《離散數(shù)學(xué)》課件：7-4有理域上的多項(xiàng)式

1、結(jié)論結(jié)論1 任意有理系數(shù)多項(xiàng)式和一個(gè)整系數(shù)多任意有理系數(shù)多項(xiàng)式和一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式相通。項(xiàng)式相通。定義定義1 設(shè)設(shè) (x)= a0 xn+a1xn-1+an是一個(gè)整系是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若系數(shù)數(shù)多項(xiàng)式，若系數(shù)a0,a1,an互質(zhì)，則稱互質(zhì)，則稱(x)是一個(gè)是一個(gè)本原多項(xiàng)式本原多項(xiàng)式。結(jié)論結(jié)論2 任意整系數(shù)多項(xiàng)式與一個(gè)本原多項(xiàng)式任意整系數(shù)多項(xiàng)式與一個(gè)本原多項(xiàng)式 相通。相通。結(jié)論結(jié)論3 任意有理系數(shù)多項(xiàng)式與一個(gè)本原多項(xiàng)任意有理系數(shù)多項(xiàng)式與一個(gè)本原多項(xiàng)式相通式相通。 定理定理7.4.1 設(shè)設(shè)p是一個(gè)質(zhì)數(shù)，是一個(gè)質(zhì)數(shù)， (x)= a0 xn+a1xn-1+an g(x) = b0 xm+b1xm-1+b

2、m是兩整系數(shù)多項(xiàng)式。是兩整系數(shù)多項(xiàng)式。若若 p整除整除(x)g(x)的所有系數(shù)，則的所有系數(shù)，則p或整除或整除(x)的的所有系數(shù)或整除所有系數(shù)或整除g(x)的所有系數(shù)。的所有系數(shù)。證明：證明： 反證法。反證法。假定假定p不整除不整除(x)的所有系數(shù)也的所有系數(shù)也不整除不整除g(x)的所有系數(shù)。的所有系數(shù)。從右往左看從右往左看(x)和和g(x),設(shè)設(shè)ai ,bj是是(x)，g(x)的系的系數(shù)中第一個(gè)不為數(shù)中第一個(gè)不為p整除者。于是，整除者。于是， p不整除不整除ai，p ai+1，p an (1) p不整除不整除bj，p bj+1，p bm (2)觀察觀察(x)g(x)=(a0 xn+a1xn-

3、1+an)(b0 xm+b1xm-1+bm) =a0b0 xn+m-0 +(a0b1 +a1b0) xn+m-1 + ( + ai-1bj+1 +aibj + ai+1bj-1 + ) xn-i+m-j + anbm(x)g(x)中中xn-i+m-j的系數(shù)是的系數(shù)是aibj + ai+1bj-1 + ai+2bj-2 + + + ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + 此式中，除此式中，除aibj外，其余各項(xiàng)由外，其余各項(xiàng)由(1)及及(2)都為都為p整除，整除，而由而由p不整除不整除ai，p不整除不整除bj， 又又p是一個(gè)質(zhì)數(shù)，知，是一個(gè)質(zhì)數(shù)，知，p不整除不整除aibj，故，故p不整除不整

4、除xn-i+m-j的系數(shù)，與題設(shè)的系數(shù)，與題設(shè)p整除整除(x)g(x)的所有系數(shù)矛盾。的所有系數(shù)矛盾。 定理定理7.4.2 設(shè)設(shè)(x)是本原多項(xiàng)式，是本原多項(xiàng)式，g(x)是整系數(shù)多是整系數(shù)多項(xiàng)式。若項(xiàng)式。若(x) g(x)，則以，則以(x)除除g(x)所得之商式所得之商式必是整系數(shù)多項(xiàng)式。必是整系數(shù)多項(xiàng)式。證明：證明：由由(x) g(x)知，有知，有 g(x) = (x)h(x)不論不論h(x)是否為整系數(shù)多項(xiàng)式，總可以取一個(gè)正是否為整系數(shù)多項(xiàng)式，總可以取一個(gè)正整數(shù)整數(shù)c使使k(x)=ch(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式是整系數(shù)多項(xiàng)式,故，故，cg(x) = (x)k(x)此式表示以此式表示以c乘乘g(x

5、)的所有系數(shù)就是的所有系數(shù)就是(x)k(x)的所的所有系數(shù)，從而有系數(shù)，從而c整除整除(x)k(x)的所有系數(shù)。的所有系數(shù)。設(shè)設(shè) c = p1p2pr 是是c的質(zhì)因數(shù)分解式。則的質(zhì)因數(shù)分解式。則p1p2pr g(x) = (x)k(x)因?yàn)橐驗(yàn)閜1 p1p2pr，故，故p1整除整除(x)k(x)的所有系數(shù)的所有系數(shù),但但(x)是本原多項(xiàng)式，故是本原多項(xiàng)式，故p1整除整除k(x)的所有系數(shù)，的所有系數(shù)，從而從而k(x)=p1k1(x),其中其中k1(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式。因是整系數(shù)多項(xiàng)式。因此有此有 p2pr g(x) = (x) k1(x)同理有同理有p2整除整除k1(x)的所有系數(shù)，如此下去，

6、消去的所有系數(shù)，如此下去，消去p1p2pr 最后得最后得g(x)=(x)kr(x)其中其中kr(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式。但由是整系數(shù)多項(xiàng)式。但由g(x) = (x)h(x)，有有h(x)=kr(x)，故，故h(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式。是整系數(shù)多項(xiàng)式。定理定理7.4.2 設(shè)設(shè) (x)= a0 xn + a1xn-1 + + an是整系數(shù)多項(xiàng)式，若對(duì)一個(gè)質(zhì)數(shù)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若對(duì)一個(gè)質(zhì)數(shù)p，p不整除不整除a0，p a1，p an，p2不整除不整除an，則則(x)在有理域上不可約。在有理域上不可約。例例.設(shè)設(shè) (x)= x5+2x+2 ,因可找到質(zhì)數(shù)因可找到質(zhì)數(shù)2，2不整不整除除1，2 2，2 2，4不整除不

7、整除2，所以，所以 (x)在在有理域上不可約。有理域上不可約。例例.設(shè)設(shè)g(x)= 2x5+3x4-6 ,因可找到質(zhì)數(shù)因可找到質(zhì)數(shù)3，3不整不整除除2，3 3，3 -6，9不整除不整除-6，所以，所以g(x)在有理域上不可約。在有理域上不可約。證明：證明： 用反證法用反證法，假定，假定(x)有一個(gè)真因式有一個(gè)真因式(x)，因?yàn)橐驗(yàn)?x)和一個(gè)本原多項(xiàng)式相通，不妨假定和一個(gè)本原多項(xiàng)式相通，不妨假定(x)本身就是本原多項(xiàng)式。故，本身就是本原多項(xiàng)式。故，(x)除除(x)所得所得的商式的商式(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式。從而是整系數(shù)多項(xiàng)式。從而(x)可分解可分解為非常數(shù)的兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式之積，即，為非常數(shù)的兩

8、個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式之積，即，(x) =a0 xn + a1xn-1 + + an =(b0 xr + + br)(c0 xs + + cs) 于是有于是有a0 xn=b0c0 xr+s，an=brcs因?yàn)橐驗(yàn)閜不整除不整除a0，所以，所以p不整除不整除b0，p不整除不整除c0。因?yàn)橐驗(yàn)閜2不整除不整除an,所以所以br和和cs中至少有一個(gè)不為中至少有一個(gè)不為p整除整除,不妨設(shè)不妨設(shè)p不整除不整除cs。在在b0 xr + + br中從右往左看，設(shè)第一個(gè)不為中從右往左看，設(shè)第一個(gè)不為p整整除的系數(shù)為除的系數(shù)為bi。觀察。觀察(x) =a0 xn + a1xn-1 + + an =(b0 xr + +

9、br)(c0 xs + + cs) =b0c0 xr+s-0 +(b1c0 + b0c1) xr+s-1 + (bics + bi+1cs-1 + bi+2cs-2 +) xr+s-(i+s) + +br cs看看(b0 xr + + br)(c0 xs + + cs) 中中xr-i的系數(shù)：的系數(shù)： ai+s=bics + bi+1cs-1 + bi+2cs-2 + （*）因因ai+s a0，由題設(shè)，這個(gè)系數(shù)應(yīng)為，由題設(shè)，這個(gè)系數(shù)應(yīng)為p整除。但整除。但p不不整除整除bics，而（，而（*）中其余各項(xiàng)都為）中其余各項(xiàng)都為p整除，可見整除，可見p又不能整除這一系數(shù)，此為矛盾。又不能整除這一系數(shù)，此

10、為矛盾。 lNote:并不是每一個(gè)有理域上的多項(xiàng)式都可并不是每一個(gè)有理域上的多項(xiàng)式都可用用Eisenstein定則判定是否可約，定則判定是否可約，xn+x+1就就是一例。是一例。 l例例. 由由Eisenstein定則知，定則知，x2-2在有理域上不在有理域上不可約，所以可約，所以x2-2不可能有有理根，因而立即不可能有有理根，因而立即推出推出 是無(wú)理數(shù)。是無(wú)理數(shù)。 l例例.利用利用Eisenstein定則，可以寫出許多在有定則，可以寫出許多在有理域上不可約的多項(xiàng)式，例如理域上不可約的多項(xiàng)式，例如xn+2，x4+2x3-4x+10， xn+2x+2等。等。l定理定理7.4.4 對(duì)任意對(duì)任意n1

11、，有理域上有，有理域上有n次質(zhì)式。次質(zhì)式。 2例例. 設(shè)設(shè)p是質(zhì)數(shù)，是質(zhì)數(shù)， 用用Eisenstein定則證明多項(xiàng)式定則證明多項(xiàng)式f(x)=xp-1+ xp-2 +x+1 在在R0上不可約。上不可約。證明：證明： f(x)= (xp-1)/(x-1)， 令令t=x-1，則，則x=t+1，代入，代入f(x)得得f(x)= (xp-1)/(x-1) =(t+1)p -1)/t =(tp+ptp-1 +p(p-1)/2 tp-2 +pt+1-1)/t = tp-1+ptp-2 +p(p-1)/2 tp-3 +p顯然質(zhì)數(shù)顯然質(zhì)數(shù)P不整除不整除1，而，而p整除后面的所有系數(shù)，整除后面的所有系數(shù)，且且p2

12、不整除不整除p，故原式不可約。，故原式不可約。 例例.證明證明f(x)= 3x5+7x2+5在有理域在有理域R0上不可約。上不可約。證明：證明：若若f(x)在在R0上可約上可約,則則f(x) 在在R2上可約。上可約。 因此，因此，只需證明只需證明f(x)在在R2上不可約上不可約，則，則 可知可知f(x) 在在R0上不可約。上不可約。 而在而在R2上，上， f(x) = x5+x2+1。 (分析，分析，5次多項(xiàng)式若可約，有如下可能：次多項(xiàng)式若可約，有如下可能：（1）可分為）可分為5個(gè)一次質(zhì)因式乘積個(gè)一次質(zhì)因式乘積（2）可分為）可分為3個(gè)一次質(zhì)因式和個(gè)一次質(zhì)因式和1個(gè)二次質(zhì)因式乘積個(gè)二次質(zhì)因式乘積

13、（3）可分為）可分為2個(gè)一次質(zhì)因式和個(gè)一次質(zhì)因式和1個(gè)三次質(zhì)因式乘積個(gè)三次質(zhì)因式乘積（4）可分為）可分為1個(gè)一次質(zhì)因式和個(gè)一次質(zhì)因式和1個(gè)四次質(zhì)因式乘積個(gè)四次質(zhì)因式乘積（5）可分為）可分為1個(gè)二次質(zhì)因式和個(gè)二次質(zhì)因式和1個(gè)三次質(zhì)因式乘積個(gè)三次質(zhì)因式乘積（1）-（4）都有一次質(zhì)因式，（）都有一次質(zhì)因式，（5）有二次質(zhì)因式，）有二次質(zhì)因式，因此，只需證明因此，只需證明5次多項(xiàng)式無(wú)一次質(zhì)因式和二次質(zhì)因次多項(xiàng)式無(wú)一次質(zhì)因式和二次質(zhì)因式，即可證明其不可約式，即可證明其不可約)l證明無(wú)一次質(zhì)因式。證明無(wú)一次質(zhì)因式。 由由R2=0,1，f(0)=f(1)=1知，知， f(x)在在R2上無(wú)根，上無(wú)根，即無(wú)一次

14、因式。即無(wú)一次因式。l證明無(wú)二次質(zhì)因式。證明無(wú)二次質(zhì)因式。 在在R2上二次因式只有：上二次因式只有：x2, x2+1, x2+x, x2+x+1。其中只有其中只有x2+x+1是質(zhì)式。但是質(zhì)式。但x5+x2+1 = x2 ( x+1）(x2+x+1)+1，因此，因此， f(x) 在在R2上無(wú)二次質(zhì)因式。上無(wú)二次質(zhì)因式。所以，所以， f(x) 在在R2上不可約。上不可約。注意我們所取的注意我們所取的Rp中的中的p不能整除不能整除a0，為什么？，為什么？定理定理7.4.5 設(shè)設(shè)(x)= a0 xn + a1xn-1 + + an是整系數(shù)多項(xiàng)式。若有理數(shù)是整系數(shù)多項(xiàng)式。若有理數(shù)b/c是是(x)的根，其

15、中的根，其中b和和c是互質(zhì)的整數(shù)，則是互質(zhì)的整數(shù)，則b an，c a0。證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)閎/c是是(x)的根，所以的根，所以x-b/c整除整除(x)，因而本原多項(xiàng)式因而本原多項(xiàng)式cx-b整除整除 (x),且商式應(yīng)是整系數(shù)且商式應(yīng)是整系數(shù)多項(xiàng)式，故多項(xiàng)式，故(x)分解為整系數(shù)多項(xiàng)式之積如下：分解為整系數(shù)多項(xiàng)式之積如下： (x)=(cx-b)(d0 xn-1+dn-1)比較兩邊的首系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)得比較兩邊的首系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)得a0 = cd0，an = -bdn-1，故，故ban，ca0。 求求f(x) = a0 xn + a1xn-1 + + an有理根的方法有理根的方法(1)分別找分別找a0，

16、an的所有因子的所有因子ci， bj。(2)找互質(zhì)對(duì)找互質(zhì)對(duì)(ci， bj)。(3)用用x- bj / ci除除 f(x)(綜合除法綜合除法)，能除開，能除開bj / ci為為根，否則，根，否則， bj / ci不是根。不是根。l例例. . 證明證明 為無(wú)理數(shù)為無(wú)理數(shù)證明：證明：若若 為有理數(shù)，為有理數(shù)，x x2-2應(yīng)有有理根，應(yīng)有有理根， c ci= =1, bj = =2, 1，可能根為可能根為bj / ci ：1, 2 ，但用綜合除法知，但用綜合除法知，1，2都不是都不是x x2-2的根，的根，所以，所以， 是無(wú)理數(shù)。是無(wú)理數(shù)。222l該定理是說，若有理數(shù)該定理是說，若有理數(shù)b/c是多項(xiàng)

17、式是多項(xiàng)式f(x)的根，則用分的根，則用分?jǐn)?shù)表示的這個(gè)有理數(shù)的分子分母滿足數(shù)表示的這個(gè)有理數(shù)的分子分母滿足b an，c a0。反過來說，滿足這個(gè)條件是多項(xiàng)式。反過來說，滿足這個(gè)條件是多項(xiàng)式f(x)根的必要根的必要條件，但不滿足一定不是根。下面通過具體實(shí)例，說條件，但不滿足一定不是根。下面通過具體實(shí)例，說明定理明定理7.4.5的使用。的使用。例例 設(shè)設(shè)f(x)=3x3-x+1，判斷它在有理域，判斷它在有理域R0上是否可約。上是否可約。分析，這是一個(gè)分析，這是一個(gè)3次多項(xiàng)式，若次多項(xiàng)式，若f(x)可約，則可約，則f(x)必能分解必能分解為一個(gè)一次因式與一個(gè)二次因式之積，因而必有一個(gè)為一個(gè)一次因式與

18、一個(gè)二次因式之積，因而必有一個(gè)有理根，于是可利用本定理判斷，用試根法來做：有理根，于是可利用本定理判斷，用試根法來做：1把系數(shù)把系數(shù)a0,an因數(shù)分解；因數(shù)分解；2然后用然后用a0的因子做分母，的因子做分母，an的因子做分子所得的數(shù)代入的因子做分子所得的數(shù)代入f(x)；3考察這些數(shù)中是否有考察這些數(shù)中是否有f(x)的根，由此判定的根，由此判定f(x)是否可約。是否可約。l本例中本例中a0=3，它的因子有，它的因子有 1， 3，an=1，它，它的因子有的因子有 1，所以，如果，所以，如果f(x)有有理根，則只有有理根，則只能為能為 1， 1/3，分別代入，分別代入f(x)檢驗(yàn)，可知都不檢驗(yàn)，可知

19、都不是是f(x)的根，所以的根，所以f(x)無(wú)有理根，因而無(wú)有理根，因而f(x)在有理在有理域域R0上不可約。上不可約。l下面再講一種判斷多項(xiàng)式是否可約的辦法。下面再講一種判斷多項(xiàng)式是否可約的辦法。l對(duì)于多項(xiàng)式對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=x5-5x+1，用試根法和艾森斯坦，用試根法和艾森斯坦定理也無(wú)法找到定理也無(wú)法找到p，這時(shí)我們可以把，這時(shí)我們可以把f(x)做一個(gè)變做一個(gè)變形然后利用以下結(jié)論：形然后利用以下結(jié)論：f(x)在在Fx中可約當(dāng)且僅中可約當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)f(x+1)在在Fx中可約。再回到本例，考察中可約。再回到本例，考察f(x-1)=x5-5x4+10 x3-10 x2+5，取，取p=5，由艾森斯坦定理，由艾森斯坦定理知它在有理域不可約，從而知它在有理域不可約，從而f(x)在有理域不可約。在有理域不可約。例例.求多項(xiàng)式求多項(xiàng)式f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3的有理根的有理根解：解： ci=1, bj = 1, 3, 可能根為可能根為bj/ci ：1, 3,用綜合除法知，用綜合除法知，-1，3都是都是f(x)的有理根。的有理根。 -1為四重根：為四重根