第4章無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、第第4 4章章 無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（響應(yīng)（IIR）濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì) 4.1 濾波器的基本原理濾波器的基本原理4.2 模擬濾波器設(shè)計(jì)方法模擬濾波器設(shè)計(jì)方法4.3 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器濾波器4.4 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換濾波器的頻率變換4.5 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換器的頻率變換4.6 IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法概述概述: 許多信息處理過(guò)程，如信號(hào)的過(guò)濾，檢測(cè)、預(yù)許多信息處理過(guò)程，如信號(hào)的過(guò)濾，檢測(cè)、預(yù)測(cè)等都要用到濾波器

2、，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理測(cè)等都要用到濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)。的重要基礎(chǔ)。 數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)字序列通過(guò)一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字字序列通過(guò)一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。實(shí)現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號(hào)處理硬件和序列。實(shí)現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號(hào)處理硬件和計(jì)算機(jī)軟件。計(jì)算機(jī)軟件。 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器線性時(shí)不變系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)。iaibicid數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：1）按照任務(wù)要求確定濾

3、波器的性能要求。）按照任務(wù)要求確定濾波器的性能要求。2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的）用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的 H(z) 或或 h(n) 去逼近這個(gè)性能要求，即求去逼近這個(gè)性能要求，即求H(z)或或 h(n) 的表的表達(dá)式。確定系數(shù)達(dá)式。確定系數(shù) 、 或零極點(diǎn)或零極點(diǎn) 、 ，以，以使濾波器滿足給定的性能要求使濾波器滿足給定的性能要求第四章、第五章第四章、第五章討論討論 3）數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)。包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，確定）數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)。包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，確定運(yùn)算和系數(shù)存儲(chǔ)的字長(zhǎng)，選用通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的運(yùn)算和系數(shù)存儲(chǔ)的字長(zhǎng)，選用通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實(shí)現(xiàn)這一系

4、統(tǒng)。軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實(shí)現(xiàn)這一系統(tǒng)。 選擇合適的字長(zhǎng)和有效數(shù)字的處理方法等選擇合適的字長(zhǎng)和有效數(shù)字的處理方法等(第六第六章章)。 4.1 濾波器的基本原理濾波器的基本原理濾波：濾除信號(hào)中不需要的分量，保留有用的分量。濾波：濾除信號(hào)中不需要的分量，保留有用的分量。離散系統(tǒng)的數(shù)字模型：離散系統(tǒng)的數(shù)字模型： MiiNiiinxainybny01離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)： NiiiMiiizbzazH101離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)：離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)： zHZnh1 nxnhnhnxny*4.1.1 濾波器的分類濾波器的分類 模擬模擬 遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng) IIR 數(shù)字?jǐn)?shù)字 非遞歸系

5、統(tǒng)非遞歸系統(tǒng) FIR從功能上：從功能上： 低通低通 LP low pass 高通高通 HP high pass 帶通帶通 BP band pass 帶阻帶阻 BS band stopjHccOjHccOjH22O11jH22O11模擬低通濾波器模擬低通濾波器AF LP模擬高通濾波器模擬高通濾波器AF HP模擬帶通濾波器模擬帶通濾波器AF BP模擬帶阻濾波器模擬帶阻濾波器AF BSjeHccOccO數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器DF LP數(shù)字高通濾波器數(shù)字高通濾波器DF HP數(shù)字帶通濾波器數(shù)字帶通濾波器DF BP數(shù)字帶阻濾波器數(shù)字帶阻濾波器DF BSjeH22O11jeH22O11jeH4.1.2

6、 可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性11-12c0r通帶過(guò)渡帶阻帶時(shí)c11min1lg2011lg201lg20jeHjjjeHeHeHAlg201lg201lg102時(shí)r22maxlg201lg201lg20jeHAt通帶波動(dòng)通帶波動(dòng)最小阻帶衰耗最小阻帶衰耗設(shè)計(jì)方法：設(shè)計(jì)方法： 1）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟模擬濾波器有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來(lái)模擬濾波器有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來(lái)方便、準(zhǔn)確、可將這些

7、理論推廣到數(shù)字域，作為方便、準(zhǔn)確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。2）最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法）最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法分兩步：分兩步： a) 確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，如最小均方誤差準(zhǔn)則確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，如最小均方誤差準(zhǔn)則，即使設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性，即使設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性 （與所要求的理想頻率響應(yīng)（與所要求的理想頻率響應(yīng) 的均方誤的均方誤差最小，差最小，| )(|jeH| )(|jdeHmin)()(21MijdjiieHeHiaibiaib此外還有其他多種誤差最小準(zhǔn)則，此外還有其他多種誤差最小準(zhǔn)則， b) 在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù)在此最佳準(zhǔn)則下，求濾

8、波的系數(shù) 和和 通過(guò)不斷地迭代運(yùn)算，改變通過(guò)不斷地迭代運(yùn)算，改變 、 ，直到，直到 滿足要求為止。滿足要求為止。 以上兩種設(shè)計(jì)方法中，著重講第一種，以上兩種設(shè)計(jì)方法中，著重講第一種，因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是“模仿模仿”模擬濾波器。在模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計(jì)中，濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。由于計(jì)算機(jī)采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸技術(shù)的

9、發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸增多。增多。 0)()(dtethjHtjaa0sincos)()(dttjtthjHaa)()(jHjHaa 模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模擬模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。 因果系統(tǒng)中因果系統(tǒng)中式中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。 不難看出不難看出4.2 模擬濾波器設(shè)計(jì)方法模擬濾波器設(shè)計(jì)方法定義幅度平方函數(shù)定義幅度平方函數(shù) 式中式中 Ha(s)模擬濾波器模擬濾波器 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) Ha(j)濾波器的頻率響應(yīng)濾波

10、器的頻率響應(yīng) |Ha(j)|濾波器的幅頻響應(yīng)濾波器的幅頻響應(yīng)又又 S=j，2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j) 1 ()()()()()()()()()(222jsaaaaaaasHsHjHjHAjHjHjHA問(wèn)題：由問(wèn)題：由A(-S2)Ha(S) 對(duì)于給定的對(duì)于給定的A(-S2)，先在，先在S復(fù)平面上標(biāo)出復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由(1)式知，式知，A(-S2)的極點(diǎn)的極點(diǎn)和零點(diǎn)總是和零點(diǎn)總是“成對(duì)出現(xiàn)成對(duì)出現(xiàn)”，且對(duì)稱于，且對(duì)稱于S平面的平面的實(shí)軸和虛軸，選用實(shí)軸和虛軸，選用A(-S2)的對(duì)稱極、零點(diǎn)的任的對(duì)稱極、零點(diǎn)的任一半作為一半作為Ha(s)的極、

11、零點(diǎn)，則可得到的極、零點(diǎn)，則可得到Ha(s)。 為了保證為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在在S左半平面的極點(diǎn)作為左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半。任一半。例例4.1 設(shè)已知設(shè)已知 ，求對(duì)應(yīng)的，求對(duì)應(yīng)的42212A sHa解：解：42221222ssAsAs sHsHaa sjIm sReO2221j21j21j21j 21212jsjsssHa1222sssNcajjjHA22211)()()(2AN為濾波器階數(shù)為濾波器階數(shù)其幅度平方函數(shù)：其幅度平方函數(shù)：特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特

12、性，且隨f ，幅頻特，幅頻特 性性 單調(diào)單調(diào) 。4.2.1 巴特沃思巴特沃思(Butterworth)濾波器濾波器 巴特沃思濾波器巴特沃思濾波器 振幅平方函數(shù)振幅平方函數(shù)圖圖1中，中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過(guò)渡帶增加，通帶和阻帶的近似性越好，過(guò)渡帶越陡。越陡。/c1時(shí)，時(shí)， ( /c)2N 1, 增加，增加， A(2)快速減小。快速減小。=c, ， , ,幅度衰減幅度衰減 ，相當(dāng)于，相當(dāng)于3dB衰減點(diǎn)。衰減點(diǎn)。 21jH21)(2A振幅振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)：平方函數(shù)的極點(diǎn)：NcaajSSHSH2)(11)()()() 1(21cNPjSNkeeeScNkjcjNkjP21)()(221

13、222112 令分母為零，得令分母為零，得Butterworth濾波器濾波器 的振幅平方函數(shù)有的振幅平方函數(shù)有2N個(gè)極個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=c的圓周上。的圓周上。三階三階A(-S2)的極點(diǎn)分布的極點(diǎn)分布 考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知AF的系統(tǒng)函數(shù)是由的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面平面左半部分的極點(diǎn)（左半部分的極點(diǎn)（SP1，SP2，SP3）組成的，它們分別為：）組成的，它們分別為：3232321,jcpcpjcpeSSeS)()()(3213pppcaSSSSSSsH1221)(231SSSsHa1)/(2)/(2)/(1)(23cccassssH系統(tǒng)

14、函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為：1c令令 ，得歸一化的三階，得歸一化的三階BW AF：如果要還原的話，則有如果要還原的話，則有1221)(231SSSsHa歸一化的三階歸一化的三階BW AF：121)(21SSsHa歸一化的二階歸一化的二階BW AF：11)(1SsHa歸一化的一階歸一化的一階BW AF：補(bǔ)充：確定除數(shù)補(bǔ)充：確定除數(shù)N及及c c1. 確定確定N(已知通帶邊頻已知通帶邊頻1、通帶波動(dòng)、通帶波動(dòng)、阻帶邊頻阻帶邊頻r、阻帶最小衰耗、阻帶最小衰耗At)NcjH21211lg101lg10NcrrjHAt221lg101lg10NcjHA221lg101lg101 . 021101NcAtNcr1

15、. 021011101 . 021Nc1101 . 02AtNcr1101101 . 01 . 021AtNr110110lglg21 . 01 . 01AtrN11 . 01 . 0lg110110lg21rAtN11 . 01 . 0lg110110lg21rAtN2. 確定確定c1101 . 021Nc1101 . 02AtNcrNc211 . 01110NAtrc211 . 0110若已知衰減為若已知衰減為3dB的頻率點(diǎn)，此頻率點(diǎn)即為的頻率點(diǎn)，此頻率點(diǎn)即為c4.2.2 切比雪夫（切比雪夫（chebyshev）濾波器）濾波器 特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等

16、幅變化。 巴特沃茲巴特沃茲濾波器濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止，如果階次一定，則在靠近截止頻率頻率 處，幅度下處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要降很多，或者說(shuō)，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（的階次（N）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的夫多項(xiàng)式逼近所希望的 。 切比雪夫切比雪夫?yàn)V波器濾波器的的 在通帶范圍內(nèi)是等幅在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾濾波器波器要小?？筛鶕?jù)需要對(duì)通帶

17、內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)要小。可根據(jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)范圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于范圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db。 c2)( jH2)( jH振幅平方函數(shù)為振幅平方函數(shù)為)(11)()(2222cNaVjHAc1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN)(, 11)(,1xVxxxVxNN時(shí)有效通帶截止頻率有效通帶截止頻率與通帶波紋有關(guān)的參量，與通帶波紋有關(guān)的參量， 大大 ，波紋大。，波紋大。 0 1 VN（x）N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 如圖如圖1,通帶內(nèi)通帶內(nèi) 變化范圍變化范圍1 c，隨，隨/c ， 0 (迅速趨于零迅

18、速趨于零)當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，時(shí)， N為偶數(shù)，為偶數(shù)， ，min ， N為奇數(shù)，為奇數(shù)， ， max，)2(cos11)0arccos(cos11)(22220NNjHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)( jH2a)( jH 切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性 2min111lg20)(1lg20jHa)1lg(1021101 . 02)(dB221)(,AjHar時(shí) 給定通帶波紋值分貝數(shù)給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求后，可求 。有關(guān)參數(shù)的確定有關(guān)參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率、通帶截止頻率c ，預(yù)先給定，預(yù)先給定 b、通

19、帶波動(dòng)為、通帶波動(dòng)為 c、階數(shù)N由阻帶的邊界條件確定。（ 、A事先給定） 222111AVcrNr221)(,AjHar時(shí)crNarAarNxNarxVx/cosh/1cosh)coshcosh()(,12得時(shí)22maxlg101lg10AjHAtaAtA1 . 0210crAtararNcosh110110cosh1 . 01 . 0 4.2.3 橢圓（Elliptic）濾波器 特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為RN（，L）雅可比橢圓函數(shù)L表示波紋性質(zhì)的參量)

20、,(11)()(2222LRjHANa N=5， 的特性曲線 可見，在歸一化通帶內(nèi)（-11）， 在（0，1）間振蕩，而超過(guò)L后， 在 間振蕩。這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻帶具有任意衰減量。 ),(25LR2L),(25LR),(25LR 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù) 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中和A的定義 同切比雪夫?yàn)V波器rr當(dāng)c、r、和A確定后，階次N的確定方法為：)1()()1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc確定參量確定參數(shù)2/1222/1210)1 ()1 ()(tktdtkK式中 為第一類完全橢圓積分 上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法，設(shè)

21、計(jì)時(shí)按照指標(biāo)要求，合理選用。 一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。 以上討論了由A（2 ）Ha (s),下面討論由Ha(s)H(Z)的變換設(shè)計(jì)法。4.2.4 模擬高通、帶通及帶阻濾波模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)過(guò)程：設(shè)計(jì)過(guò)程：1）將模擬濾波器的參數(shù)指標(biāo)通過(guò)頻率變換轉(zhuǎn)化成）將模擬濾波器的參數(shù)指標(biāo)通過(guò)頻率變換轉(zhuǎn)化成原型模擬低通濾波器的參數(shù)指標(biāo)。原型模擬低通濾波器的參數(shù)指標(biāo)。2）設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)要求的原型模擬低通濾波器。）設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)要求的原型模擬低通濾波器。3）通過(guò)頻率變換將原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函）通過(guò)頻率變換將原型模擬低通濾波

22、器的系統(tǒng)函數(shù)變換為其他類型（高通、帶通和帶阻）的模擬濾數(shù)變換為其他類型（高通、帶通和帶阻）的模擬濾波器。波器。4.2.5 用用MATLAB設(shè)計(jì)模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器1. 巴特沃思模擬濾波器設(shè)計(jì)巴特沃思模擬濾波器設(shè)計(jì)1）求巴特沃思濾波器的階數(shù)）求巴特沃思濾波器的階數(shù)N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)Wp,Ws：通帶、阻帶邊界頻率：通帶、阻帶邊界頻率(rad/s)Rp,Rs：通帶波動(dòng)、最小阻帶衰減：通帶波動(dòng)、最小阻帶衰減(dB)N：階數(shù)：階數(shù)Wn：3dB點(diǎn)頻率點(diǎn)頻率s：表示模擬域：表示模擬域2）給定階數(shù)計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)和增益因子）給定階數(shù)計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)和增益因子z,p,

23、k=buttap(N)z：零點(diǎn)，實(shí)際是一個(gè)空向量：零點(diǎn)，實(shí)際是一個(gè)空向量p：歸一化：歸一化(3dB的邊界頻率為的邊界頻率為1)的的N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)N：階數(shù)：階數(shù)k：增益因子：增益因子 NapspspsksH213）給定階數(shù)和邊界頻率設(shè)計(jì)濾波器）給定階數(shù)和邊界頻率設(shè)計(jì)濾波器B,A=butter(N,Wn,type,s)Wn：3dB點(diǎn)邊界頻率；若點(diǎn)邊界頻率；若Wn=W1,W2，則設(shè)計(jì)則設(shè)計(jì)2N階帶通或帶阻階帶通或帶阻B：系統(tǒng)函數(shù)分子的系數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)分子的系數(shù)設(shè)計(jì)低通和帶通，設(shè)計(jì)低通和帶通，type可缺省，高可缺省，高通通high，帶阻，帶阻stopA：系統(tǒng)函數(shù)分母的系數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)分母的系數(shù)2. 切比

24、雪夫模擬濾波器設(shè)計(jì)切比雪夫模擬濾波器設(shè)計(jì)1）計(jì)算濾波器的階數(shù)）計(jì)算濾波器的階數(shù)N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)Wp,Ws：通帶、阻帶邊界頻率：通帶、阻帶邊界頻率(rad/s)Rp,Rs：通帶波動(dòng)、最小阻帶衰減：通帶波動(dòng)、最小阻帶衰減(dB)N：階數(shù)：階數(shù)Wn：通帶邊界頻率：通帶邊界頻率s：表示模擬域：表示模擬域2）計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)和增益因子）計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)和增益因子z,p,k=cheb1ap(N,Rp)3）給定階數(shù)和指標(biāo)參數(shù)設(shè)計(jì)濾波器）給定階數(shù)和指標(biāo)參數(shù)設(shè)計(jì)濾波器B,A=cheby1(N,Rp,Wn,type,s)3. 橢圓模擬濾波器設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器設(shè)計(jì)1）計(jì)算

25、濾波器的階數(shù)）計(jì)算濾波器的階數(shù)N,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)2）計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)和增益因子）計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)和增益因子z,p,k=ellipap(N,Rp)3）給定階數(shù)和指標(biāo)參數(shù)設(shè)計(jì)濾波器）給定階數(shù)和指標(biāo)參數(shù)設(shè)計(jì)濾波器B,A=ellip(N,Rp,Rs,Wn,type,s)4. 頻率變換頻率變換1）低通到高通變換）低通到高通變換B,A=lp2hp(num,den,w0)num,den：低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)：低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)w0：高通濾波器的通帶邊界角頻率：高通濾波器的通帶邊界角頻率B,A：高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)：高通濾波器系統(tǒng)

26、函數(shù)分子分母的系數(shù)2）低通到帶通變換）低通到帶通變換B,A=lp2bp(num,den,w0,Bw)w0：帶通濾波器的中心角頻率：帶通濾波器的中心角頻率Bw：帶通濾波器的通帶帶寬：帶通濾波器的通帶帶寬(rad/s)3）低通到帶）低通到帶阻阻變換變換B,A=lp2bs(num,den,w0,Bw)w0：帶阻濾波器的中心角頻率：帶阻濾波器的中心角頻率Bw：帶阻濾波器的阻帶帶寬：帶阻濾波器的阻帶帶寬(rad/s)例例4.2 設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的模擬低通濾波器，分設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的模擬低通濾波器，分別采用巴特沃思濾波器、切比雪夫?yàn)V波器和橢圓別采用巴特沃思濾波器、切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器。濾波器。kHz

27、fc1kHzfr2dBRp1dBRs40clear;fc=1000;fr=2000;rp=1;rs=40;wc=2*pi*fc;wr=2*pi*fr;N,wn=buttord(wc,wr,rp,rs,s);B,A=butter(N,wn,s);omega=0:200:10000*pi;h=freqs(B,A,omega);gain=20*log10(abs(h);plot(omega/(2*pi),gain);xlabel(頻率頻率/Hz);ylabel(幅度幅度/dB)title(巴特沃思濾波器巴特沃思濾波器)grid巴特沃思濾波器：巴特沃思濾波器：N=8 B=0, 0, 0, 0, 0,

28、0, 0, 0, 6.21871030A=1, 3.6222104, 6.5603108, 7.70931012, 6.40601016, 3.84981020, 1.63601024, 4.51081027, 6.21871030 3074830102187. 6106222. 3102187. 6sssHbutter0500100015002000250030003500400045005000-120-100-80-60-40-200頻 率 /Hz幅度/dB巴 特 沃 思 濾 波 器切比雪夫?yàn)V波器：切比雪夫?yàn)V波器：N=5 B=0, 0, 0, 0, 0, 1.20281018A=1, 5

29、.8862103, 6.6672107, 2.41701011, 9.04791014, 1.20281018 1845181102028. 12 .5886102028. 1sssHcheby0500100015002000250030003500400045005000-90-80-70-60-50-40-30-20-100頻 率 /Hz幅度/dB切 比 雪 夫 濾 波 器橢圓濾波器：橢圓濾波器：N=4 B=0, 0, 0, 0, 0.50171014A=1, 5.9008103, 5.9759107, 1.99361011, 5.63011014 183414106301. 58 .59

30、00105017. 0sssHellip0500100015002000250030003500400045005000-90-80-70-60-50-40-30-20-100頻 率 /Hz幅度/dB橢 圓 濾 波 器4.3 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器濾波器利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)，這歸根到底是一個(gè)由，這歸根到底是一個(gè)由S平面到平面到Z平面的變換，這平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則：種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本

31、原則：1）H(z)的頻響與的頻響與Ha(s)的頻響保持一致，即的頻響保持一致，即s平面平面的虛軸必須映射到的虛軸必須映射到z平面的單位圓平面的單位圓 上。上。2）因果穩(wěn)定的）因果穩(wěn)定的Ha(s) 應(yīng)能映射成應(yīng)能映射成 因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定H(z)。也就是也就是s平面的左半平面平面的左半平面 Res0 應(yīng)該映射到應(yīng)該映射到z平面的平面的單位圓以內(nèi)單位圓以內(nèi)|z| HP 。b. 高通變換高通變換jjjeee1,00LP-HP變換把變換把在上述在上述LP-LP 變換中，將變換中，將 Z代以代以Z , 得得 LP - HP變換關(guān)系：變換關(guān)系：11111111zzzzzGu 原型低通的截止頻率原型低通的截止

32、頻率 對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率率 ，欲將，欲將 變換到變換到 ：cccccccjjjeee12cos2coscccc:確定ccccjjjeee1ccLP Hp變換00 LP - HP變換變換例例4.13 低通數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率低通數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率 的切比雪夫?yàn)V波器的切比雪夫?yàn)V波器求邊界頻率求邊界頻率 的數(shù)字高通濾波器。的數(shù)字高通濾波器。2 . 0c6 . 0c)8482. 04996. 11)(6493. 05548. 11 ()1 (001836. 0)(2121411uuuuuuHp38197. 02/ )2 . 06 . 0cos(2/ )2 . 06 . 0

33、cos(11138197. 0138197. 0zzu)7647. 0556. 01)(4019. 00416. 11 ()1 (02426. 0)()(21214138197. 0138197. 01111zzzzzuHzHzzup4.5.3 數(shù)字低通數(shù)字低通-數(shù)字帶通數(shù)字帶通0000000 2,0N即全通函數(shù)的階數(shù)為時(shí)， 所以全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。，時(shí), 1) 1 (,0G帶通的中心頻率應(yīng)對(duì)應(yīng)于低通原型的通帶中心，帶通的中心頻率應(yīng)對(duì)應(yīng)于低通原型的通帶中心，即即11zGu1*1*111zzzz由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系：1)(1122211211zrzrrzrzzGu1122212

34、jjjjjererreree或：或：LP-BP變換變換102cc004.5.4 數(shù)字低通數(shù)字低通-數(shù)字帶阻數(shù)字帶阻0000002N 0故，又又 G(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號(hào)。所以，全通函數(shù)取正號(hào)。帶阻的中心頻率帶阻的中心頻率由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系： 或或 1)(1122211211zrzrrzrzzGu1122212jjjjjererrereeLP-BS變換變換201cc)(jeH004.6 IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法4.6.1 帕德（帕德（Pade）逼近法）逼近法Hd(n)是一個(gè)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)。是一個(gè)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)。用一個(gè)因果濾波器逼近該理想濾波器，其單位脈沖用一個(gè)因果濾波器逼近該理想濾波器，其單位脈沖響應(yīng)為響應(yīng)為h(n)，則系統(tǒng)函數(shù)為：，則系統(tǒng)函數(shù)為：0101)()(nNiiiMiiinzbzaznhzH求得求得H(z)的的N+M+1個(gè)待定的系數(shù)，使得個(gè)待定的系數(shù)，