滾動(dòng)時(shí)： 且此時(shí)： 代入上式得： 故： 22桌球是用棍棒沖擊使球體運(yùn)動(dòng)的一種游戲。設(shè)桌球的半徑為，置于光滑的平面上。問應(yīng)在什么高度處水平?jīng)_擊球體，球體才不會(huì)滑動(dòng)而作純滾動(dòng)？解：設(shè)打擊中心的高度為，當(dāng)純滾動(dòng)時(shí)： 且 ，代入：， 可得： （以地面為參考系）23 一半徑為R的勻質(zhì)球體，以速度在水平面上無滑動(dòng)地滾動(dòng)，突然遇到一高為（）的臺(tái)階，見圖。球體受臺(tái)階的沖擊是非彈性的。試求出球體受到?jīng)_擊后，角速度的大小。若球體在臺(tái)階處無滑動(dòng)，為使球體能登上臺(tái)階，初速度的大小 至少應(yīng)為多大？解：（1）依情形知；受列沖量 有： 則沖擊后角速度大?。海?）球登上臺(tái)階，須滿足：解得：24 一半徑為的勻質(zhì)圓盤

39、，在光滑的水平面上繞鉛直的直徑以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。證明：時(shí)，圓盤旋轉(zhuǎn)是穩(wěn)定的.解：如右圖所示建立坐標(biāo)系，得： 則： 當(dāng)穩(wěn)定時(shí)：可得： 得：對(duì)稱重陀螺定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性即規(guī)則問題可以從兩方面入手，規(guī)定運(yùn)動(dòng)（1） （2）由于（2）方面解題更快，下題采用此法25 一陀螺由一半徑為的勻質(zhì)圓盤和長為的軸桿構(gòu)成，圓盤的質(zhì)量為4，軸桿的質(zhì)量為，此陀螺繞桿的端點(diǎn)O作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，若欲使陀螺繞鉛直軸作規(guī)則進(jìn)動(dòng)，且盤的最低點(diǎn)M保持與O點(diǎn)在同一水平面內(nèi)，則陀螺的角速度在對(duì)稱軸上的分量應(yīng)滿足什么條件？解：依題及圖可得：為規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)： 再將代入并化簡(jiǎn)得滿足： 滿足：，故只須滿足：得：26 一對(duì)稱陀螺初始時(shí)自旋角速率，轉(zhuǎn)軸

40、與鉛直軸間的夾角為，爾后釋放。求在此后的運(yùn)動(dòng)中，角將在什么范圍內(nèi)擺動(dòng)？解：依題意知：陀螺將在與另一角度之間章動(dòng)，依平衡知將代入得： 則： 即： 代入： 可得： 27一對(duì)稱陀螺，質(zhì)心離頂點(diǎn)的距離為，對(duì)頂點(diǎn)的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，和。若此陀螺對(duì)頂點(diǎn)作規(guī)則進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)角速度大小為，章動(dòng)角為。求出陀螺的角速度在對(duì)稱軸方向的分量.解：因?yàn)槭且?guī)則進(jìn)動(dòng)。有：將其代入重陀螺的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)第一方程：可解得：28 一帶軸的勻質(zhì)輪子，半徑為，軸的質(zhì)量可忽略不計(jì)。，在離盤心為的軸的端點(diǎn)處用一長為的輕繩懸掛于天花板上的O點(diǎn)。今輪子繞軸以角速度高速自轉(zhuǎn)，輪軸水平地繞過定點(diǎn)O的鉛直線作規(guī)則進(jìn)動(dòng)。求繩子與鉛直線間的夾角。（由于很小，可作近似

41、）解：依角動(dòng)量定理得： 可得： 又依受力分析知：可得：并與上式聯(lián)立，取可解得：第六章 分析力學(xué)滾滾長江東逝水，浪花淘盡英雄。達(dá)朗貝爾，拉格朗日，哈密頓等許多前賢相聚于此“力學(xué)論劍”，其“沖擊波”使非線性問題也不攻自破。長江后浪推前浪，你也許在此可以更加“得意忘形。微分方程將叱咤風(fēng)云。要點(diǎn)分析與總結(jié)1虛功原理：（平衡時(shí)）理想條件下，力學(xué)系的平衡條件是各質(zhì) 點(diǎn)上的主動(dòng)力所作的虛功之和為零： 用廣義坐標(biāo)來表述： 2達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)力學(xué)下的虛功原理）： 析，均是在時(shí)間未變化（）時(shí)所設(shè)想的量，而廣義坐標(biāo)可以是角度，長度或其它的獨(dú)立的坐標(biāo)變量。3拉格朗日方程 在保守力下，取拉氏數(shù) 方程為： 若拉氏數(shù)中不顯

42、含廣義坐標(biāo)，則：即 循環(huán)積分： 4微振動(dòng)非線性系統(tǒng)在小角度近似下，對(duì)拉氏方程的應(yīng)用5哈密頓函數(shù)與正則方程（1） 哈密頓函數(shù) 式中為廣義坐標(biāo)動(dòng)量（2） 正則方程 若哈氏函數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)，則：即：循環(huán)積分 在穩(wěn)定條件下（H中不顯含），則有能量積分：6泊松括號(hào) 7哈密頓原理與正則變換（1）哈密頓原理保守力系下：定義：為主函數(shù)（3） 正則變換通過某種變數(shù)的變換，找到新的函數(shù)，使正則方程的形式不變（相當(dāng)于坐標(biāo)變換）。新的正則變量： 正則變換的條件： 依上亦可得： 為母函數(shù)，當(dāng) ，不顯含時(shí)，以上條件等于：析：正則變換妙在不解方程而使問題出解?！暗靡馔巍钡綐O點(diǎn)了。解題演示1 一長為質(zhì)量為的勻質(zhì)棒，斜靠

43、在固定的半球形碗的邊緣，一端置于碗內(nèi)，如圖。已知碗是光滑的，半徑為；棒在碗內(nèi)的長度為 。用虛功原理證明棒的全長為。解：如右圖所示，取定。依幾何關(guān)系知：依余弦定理：知：桿的勢(shì)能：因靜平衡，應(yīng)用虛功原理得：得：兩邊平方并代入可解得：2 用繩子等距離地在定點(diǎn)O處懸掛兩個(gè)相同的勻質(zhì)球，兩球之上另放置一相同的球體，如圖。已知分別懸掛兩球的繩長都是。用虛功原理求出角與角之間的關(guān)系。 解：依受力分析知且： 則：依虛功原理達(dá)到平衡時(shí)有： 可得： 3 用輕質(zhì)橡皮圈捆扎三個(gè)置于光滑水平桌面上的相同球體，捆扎的高度與還需心的高度相同。將第四個(gè)同樣的球體置于三球之上。由虛功原理求出橡皮圈中的張力。已知每個(gè)球體的重量為

44、。解：如右圖所示。取三個(gè)桌面上球的球心所在面，及四球心立體結(jié)構(gòu)可分析得：皮周長：依虛功原理：則依： 代入： 得：4 一彈性繩圈，它的自然長度為，彈性系數(shù)為，單位長度質(zhì)量（線密度）為。將此彈性圈套在一半徑為的光滑球面上，彈性圈因自重而下滑。用虛功原理法語出平衡時(shí)彈性繩圈對(duì)球心所張的角度為應(yīng)滿足的方程。解：易知：繩伸長量 以O(shè)為參照點(diǎn)，高度為： 化簡(jiǎn)得：5 一半徑為的半球形碗內(nèi)裝有兩個(gè)質(zhì)量分別為和的球體，它們的半徑同為（）。用虛功原理求出這兩個(gè)球體在碗中平衡時(shí)它們的連心線與水平線間的夾角解：如右圖所示，以o為參照點(diǎn)，取， 與水平線角為。則有： 則： 代入 得： 6 一輕桿長為，一端光滑鉸鏈于固定點(diǎn)

45、O，另一端點(diǎn)及中點(diǎn)分別焊接有質(zhì)量為和的小球。桿可在鉛直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)擺動(dòng)。寫出此力學(xué) 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，并求出其作微小擺動(dòng)時(shí)的周期。解：以O(shè)為參照點(diǎn)，取桿與豎直方向夾角為。則有： 拉氏函數(shù)： 解拉氏方程：微振動(dòng)，取近似， 得： 積分： （A，B為積分常數(shù)）則：7 一半徑為質(zhì)量為的圓柱形轱轆，其軸線沿水平方向。轱轆上繞有長為的輕繩，繩的自由端系一質(zhì)量為的重物。初始時(shí)繩子完全繞在轱轆上，體系靜止。爾后重物下落帶動(dòng)轱轆轉(zhuǎn)動(dòng)。寫出此力學(xué)系列化的拉格朗日函數(shù)，并求出繩子完全釋放時(shí)轱轆轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的大小。解：如右圖，取為轉(zhuǎn)過的角度，為下降的距離。有：。取O為參照點(diǎn)： 則： 得： 積分得：當(dāng)完全釋放（）時(shí)：8 上題中，如果繩子具有彈性，彈性勢(shì)能為，為繩子的伸長證明重物的運(yùn)動(dòng)為維持恒定的加速運(yùn)動(dòng)上附加一角頻率為的振動(dòng)。其中。求出此種振動(dòng)的振幅。設(shè)初始時(shí)繩子完全繞在轱轆上，體系靜止，爾后釋放解：參數(shù)同上題，則可得:;則： 可得：即： 積分得： 式中 故： 即得恒定加速度值：振動(dòng)角頻率： 振幅：9 力學(xué)系統(tǒng)如圖所示。二滑輪為相同的圓盤，半徑為質(zhì)量為。懸掛的重物質(zhì)量分別為和，且。初始時(shí)系統(tǒng)靜止（1）導(dǎo)出此力學(xué)系列化的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）分別求出兩重物下降的速度與重物下落距離之間的關(guān)系。