數(shù)學(xué)分析四復(fù)習(xí)講義期末必過

1、數(shù)學(xué)分析四1、 講授內(nèi)容本書共包含六講，分別為：1，確界原理2，柯西收斂準(zhǔn)則3，實屬完備性原理4，可積性原理5，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性6，傅里葉級數(shù)定理2、 考核方式4：6 5：5 平時成績：考勤、課堂討論、研究報告期末成績：考試（面試、閉卷）請學(xué)生注意課堂表現(xiàn)3、 講授方式傳道、授業(yè)、解惑。每次課講授一半時間，討論解惑一半時間。留給學(xué)生充分思考、自主學(xué)習(xí)足夠時間。目的：培養(yǎng)學(xué)生思維能力、思維能力4、 課程性質(zhì)：選修、必修 第一講 確界原理一、確界定義： 設(shè)數(shù)集，若,則稱M為S的上界。進(jìn)一步，若,則稱M為S的上確界，記為換言之，上確界即最小上界 下確界即最大下界（N=inf S） 例1：證明：

2、s=(0,1,則 例2：證明：若，則二、確界原理定理：設(shè)非空，若S有上界，則S必有上確界。 若S有下界，則S必有下確界證明思想：step1:定位S有上界，等份數(shù)軸 (若S中含最大值，則可直接驗證最大值即為上確界）對10等分n,n+1) 對有上界，10等分此區(qū)間 數(shù)學(xué)歸納法 區(qū)間左端點 Step2:比較大小 驗證 的大小通過區(qū)間的左右端點反映出來，故定義左右端點分別為的k位不足近似和k位過剩近似即注：通過分劃來證明 的證明 閉區(qū)間套思想三、討論上述證明 （解惑）4、 例題討論 例3：設(shè)，證明：證明：由函數(shù)的單調(diào)性知<,即是S的上界 又 (不妨設(shè)>0) 要證明 即 事實上 由有理數(shù)的稠

3、密性 補：敘述無界函數(shù)的定義 并證明為（0，1）上的無界函數(shù)。 例4：設(shè)S為非空有下界數(shù)集，證明：例5：設(shè)A、B皆為非空有界數(shù)集，定義數(shù)集：證明：五、無界函數(shù)的定義回憶有界函數(shù)定義：函數(shù)有界無界函數(shù)：函數(shù)無界6、 例6：證明為（0，1）上的無界函數(shù)。思考：證明確界原理第二講 數(shù)列極限1、 極限定義定義1：考察數(shù)列或函數(shù)變化趨勢當(dāng)n越來越大趨向于無窮時，相應(yīng)的數(shù)列的值無限趨向于一個固定的常數(shù)a 定義2：當(dāng)n越來越大趨向于無窮時，充分?。o限趨向于零）定義3：語言當(dāng)n>N時，有有以 為例進(jìn)行說明思考：0.999=1二、極限的基本性質(zhì) （1）有界性：函數(shù)極限的局部有界性： 有 （2）迫斂性：（

4、兩邊夾定理）函數(shù)極限的迫斂性： 設(shè)且，則 例1：驗證： 基本思想：放縮法解不等式，關(guān)于n 例2：驗證極限：定義 方法：令a=1+r 例3：求極限 （1）（=10） ()，a>0思考p5.例5（）a>0若a>1，令,則 =1+n(-1) （兩邊夾）思考 （定義） k=+1即可 （兩邊夾）（2） （=1） 證：n>2 : （3） （=0） （4） （=1） 基本思想1、放縮 2、兩邊夾 3、不等式性質(zhì)的靈活運用，例如幾何平均小于算術(shù)平均、Cauchy-schuaz不等 式、裂項法、等差等比數(shù)列求和、錯位相減等。 （5） （6） 2= 例4：設(shè)證明（=M） 例5：已知證明 方

5、法：利用數(shù)列本身極限或子列的極限構(gòu)造兩邊夾 例6：證明：已知則 思想：當(dāng)n足夠大時（n>N）: 成立（不用亦可） 三、數(shù)列極限存在的條件定理1：（單調(diào)有界原理）有界的單調(diào)數(shù)必有極限 證明：以單調(diào)遞增為例 設(shè)單調(diào)遞增有上界 則由確界原理，可設(shè) 下證 ，由上確界定義 又對, s.t. 注意到單調(diào)遞增，故當(dāng)n>N時，有 從而 即 證畢定理2：任何數(shù)列都存在單調(diào)子列。 P39/例5 自看定理3：（致密性定理，又稱緊性定理）任何有界數(shù)列必有收斂的子列例7：證明：若且，則 求極限方法 設(shè) 定理4：柯西收斂準(zhǔn)則注：理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題 證明思想：定義 Cauchy條件有界性致密性

6、 再利用Cauchy條件學(xué)生自證 驗證極限存在的優(yōu)越性，不需知道極限值a，只需從數(shù)列本身性質(zhì)出發(fā)即可 特別對抽象數(shù)列有效例8：證明收斂， 練習(xí)：P42/11 重點思考用什么方法證明極限存在 平均值不等式單調(diào)性有界性 P43/5 極限定義 P43/6 有上界 對用Cauchy準(zhǔn)則 P43/9 按Cauchy準(zhǔn)則敘述發(fā)散的充要條件思考：無限項無窮小之和仍為無窮?。?無限項無窮小之積仍為無窮?。?例9：給定兩正數(shù)與(>),作出其等差中項與等比中項,一般地，令證明：與皆存在且相等例10： 例11：滿足：存在正數(shù)M，對一切n 有 證明：數(shù)列與都收斂 例12：按柯西收斂準(zhǔn)則敘述數(shù)列發(fā)散的充要條件，并

7、用它證明下列數(shù)列發(fā)散第三講 實屬完備性（連續(xù)性）考慮：任一實數(shù)列若收斂，必收斂于某一實數(shù) 任一有理數(shù)列若收斂，必收斂于某一有理數(shù)實屬完備性的六大定理1、 確界原理2、 單調(diào)有界原理3、 區(qū)間套原理4、 有限覆蓋定理5、 聚點定理（緊性定理）6、 柯西收斂準(zhǔn)則1、 區(qū)間套原理（1）區(qū)間套的定義 設(shè)滿足： 則稱,是閉區(qū)間套 注：（2）閉區(qū)間套定理 設(shè)是閉區(qū)間套，唯一，使得,n=1，2，.即唯一 證明：（利用單調(diào)有界原理）注意：必須是閉區(qū)間，開區(qū)間套結(jié)論不一定成立。反例： 推論：當(dāng)n足夠大： （3） 例1：用閉區(qū)間套定理證明連續(xù)函數(shù)根的存在性定理 證明：設(shè)f在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)<

8、0 構(gòu)造閉區(qū)間套 令=a,b 取中點，若f()=0，證畢 若f()0，則必與f(a),f(b)中一個異號 不妨設(shè) 令 為此繼續(xù)下去得且滿足 （1）, n=1,2,. （2） （3） ,n=1,2. 故由區(qū)間套定理且 又f在連續(xù)故由（3）知 討論： 1、P171/3設(shè)是一個嚴(yán)格開區(qū)間套 即，證明：證明：利用閉區(qū)間套定理 ， n=1,2.(*) ,n=2,3. 即 , n=1,2,. 唯一性也由（*）式得到 2 、利用閉區(qū)間套定理證明有界數(shù)列必有收斂子列（進(jìn)行定理）證明：設(shè) ,n=1,2. 取中點,則或中至少有一個 區(qū)間包含中無窮項，記之為 ,如此下去，得 由區(qū)間套定理知，1 且 在中多取中的一項

9、 則 再由兩邊夾定理知 3 、利用區(qū)間套定理證明確界原理 證明：設(shè)S為非空有界M的數(shù)集構(gòu)造區(qū)間套，使不是S的上界，是S的上界先定第一個區(qū)間：設(shè)但不是S的上界（否則） 二等分： 下證的構(gòu)造）,由 注意不是S的上界，故也不是S的上界 即為S的最小上界思考：什么是連續(xù)？ 2、 聚點定理（1）聚點的定義 定義1：若的任意領(lǐng)域內(nèi)有S中的無窮多個點，則稱是S的一個聚點 定義2：若的任意領(lǐng)域內(nèi)有S中異于的點，則稱是S 的一個聚點 定義3：若，則稱是S的聚點（2） 聚點定理 實軸上任一有界無限點集S必有聚點（推論：致密性定理：任一有界集必有收斂列）證法一：利用定義及緊性定理 設(shè)S是有界無限點集，故可在S中去兩

10、兩互異的有界點列 ,由緊性定理知 子列 （） 故 ,s.t 即 的-領(lǐng)域內(nèi)含有S中無限項證法二：利用區(qū)間套定理 S有界， 二等分，必有一半有S中無限多點，證區(qū)間記為 . （推論）可直接證的領(lǐng)域內(nèi)有無限多個S中的點 例：f在I上連續(xù)，EI有界閉集，證明f(E)也閉（3） 例1：證明數(shù)集有且只有兩個聚點和3、 有限覆蓋定理 （1）開覆蓋的定義：設(shè)，H為開區(qū)間集合若S中任一點都含在H的某個開區(qū)間（元素）里，則稱H為S的一個開覆蓋 注：若H中有無限多個開區(qū)間，稱H為無限開覆蓋 若H中只有有限多個開區(qū)間，稱H為有限開覆蓋 任意數(shù)集S總有有限開覆蓋 （2) 有限覆蓋定理 設(shè)H為閉區(qū)間a,b一個開覆蓋，則從

11、H中可選出有限個開區(qū)間覆蓋a,b證明：反證法，用區(qū)間套找矛盾（具有何性質(zhì)） a,b 二等分必有一個不能用H中的有限個開區(qū)間覆蓋，該區(qū)間記為. , s.t. 對,: 矛盾 證畢注：上述定理只對a,b成立，開區(qū)間（a,b）不一定成立 反例： ,但無有限覆蓋例2、用覆蓋定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理 證明：思路：有限個區(qū)間覆蓋（a,b）且在每個區(qū)間上f 有界有界 即構(gòu)造f(a,b)的開覆蓋 對 ,由f 的連續(xù)性局部有界 ,s.t. 令 H= 則,由有限覆蓋定理知有限個區(qū)間 i=1,.m, s.t a,b ，且 , 令,則 思考：定理中a,b為何不能是開區(qū)間（a,b） 用有限覆蓋定理證明閉區(qū)間上

12、連續(xù)函數(shù)的有界性4、 總結(jié)實屬完備性定理的等價性1 確界原理2 單調(diào)有界原理3區(qū)間套定理4有限覆蓋定理5聚點定理6 柯西收斂準(zhǔn)則1 確界原理思考：P171/1118、 有限覆蓋聚點定理 從局部到整體 從整體到局部反證：（S有界無限點集）設(shè)a,b中任一點都不是聚點則內(nèi)至多S中有限個點令H=開覆蓋，與S無限集矛盾9、 聚點定理Cauchy收斂準(zhǔn)則 設(shè) 已證11、 有限覆蓋一致連續(xù)性 連續(xù) ,s.t. 令H= 令 則, 設(shè) ,即 此時， 10、 有限覆蓋根的存在性 證明：反證 設(shè)f在a,b上連續(xù)，f(a)f(b)<0 但 則由f連續(xù)， ,s.t. f(x)在上的值與f(x)同號 令H= 則H是

13、a,b的一個開覆蓋，故a,b存在有限覆蓋 即 可設(shè)互不包含 不妨設(shè) 故 上處處同號f(a)f(b)>0 矛盾 例1：舉例說明：在有理數(shù)集內(nèi)，確界原理、單調(diào)有界原理、聚點定理、柯西收斂準(zhǔn) 則一般都不成立 例2： 問： （1）H能否覆蓋（0，1）？ （2）能否從H中選出有限個開區(qū)間覆蓋（i）（0，），（ii）()? 例3：證明：閉區(qū)間a,b的全體聚點的集合是a,b本身 例4：設(shè)為單調(diào)數(shù)列，證明：若存在聚點，則必是唯一的，且為的確界 例5：利用有限覆蓋定理證明聚點定理 例6：利用聚點定理證明柯西收斂準(zhǔn)則 例7：利用有限覆蓋定理證明根的存在性定理 例8：利用有限覆蓋定理證明一致連續(xù)性定理 5、

14、一致連續(xù)性 （1）定義 在區(qū)間上一致連續(xù)： （2）定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定一致連續(xù) 即：若f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f在a,b上一致連續(xù) 證明：若非一致連續(xù)，則 但 ,n=1,2. 由有界子列 ,s.t. 故 注意到 故由連續(xù)性 矛盾 （3）應(yīng)用 例1:證明： 令 ，則（1）f（x）在，1上一致連續(xù)（0） （2）f ( x ) 在（0，1上非一致連續(xù) 例1：證明：在0，）上一致連續(xù) 證： 例2：設(shè)f(x) 在a,)連續(xù)，且存在，則f(x) 在a,)上一致連續(xù) 例3：證明在（0，）上一致連續(xù) 例4：f(x) 在（a,b）上連續(xù)，則f在（a,b）上一致連續(xù)f(a+0)、f(b-0)存在 證：

15、f在a,b上一致連續(xù) 當(dāng) 例5:設(shè)f,g在區(qū)間上一致連續(xù)，則（1）若是有限區(qū)間，則f,g在上一致連續(xù)； （2）若是無限區(qū)間，則f,g不一定一致連續(xù) 6、 上極限、下極限 1、 定義1: 有界點列的最大（?。┚埸c()稱為的上極限、下極限，記為 = , = 顯然 定義2：子列極限中最大的稱為上極限2、 定理：=A=3、 定理：為上極限= 為下極限=4、 習(xí)題P175微元法思想及應(yīng)用1、 定積分定義2、 定義導(dǎo)數(shù)的直接問題可積有界什么樣的函數(shù)可積？簡述結(jié)果，另外詳細(xì)介紹3、 微元法思想從定義產(chǎn)生、本質(zhì)上就是定義，但為方便起見，將定義中的四步合并為二步第一步：選定微元，計算微元產(chǎn)生的相應(yīng)數(shù)？（如面積、

16、體積、功、引力等）第二步：積分 4、 利用微元法思想給出計算公式（初涉微元法） 1、平面圖形的面積 2、立體的體積（二重、三重積分） 3、旋轉(zhuǎn)體的體積 4、弧長公式 5、曲線積分 6、曲面積分5、 物理應(yīng)用（超越微元法）P2622666、 微元法思想的意義（總結(jié)）7、 研究微元法 問題：微元替代的合理性第四講 可積性理論1、 可積的必要條件 1. 定義： 兩個任意 2 定理1：若函數(shù)f在a,b上可積，則f在a,b上必定有界 證明：（用反證法）若f在a,b上無界，則分割T，必 S,t, 無界，即M>0, ,s.t 現(xiàn)在上任取 ,并記 于是 > M - G 這與f可積矛盾2、 例1 有

17、界不一定可積。（反例/：)2、 可積的充要條件 1 上和、下和的定義： 設(shè)為對a,b的任一分割。由f在a,b上有界，它在每個上存在上、下確界： 作和： ，分別稱為f關(guān)于T的上和與下和（或稱達(dá)布上和與達(dá)布下和，統(tǒng)稱達(dá)布和）。任給，顯然有：引入振幅的概念 設(shè)為a,b的一個分割 由可積必要條件f在a,b，當(dāng)然在每個上有界 令 , ,i=1,2,.,n 振幅 定理1：f在a,b上可積分割T： 證明：兩邊夾 例1 D(x)定理2：f在a,b上可積 P235-239 必須討論分割T的性質(zhì) P235 性質(zhì)1，性質(zhì)定理3：f在a,b上可積振幅不小于的子區(qū)間，長度之和小于4、 可積函數(shù)類 （a,b）1、連續(xù)函數(shù)

18、可積（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)）2、a,b上只有有限個間斷點的有界函數(shù)可積3、a,b上的單調(diào)函數(shù)可積（允許有可數(shù)多個間斷點）例2、P213 ，在0，1上可積且思想：R在0，1及一切無理點處連續(xù) 在（0，1）上有理點處間斷思考：可積函數(shù)類的共同點：間斷點不能太多 幾乎處處聯(lián)系的函數(shù)可積5、 習(xí)題P2151 證明：若是T增加若干個分點后所得的分割，則。證明：不妨設(shè)只增加了1個分點，將T中第k個小區(qū)間分成了兩個小區(qū)間 則 =3、設(shè)f,g均為定義在a,b上的有界函數(shù)，僅有限個點處f(x)g(x)，證明：若f在a,b上可積，則g(x)在a,b上也可積，且。證明：設(shè)且 現(xiàn)，取T為第一個小區(qū)間長度為的分割 由f在

19、a,b上可積f在上可積 故 從而4、 f在a,b上有界，證明：若f在a,b上只有為其間斷點，則f在a,b上可積。證明：設(shè) 不妨設(shè)a<c<b且 則f 在上只有有限個間斷點 故f 在上可積 對上述的分割T，s.t. 故存在a,c的一個分割, s.t 同理存在c,b的分割，s.t 故對 有 從而 f 在 a,b上可積。7、 設(shè)函數(shù)f 在a,b上有定義，且對任給的>0,存在a,b上的可積函數(shù)g，使，證明：f在a,b上可積。 證明： 又由g 在a,b上可積，知：a,b的一個分割T，s,t 注意到 ,有 即 從而 證畢第五講 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)1 令 ，表示的前n項和 若 存

20、在，則稱收斂，并且收斂于S，記成 2 收斂性的判斷： 數(shù)列收斂數(shù)項級數(shù)收斂 數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則數(shù)項級數(shù)的柯西準(zhǔn)則 定理1:收斂 定理2：利用數(shù)列的單調(diào)有界原理正項級數(shù)的收斂性 M-判別法，比較原則 設(shè)，是兩個正項級數(shù)，若 則(1)收斂收斂 (2)發(fā)散也發(fā)散 注意：比較原則的極限形式（） 比值判別法、根式判別法及其它們的極限形式 交錯級數(shù)：萊布尼茲判別法 絕對收斂性：（阿貝爾判別法、狄利克雷判別法）2、 函數(shù)列及其收斂性/ 數(shù)列函數(shù)列 函數(shù)列： （ 數(shù)列） 若收斂，則稱函數(shù)列在處收斂。 若在D上每一點處都收斂，則稱函數(shù)列在D上收斂。 由于在處對應(yīng)一個值，故 的和是D上的函數(shù)，記為f(x), 也稱

21、在D上收斂于函數(shù)f(x)，記作： 函數(shù)列在D上收斂于函數(shù)f(x) 即 例1：設(shè),為定義在R上的函數(shù)列證明：的收斂域為 （-1，1 證明：（1）:數(shù)列收斂于 （2）或x>1：數(shù)列發(fā)散例2：設(shè),則，證：三、函數(shù)列的一致收斂性 定義：在D上一致收斂于f(x) 記為：例3：0（,）注：以下一致收斂符號都用“”表示四、函數(shù)列一致收斂的判斷 定理3：函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則（Cauchy準(zhǔn)則） 函數(shù)列在D上一致收斂 （*） 證明：設(shè)在D上收斂于f 由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則， 在（*）中固定n，令于是當(dāng)n>N時， 由定義 定理4： 證明： 故 從而 故 從而例4： 五、內(nèi)閉一致收斂：設(shè)、f(x)定義

22、在數(shù)集D上，若，則稱在D上內(nèi)閉一致收斂于f(x)例5： 在（0，1）上非一致收斂于f(x)=0 在（0，1）上內(nèi)閉一致收斂于f(x)=0證明：（1） （2）六、討論P37/1，2七、函數(shù)項級數(shù)及一致收斂性函數(shù)項級數(shù)部分和函數(shù)列點點收斂：一致收斂：例6、 即函數(shù)項級數(shù)在（-1，1）上收斂于和函數(shù)f(x)=一致收斂嗎？ ？ ？八、數(shù)項級數(shù)一致收斂性判斷 1、柯西準(zhǔn)則 Th13.3:在D上一致收斂 2、sup準(zhǔn)則Th13.4:在D上一致收斂于S(x) 記 的余項 例7、 3、M-判別法Th13.5：定義在D上，為正項級數(shù)且收斂 若 則 在D上一致收斂 證明：用柯西準(zhǔn)則例8、在R上均一致收斂 注：常用

23、收斂正項級數(shù)4、 Abel判別法： ， Th13.6:設(shè)（1）在區(qū)間I上一致收斂 （2）單調(diào) （3）在I上一致有界，即 則在I上一致收斂 證明：柯西準(zhǔn)則 (2)(3) 3M 引理P245、 Dirichlet判別法 Th13.7：（1）的部分和函數(shù)列在I上一致有界； （2）單調(diào)； （3） 則在I上一致收斂 證明：用Th13.6+柯西準(zhǔn)則 例9、在0，1上一致收斂 Abel九、練習(xí)P37，38十、函數(shù)列一致收斂的性質(zhì)Th13.9(連續(xù)性)若函數(shù)列在區(qū)間I上一致收斂于f,且連續(xù)，則其極限函數(shù)f(x) 在I上也連續(xù)，即證明：（1）先證明 存在 ，顯然 （2）再證 存在 利用柯西準(zhǔn)則： （3）設(shè) 下證

24、 Th13.10（可積性）：設(shè)在a,b上連續(xù)，且 則證明：（1）在I上連續(xù)在a,b上可積 （2）Th13.11（可微性）：設(shè)（1）的每一項在a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)； （2）收斂， （3）在a,b上一致收斂 則 證明： 存在 故可令 即11、 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的性質(zhì) Th13.12（連續(xù)性）在a,b上一致收斂且在a,b上連續(xù) 則在a,b上也連續(xù) Th13.13（逐項求積）在a,b上一致收斂且連續(xù) 則 Th13.14（逐項求導(dǎo)）（1）連續(xù)可導(dǎo) （2）收斂， （3）一致收斂 則例：設(shè)證明：（1）在a,b上一致收斂 （2）討論和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性證：（1）M-判別法 （2）在0，1上連續(xù)，故

25、和函數(shù)連續(xù)且可積 又 故一致收斂且收斂 從而和函數(shù)也可微。12、 練習(xí)P45-46 2、（1）證：（2）證： 3、（1）x=1:常數(shù)列收斂 等比數(shù)列收斂 （2）由連續(xù)性知f(1)=0 f(x)=0 4、可積性定理： 設(shè)（1） （2） 可積 則f可積 證明：估計 5、Abel判別法 6、每個小區(qū)間長度不超過的分割T 7、 由 對上述 故 總練習(xí)題1、 證明（1）若f在I 上有界，則至多除有限項外在I上一致有界。 （2）若，且對每一個正整數(shù)n，在I上有界，則在I上一致有界。2、 設(shè)f為上的連續(xù)函數(shù)，證明： （1）在上收斂。 （2）在上一致收斂的充要條件是f(1)=0。3、 設(shè),且，證明f在a,b上也可積。4、 。5、 ，證明：報告題目（參考）1、 實屬完備性理論的基礎(chǔ)及應(yīng)用5*