ch2-3分段線性插值

1、 牛頓插值法回顧).(.)()()(:10102010 nnnxxxxaxxxxaxxaaxN構(gòu)造多項(xiàng)式構(gòu)造多項(xiàng)式是是待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中.,210naaaa),.2 , 1 , 0()(:nkfxNkkn 使其滿足使其滿足? ka思考題思考題 一、牛頓插值公式的基本思路一、牛頓插值公式的基本思路商商）階階均均差差（均均差差也也稱稱為為差差的的為為kxf)(111021010,.,.,., kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxf121020210 xxxxfxxfxxxf ,:二二階階均均差差.,)()()(,20000的一階（均差）的一階（均差）關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)稱稱定義定義k

2、kkkxxxfxxxfxfxxf-= 三、新概念三、新概念_均差及其性質(zhì)均差及其性質(zhì)均差計算表均差計算表一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差四階均差四階均差kx)(kxf0 x1x2x3x4x5x)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(5xf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,54xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,543xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,5432xxxxf,43210 xxxxxf,54321xxxxxf牛頓插值公式)()(,)(,)(,)()(100102100100 nnnxxxxxxfx

3、xxxxxxfxxxxfxfxN nkkkxxxf00)(, 三、三、NewtonNewton插值多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)插值多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu) 為為常常數(shù)數(shù)，稱稱為為步步長長。為為已已知知，這這里里上上的的值值在在等等距距節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)hxffnkkhxxxfykkk)(, 1 , 0)(0 差差分分及及其其性性質(zhì)質(zhì)引引入入記記號號1 kkkfff2121)2()2( kkkkkffhxfhxff .)(向向后后差差分分及及中中心心差差分分為為步步長長的的向向前前差差分分，處處以以在在分分別別稱稱為為hxxfk定義定義kkkfff 1 五、差五、差 分分xhhkx1 kx1 kx21 kx21 kxhk

4、f kf kf 分分別別稱稱為為，符符號號 向前差分算子，向前差分算子，分算子分算子向后差分算子及中心差向后差分算子及中心差差 分:二二階階差差分分.2.1212kkkkkkffffff 二階中心差分為二階中心差分為,21212 kkkfff 階階差差分分為為一一般般地地可可定定義義 m.;111111 kmkmkmkmkmkmffffff差 分有有多多項(xiàng)項(xiàng)式式代代入入牛牛頓頓插插值值將將,1!1,knnnkkfhnxxf )()(!)(! 2)(1)()(,)(,)()(110010202000110100100 nnnnnnxxxxxxhnfxxxxhfxxfhfxxxxxxxxxfxxx

5、xfxfxN 六、等距節(jié)點(diǎn)插值公式六、等距節(jié)點(diǎn)插值公式則上式變形為則上式變形為若令若令,0thxx 002000!) 1() 1(! 2) 1()(fnntttfttftfthxNnn 此公式為牛頓此公式為牛頓向前向前插值公式，其余項(xiàng)為插值公式，其余項(xiàng)為),()()!1()() 1()()()!1()()(011101nnnnnnxxfhnntttxxxxxxnfxR 等距節(jié)點(diǎn)插值公式計算各階差分，可列表進(jìn)行計算各階差分，可列表進(jìn)行04132234403122330212201100432fffffxffffxfffxffxfxfffffxkkkkkk 等距節(jié)點(diǎn)插值公式)()(,)(,)(,)

6、()(1011211xxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnnnnnnnn nnnnnnfnntttfttftfthxN !) 1() 1(! 2) 1()(20類似有牛頓類似有牛頓向后向后插值公式插值公式得得：作作變變換換)01( tthxxn等距節(jié)點(diǎn)插值公式差分表：差分表：44434244433323332222211100432fffffxffffxfffxffxfxfffffxkkkkkk 等距節(jié)點(diǎn)插值公式 已知已知f(x)=sinx的函數(shù)表如下的函數(shù)表如下，分別用分別用Newton向向前前、向后插值公式求向后插值公式求sin0.57891的近似值的近似值。 x

7、0.4 0.5 0.6 0.7Sinx 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422例例2.4等距節(jié)點(diǎn)插值公式解解: :按下表計算按下表計算取取, 7 . 0, 6 . 0, 5 . 0, 4 . 03210 xxxx)2)(1(! 3)1(21)2)(1(! 300083. 000563. 007958. 064422. 07 . 0)1(200480. 008521. 056464. 06 . 009001. 047943. 05 . 0138942. 04 . 0sin ttttttttttttxfxiii三階差分三階差分二階差分二階差分一階差分一階差分)2)(1(!

8、3)1(21)2)(1(! 300083. 000563. 007958. 064422. 07 . 0)1(200480. 008521. 056464. 06 . 009001. 047943. 05 . 0138942. 04 . 0sin ttttttttttttxfxiii三階差分三階差分二階差分二階差分一階差分一階差分NewtonNewton向前插值公式為向前插值公式為等距節(jié)點(diǎn)插值公式7891. 11 . 0/ )4 . 057891. 0(0 hxxt54711. 000083. 062109. 07891. 07891. 100480. 027891. 07891. 17891

9、. 109001. 038942. 0)57891. 0(57891. 0sin3 N00083. 06)2)(1(00480. 02)1(09001. 038942. 0)(03 ttttttthxN等距節(jié)點(diǎn)插值公式Newton向后插值公式為向后插值公式為00083. 0! 3)2)(1(00563. 0! 2)1(07958. 064422. 0)(43 ttttttthxN2109. 11 . 07 . 057891. 04 hxxt643102sin)2109. 1()2109. 0(7891. 07891. 1! 4)1 . 0()57891. 0( R誤誤差差為為等距節(jié)點(diǎn)插值公式當(dāng)

10、插值點(diǎn)當(dāng)插值點(diǎn)x x接近數(shù)據(jù)表頭時，一般用向前插值公式，接近數(shù)據(jù)表頭時，一般用向前插值公式，而當(dāng)插值點(diǎn)而當(dāng)插值點(diǎn)x x接近數(shù)據(jù)表尾時，則采用向后插值公式。接近數(shù)據(jù)表尾時，則采用向后插值公式。54711. 000083. 067891. 0)2109. 0()2109. 1(00563. 02)2109. 0()2109. 1(2109. 107958. 064422. 057891. 0sin 等距節(jié)點(diǎn)插值公式第三節(jié)第三節(jié) 分段線性插值法分段線性插值法插值法 分段線性插值法的一般理論分段線性插值法的一般理論 分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造分段線性插值余項(xiàng)和誤差估計分段線性插值

11、余項(xiàng)和誤差估計簡單的分段高次插值多項(xiàng)式簡單的分段高次插值多項(xiàng)式 一般來說，高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)模瑥臄?shù)值計算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計算會帶來舍入誤差的增大，從而引起計算失真。因此，實(shí)踐上作插值時一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。 那么如何提高插值精度呢？ 采用分段插值是一種辦法。分段線性插值法 所謂分段線性插值就是通過插值點(diǎn)用折線連所謂分段線性插值就是通過插值點(diǎn)用折線連接起來逼近接起來逼近)(xfnnyyybxxxa1010,上上的的函函數(shù)數(shù)值值為為：設(shè)設(shè)已已知知節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn) 使使其其滿滿足足：構(gòu)構(gòu)造造插插值值函函數(shù)數(shù))(x是是線線性性函函數(shù)數(shù)在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上)(),.,(

12、,)(),.,()()(xnixxniyxiiii210221011 則稱則稱 (x)是是f(x)在在a ,b上的分段線性插值多項(xiàng)式。上的分段線性插值多項(xiàng)式。 一、分段線性插值的概念一、分段線性插值的概念)()(11111 iiiiiiiiiixxxyxxxxyxxxxx 分段表達(dá)式分段表達(dá)式Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式二、分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造二、分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造xjxj-1xj+1x0 xn 其其它它0,)(101010 xxxxxxxxl計算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.一般表達(dá)式一般表達(dá)式 njjjxlyx0)()( 其它其它0,)(111nnnnnnxxxxxxxx

13、l 其它其它0,)(111111iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxl分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造余項(xiàng)余項(xiàng)定理定理：設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x) ，則則)(max),(max,8)()()(1102xfMxxhMhxxfxRbxaiini 其中其中 分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造證明：由證明：由Lagrange Lagrange 余項(xiàng)公式，當(dāng)余項(xiàng)公式，當(dāng)xxi, xi+1時時! 2)()()()()(1 iixxxxfxRxxf )(max8)(4)(2)()(12121xfxxxxfxRiixxxiiii 04)()2()(21211 iiiiiixx

14、xxxxxxx4)()(max2111 iiiixxxxxxxxxii分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造證畢。證畢。MhxfxxxRbaxiixxxiini8)(max8)(max)(,221101 都有都有對任意對任意分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造例例：設(shè)設(shè) -1 x 1(1)將將-1，1 10 等份等份，用分段線性插值近似用分段線性插值近似計計f(-0.96)。(2)將將-1，1 n 等份等份，用分段線性插值近似計算用分段線性插值近似計算,問如何選擇步長問如何選擇步長h可使近似計算誤差可使近似計算誤差R10-4?22511)(xxf 8 . 01)1(2941. 0)8 . 0(1923. 02 . 01

15、)8 . 0(2 . 08 . 0)1()( xxxxfxfx 解解：(1)插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)為xi=-1+ i/5 (i=0,1,10),h=1/5因?yàn)橐驗(yàn)?-0.96-1,-0.8,取此區(qū)間為線性插值區(qū)間取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)其上的插值函數(shù)為為例例5.5分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造所以所以f(-0.96) (-0.96)=0.04253(2)插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)為xi=-1+ ih (i=0,1,n),h=(b-a)/2=2/n由分段線性插值的余項(xiàng)估計由分段線性插值的余項(xiàng)估計： |f(x)- (x) |=|R(x)| Mh2/81|)251(175|50| )(|)251(50)(32222 xxxfxxxf028.010125.0)()(max4211 hhxRxfMx分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造分段二次插值分段二次插值即即：選取跟節(jié)點(diǎn)選取跟節(jié)點(diǎn)x最近的三個節(jié)點(diǎn)最近的三個節(jié)點(diǎn)xi-1,xi, xi+1進(jìn)行二次插值進(jìn)行二次插值，即在區(qū)間即在區(qū)間