線性代數(shù)習(xí)題課1

1、nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnjia并且規(guī)定其值為：并且規(guī)定其值為： 1 1）當(dāng)）當(dāng) n = 1時(shí)，時(shí)， D = 1111aa叫做叫做 n 階行列式階行列式（Determinant）， 2 2）當(dāng)）當(dāng) n 2時(shí)，時(shí)， D = nnAaAaAa1112121111其中其中 jjjMA111) 1(jM1nnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaa11131313312121221jA1為為行列式行列式 D 的元素的元素 ja1的的為行列式為行列式 D 的元素的元素 并稱并稱 jM1ja1的的 余子式余子式， 代數(shù)余子式代數(shù)余子式。 = njjjAa111 行列

2、式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 性質(zhì)性質(zhì)1 互換行列式中兩行互換行列式中兩行( (列列) )，行列式值變號(hào)。，行列式值變號(hào)。 性質(zhì)性質(zhì)2 行列式中的某一行行列式中的某一行(列列)中所有的元素都乘中所有的元素都乘以同一數(shù)以同一數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù) k 乘此行列式，即乘此行列式，即性質(zhì)性質(zhì)3nnnnniiinnnnnniiinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212112111 如果行列式中某行如果行列式中某行(列列)的各元素都是兩的各元素都是兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和。數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和。性質(zhì)性質(zhì)4nnnnn

3、nnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211即即 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的元素的的元素的 k (kR)倍加到另一行倍加到另一行(列列)上去，行列式的值不變。上去，行列式的值不變。 性質(zhì)性質(zhì)5 即即jnjjjninjijiaaakaakaakaa212211jnjjiniiaaaaaa2121K 行列式的行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素與另一行與另一行(列列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，等于零，nkkjkiAa102211njniji

4、jiAaAaAaji 性質(zhì)性質(zhì)6即即DAajinkkjki1其中其中, 0, 1jijiji當(dāng)當(dāng)對(duì)行列式的對(duì)行列式的列列來說也有同樣的性質(zhì)。來說也有同樣的性質(zhì)。定理定理1 （克萊姆法則）（克萊姆法則） 如果線性方程組如果線性方程組的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 ，0D 則方程組有則方程組有唯一解唯一解11DxD22DxD nnDxD11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xaxaxba xaxaxb推論推論 齊次線性方程組有非零解的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件充分必要條件：0D 其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式 。一、計(jì)算（證明）行列式一、計(jì)算（證明）行列

5、式二、二、克萊姆法則及其應(yīng)用克萊姆法則及其應(yīng)用. 用定義計(jì)算用定義計(jì)算例例1 1 用行列式定義計(jì)算用行列式定義計(jì)算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 若用行列式定義計(jì)算展開該行列式，則其若用行列式定義計(jì)算展開該行列式，則其每一項(xiàng)為都由來自于不同行、不同列的每一項(xiàng)為都由來自于不同行、不同列的 5 個(gè)元素個(gè)元素的乘積。而該行列式中，只有兩行與兩列的元素的乘積。而該行列式中，只有兩行與兩列的元素不是零，所以展開式的每一項(xiàng)至少包含有一個(gè)零不是零，所以展開式的每一項(xiàng)至少包含有一個(gè)零元素，從而行列式的值等于零。元素，從而行

6、列式的值等于零。 解解 若將函數(shù)定義式中的若將函數(shù)定義式中的4階行列式階行列式按行列式定按行列式定 已知已知 4 次多項(xiàng)式函數(shù)次多項(xiàng)式函數(shù) xxxxxxf21123232101 )(試求試求多項(xiàng)式函數(shù)中多項(xiàng)式函數(shù)中 項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)；的系數(shù)； 3x例例2解解 義展開義展開，則第一行第一個(gè)元素則第一行第一個(gè)元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式xxxx212332是是 的三次式，而且這個(gè)代數(shù)余子式的展開式中的三次式，而且這個(gè)代數(shù)余子式的展開式中x 而行列式第一行第二個(gè)元素而行列式第一行第二個(gè)元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式x沒有沒有 的二次項(xiàng)；的二次項(xiàng)；xxx2122321代數(shù)余子式中顯然均不含代數(shù)余子式中顯然

7、均不含 項(xiàng)。項(xiàng)。3x 所以所以多項(xiàng)式函數(shù)中多項(xiàng)式函數(shù)中 項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是 11。 3x是是 的二次式，的二次式， 項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為 -1-1； x2x 又行列式第一行的其它兩個(gè)元素（為常數(shù)）的又行列式第一行的其它兩個(gè)元素（為常數(shù)）的. 利用行列式性質(zhì)與相關(guān)結(jié)論利用行列式性質(zhì)與相關(guān)結(jié)論例例3 3 計(jì)算計(jì)算maaaaamaaaaamaaaaamaDnnnn 321321321321 對(duì)這個(gè)行列式，我們下面將用對(duì)這個(gè)行列式，我們下面將用多種不同的方法多種不同的方法來來計(jì)算它的值。計(jì)算它的值。再將上述行列式第一列的再將上述行列式第一列的-a-a2 2到到-a-an n倍加到從第倍加到從第2 2

8、列列到第到第 n n 列的各列上去，有列的各列上去，有 解法一（解法一（相加法相加法） 注意到行列式各行所有元注意到行列式各行所有元素之和是相等的，我們首先把原行列式的所有各素之和是相等的，我們首先把原行列式的所有各列加到第一列上去，并提取公因式，即有列加到第一列上去，并提取公因式，即有 maaaamaaaamaaaamaDnnnni 323232321111)( 這樣就化成了這樣就化成了上三角行列式上三角行列式。 易得易得mmmmaDi0010010010001 )(1 nimmaD)(第第2 2列到第列到第 n n 列每一列的列每一列的1 1倍都加到第一列上去，倍都加到第一列上去，就有就有

9、 解法二（解法二（相減法相減法） 我們?cè)賹⒃辛惺降牡谝晃覀冊(cè)賹⒃辛惺降牡谝恍械男械?1-1倍加到其它各行上去，即有倍加到其它各行上去，即有 mmmmmmaaamaDn000000321 這樣就化成了這樣就化成了爪型行列式爪型行列式。再將上述行列式從再將上述行列式從結(jié)論相同。結(jié)論相同。mmmaaaamDnnii000000000321 11 nniimam)(并將它按行列式并將它按行列式性質(zhì)性質(zhì)4 4進(jìn)行進(jìn)行分解分解，可得下列，可得下列遞推遞推式式 解法三（解法三（分解與遞推法分解與遞推法） 我們把原行列式的我們把原行列式的作如下變形作如下變形 maaaaamaaaaamaaaaamaDnn

10、nnn 321321321321000nnnnnaaaaamaaaaamaaaaamaD321321321321 maaamaaaamaaaama321321321321000 11 nnnmaDm反復(fù)使用反復(fù)使用這個(gè)這個(gè)遞推式，就有遞推式，就有11 nnnnmaDmD1212 nnnnnmamaDmm1122 nnnnmaaDm)( 11211 nnnnmaaaDm)(11211 nnnnmaaamam)()(11 nniimam)(用所增加的第一行的用所增加的第一行的-1-1倍加到其它各行，有倍加到其它各行，有 解法四（解法四（加邊法加邊法） 我們?cè)賹⒃辛惺皆黾游覀冊(cè)賹⒃辛惺皆黾? 1

11、行行1 1列，得列，得 maaaamaaaamaaaaDnnnn 212121210001 當(dāng)當(dāng) m=0m=0時(shí)，顯然行列式時(shí)，顯然行列式 D=0D=0；而當(dāng)；而當(dāng)m0m0時(shí)，再時(shí)，再 這樣同樣就化成了這樣同樣就化成了爪型行列式爪型行列式。mmmaaaDn001001001121 加到第一列上去，就有加到第一列上去，就有將上述行列式從第二列到第將上述行列式從第二列到第n n列每一列的列每一列的 倍都倍都m1也得到相同的結(jié)論。也得到相同的結(jié)論。11 nniimam)(mmmaaaamDnnii00000000011211 本題利用行列式的性質(zhì)，采用本題利用行列式的性質(zhì)，采用 1 1）相加法；）相

12、加法； 2 2）相減法；）相減法； 3 3）分解與遞推法；）分解與遞推法； 4 4）加邊法。）加邊法。 等等將原行列式化為了等等將原行列式化為了上三角行列式上三角行列式或或爪型行爪型行列式列式，然后再通過適當(dāng)變形去計(jì)算行列式的值。，然后再通過適當(dāng)變形去計(jì)算行列式的值。雖然問題本身相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但這些求行列式值雖然問題本身相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但這些求行列式值的方法是常用的，因而值得去研究它。的方法是常用的，因而值得去研究它。 評(píng)注：評(píng)注： 例例4 4 計(jì)算計(jì)算abcdbadccdabdcbaD 解解 把行列式的各行加到第一行上去，并提取把行列式的各行加到第一行上去，并提取出公因式，則有出公因式，則有a

13、bcdbadccdabdcbaD1111)( dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 0001)(再將第二列、第三列、第四列減去第一列，有再將第二列、第三列、第四列減去第一列，有按第按第1 1行展開，得行展開，得dadbdccbcacdbcbdbadcbaD )( 把上面右端行列式把上面右端行列式第第2 2行加到第行加到第1 1行行，再?gòu)牡?，再?gòu)牡? 1行行)(dcbadcbaD dadbdccbcacd 011中提取公因子中提取公因子 ，得，得dcba)()( )(cbdadcbadcba 22)(dcbadcba dacbcbdadcbadcbaD )(dacbdccbdac

14、d 001)(dcbadcbaD 再將再將第二列減去第一列第二列減去第一列，得，得于是于是)(dcbadcba 本題是利用行列式的性質(zhì)，將所給行列式的某本題是利用行列式的性質(zhì)，將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）（列）展開展開，每展開一次，行列式的，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低階數(shù)可降低 1 1階階。如此，直到行列式能直接計(jì)算出來為止。如此，直到行列式能直接計(jì)算出來為止。這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用。這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用。 此外，如果你了解此外，如果你了解 Matlab 編程計(jì)算的方法，編程計(jì)算

15、的方法，求解本題則非常簡(jiǎn)便。求解本題則非常簡(jiǎn)便。 評(píng)注：評(píng)注：例例 5證明證明coscoscoscos21000100000210001210001 Dnncos . . 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明證證對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù) n 用數(shù)學(xué)歸納法。因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法。因?yàn)?1221122coscoscoscos D ,cos D1于是對(duì)階數(shù)于是對(duì)階數(shù) n=1，2的行列式結(jié)論成立；的行列式結(jié)論成立； 現(xiàn)在假設(shè)對(duì)小于現(xiàn)在假設(shè)對(duì)小于 n 階的行列式結(jié)論成立。下面階的行列式結(jié)論成立。下面證明對(duì)證明對(duì) n 階的行列式結(jié)論也成立。事實(shí)上，將原階的行列式結(jié)論也成立。事實(shí)上，將原行列式行列式按第按第 n 行展開行展開，

16、則有，則有,)cos(11 n Dn)cos()cos(cos212 nnDnDDDnnn212 cos)cos(22 nD n由歸納法假設(shè)由歸納法假設(shè)所以所以)cos()cos(cos22 nnn;cos n 綜上，結(jié)論得證。綜上，結(jié)論得證。 例例 6 6 設(shè)已知設(shè)已知 n n 行列式行列式nnD00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和，即求第一行各元素的代數(shù)余子式之和，即nAAA11211 3. 3. 其它方法其它方法 解解 作下列作下列 n n 行列式行列式nD001030100211111 則由則由行列式行列式定義，第一行各元素的代數(shù)余子式之定義，第一行各元素的代數(shù)

17、余子式之和，即和，即DAAAn 11211把把行列式第二列的行列式第二列的-1/2-1/2倍，倍，第，第n n列的列的-1/n-1/n倍倍統(tǒng)統(tǒng)加到第一列上去，即得統(tǒng)統(tǒng)加到第一列上去，即得nT00003000020111 DAAAn 11211Tn !)(!nn131211 克萊姆法則最直接的是解決方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)克萊姆法則最直接的是解決方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零的線性方程組個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零的線性方程組的求解問題，實(shí)際上克萊姆法則應(yīng)用更廣泛。的求解問題，實(shí)際上克萊姆法則應(yīng)用更廣泛。 例例 7求三次多項(xiàng)式求三次多項(xiàng)式 322130axaxaxaxf )(使得使得

18、， ， ， ，并，并0) 1(f4) 1 (f3)2(f16)3(f作出其圖形作出其圖形。解解 這樣的問題我們一般稱之為多項(xiàng)式這樣的問題我們一般稱之為多項(xiàng)式插值與插值與 03210 aaaa43210 aaaa32483210 aaaa1639273210 aaaa這是一個(gè)關(guān)于這是一個(gè)關(guān)于4 4個(gè)未知量個(gè)未知量 的線性方程的線性方程3210,aaaa組，它的組，它的系數(shù)行列式系數(shù)行列式擬合擬合問題。由題意，所求多項(xiàng)式滿足問題。由題意，所求多項(xiàng)式滿足 1333122211111111123223123123)()()( D是是4 4階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式，因而不等于零，事實(shí)上，因而不等于零，事實(shí)上0481333122211111111123123123123 )()()(D？又又96133161223111