第二章高斯光束

1、一、均勻平面波如圖2-1示，沿Z軸方向傳播的均勻平面波，其電矢量為：其中： 為波數(shù)，n為介質(zhì)折射率（在空氣中n1） A0 振幅均勻平面波的特點(diǎn)：因?yàn)檎穹鵄0與（x, y, z）均無(wú)關(guān)（即為常數(shù)），且位相僅與Z有關(guān)： 2-1 基模高斯光束基模高斯光束 ）（12 exp),(0ikzAzyxEnK2圖2-1 1在光束截面上（即與光傳播方向垂直的x, y平面上）的光強(qiáng)是相等的； 2在傳播方向的任一點(diǎn)（即Z方向）光強(qiáng)度相等（不考慮空氣損耗）； 3距離Z相等，則其位相相等，即等相面為垂直于傳播方向的平面。 但由激光產(chǎn)生的原理可知：激光束是由光于在諧振腔內(nèi)進(jìn)行多次反射后所形成的。因此在腔鏡邊緣必產(chǎn)生衍射損

2、耗，故在光束截面上，邊緣部分的光強(qiáng)必將比中心部分較弱，故激光束不是均勻平面波。二、均勻球面波考查由原點(diǎn)（x=y=z=0）向自由空間輻射的球面波矢量為：其中：r=（x2+y2+z2）1/2為點(diǎn)光源到光矢量傳播方向上任一點(diǎn)P（x,y,z）的距離球面半徑。均勻球面波的特點(diǎn)： 1振幅相等的面（即等幅面）為：半經(jīng)相等的球面 2位相相等的面（即等相面）為：半經(jīng)相等的球面 3光矢量沿傳播方向的光強(qiáng)與傳播距離r成反比。 exp)(exp)(),(02/12222/12220ikrrAzyxikzyxAzyxE）（22作為特例：當(dāng)zx,y，即相距點(diǎn)光源很遠(yuǎn)的很小球面內(nèi)，rZ則 ，與平面波矢量 ，有相似的形式，故

3、可將該小球面內(nèi)光矢量近似看成平面波（太陽(yáng)光）：即在該平面內(nèi)光強(qiáng)相等，位相相等，同樣也不適用激光的特點(diǎn)。那么激光究竟是一種什么光呢？ exp),(0ikzzAzyxEexp),(0ikzAzyxE圖2-2三、基模高斯球面波（變心球面波）矢量 沿Z軸方向傳播的高斯光束（激光束），不管是由何種穩(wěn)定腔產(chǎn)生的，均可用基爾霍夫公式表示為：其中，A0原點(diǎn)（Z=0）處的中心光振幅，k為波數(shù)（n=1） （一）光束參數(shù)：W（z），R（z）： 在進(jìn)行光學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)（激光光學(xué)系統(tǒng)），應(yīng)已知兩個(gè)光束的特征參數(shù)。）（32)()(2(exp)()(exp)(),(222220zzRyxzkizWyxzWAzyxE 即，任一點(diǎn)處

4、的光斑大小和該點(diǎn)的波陣面半徑： （1）在Z點(diǎn)處的光斑半徑： 特點(diǎn)：光斑半徑非線性可變。 （2）在Z 點(diǎn)處的波陣面半徑： 特點(diǎn)：波陣面半徑非線性可變。 （二）膜參數(shù)W0： 以上公式中，涉及一個(gè)很重要的參數(shù)W0（束腰半徑）膜參數(shù) 對(duì)穩(wěn)定球面腔： 通用公式： ）（421)(2/12200WzWzW）（521)(220zWzzR2212121240)2()()(lRRlRRlRlRlW圖2-3特例特例：若對(duì)平凹穩(wěn)定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=代入上式即，已知激光器腔參數(shù)R、l可求得膜參數(shù)W0例例，設(shè)=0.632810-3mm，R=500 mm，l=250 mm， 則 * 基模發(fā)散角（遠(yuǎn)場(chǎng)

5、發(fā)散角）半角對(duì)平凹穩(wěn)定腔而言 （2-7）基膜發(fā)散角亦可表示為0=F（W0）（以后再講）結(jié)論結(jié)論：已知腔參數(shù)（R，l）可求光束的膜參數(shù)WO，已知膜參數(shù)WO，可求光束參數(shù)W（z），R（z）。 下面，討論光束參數(shù)W（z），R（z）在Z=0到Z=間的變化規(guī)律。 ）（62 )(4/12220lRlWmmW224. 0)250250500()106328. 0(4/1222304/12220)(lRl一、在束腰處（即Z=0處）1波陣面半徑R（z） 即R（z）=R0=，（z=0處，R0）在z=0處，波陣面為平面波。2初位相 ，即初位相為零3光斑半徑： 即：光斑半徑等于束腰半徑2-2 高斯光束的特性高斯光束的

6、特性 zWzlinzWzlinzRlinzzz11)(220022000)(z0)(20Wzarctgz02/1220001 )(WWzWoWLinz4橫截面光強(qiáng)分布：在束腰處（即z=0）基爾霍夫公式變?yōu)椋簣D2-42020020200exp0)00(expexp)0 ,(WrWAiikWrWAyxE推導(dǎo)：令r=0，則E（0，0，0）= 令r=W0，則E（x0，y0，0）=結(jié)論結(jié)論： 1在z=0處，與x，y有關(guān)的位相部分消失，即該處的平面為一等相面（與平面波波陣面一致）。 2振幅部分為一指數(shù)函數(shù)（高斯函數(shù)） 高斯光束的由來(lái)。 3在光束橫截面內(nèi)，光斑無(wú)明顯邊緣，通常定義的光斑大小是：電矢量幅度在光

7、斑半徑r方向減小到中心（r=0）振幅的 （或強(qiáng)度的 ）時(shí)的r值為高斯光束的半徑。00WA)0 , 0 , 0(11exp00202000EeWAeWWWAe121e二、高斯光束通過(guò)孔徑光欄時(shí)，能量的討論 由基爾霍夫公式；在光束傳播方向上任一點(diǎn)z處的電矢量振幅為： 而其光強(qiáng)E2 計(jì)算高斯光束通過(guò)某一孔徑的能量，即計(jì)算高斯光束通過(guò)某一半徑為的光孔時(shí)，高斯能量包的體積。 其光強(qiáng)為： 在通孔半徑為的光強(qiáng)P（）)(exp)(220zWrzWAEdrrzWrzWAkpo.2)(2exp)()(22220 )(2exp)()(exp)(2222022202zWrzWAkzWrzWAkkEP圖-2-5drrz

8、WrzWAkPo.2)(2exp)()(22220 在 r = 時(shí)，高斯光束的全部光強(qiáng)P（）設(shè)當(dāng)（通光孔徑）=W（z），1.5W（z），2W（z），2.5W（z），3W（z），時(shí)，N（）值如下表：即，當(dāng)限制孔徑為計(jì)算出的高斯光斑半徑2.5倍時(shí)其通過(guò)的能量為全部能量的99.999%。 例例：若激光輸出的單脈沖能量為5mw，脈寬=5ns則瞬時(shí)功率為1106瓦（兆瓦），當(dāng)=W（z）時(shí)損失能量為1106（1-0.864%）=1630瓦。）（82)(2exp1.2)(2exp.2)(2exp)()()(222222 zWdrrzWrkdrrzWrkPPPNopo W（z） 1.5W（z） 2W（z） 2

9、.5W（z） N（） 0.864 0.988 0.997 0.99999 1 * 結(jié)論結(jié)論： 激光束通過(guò)透鏡變換時(shí)，為保證充分利用能量，則其透鏡半徑一般取該理論計(jì)算光斑的22.5倍。此結(jié)論在弱信號(hào)檢測(cè)中尤為重要，在光盤系統(tǒng)中，孔徑還與焦深、光斑的大小有關(guān)。 三、Z=時(shí)的波陣面半徑： 上式表明：離束腰為無(wú)窮遠(yuǎn)處的等相面為平面，且曲率中心在束腰處。 可以想象：既然高斯光束傳播時(shí)，在z=0處和z=處，R（z）的值均為（平面），則在中間某位置必存在一最小R（z）2201)(zWlinzzRlinzz四、R（z）min：令 （共焦參數(shù)） 或稱端利長(zhǎng)度（Rayleigh）則令 ，得：Z=F即在Z=F時(shí)，存

10、在R（Z）的極小值，其極小值為： 即 ，共焦參數(shù)的由來(lái)可由圖2-6解釋： 共焦參數(shù)的物理意義：高斯光束傳播過(guò)程中的兩特殊點(diǎn)，在此點(diǎn)，波陣面半徑最小，具有兩對(duì)稱點(diǎn)（相對(duì)束腰）互為其波面球心。20WF ）（9211)(22220zFzzFzzWzzR01)(22zFdzzdR）（時(shí)時(shí)1022min)( 2min)( min)(2FzRFzFzRFzzFzzR20222min)(WFFzR圖2-6 （五）小結(jié)： 高斯光束在自由空間傳播時(shí)，R（z）隨傳播距離Z變化的規(guī)律： 1在Z=0（即束腰處），R（z）=，即波陣面為平面波 2在Z0時(shí)，R（z）由逐漸變小 3在Z=F時(shí)，R（z）有極小值：。 4在ZF

11、時(shí)，R（z）逐漸變大。 5Z時(shí)，R（z），變?yōu)槠矫娌?。圖2-7例例：求W0=0.5mm的氖氪激光器輸?shù)墓馐淖钚∏蔙min和其所在位置Z（=0.632810-3mm） 波陣面所在位置為圖2-8mmWR3 .2482106328. 05 . 0223220minmmz124123 .2482 （六）遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 從 可以看出，在Z=0處，光斑尺寸最小，其值為W0。隨著Z增大，則W（z）非線性增大，所以，高斯光束是發(fā)散的，現(xiàn)在討論其特性。 定義：光束的半發(fā)散角為傳輸距離（Z）變化時(shí)，光斑半徑的變化率 即 討論： 1當(dāng)Z=0時(shí)，=0（即在束腰處，發(fā)散角為0平面波） 2/122001)(WzWzW22

12、402022122402021)(zWWZWWzdzzdW 2當(dāng) （等于共焦參數(shù)）時(shí) 3當(dāng) Z=時(shí)： 等效于結(jié)論結(jié)論：1高斯光束的發(fā)散角隨傳播距離的增大而非線性增大 2在束腰處，發(fā)散角為0o在無(wú)窮遠(yuǎn)，發(fā)散角最大，其遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角為: 3通常將 區(qū)域定義為光束準(zhǔn)直區(qū) 4W0越大，則遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角愈小。因此為了減小光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角，可采用光學(xué)變換的方法，使其束腰增大。20WZ ）（12222200WW0W4/12220)(lRl200WZ 例：已知一氦氖激光器，腔長(zhǎng)L=250mm，R1=500mm，R2=求 其遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角及準(zhǔn)直區(qū)范圍，離束腰1000mm處之發(fā)散角。解：此腔型為平凹穩(wěn)定腔，則其束腰在平面鏡處

13、，（1） （注意：此處定義的光斑半徑是振幅為中心振幅的 處）。radlRl44/122234/1222109)250250500()106328. 0()(mradrad9 . 0109 . 034/122234/12220)250250500()106328. 0()(lRlWmm224. 0e1圖2-9亦可用公式 準(zhǔn)直區(qū)（2） mradW9 . 0224. 0106328. 030mmWF1 .249106328. 0224. 03220 2240202)1000(ZWZW2324223)106328. 0(1000224. 0224. 01000)106328. 0(mradrad6 .

14、 0106 . 03一、用W0和距束腰的位置Z表征高斯光束 若已知高斯光束的束腰W0及傳播方向上一點(diǎn)到束腰的距離Z，可以根據(jù)以下公式求出光束傳播（自由空間）方向任一點(diǎn)的波陣面半徑R（z）及光斑半徑W（z）。 即： 二、用W（z）和R（z）表征 若已知W（z），R（z），則可求出高斯光束的束腰W0及束腰位置Z。2-3 高斯光束的特征參數(shù)高斯光束的特征參數(shù) ）（。用于高斯光束的正變換1321)(1)(2/12202200ZWZZRWZWZW圖2-10即： 以上兩組公式的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是直觀，物理概念清晰，缺點(diǎn)是繁雜。那么能否找到一種更簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢？三、高斯光束的q參數(shù) 在高斯光束電矢量方程（基爾霍

15、夫公式）中，將與橫坐標(biāo)（x，y）有關(guān)的因子和W（z），R（z）放在一起，即： ）（用于高斯光束的逆變換142)()(1)()()(1)(1222/1220ZWZRZRZZRZWZWW)()(2exp)()(exp)(),(222220zzRyxzkizWyxzWAzyxE)(exp)(2)(exp)(222220zkzizRyxiRzwyxzWA令：)(2)(22222zRyxikzWyx)(2)(12)(222ziRwzRyxik)(22)(12)(222zWizRyxik)()(12)(222zWizRyxik)()(12)(222zWizRyxik令： 引入一個(gè)新的參數(shù)q（z），其定義為

16、：將高斯光束的兩個(gè)重要光束參數(shù)R（z），W（z）統(tǒng)一在一個(gè)q參數(shù)中。 即：如果我們知道了高斯光束在傳播過(guò)程中任一點(diǎn)的q參數(shù)，則可令： 即可求出該位置的R（z）和W（z）。)()(1)(12zWizRzq）（162 )(1)(1zRzqRe）（172 )()(12zWzqlm* 要解決的三個(gè)問(wèn)題1q0和W0的關(guān)系：（模參數(shù)的q參數(shù)表達(dá)式） 我們知道，在描述光束傳播特性時(shí)，有一個(gè)重要的參數(shù)即模參數(shù)“W0”，（即已知W0，可求光束傳播任意位置的光束參數(shù)）。 因此在進(jìn)行q參數(shù)變換時(shí)，也必須知道光束的膜參數(shù)wo用q參數(shù)的表達(dá)式，即求出在束腰處，qo和Wo之間的關(guān)系。 設(shè)q0 = q（o）表示Z=0處的光束的q參數(shù) 且在Z=0處，R（0）=，W（0）=W0 則用（2-16）可得： )()(1)(12zWizRzq即： 即： （定義 為共焦參數(shù)）上式將q0和W0聯(lián)系起來(lái)。2任一位置Z處的q參數(shù)： 若已知束腰的q0參數(shù)，在距離束腰為Z處的q 參數(shù)為多少？通過(guò)透鏡變換后的q參數(shù)為多少？)0()0(11)0(1)(120WiRqqzq201Wi2001WiqFiWiiWq2020020WF 下面解決第二個(gè)問(wèn)題：將 ，及 代入公式（2-1