第13章表面展開

1、第 十三 章表 面 展 開 圖第十三章第十三章 表面展開圖表面展開圖 13-1 13-1 表面展開圖概述表面展開圖概述 13-2 13-2 可展表面展開圖畫法可展表面展開圖畫法 13-313-3 不可展表面的近似展開不可展表面的近似展開13-1 表面展開圖概述表面展開圖概述概念概念：將立體的表面按其實(shí)際形狀和大小，：將立體的表面按其實(shí)際形狀和大小，依次攤平在同一個(gè)平面上得到的圖形。依次攤平在同一個(gè)平面上得到的圖形。應(yīng)用：應(yīng)用：發(fā)電廠的管路系統(tǒng)。如熱力系統(tǒng)、煤發(fā)電廠的管路系統(tǒng)。如熱力系統(tǒng)、煤粉系統(tǒng)中的給水、蒸汽、煤粉、煙、粉系統(tǒng)中的給水、蒸汽、煤粉、煙、風(fēng)管道等的風(fēng)管道等的彎管接頭彎管接頭、變形

2、接頭變形接頭等等 。展開過程展開過程展開圖展開圖表面表面可展表面可展表面不可展表面不可展表面平面立體平面立體母線為直線的規(guī)則曲面立體：母線為直線的規(guī)則曲面立體：柱面、錐面柱面、錐面母線是曲線或兩條相鄰直素母線是曲線或兩條相鄰直素線為交叉直線的曲面立體表線為交叉直線的曲面立體表面面:球面、圓環(huán)面、螺旋面球面、圓環(huán)面、螺旋面。表面分類表面分類:13-2 可展表面展開圖畫法可展表面展開圖畫法 、三角形法把立體的表面看作由若干個(gè)把立體的表面看作由若干個(gè)三角形平面三角形平面組成，組成，求出各求出各三角形的真形三角形的真形從而畫出展開圖的方法。從而畫出展開圖的方法。 圖解作圖的圖解作圖的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是是求出各

3、表面的真形。求出各表面的真形。 常用方法：三角形法；正截面法；側(cè)滾法。常用方法：三角形法；正截面法；側(cè)滾法。 求直線真長(zhǎng)的方法：求直線真長(zhǎng)的方法： 1、直角三角形法。、直角三角形法。 2、換面法。、換面法。 3、旋轉(zhuǎn)法：、旋轉(zhuǎn)法：投影面不動(dòng)，幾何元素繞某一軸線旋轉(zhuǎn)投影面不動(dòng)，幾何元素繞某一軸線旋轉(zhuǎn)到對(duì)投影面處于特殊位置。到對(duì)投影面處于特殊位置。 旋轉(zhuǎn)軌跡旋轉(zhuǎn)軌跡圓圓旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)半徑RLOARB旋轉(zhuǎn)后位旋轉(zhuǎn)后位置不變置不變aa1aa1lOlO 點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律：點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律：水平投影在圓上移動(dòng)；水平投影在圓上移動(dòng)； 正面投影在直線上來回?cái)[動(dòng)。正面投影在直線上來回?cái)[動(dòng)。 直線的旋轉(zhuǎn)規(guī)律直線的旋轉(zhuǎn)規(guī)律a

4、1a1aaXObbTLab例：已知直線例：已知直線AB的兩面投影，的兩面投影， 用用旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法求其實(shí)長(zhǎng)。求其實(shí)長(zhǎng)。1. 選旋轉(zhuǎn)軸：選擇過選旋轉(zhuǎn)軸：選擇過B點(diǎn)且垂直點(diǎn)且垂直于于H面的直線作旋轉(zhuǎn)軸。（面的直線作旋轉(zhuǎn)軸。（投影圖中可不畫）投影圖中可不畫） 2. 以以b點(diǎn)為圓心，點(diǎn)為圓心，ab為半徑將為半徑將a旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到a1位置，使位置，使ba1/OX。3. a點(diǎn)沿直線移動(dòng)到點(diǎn)沿直線移動(dòng)到a1點(diǎn)。點(diǎn)。4. 連接連接a1b，即為所求實(shí)長(zhǎng)。，即為所求實(shí)長(zhǎng)。例例1、求作截頭三棱錐的展開圖。、求作截頭三棱錐的展開圖。bss za c2 1 3 1、求SA、SB、SC實(shí)長(zhǎng)TLSBTLSATLSC例例1、求作

5、截頭三棱錐的展開圖。、求作截頭三棱錐的展開圖。bss za c2 1 3 ABC2、畫三棱錐展開圖3、畫截頭三棱錐展開圖AATLSBTLSATLSCTLSBTLSCSTLSATLSAs例例2、求作正圓錐的展開圖。、求作正圓錐的展開圖。計(jì)算法計(jì)算法LdR=LLd23601. 計(jì)算圓心角計(jì)算圓心角LdLd18023602. 根據(jù)根據(jù)L和和畫出畫出展開圖展開圖例例2、求作正圓錐的展開圖。、求作正圓錐的展開圖。圖解法圖解法1. 把圓錐底圓分成把圓錐底圓分成若干等份若干等份 2. 作出通過各分點(diǎn)作出通過各分點(diǎn)的素線的素線 01234561 2 3 5 4 S 0 6 LdIVVVIVIV00S4. 畫出

6、起始邊畫出起始邊S0，并在圓弧上截取并在圓弧上截取0I=01,I=12I0=10，即得展開，即得展開圖圖 。3. 畫以素線真長(zhǎng)畫以素線真長(zhǎng)L為半徑的圓弧。為半徑的圓弧。例例3、求作截頭正圓錐的展開圖。、求作截頭正圓錐的展開圖。 圖解法圖解法1. 畫出完整圓錐的畫出完整圓錐的展開圖。展開圖。 2. 求出截平面求出截平面Pv與與素線素線S0、SI交點(diǎn)交點(diǎn)01、I1 5. 用曲線將它們按用曲線將它們按順序光滑連接成順序光滑連接成曲線。曲線。1121314161514. 確定確定2所述交點(diǎn)在所述交點(diǎn)在展開圖上的相應(yīng)展開圖上的相應(yīng)應(yīng)位置應(yīng)位置01、I13. 求出求出S0、SI的實(shí)長(zhǎng)。的實(shí)長(zhǎng)。Pv01例例

7、4、求斜橢圓錐（臺(tái)）的展開圖。、求斜橢圓錐（臺(tái)）的展開圖。 圖解法圖解法1. 畫出完整圓錐。畫出完整圓錐。 2. 將底圓分成若干等將底圓分成若干等份，將各分點(diǎn)與份，將各分點(diǎn)與頂點(diǎn)頂點(diǎn)S連接，得各連接，得各素線的投影素線的投影 。S S01245630 1 0I3. 求各素線的真長(zhǎng)求各素線的真長(zhǎng)S0、S1、 S6。 4. 以真長(zhǎng)以真長(zhǎng)S0、S1和弧和弧01的弦長(zhǎng)為的弦長(zhǎng)為邊作三角形，得邊作三角形，得點(diǎn)點(diǎn)。同法可得。同法可得點(diǎn)點(diǎn)、。3. 用曲線將它們按用曲線將它們按順序光滑連接成順序光滑連接成曲線。曲線。4. 同法求出上底圓同法求出上底圓在展開圖上的曲在展開圖上的曲線。線。 例例5、求作煤斗的展開

8、圖。、求作煤斗的展開圖。圖解法圖解法1. 作四個(gè)梯形表面的對(duì)作四個(gè)梯形表面的對(duì)角線角線AB1 , AD1 , DC1 , C1 B將四個(gè)梯形表面將四個(gè)梯形表面分成八個(gè)三角形。分成八個(gè)三角形。 例例5、求作煤斗的展開圖。、求作煤斗的展開圖。2. 求出各三角形三條邊真長(zhǎng)求出各三角形三條邊真長(zhǎng) 。a0a03. 從從AB1邊開始，以邊開始，以AB1 、 AA1、 A1B1三邊的真長(zhǎng)為邊作三邊的真長(zhǎng)為邊作AA1B1。B1A1A4. 作出作出ABB1、BB1C1、AA1D1，完成四梯形表面的展開圖，完成四梯形表面的展開圖 。圖解法圖解法AA1AB1AD1DD1DC1圖解法圖解法例例6、求作變形接頭（方圓節(jié)

9、）的展開圖。、求作變形接頭（方圓節(jié)）的展開圖。1. 可分成四個(gè)等腰三可分成四個(gè)等腰三角形平面和四個(gè)局角形平面和四個(gè)局部斜橢圓錐面。部斜橢圓錐面。2. 求求A、A兩條素兩條素線的真長(zhǎng)線的真長(zhǎng) (旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法)。圓管圓管方管方管圖解法圖解法2. 從等腰三角形的高從等腰三角形的高0開始作展開圖。開始作展開圖。 例例6、求作變形接頭（方圓節(jié)）的展開圖。、求作變形接頭（方圓節(jié)）的展開圖。圓管圓管方管方管I0AII0I二、正截面法二、正截面法正截面法：正截面法：棱柱棱柱和和正圓柱正圓柱。正截面正截面垂直垂直于棱線，展開時(shí)正截面的邊于棱線，展開時(shí)正截面的邊展開為一條直線，該直線與棱的展開為一條直線，該直線與

10、棱的垂直關(guān)垂直關(guān)系系保持不變。保持不變。展開時(shí)，求出各展開時(shí)，求出各棱線的真長(zhǎng)棱線的真長(zhǎng)以及相鄰二以及相鄰二棱線間的棱線間的距離距離，以確定各棱面的，以確定各棱面的真形真形。 正截面正截面例例1、求斜截直四棱柱的展開圖。、求斜截直四棱柱的展開圖。ABCDAA1B1C1D1A11. 將下底面展開成一條直線，量取將下底面展開成一條直線，量取AB=ab、BC=bc、CD=cd、DA=da。3. 順次用直線連接順次用直線連接A1、B1、C1、D1、A1，即得展開圖。，即得展開圖。 2. 過過A、B、C、D、A各點(diǎn)作棱線垂直于直線各點(diǎn)作棱線垂直于直線ABCDA。例例2、求作斜棱柱的展開圖。、求作斜棱柱的

11、展開圖。1. 任作任作PV垂直于棱線，求出截交線垂直于棱線，求出截交線 I II III IV(1234,1234)。 3. 畫展開圖。畫展開圖。 2. 求正截面求正截面的真形的真形11213141。 AA1BB1CC1DD1AA111312141IIIIIIIVI例例3、求作正交三通的展開圖。、求作正交三通的展開圖。d2d112345654321001. 準(zhǔn)確求出三視圖中的相貫線。準(zhǔn)確求出三視圖中的相貫線。 3. 作圓柱作圓柱 II 的展開圖的展開圖。 2. 作圓柱作圓柱 I 的展開圖。的展開圖。 MNd2ABCA BCd2d1d1三、測(cè)滾法三、測(cè)滾法基本原理：基本原理：繞平行于投影面的旋轉(zhuǎn)

12、軸旋轉(zhuǎn)各繞平行于投影面的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)各 棱面，稱為繞平行軸旋轉(zhuǎn)法。棱面，稱為繞平行軸旋轉(zhuǎn)法。展開條件：展開條件：各棱線必須平行于某一投影面。各棱線必須平行于某一投影面。適用范圍：適用范圍：棱線平行于投影面的斜棱柱和素棱線平行于投影面的斜棱柱和素 線平行于投影面的斜橢圓柱。線平行于投影面的斜橢圓柱。BB1CC1例例1、畫出斜四棱柱的展開圖。、畫出斜四棱柱的展開圖。1. 以棱以棱CC1為軸旋轉(zhuǎn)棱面為軸旋轉(zhuǎn)棱面CC1B1B，使其平行于，使其平行于V面。面。 作法：作法：過過b作直線垂直作直線垂直于于cc1，以，以c為圓心，為圓心，CB的水平投影的水平投影cb（反映（反映CB的真長(zhǎng)）為半徑畫弧的真長(zhǎng)）為

13、半徑畫弧與上述所畫垂線交于點(diǎn)與上述所畫垂線交于點(diǎn)B，連，連cB，且以，且以cB和和cc1為鄰邊作平行四邊為鄰邊作平行四邊形形B1B,即為棱面即為棱面CC1B1B的展開圖。的展開圖。 CBB1C1AA12. 再以已經(jīng)展開的再以已經(jīng)展開的B1B的的邊邊B1B為軸旋轉(zhuǎn)棱面為軸旋轉(zhuǎn)棱面BB1A1A。 作法：作法：過過a作作BB1的垂線的垂線，以，以B為圓心，為圓心，ba(BA的的真長(zhǎng)真長(zhǎng))為半徑畫弧，交所為半徑畫弧，交所引垂線于引垂線于A點(diǎn)，以點(diǎn)，以BB1和和BA為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形BB1A1A. 3. 用同法求出用同法求出AA1D1D和和DD1C1C二棱二棱面的真形，完面的真形，完成

14、斜四棱柱的成斜四棱柱的展開圖。展開圖。 應(yīng)用：應(yīng)用：求求BB1C1C上上點(diǎn)點(diǎn)K在展開在展開圖上的位置圖上的位置作法：作法：過過K點(diǎn)作平點(diǎn)作平行于棱線的行于棱線的輔助線輔助線LK，在展開圖上在展開圖上求出求出LK的位的位置，在置，在LK上上即可確定點(diǎn)即可確定點(diǎn)K的位置。的位置。例例2、求作斜橢圓柱的展開圖、求作斜橢圓柱的展開圖 。1. 將斜橢圓柱面分為若干等將斜橢圓柱面分為若干等份。份。 I2. 以以0號(hào)素線為軸旋轉(zhuǎn)號(hào)素線為軸旋轉(zhuǎn)0面面, 作法：作法：過過1作素線的垂線作素線的垂線,以以0為圓心為圓心,01為半徑畫弧為半徑畫弧與所作垂線交于點(diǎn)與所作垂線交于點(diǎn)。 3. 過點(diǎn)過點(diǎn)作平行于素線的直線作

15、平行于素線的直線，再以此直線為軸旋轉(zhuǎn)，再以此直線為軸旋轉(zhuǎn)面，求出面，求出點(diǎn)點(diǎn) 。II例例1、求作斜橢圓柱的展開圖、求作斜橢圓柱的展開圖 。IIIIII5. 分別將兩側(cè)各點(diǎn)順次連分別將兩側(cè)各點(diǎn)順次連 接成光滑曲線，即得到接成光滑曲線，即得到斜橢圓柱的展開圖。斜橢圓柱的展開圖。 4. 依次求出依次求出、0各各點(diǎn)。再分別以點(diǎn)。再分別以0、各點(diǎn)為圓心截取各點(diǎn)為圓心截取各素線的真長(zhǎng)，得到各各素線的真長(zhǎng)，得到各素線的另一個(gè)端點(diǎn)。素線的另一個(gè)端點(diǎn)。 13-3 不可展曲面的近似展開不可展曲面的近似展開1.圓環(huán)的展開圓環(huán)的展開(俗稱俗稱蝦米腰蝦米腰)1.將直角彎管用五節(jié)圓管近似代替將直角彎管用五節(jié)圓管近似代替(三個(gè)整節(jié)兩個(gè)半節(jié)三個(gè)整節(jié)兩個(gè)半節(jié))2.將五節(jié)圓管排列成一根圓管將五節(jié)圓管排列成一根圓管13.將圓管分成將圓管分成12等份等份0342560 14.將圓管展開并求出各截交線將圓管展開并求出各截交線2 3 4560123452.球面的展開球面的展開(柳葉狀展開柳葉狀展開)1.將球