債券價格波動性的衡量

1、Loading債券價格波動性的衡量債券價格波動性的衡量目錄CONTENTS債券價格與收益率的關(guān)系01債券價格波動性的特點02價格波動性的衡量：基點價格值和價格變化的收益值03價格波動性的衡量：凸性和久期04 NO.01債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系 輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字輸入1文字輸入1文字輸入1文字 輸入文字輸入文字輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字 輸入文字輸入文字p想一想：想一想：到目前為止

2、，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)完了到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)完了債券債券價值價值與與債券收益率債券收益率的計算，思考一下的計算，思考一下這兩者之間有什么關(guān)系？這兩者之間有什么關(guān)系？請看下面的例題并觀察圖表請看下面的例題并觀察圖表，思考總思考總結(jié)規(guī)律。結(jié)規(guī)律。例例1.11.1：一種債券的一種債券的面值為面值為10001000元元，票面利率為票面利率為6%6%，20092009年年1010月月1515日到期，日到期，每年的每年的4 4月月1515日和日和1010月月1515日分別付息一次日分別付息一次，在，在20022002年年1010月月1515日計日計算該債券的價格。要求計算不同的投資者算該債券的價格。要求計算

3、不同的投資者要求的收益率下債券的價格。要求的收益率下債券的價格。1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系收益率收益率息票現(xiàn)值（元）息票現(xiàn)值（元） 面值現(xiàn)值（元）面值現(xiàn)值（元） 債券價格（元）債券價格（元）5.0%350.73707.731058.465.5%344.73684.001028.736.0%338.88661.121000.006.5%333.18639.06972.247.0%327.62617.78945.407.5%322.19597.26919.458.0%316.89577.48894.378.5%311.73558.39870.129.0%306.68539

4、.97846.659.5%301.76522.21823.97表一：表一：1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系5 6 7 8 910501000950900850債券價格（元）收益率（%）圖一 債券價格與收益率的反向關(guān)系1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系由表一中的計算結(jié)果和圖一可知，由表一中的計算結(jié)果和圖一可知，債券價格與收益率存在如下重要關(guān)系：債券價格與收益率存在如下重要關(guān)系：債券價格與其收益率呈反方向變動。債券價格與其收益率呈反方向變動。究其原因，是由于債券的價格是根究其原因，是由于債券的價格是根據(jù)投資者

5、要求的收益率對現(xiàn)金流進行貼據(jù)投資者要求的收益率對現(xiàn)金流進行貼現(xiàn)得到的，當(dāng)貼現(xiàn)率提高時，現(xiàn)金流的現(xiàn)得到的，當(dāng)貼現(xiàn)率提高時，現(xiàn)金流的現(xiàn)值必然會降低，債券價格也就會下降，現(xiàn)值必然會降低，債券價格也就會下降，反之，貼現(xiàn)率降低時，債券價格就會上反之，貼現(xiàn)率降低時，債券價格就會上升。升。我們還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)市場利率和票面利率相等時，我們還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)市場利率和票面利率相等時，債券的價格與其面值相等，當(dāng)市場利率大于債券票面?zhèn)膬r格與其面值相等，當(dāng)市場利率大于債券票面利率時，由于在這種票面利率下購買債券不利，因此利率時，由于在這種票面利率下購買債券不利，因此債券價格就會下降，相反，當(dāng)市場利率低于票面利率債券價

6、格就會下降，相反，當(dāng)市場利率低于票面利率時，由于購債有利，人們會傾向于購買債券，這就會時，由于購債有利，人們會傾向于購買債券，這就會導(dǎo)致債券價格的上揚。導(dǎo)致債券價格的上揚。債券價格低于面值的這一部分價差對于投資者來說債券價格低于面值的這一部分價差對于投資者來說是一種資本利得，是對投資者獲得的票面利率低于市是一種資本利得，是對投資者獲得的票面利率低于市場利率，即投資者要求的收益率的補償。場利率，即投資者要求的收益率的補償。價格低于面價格低于面值的債券被稱為折價債券。值的債券被稱為折價債券。相對應(yīng)的，當(dāng)債券價格高于其面值時，投資者為了相對應(yīng)的，當(dāng)債券價格高于其面值時，投資者為了獲得高于市場利率的票

7、面利率，應(yīng)該支付的價格不得獲得高于市場利率的票面利率，應(yīng)該支付的價格不得不高于債券面值。不高于債券面值。價格高于面值的債券被稱為溢價債價格高于面值的債券被稱為溢價債券。券。1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系我們可以總結(jié)如下規(guī)律：我們可以總結(jié)如下規(guī)律：市場利率市場利率= =票面利率，價格票面利率，價格= =面值面值市場利率市場利率 票面利率，價格票面利率，價格 面值面值市場利率市場利率 面值面值1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系例例1.21.2：一種一種面值為面值為100100元元的債券，的債券，票面利票面利率為率為8%8%，一年付息一次，下一次，一年付息一次

8、，下一次支付在支付在1 1年后，年后，1010年后到期年后到期，假設(shè)，假設(shè)投資者要求的投資者要求的收益率收益率分別為分別為6%6%和和10%10%，分別計算債券價格隨到期，分別計算債券價格隨到期日臨近的變化。日臨近的變化。圖二：圖二：1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系通過上圖，我們可以得出如下結(jié)論：通過上圖，我們可以得出如下結(jié)論：隨著到期日的臨近，債券的價格向面隨著到期日的臨近，債券的價格向面值趨近值趨近對于折價債券，本金現(xiàn)值的增加大對于折價債券，本金現(xiàn)值的增加大于息票利息現(xiàn)值的減少，債券價格上于息票利息現(xiàn)值的減少，債券價格上升升對于溢價債券，本金現(xiàn)值的增加不對于溢價債券，本

9、金現(xiàn)值的增加不足以抵消息票利息現(xiàn)值的減少，債券足以抵消息票利息現(xiàn)值的減少，債券價格降低。價格降低。1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系究其原因，是因為債券的價格究其原因，是因為債券的價格由本金的現(xiàn)值和利息的現(xiàn)值兩部由本金的現(xiàn)值和利息的現(xiàn)值兩部分構(gòu)成，隨著到期日的臨近，投分構(gòu)成，隨著到期日的臨近，投資者所能獲得的息票支付越來越資者所能獲得的息票支付越來越少，息票支付的現(xiàn)值降低，而本少，息票支付的現(xiàn)值降低，而本金的現(xiàn)值卻增加了，在二者的共金的現(xiàn)值卻增加了，在二者的共同作用之下導(dǎo)致債券的價格隨著同作用之下導(dǎo)致債券的價格隨著到期日的臨近而向其面值趨近。到期日的臨近而向其面值趨近。909

10、0秒解釋為何債券收益為負還有人買秒解釋為何債券收益為負還有人買1 1 債券價格與收益率的關(guān)系債券價格與收益率的關(guān)系債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點NO.2 輸入文字輸入 輸入文字輸入 輸入文字輸入票面利率票面利率大小與債券價格波動大小與債券價格波動12到期時間到期時間與債券價格波動與債券價格波動3債券價格債券價格波動的不對稱性波動的不對稱性4初始收益率初始收益率與債券價格波動與債券價格波動2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點引言2 2、價格風(fēng)險的大小用、價格風(fēng)險的大小用價格的利率敏感性價格的利率敏感性來衡量。來衡量。3 3、影響價格的利率敏感性有三個重要因素：、影響價格的利

11、率敏感性有三個重要因素：票面利票面利率率、到期時間到期時間以及以及初始收益率初始收益率。它們與價格的利。它們與價格的利率敏感性之間呈現(xiàn)出這樣一些率敏感性之間呈現(xiàn)出這樣一些規(guī)律規(guī)律：（1 1）價格的利率敏感性與）價格的利率敏感性與債券的票面利率債券的票面利率具有具有反向反向關(guān)系關(guān)系。其他因素相同時，低票面利率債券比高票。其他因素相同時，低票面利率債券比高票面利率債券價格的利率敏感性更強。面利率債券價格的利率敏感性更強。2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點（2 2）價格的利率敏感性與）價格的利率敏感性與債券的到期時間債券的到期時間具有具有正向正向關(guān)系關(guān)系。其他因素相同時，長期債券比短期

12、債券價。其他因素相同時，長期債券比短期債券價格的利率敏感性更強。格的利率敏感性更強。（3 3）隨著到期時間的增長，價格的利率敏感性增加）隨著到期時間的增長，價格的利率敏感性增加，但是增加得越來越慢。，但是增加得越來越慢。（4 4）收益率）收益率上升上升導(dǎo)致價格導(dǎo)致價格下跌下跌的幅度比等規(guī)模的收的幅度比等規(guī)模的收益率益率降低降低帶來的價格帶來的價格上漲上漲的的幅度小幅度小，這被稱為，這被稱為價價格波動的不對稱性格波動的不對稱性。（5 5）價格的利率敏感性與）價格的利率敏感性與債券的初始收益率水平債券的初始收益率水平具具有有反向關(guān)系反向關(guān)系。其他因素相同時，債券的初始收益。其他因素相同時，債券的初

13、始收益率較低時，價格的利率敏感性更強。率較低時，價格的利率敏感性更強。2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點n有有A A、B B、C C、D D四種債券，它們的相關(guān)資料如下所四種債券，它們的相關(guān)資料如下所示：示：債券債券票面利率票面利率到期時間到期時間初始收益率初始收益率A A10%10%5 5年年9%9%B B10%10%2020年年9%9%C C4%4%2020年年9%9%D D4%4%2020年年5%5%p債券價格的利率敏感性的大小關(guān)系是：債券價格的利率敏感性的大小關(guān)系是：ABCDABCD2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點2.1 票面利率大小與債券價格波動票面利率

14、大小與債券價格波動p 思考：思考： 保持其他因素不變，票面利率越低，債保持其他因素不變，票面利率越低，債券價格的利率敏感性越大，利率風(fēng)險也券價格的利率敏感性越大，利率風(fēng)險也就越大。也就是說收益率變動時，其他就越大。也就是說收益率變動時，其他條件相同的債券，票面利息越小，其價條件相同的債券，票面利息越小，其價格波動越大。我們用下面的例子來驗證格波動越大。我們用下面的例子來驗證2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點AB票面利率票面利率8%10%面值（元）面值（元）100100信用評級信用評級AaAa到期時間到期時間10年年10年年收益率收益率8%8%價格（元）價格（元）100.00113

15、.59收益率收益率10%10%價格（元）價格（元）87.54100價格變動的百分比價格變動的百分比-12.46%-11.96%例例2.12.1：有：有A A、B B兩種債券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相關(guān)資料如兩種債券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相關(guān)資料如下，分別計算并比較收益率上升下，分別計算并比較收益率上升2 2個百分點時兩者的價格波動百分比個百分點時兩者的價格波動百分比2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點2.2 到期時間與債券價格波動到期時間與債券價格波動p 思考：思考： 保持其他因素不變，長期債券的價格對利保持其他因素不變，長期債券的價格對利率變動的敏感

16、性比短期債券更強。因此，率變動的敏感性比短期債券更強。因此，債券的到期時間越長，利率風(fēng)險也就越大債券的到期時間越長，利率風(fēng)險也就越大。 隨著到期時間的增長，價格的利率敏感性隨著到期時間的增長，價格的利率敏感性以遞減的速度增加。以遞減的速度增加。2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點 例例2.22.2：有三種息票債券：有三種息票債券A A、B B、C C，半年付息一次，下一次付息在半，半年付息一次，下一次付息在半年以后，其他資料如下，分別計算收益率上升年以后，其他資料如下，分別計算收益率上升2 2個百分比時三者的個百分比時三者的價格波動百分比價格波動百分比ABC票面利率票面利率8%8%

17、8%面值（元）面值（元）100100100信用評級信用評級AaAaAa到期時間（年）到期時間（年）51015收益率收益率8%8%8%價格（元）價格（元）100.00100.00100.00收益率收益率10%10%10%價格（元）價格（元）92.2887.5484.63價格變動的百分比價格變動的百分比-7.72%-12.46%-15.37%價格波動比較價格波動比較B-A=4.74%C-B=2.91%2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點2.3 債券價格波動的不對稱性債券價格波動的不對稱性p 思考：思考： 債券的價格對于債券的價格對于收益率的降低收益率的降低比對收比對收益率的益率的上升上

18、升更加更加敏感敏感。2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點ABC票面利率票面利率8%8%8%面值（元）面值（元）100100100信用評級信用評級AaAaAa到期時間（年）到期時間（年）51015收益率收益率8%8%8%價格（元）價格（元）100.00100.00100.00收益率收益率10%10%10%價格（元）價格（元）92.2887.5484.63價格變動的百分比價格變動的百分比-7.72%-12.46%-15.37%收益率收益率6%6%6%價格（元）價格（元）108.53114.88119.60價格變動的百分比價格變動的百分比8.53%14.88%19.60%2 2 債券價格

19、波動性的特點債券價格波動性的特點不對稱性就越明顯。幅度越大，這種的幅度相比價格下降的升收益曲線越凸，價格上而且，價格格下降的幅度；上升的幅度大于價格價，即價格)(）可以看出，（21PPPP2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點2.4 初始收益率與債券價格波動初始收益率與債券價格波動p 思考：思考： 其他因素不變時，其他因素不變時，初始收益率水平初始收益率水平越低，債越低，債券價格的利率敏感性越強。券價格的利率敏感性越強。2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點 例例2.42.4：有：有A A、B B兩種債券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相關(guān)兩種債券，半年付息一次，下一

20、次付息在半年以后，相關(guān)資料如下，分別計算并比較收益率上升資料如下，分別計算并比較收益率上升1 1個百分比時兩者價格波動百分比個百分比時兩者價格波動百分比AB票面利率票面利率8%8%面值（元）面值（元）100100信用評級信用評級AaAa到期時間到期時間10年年10年年收益率收益率8%10%價格（元）價格（元）100.0087.54收益率收益率9%11%價格（元）價格（元）93.5082.07價格變動的百分比價格變動的百分比-6.50%-6.25%2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點動的幅度更大。變初始收益率較高時價格時價格變動的幅度相比收益率較低收益率曲線越凸，初始而且，價格格變動

21、的幅度；于初始收益率較高時價大較低時價格變動的幅度可以看出即初始收益率),()()(）圖表中，（2121HHHHPPPP2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點p回憶總結(jié)回憶總結(jié) 債券價格波動性的特點四大方面?zhèn)瘍r格波動性的特點四大方面：1 1、票面利率票面利率大小與債券價格波動？大小與債券價格波動？2 2、到期時間到期時間與債券價格波動？與債券價格波動？3 3、債券價格債券價格波動的不對稱性？波動的不對稱性？4 4、初始收益率初始收益率與債券價格波動？與債券價格波動？2 2 債券價格波動性的特點債券價格波動性的特點1NO.03價格波動性的衡量：2基點價格值價格變化的收益值一、基點價格

22、值1基點價格值指收益率變化一個基點，也就是0.01個百分點時，債券價格的變動值?；c價格值是價格變化的絕對值。2價格變動百分比指價格變化的絕對值相對于初始價格的百分比。它是價格變化的相對值，用式子表示就是： 價格變動百分比價格變動百分比= =基點價格值基點價格值/ /初始價初始價格格例5-7：有A、B、C三種債券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相關(guān)資料如下：ABC票面利率8%8%8%面值（元）100100100信用評級AaAaAa到期時間（年）51015收益率8%8%8%價格（元）100.00100.00100.00收益率8.01%8.01%8.01%價格（元）99.959599.932

23、199.9136價格變動-0.0405-0.0679-0.0864基點價格值-0.0405-0.0679-0.0864收益率7.99%7.99%7.99%價格（元）100.0406100.0680100.0865價格變動0.04060.06800.0865基點價格值0.04060.06800.0865例5-8：有A、B、C三種債券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相關(guān)資料如下：ABC票面利率8%8%8%面值（元）100100100信用評級AaAaAa到期時間（年）51015收益率8%8%8%價格（元）100.00100.00100.00收益率8.1%8.1%8.1%價格（元）99.5955

24、99.323599.1406價格波動值-0.4045-0.6765-0.8594基點價格值（例5-7）-0.0405-0.0679-0.0864收益率7.9%7.9%7.9%價格（元）100.4066100.6825100.8699價格波動值0.40660.68250.8699基點價格值（例5-7）0.04060.06800.0865 例5-9：一個債券組合由例5-7中的三種債券組成。其中，投資者持有債券A100張，債券B300張，債券C1000張。計算該債券組合的基點價格值。 解題步驟： 首先根據(jù)每張債券的基點價格值，求出每種債券的基點價格值； 然后加總得到整個債券組合的基點價格值。ABC每

25、張債券的基點價格值（元）0.04060.06800.0865持有量1003001000每種債券的基點價格值（元）4.0620.4086.50債券組合的基點價格值（元）110.96二、價格變化的收益值價格變化的收益值價格變化的收益值是指債券價格變動一定數(shù)量時，對應(yīng)的收益率變動值。價格變化的收益值越小，意味著價格變動一定數(shù)量時，收益率的變動越??；反過來，收益率變動一個基點時，價格的變動越大，即基點價格值越大。例5-10 ：利用例5-7中的資料，如果價格變動0.125%，分別求出三種債券價格變化的收益值。ABC票面利率票面利率8%8%8%面值（元）面值（元）100100100信用評級信用評級AaAa

26、Aa到期時間（年）到期時間（年）51015價格（元）價格（元）100.00100.00100.00收益率收益率8%8%8%價格（元）價格（元）100.125100.125100.125收益率收益率7.9692%7.9816%7.9856%收益率變動收益率變動-0.0308%-0.0184%-0.0144%價格（元）價格（元）99.87599.87599.875收益率收益率8.0308%8.0184%8.0144%收益率變動收益率變動0.0308%0.0184%0.0144%基點價格值基點價格值0.04060.06800.0865價格波動性的衡量：凸性和久期NO.0413425久期久期與價格波動

27、的關(guān)系資產(chǎn)組合的久期凸性債券的久期與凸性的近似求法一、久期久期的定義久期也稱為持續(xù)期或有效期限，就是價格變化的百分比除以收益率變化的百分比。)1/(/)/()1/()1 (/)/(yyppyyPPDp債券的初始價格p債券價格變化值y初始收益率)(1 (yy或收益率變化值式中為什么加一個式中為什么加一個負號？負號？注意點！之所以加負號，是因為之所以加負號，是因為債券價格債券價格與與收益收益率率變化方向相反。變化方向相反。久期包含了關(guān)于債券久期包含了關(guān)于債券到期收益率到期收益率、票面利率票面利率和和到期時間到期時間的信息。的信息。收益率變化收益率變化會導(dǎo)致會導(dǎo)致債券價格變化債券價格變化，因此可以利

28、用，因此可以利用久期久期來衡量來衡量債券債券價格的收益率敏感性價格的收益率敏感性。久期是久期是債券債券或者是或者是債券組合債券組合在一個在一個時點時點上的特征，持續(xù)期上的特征，持續(xù)期與時俱進與時俱進。久期計算公式：TtttyCFtPD1)1(1如何計算普通債券的久期TtttTtttyCFytCFD11)1()1(計算公式：t現(xiàn)金流發(fā)生的時間T距到期日的期數(shù)；tCF第t期的現(xiàn)金流；y每期的到期收益率。PyCFWttt)1( TtttyCFP1)1(TttWtD1令：其中：那么： 是現(xiàn)金流時間的權(quán)重，是第t期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占債券價格的比重。權(quán)重之和等于1，因為按到期收益率貼現(xiàn)的現(xiàn)金流之和就等于債券的

29、價格。注意：從上式中求出的久期是以期數(shù)為單位，我們還要把它除以每年付息的次數(shù)，轉(zhuǎn)化成以年為單位的久期。tW例題5-11面值為100元，票面利率為8%的三年期債券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率為10%，計算它的久期時間（期數(shù)）現(xiàn)金流（元）現(xiàn)金流的現(xiàn)值（元）權(quán)重時間權(quán)重143.80950.04010.0401243.62810.03820.0764343.45540.03640.1092443.29080.03470.1388543.13410.03300.1650610477.60640.81674.9056總計94.924315.4351該債券的久期是5.4351，也就是5

30、.4351/2=2.7176（年）久期的規(guī)則票面利率、到期時間、到期收益率是影響債券價格的利率敏感性的三個重要因素，它們與久期之間的關(guān)系也表現(xiàn)出一些規(guī)則。一、二、三、保持其他因素不變，票面利率越低，息票債券的久期越長保持其他因素不變，到期收益率越低，息票債券的久期越長一般來說，保持其他因素不變，到期時間越長，息票債券的久期越長浮動利率債券的久期在每個利息支付日（即剛剛支付完利息），浮動利率債券的價格都等于面值。而在下一個利息支付日，浮動利率債券的價值則等于面值加上利息。所以，這種每隔一定時期重新設(shè)定票面利率的浮動利率債券，完全等同于零息債券，該零息債券的期限則等于重新設(shè)定票面利率所經(jīng)歷的期限。

31、二、久期與價格波動的關(guān)系如果兩個債券到期時間相同，但票面利率不同，它們的價格對于利率變動的反應(yīng)程度是不相同的。然而，如果兩個債券的久期相等，即使票面利率不同，它們價格的利率敏感性也是相同的。債券價格波動與久期成比例，而不是與到期時間成比例。)1/(/)/()1/()1 (/)/(yyppyyPPD由公式：得：yyDPP)1/(/該式清楚地表達了價格波動價格波動與久期久期的關(guān)系定義 為修正久期，用 表示，那么上式可以轉(zhuǎn)換為)1/( yD DyDPP/上式表明，債券價格的變動百分比（相對數(shù)）等于修正久期與到期收益率變動值（絕對數(shù)）的乘積。修正久期越大，利率變動時價格的波動越大，利率風(fēng)險就越大。 修

32、正久期例題5-13有一種息票債券，面值為100元，票面利率為8%的三年期債券，半年付息一次，下一次付息在半年后。到期收益率為10%。久期是2.7176年。還有一種面值為100元，到期收益率為10%，距到期日還有2.7176年的零息債券，它的久期也是2.7176年。比較兩者價格的利率敏感性。解析：修正久期=5.4352/（1+5%）=5.1764（半年）假設(shè)收益率上升一個基點，則：yDPP/即 -5.17640.005%=-0.0259%兩種債券的久期相等，如果久期確實是利率風(fēng)險的度量的話，兩者價格的利率敏感性應(yīng)當(dāng)相等。注意：當(dāng)收益率變動較小時，用修正久期估計的價格波動百分比是比較準確的，而當(dāng)收

33、益率的變動越來越大時，這種估計的誤差也就越來越大。另外，這種估計也不能體現(xiàn)價格波動的不對稱性。不論收益率上升或下降，用修正的久期計算出來的價格波動百分比大小都是相同的。而實際情況是收益率下降時價格上升的幅度比收益率上升時價格下降的幅度大。 價格變動百分比0APP2收益率曲線的變動（y）實際的曲線久期估計的直線（斜率=-D*）實際價格波動久期估計的價格波動圖5-8 實際價格波動與久期估計的價格波動結(jié)論當(dāng)收益率上升時，實際價格波動較小，使用久期會高估價格的下降幅度；當(dāng)收益率下降時，實際價格波動較大，使用久期又會低估價格的上升幅度。三、資產(chǎn)組合的久期資產(chǎn)組合的久期是資產(chǎn)組合的有效平均到期時間。計算方

34、法： 對組合中所有資產(chǎn)的久期求加權(quán)平均數(shù)，權(quán)重是各種資產(chǎn)的市場價格占資產(chǎn)組合總價值的比重。四、凸性可贖回債券的凸性凸性與價格波動的關(guān)系凸性計算凸性定義凸性的定義 在收益率變化比較大的情況下，為了更精確地估計債券價格的變化，必須考慮價格收益率曲線的凸性性質(zhì)。 可以用泰勒級數(shù)的前兩項更準確地計算收益率變化導(dǎo)致價格的變化：222)(2/1dydyPddydydPdP其中，為誤差項。將上式兩邊同時除以債券價格P，得價格變化百分比的表達式：PdyPdyPddyPdydPPdP222)(12/11用C表示凸性，則：PdyPdC122可見，凸性與價格收益率函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)相對應(yīng)。（比較：久期對應(yīng)于價格收益率函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的絕對值。）凸性的計算 為了更準確地計算債券價格的變化，需要計算債券的久期和凸性。 對于普通債券而言，凸性C的計算公式為：TtttttyCFyPC122)()1 ()1 (1式中： t 現(xiàn)金流發(fā)生的時間； CFt 第t期的現(xiàn)金流； y 每期的到期收益率； T 距到期日的期數(shù)； P 債券的市場價格。令：PyCFWttt)1(則：tTtWttyC)()1 (1122比較TttWtD1可以發(fā)現(xiàn)，凸性的計算與久期的計算非常相似，區(qū)別在于它是t2+t（而不是t）的加權(quán)平均，再除以