濟(jì)南大學(xué)高等數(shù)學(xué)下歷年考題答案.ppt

1、濟(jì)南大學(xué)濟(jì)南大學(xué)20112012學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（A卷）卷） 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A（二）（二） 0 xCxCsincos21 3 6421012 rir CABBA xzyxsin2yxyzcos2 yxz2yxcos2yxyzsin222 1、0lnlnydyxxdxyeyx1|3 3計(jì)算題：求微分方程計(jì)算題：求微分方程滿足初始條件滿足初始條件的特解的特解. .dyyydxxxlnln )(lnln)(lnlnyydxxdCxy 2)(ln2)(ln22分離變量分離變量積分積分即即代代入入上上式式，將將eyx 1|21 C特解為特解為1)(ln)(ln22 x

2、y4. 4. 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)0) 1(nnxn的收斂域及和函數(shù)的收斂域及和函數(shù). .解解nnnaa1lim 12lim nnn1 1 R故收斂故收斂區(qū)間區(qū)間為為(-1,1)故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1),1- 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, )1()1(-0 nnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x發(fā)散發(fā)散;發(fā)散發(fā)散, )1(0 nn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 0)1()(nnxnxs 01)(nnx)(01 nnx)1( xx2)1(1x 1 nan1Ddxdyyx)6(Dxy xy51x，其中，其中是由是由，和和所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .01xy xy5 10dx xxdyyx5)6( Ldyyxxydxxyxy

3、)3sin21()cos2(. 22223L22yx)0, 0() 1 ,2(，其中，其中是拋物線是拋物線上從點(diǎn)上從點(diǎn)到點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧的一段弧. . xQ解解yP 26cos2xyxy Ldyyxxydxxyxy)3sin21()cos2(2223積積分分與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān))1 ,2()0 ,2()0 , 0(21 BAOLL選選取取積積分分路路徑徑 21)3sin21()cos2(2223LLdyyxxydxxyxy 102220)2(32sin21 0dyyydx 2, 0, 0:1 xyL1 , 0,2:2 yxL 42 zdxdydzdxydydzx33. 3922 yx30 z，其

4、中，其中是圓柱體：是圓柱體：，的整個(gè)表面的外側(cè)的整個(gè)表面的外側(cè). . 解解 所圍成的空間區(qū)域?yàn)樗鶉傻目臻g區(qū)域?yàn)橛浻浝酶咚构嚼酶咚构絲dxdydzdxydydzx33dxdydzyx )133(22 302302013)(dzrrdrd）（柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo) ),(vufuvvufvufvu),(),(),()(2xxfexyx五、應(yīng)用題五、應(yīng)用題（1010分）設(shè)分）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足. . 求求所滿足的一階微分方程，并求其通解所滿足的一階微分方程，并求其通解. .求求導(dǎo)導(dǎo)，兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于等等式式xxxfexyx),()(2 解解),(),(),(2-)(2

5、2xxfxxfexxfexyxxxx uvvufvufvu ),(),(由由2),(),(xxxfxxfxx 得得xxexxxfexy222),(2-)( xexyy222 即即2)( xPxexxQ22)( )()()(xxQCyxxPxxPdee dd 一階線性微分方程一階線性微分方程xexyy222 即即2)( xPxexxQ22)( dee d222d2xexCyxxx 一階線性微分方程一階線性微分方程d22xxCex 332xCex 濟(jì)南大學(xué)濟(jì)南大學(xué)20102011學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（A卷）卷） 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A（二）（二） 2 4xxececy22

6、1 22 022 rr CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程BA CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程BDB11 yxy dxxPdxxPeCdxexQy)()()( dxxdxxeCdxe11xCdxx1 Cxxx ln1xyzarctanyzxz,，求2、 xzFy ,xyexzFFyzzzy 0 xyzezyzxz,，求求 ),(22yxxyfzxzyz3、已知、已知，求，求212 fxyfZx 212 f yxfZy 解：解：教材章節(jié)課后習(xí)題教材章節(jié)課后習(xí)題8是類似的題是類似的題Dydxdy,1,01yx yxyy及，其中，其中是由直線是由直線所圍成的平面區(qū)域所圍成的平

7、面區(qū)域. .10 xy四、計(jì)算下列積分（每小題10分，共30分）Dydxdy解：解： 110yyydxdy 10)1(dyyyy21 1、L922 yxLyxxxyxyd)4(d)22(22、設(shè)為取正向的圓周，計(jì)算曲線積分22 xyP解：解：42 xxQLyxxxyxyd)4(d)22(2dxdyD )2(DL所所圍圍成成的的封封閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉橛浻?-18 dxdyxzdzdxydydzxI)(22) 10(22zyxz3、計(jì)算曲面積分，其中為拋物面取下側(cè).解：解：)1(1:221 yxz補(bǔ)補(bǔ)充充)(上側(cè)上側(cè)曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, , 為利用高斯公式為利用高斯公式1.1 圍圍成

8、成空空間間區(qū)區(qū)域域 ,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 dvyx)122(022 ydvxdv（由對(duì)稱性）（由對(duì)稱性） dv上上式式 110202rdzrdrd 21 1)(22dxdyxzdzdxydydzxdxdyxzdzdxydydzxI)(22) 10(22zyxz3、計(jì)算曲面積分，其中為拋物面取下側(cè).解：解：1 21 . 1:1 z對(duì)于對(duì)于0投投影影為為和和向向xozyoz 11)()(22dxdyxzdxdyxzdzdxydydzx 1)(22dxdyxzdzdxydydzx Ddxdyx)1(0 Dxdxdy由對(duì)稱性由對(duì)稱性 2-)(22 dxdyxzdzdxydydzx11nn

9、nx112nnn五、（10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)；并求的值. 1-1)(nnnxxs)(1 nnx)(1 nnx)1( xx211）（x 112nnn4)21( s解解nnnaa1lim 12lim nnn1 1 R,1- 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(-11 nnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x發(fā)散發(fā)散;發(fā)散發(fā)散,1 nn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1) CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程),(yx )0 ,2( x)2 , 0(yyxxxydd22yxO),( yxu),(yxu六，六，2.驗(yàn)證驗(yàn)證在整個(gè)在整個(gè)平面內(nèi)是某一函數(shù)平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求一

10、個(gè)的全微分，并求一個(gè)yPxxQ 2是是某某個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分面面內(nèi)內(nèi)在在整整個(gè)個(gè)dyxxydxxoy22 解解)0 ,(xA),(yxB取積分路徑，如圖：取積分路徑，如圖： ),()0,0(22),(yxdyxxydxyxu則則 OAydyxdxxy22 ABydyxdxxy22yxdyxy202 CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程濟(jì)南大學(xué)濟(jì)南大學(xué)20092010學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（A卷）卷） 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A（二）（二） xyeyzz ydyxdx22 02 DLdxdyyxydxxdyxy)(2222 10220rdrrd CH10微分

11、方程與差分方程微分方程與差分方程伯努利方程伯努利方程2ddyxyxy 整整理理成成11dd12 yxxyy化為化為則化為線性方程則化為線性方程1 yz做變換做變換11dd zxxzxyyxzdddd2 de ) 1(e dx1dx1xCzxx xd)1(x1 xC 2x1 2xC 2x1 y12xC 21 C代入初始條件代入初始條件221y2xx CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程CDC CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程BB1.1.設(shè)設(shè)yxzyxz2sin，求 xzyxcosy1 yxz221y yxcos yxsin )(2yx y1 0圍圍成成。其其中中計(jì)計(jì)算算xyx

12、yDxydD , 2, 0:,. 2 2 20dx xxydy0 xy 2 x 20 xdx xydy0 2032dxx8 zdS計(jì)算計(jì)算. 3的的部部分分在在是是錐錐面面曲曲面面1022 zyxz1:22 yxDxoyxy面面投投影影為為在在 zdS,22yxxzx ,22yxyzy dxdydxdyzzdSyx2122 xyDdxdyyx222 10202rdrrd .0,)(. 42222222）的的上上側(cè)側(cè)（為為上上半半球球面面計(jì)計(jì)算算 zazyxdxdyzyx222yxaz 取取上上側(cè)側(cè)，方方程程為為 dxdyzyx)(222222:ayxxoy 面面投投影影為為在在 2222ayx

13、dxdya4a )0,(2 ,2 ,2zyxzyxxyzV8 xyzzyxL8),()(1222222 czbyax 333cba,xyzV8338abc 解：解：則則內(nèi)接長(zhǎng)方體的相鄰邊長(zhǎng)為內(nèi)接長(zhǎng)方體的相鄰邊長(zhǎng)為其體積為：其體積為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求得（求得（x x，y y，z z）= =四四 1. 1. 在已給的橢球面在已給的橢球面1222222 czbyax內(nèi)的一切內(nèi)接長(zhǎng)方體內(nèi)的一切內(nèi)接長(zhǎng)方體。（各邊分別平行于坐標(biāo)軸）中，求其體積最大者。（各邊分別平行于坐標(biāo)軸）中，求其體積最大者。),(zyx是該橢球面上位于第是該橢球面上位于第卦限的任一點(diǎn)卦限的任一點(diǎn)設(shè)設(shè)2.求由拋物面求由

14、拋物面z= x2+y2 和和 平面平面z=4所圍的均勻立體所圍的均勻立體（體密度（體密度1）關(guān)于）關(guān)于Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.xyz04Dxyz=4z= x2+y2 vIzd)(22yx 將將 向向 xy 平面投影平面投影. D: x2+y24 444222222zyxxyxx 42244222222dyddyxxxzzxyxI的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)五五，求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnx 1解解nnnaa1lim nnn1lim 1 R故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1),1- 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(-1 nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散,1 nn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 1)(nnnx

15、xs)(1 nnxx 11nnnxx)(1 nnxx 2xx 1nnxxx 1)1( xxx21xx )(22yxfz02222yzxz0)()( uufuf, 1) 1 (, 0) 1 (ff六、六、（8 8分）設(shè)函數(shù)分）設(shè)函數(shù)f (u)在在(0,+ )內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式滿足等式 驗(yàn)證驗(yàn)證 若若求函數(shù)求函數(shù)f (u)的表達(dá)式的表達(dá)式. .解解)(22yxfz 22)(yxxufxz 22222222222)()(yxyxxxyxufyxxufxz 22222222)()()(yxyxyufyxxuf 22222222)()()(yxyxyufyxxuf 2222

16、2222)()()(yxyxxufyxyuf 2222yzxz 22)(yxyufyz 22222222222)()(yxyxyyyxufyxyufyz 22222222)()()(yxyxxufyxyuf uufuf)()( 02222 yzxz0)()( uufuf)(22yxfz02222yzxz0)()( uufuf, 1) 1 (, 0) 1 (ff六、六、（8 8分）設(shè)函數(shù)分）設(shè)函數(shù)f (u)在在(0,+ )內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式滿足等式 驗(yàn)證驗(yàn)證 若若求函數(shù)求函數(shù)f (u)的表達(dá)式的表達(dá)式. .解解 令令y=y=f (u)01 yuy)()(uPuy 令

17、令pdudpy 則則代入原方程代入原方程, , 得得pup1 分離變量分離變量uuppd1d 積分得積分得 ln|p|=-ln|u|+lnC所以所以 pu=C1即即1ddCuuy 解得解得21|lnCuCy 即即21|ln)(CuCuf , 1)1( f由條件由條件11 C, 0)1( f由由條條件件02 C)0(ln)( uuuf CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程濟(jì)南大學(xué)濟(jì)南大學(xué)20082009學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（A卷）卷） 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A（二）（二） 2120) 2() 1(2) 1(2 zyyxx 2 nnxxxx)1()1()1()1()

18、1(132 CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程CAD CH10微分方程與差分方程微分方程與差分方程BD22yxz)2, 1 , 1 ( 曲面曲面在點(diǎn)在點(diǎn)處的切平面方程為處的切平面方程為 0),(),(),( zyxfzyxFyxfz特特殊殊地地： 1, yxffn0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx0)2()1(2)1(2 zyyxxxxf1)() 1( x函數(shù)關(guān)于的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為_(kāi) . )1(111 xx)1 , 1()1(11132 nnxxxxx nnxxxx)1()1()1()1()1(13222444yxyxzdz22xz1.設(shè)

19、函數(shù)設(shè)函數(shù)，求，求 dzdyyzdxxz dyyxydxxyx)84()84(2323 2384xyxxz 2222812yxxz 三、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全微分（每小題求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全微分（每小題8分，共24分）),(yxzz ),(zyxxyzfzfxzyz3.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)是由方程是由方程所確定，其中所確定，其中具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求和和公式法公式法),(),(zyxxyzfzzyxF ,21ffyzFx .121ffxyFz ,12121ffxyffyzFFxzzx 解解,21ffxzFy ,12121ffxyffxzFFyzzy Ddxdyyx)23(D

20、2 yx四、計(jì)算下列積分四、計(jì)算下列積分（每小題（每小題1010分，共分，共4040分）分）(1) ，其中，其中是由兩坐標(biāo)軸及直線是由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成所圍成 的閉區(qū)域的閉區(qū)域22Ddxdyyx)23( xdyyxdx2020)23( xdyyxdx2020)23(Dyxdxdye22D422 yx，其中是由圓所圍成的閉區(qū)域 (2) Dyxdxdye22 20202 ded 20220221 ded).1(4 e dvzyx222zzyx22223) , ,其中其中是由不等式是由不等式所確定所確定. .解解,cos2 r,20,20,cos20: r cos203020222sin2drrd

21、ddVzyx58 cos2030202sindrrdd cos20302sin2drrd 204cos4sin2 dLyxydxxdy22L1422 yx(4) ，其中，其中是橢圓是橢圓的逆時(shí)針?lè)较虻哪鏁r(shí)針?lè)较?0 , 0(L解：解：因?yàn)橐驗(yàn)樵谇€在曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)，故不能直接用格林公式。所圍成的區(qū)域內(nèi)，故不能直接用格林公式。222:ryxlrllD以原點(diǎn)為中心作曲線以原點(diǎn)為中心作曲線（取逆時(shí)針?lè)较颍?，選擇適當(dāng)?shù)模ㄈ∧鏁r(shí)針?lè)较颍?，選擇適當(dāng)?shù)氖沟们€使得曲線全部含在曲線全部含在曲線圍成的區(qū)域內(nèi)，記曲線圍成的區(qū)域內(nèi)，記曲線與與共同圍成的區(qū)域?yàn)楣餐瑖傻膮^(qū)域?yàn)長(zhǎng)L,)(),(22yxyyxP .)

22、(),(22yxxyxQ DyPxQ，內(nèi)有內(nèi)有恒成立，恒成立， 02222 lLyxydxxdyyxydxxdy lLyxydxxdyyxydxxdy2222 2)sin(cos202222 drr的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)五五，求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))1(21)12( nnxn)()(lim1xuxunnn |)12()12(|lim222 nnnxnxn2x 解解收斂收斂, , 12 x當(dāng)當(dāng),1時(shí)時(shí)即即 x, 12 x當(dāng)當(dāng)，發(fā)散，發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 1)12(1nnx故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)五五，求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))1(21)12( nnxn 1

23、22)12()(nnxnxs 112)(nnx 112)(nnx 123112nnnxxxx21xx )1(2 xx222)1(1xx 解解六（六（8分）求函數(shù)分）求函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf的極值的極值 22yxz)2, 1 , 1 ( 曲面曲面在點(diǎn)在點(diǎn)處的切平面方程為處的切平面方程為 0),(),(),( zyxfzyxFyxfz特特殊殊地地： 1, yxffn0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx),(yxf),(00yx),(yxfxyz )0, 0(1) 函數(shù)函數(shù)在在點(diǎn)可微是點(diǎn)可微是在該點(diǎn)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的在該點(diǎn)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的

24、 （ ） 充分條件充分條件 (B) 必要條件必要條件 (C) 充分必要條件充分必要條件 (D) 既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件(2) 函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)取得極大值取得極大值 (B) 取得極小值取得極小值 (C) 不取得極值不取得極值 (D) 無(wú)法判定是否取得極值無(wú)法判定是否取得極值 處（處（ ）(3),(yxf0),(),(0000yxfyxfyx),(00yxA、),(yxf設(shè)可導(dǎo)函數(shù)設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足滿足則則 ( )是是的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) ),(00yxB、),(yxf是是的駐點(diǎn)的駐點(diǎn) ),(00yxC、),(yxf是是的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) ),(yxfD、),(00yx在在處可微處可微（8

25、分）求函數(shù)分）求函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf的極值的極值 3zyx34. 4. 曲面曲面在任一點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)軸的截距之和為在任一點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)軸的截距之和為 (A) ； (B) 3； (C) 9； (D) 1. . 0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx),(000zyx)(21222000000zyxzzyyxx 3000 zzyyxx0003,3,3zyx歷年考題：歷年考題：去年：去年：交交換換次次序序積積分分 1010223ydxyxdy10yx 112 xy1 10102223xdyyxdx圍成。圍成。其中其中計(jì)算計(jì)算xyxyDxydD , 2,

26、 0:, 02 20dx xxydy0D422 yxDd_為圓形閉區(qū)域?yàn)閳A形閉區(qū)域，則，則Dydxdy,1,01yx yxyy及，其中，其中是由直線是由直線所圍成的平面區(qū)域所圍成的平面區(qū)域. .10 xy LydxxdyxyyxL22221:的的逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?，求求圓圓周周22,xyQyxP LdyyxdxyxaBaAayxL)(), 0()0 ,(:222）（求求的弧段，的弧段，到到的逆時(shí)針?lè)较驈牡哪鏁r(shí)針?lè)较驈难貓A周沿圓周 Ddxdyxy)(22 10220rdrrd xyoLA(a, 0)B(0, a )yxQyxP ,yPxQ 1與路徑無(wú)關(guān) Ldyyxdxyx)(）（ OBAOdy

27、yxdxyx)(）（), 0(, 0 :O (a,0)x , 0 : ayxByAO 0axdxdyyxdxyxa)()(0 00 aydy0dyyxdxyxa)()(0 00的一段。的一段。到到拋物線拋物線沿沿是從是從計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分)1 , 1()0 , 0(,sincos2MxyOLydxeydyeLxx 2xy O)1 , 1(M解：解：yexQyPyeQyePxxxcoscos,sin 積積分分與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān))1 , 1()0 , 1()0 , 0(MAO選取積分路徑選取積分路徑)0 , 1(A)1 , 0(, 1 : A(0,1)x , 0 : yxMyOA AMOA

28、xxLxxydxeydyeydxeydyesincossincos 1010cos0ydyedx1sine .0,)(2222222）的上側(cè)）的上側(cè)（為上半球面為上半球面去年計(jì)算去年計(jì)算 zazyxdxdyzyx222yxaz 取取上上側(cè)側(cè)，方方程程為為 dxdyzyx)(222222:ayxxoy 面面投投影影為為在在 2222ayxdxdya4a zdS去去年年計(jì)計(jì)算算的的部部分分在在是是錐錐面面曲曲面面1022 zyxz1:22 yxDxoyxy面面投投影影為為在在 zdS,22yxxzx ,22yxyzy dxdydxdyzzdSyx2122 xyDdxdyyx222 10202rdr

29、rd 1.微分方程微分方程0yyx的通解為的通解為 Cxy xyxy ddxdxyy d1|ln|lncxy 1|lncxy 1cexy 2.求微分方程)0(,12yxydxdy的特解。xeyarctan21xdxydy Cxy arctan|ln dxxydy211兩邊積分得兩邊積分得 Cxey arctan|Cxey arctanxecyarctan1 21CxeCy21,CC0 yy3.函數(shù)函數(shù)(其中其中是任意常數(shù)是任意常數(shù))是微分方程是微分方程 A.通解通解;（B）特解）特解;（C）是解）是解,但即不是通解也不是特解但即不是通解也不是特解;（D）不是解）不是解C Cyxedxdy 5微

30、分方程的通解為dxedyexy Ceexy 0cos)cos( dyxyxdxxyyx5齊次方程齊次方程的通解為的通解為uxy 令令uxy dxduxudxdy uuudxduxucoscos1 0cos)cos1( dyxydxxyxyudxduxcos1 dxxudu1cos cxu |lnsincxxy |lnsin0yyxCxy 21CxeCy21,CC0 yy)0(,12yxydxdy04級(jí)本科1微分方程的通解為 2函數(shù)(其中是任意常數(shù))是微分方程通解; B.特解; C.是解,但即不是通解也不是特解; D.不是解的特解。3.求微分方程的 c xyy2)sin4cos3(2xxeyxx

31、xeyyy 2；)(10 xBBex；)(10 xBBxex；)(102xBBexx；xBe07-081微分方程5以為一個(gè)特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為 5微分方程的特解形式應(yīng)設(shè)為 （B） （C） (D)的通解為 (A) C)(xf)(xfxdttfxf1)(1)()(xfx)()(xfxf dxxfxdf )()(1)(lnCxxf xCexf )(1)1( f1 eC1)( xexf08-092、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且滿足方程求解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得：得 所以08-091、求極限求極限：xyxyyx11lim01 一一二，二，)(1. 3122222 yxdxdyyx義義可可知知，按按照照二二重

32、重積積分分的的幾幾何何意意 323（1）.【全微分全微分】 全微分各偏微分之和全微分各偏微分之和dvvzduuzdz uvxzxyy(2)xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 三（3） f 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),)(),(確定確定，是由方程是由方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zyxzyxfzyxzz 求.,yzxz 【隱函數(shù)的求導(dǎo)法則】【隱函數(shù)的求導(dǎo)法則】(1)公式法公式法(2)推導(dǎo)法推導(dǎo)法( (直接法直接法)方法步驟方法步驟 x、y、z 等各變量地位等同等各變量地位等同0),( zyxF),(yxzz zxFFxz zyFFyz 搞清哪個(gè)搞清哪個(gè)(些些)是是因變量因變量、中間變量中間變量、自變量自變量；

33、將方程將方程(組組)兩邊同時(shí)兩邊同時(shí)對(duì)對(duì)某個(gè)某個(gè)自變量自變量求求(偏偏)導(dǎo)導(dǎo)；(3)方程方程兩邊求全微分兩邊求全微分(抽象函數(shù)時(shí)不可用)二重積分的計(jì)算方法二重積分的計(jì)算方法 1利用直角坐標(biāo)計(jì)算利用直角坐標(biāo)計(jì)算.) ,() ,( DDdxdyyxfdyxf （1）X-型區(qū)域：型區(qū)域： bxaxyxD ),()( :21 )( )( 21) ,( ) ,(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf.關(guān)鍵：關(guān)鍵：選擇積分次序選擇積分次序)(2xy )(1xy xyoDab（2）Y-型區(qū)域：型區(qū)域： , ),()( :21dycyxyD .) ,() ,()( )( 21 yydcDdxyxfdydxdy

34、yxf xyoD)(1yx )(2yx cd 2利用極坐標(biāo)計(jì)算利用極坐標(biāo)計(jì)算 ),()( :21D DDddfdxdyyxf )sin ,cos() ,( )( )( 21)sin ,cos( dfd 1)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()()(21 rdrrrfd 2)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(0 rdrrrfd 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd2 2、三重積分的計(jì)算、三重積分的計(jì)算.),(),(),(21 xyDyxzyxzdzzyxfdxdy ),(),(21),(zxyzxyDdy

35、zyxfzxxzdd ),(),(21),(zyxzyxDdxzyxfzyyzdd )(),(21zDccdxdyzyxfzd )(),(21xDaadydzzyxfxd dxdydzzyxf),( D(y)bbdxf(x,y,z)dzdy21;,),()1Dzoxyozxoy投投影影域域確確定定上上投投影影或或或或往往坐坐標(biāo)標(biāo)面面把把 直角坐標(biāo)系下三重積分化累次積分直角坐標(biāo)系下三重積分化累次積分:重重積積分分為為三三次次積積分分；的的一一個(gè)個(gè)累累次次積積分分，化化三三再再取取D)3點(diǎn)點(diǎn)為為上上限限。，穿穿入入點(diǎn)點(diǎn)為為下下限限，穿穿出出穿穿過(guò)過(guò)區(qū)區(qū)域域正正方方向向引引直直線線或或或或軸軸上上任

36、任意意一一點(diǎn)點(diǎn)出出發(fā)發(fā)沿沿從從 ),()2yxzD.)4 計(jì)算計(jì)算注：注：相相交交不不多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)情情形形的的邊邊界界曲曲面面的的直直線線與與閉閉區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部）且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域或或軸軸（或或適適用用于于平平行行于于Syxz ,投影穿線法z先二后一法先二后一法先求一個(gè)二重積分再求一個(gè)定積分先求一個(gè)二重積分再求一個(gè)定積分截面法截面法 ;,)121ccz得得投投影影區(qū)區(qū)間間軸軸）投投影影，向向某某坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸（如如把把積積分分區(qū)區(qū)域域 ;,)221zDxoyzccz，得截面，得截面去截去截平面的平面平面的平面軸且平行于軸且平行于用過(guò)用過(guò)對(duì)對(duì) );(,),()3zFzdxdyzyxfz

37、D的的函函數(shù)數(shù)其其結(jié)結(jié)果果為為計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分 21)()4ccdzzF最后計(jì)算定積分最后計(jì)算定積分 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf),(),(21即即xyzozD解解1|,),(222222czbyaxyxDz czc ,2 zDccdxdydzzdxdydzz 2)1()1(222222czbcza ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式1)1()1(22222222 czbyczax(2) 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo).),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) dxdydzzyxf),( .sin)cos,

38、sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf .,sin,coszzryrx ,dzrdrd dv .cos,sinsin,cossin rzryrx dv,sin2 ddrdr DDxDfxDfdxdyyxfdxdyyxfDyDDDDD為為奇奇函函數(shù)數(shù)上上關(guān)關(guān)于于在在為為偶偶函函數(shù)數(shù)上上關(guān)關(guān)于于在在上上可可積積分分，則則軸軸對(duì)對(duì)稱稱，函函數(shù)數(shù)在在關(guān)關(guān)于于與與有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域），且且、設(shè)設(shè)平平面面區(qū)區(qū)域域, 0,),(2),(112121 DDyxDfyxfdxdyyxfdxdyyxfDyxDDDDD為為奇奇函函數(shù)數(shù)或或關(guān)關(guān)于于上上關(guān)關(guān)于于在在為為偶偶函函數(shù)數(shù)且且關(guān)關(guān)于于關(guān)關(guān)于于上上

39、可可積積分分，則則在在軸軸均均對(duì)對(duì)稱稱的的區(qū)區(qū)域域，函函數(shù)數(shù)軸軸、是是關(guān)關(guān)于于有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域），、設(shè)設(shè)平平面面區(qū)區(qū)域域, 0,),(4),(214321 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化三重積分的利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化三重積分的 計(jì)算計(jì)算面面對(duì)對(duì)稱稱的的區(qū)區(qū)域域，是是關(guān)關(guān)于于設(shè)設(shè)三三維維空空間間有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域xoy21 .),(上可積上可積在在 zyxf ,0,),(2),(1為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于，為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于zfzfdvzyxfdvzyxf 上上可可積積，在在在在第第一一卦卦限限部部分分，函函數(shù)數(shù)為為對(duì)對(duì)稱稱的的區(qū)區(qū)域域，是是關(guān)關(guān)于于三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面均均區(qū)區(qū)

40、域域設(shè)設(shè)三三維維空空間間上上的的有有界界閉閉 ),(1zyxf dvzyxf),( ,0,),(81中中某某一一個(gè)個(gè)變變量量為為奇奇函函數(shù)數(shù)至至少少關(guān)關(guān)于于均均為為偶偶函函數(shù)數(shù)，關(guān)關(guān)于于yxzfyxzfdvzyxf yozxxozy例例 用球面坐標(biāo)計(jì)算用球面坐標(biāo)計(jì)算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解畫畫 圖。圖。確定確定 r， ， 的上下限。的上下限。(1) 將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 (2) 任取一任取一,2 , 0 過(guò)過(guò) z 軸作半平面，得軸作半平面，得.0 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 過(guò)原點(diǎn)作過(guò)原點(diǎn)作射線，得射線，得. 1

41、0 rxyzo即即 . 10,0,20 :r dvz2 dddrrr 2 22sincos .cos,sinsin,cossin rzryrx ddrdrdvsin2 例例 計(jì)算計(jì)算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222Rzyx 圍成。圍成。)0( R將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 任取一任取一,2 , 0 過(guò)過(guò) z.40 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 過(guò)原點(diǎn)作射線，得過(guò)原點(diǎn)作射線，得.0Rr 解解軸作半平面，得軸作半平面，得xyzoR .0,40,20 :Rr dvzyx )( 222 dddrrr 2 2sin Rd

42、rrdd044020 sin ).22(515 R （逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳颍?。其其中中、求?2322 yxCyxydxxdyC:)(解：解：)(,)(222222yxxQyxyP 令令時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)022 yx222222)(yxxyxQyP xyD應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式，有有復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域?qū)?duì)于于圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域?yàn)闉楹秃陀浻泝?nèi)內(nèi)的的圓圓周周位位于于作作選選取取適適當(dāng)當(dāng)小小的的則則有有所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域?yàn)闉橛浻?:,),(,11222000DDlCryxlDrDDC 0222222 lCyxydxxdyyxydxxdy)()()(取的是逆時(shí)針?lè)较蛉〉氖悄鏁r(shí)針?lè)较蚱渲衅渲衛(wèi)

43、 2022222222222)sincos()cos(sin)sin(cos)()(rrrdrrdryxydxxdyyxydxxdylC 2021d方法一：的的定定義義域域22arccos),(yxzzyxf 交換次序后等于交換次序后等于dyyxfdxxx 402),(06-071， 2，二次積分 LdsyxxL4,230 , 30則則為為設(shè)設(shè)的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)為為關(guān)關(guān)于于函函數(shù)數(shù)xxy211, 4 處處的的切切平平面面方方程程為為上上點(diǎn)點(diǎn)曲曲面面)2 , 1 , 1(4,522Pyxz 二，二，條性質(zhì)：條性質(zhì)：處的下面處的下面在點(diǎn)在點(diǎn)考慮二元函數(shù)考慮二元函數(shù)4),(),(, 100yx

44、yxf連續(xù)連續(xù)可微可微兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在則有（則有（ ）ABCD5)0 , 0(232的的是是函函數(shù)數(shù)坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)xyyxz A,既是駐點(diǎn)也是極值點(diǎn)既是駐點(diǎn)也是極值點(diǎn)B, 駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)C,極值點(diǎn)但非駐點(diǎn)極值點(diǎn)但非駐點(diǎn)D,既非駐點(diǎn)也非極值點(diǎn)既非駐點(diǎn)也非極值點(diǎn)),(yxfz ),(00yx定理定理2（充分條件充分條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00，

45、Cyxfyy ),(00，3，下列級(jí)數(shù)中，條件收斂的是（，下列級(jí)數(shù)中，條件收斂的是（ ） 131100,1,nnnnBnA 112)1(,sin)1(,nnnnnDnnC）（收收斂斂，則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 121, 4nnnnaa一一定定發(fā)發(fā)散散一一定定收收斂斂,BA收斂性不能確定收斂性不能確定絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,DC）從從幾幾何何上上可可解解釋釋為為（曲曲線線積積分分，設(shè)設(shè) LdsyxPyxP),(, 0),(5一一塊塊柱柱面面的的面面積積一一個(gè)個(gè)曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積BA,的的質(zhì)質(zhì)量量曲曲線線所所做做的的功功變變力力沿沿曲曲線線CDLC,三，計(jì)算題三，計(jì)算題yxzxzyxz 2,t

46、anln, 1求求已已知知解：解：yxyyyxyxxz2sin21.sec.tan12yyxyyxyyxz)2sin()2sin(222 )2(2cos2sin)2sin(222yxyxyyxyxy )2cos22(sin)2sin(22yxyxyxyxy dzdydzdxzyxzyx,10)2(222求求 解解:的函數(shù)的函數(shù)是是zyx,兩邊對(duì)兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) 022201zdzdyydzdxxdzdydzdx zdzdyydzdxxdzdydzdx1由克萊姆法則由克萊姆法則;1111xyyzyxyzdzdx xyzxyxzxdzdy 1111dydzdxdzzyxzyx,10, 2222

47、求求已知已知 四，計(jì)算四，計(jì)算0, 0,| ),(, 1222222 yxbyxayxDdxdyyxDzxyx+y+z=102 2. 計(jì)算計(jì)算, zyxxddd其中其中 是由平面是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域. .D: 0 y 1x, 0 x 1 zyxxddd yxxzxyx101010ddd241 11Dx+y=1 xy yxDzxyx10ddd。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy 解：解：, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)zDyx .10yxz 穿線穿線投影投影,sincos,1 Lxxydxeydye計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分）五，（五，（的的一一段段到到沿沿拋拋物物線線為為從