三次B樣條曲線

1、數(shù)字圖像處理曲線和曲面曲線和曲面2. B 樣條曲線2.1: B樣條曲線的定義2.2: B樣條曲線基函數(shù)性質(zhì)2.3: B樣條曲線的性質(zhì)2.4: 二次B樣條曲線2.5: 三次B樣條曲線2.6: 二、三次B樣條曲線的應(yīng)用2.7: 非均勻B樣條曲線1. 樣條函數(shù)的概念1.1: 一般樣條函數(shù)的定義1.2: 三次樣條函數(shù)1.3: 二次樣條函數(shù)數(shù)字圖像處理1. 1. 樣條函數(shù)概念樣條函數(shù)概念 樣條函數(shù)的概念是美國(guó)數(shù)學(xué)家I.J.Schoenberg在1946年首先提出的，他定義了一種B樣條函數(shù)。盡管有10年的時(shí)間未受到重視，但從60年代開始，隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和數(shù)據(jù)擬合以及函數(shù)逼近在生產(chǎn)實(shí)驗(yàn)中的廣泛

2、應(yīng)用，樣條函數(shù)的理論和應(yīng)用已迅速發(fā)展成了一門成熟的學(xué)科。由于樣條(Spline)函數(shù)發(fā)展的開始，就具有廣泛而又深刻的實(shí)用背景，因此，樣條函數(shù)及其參數(shù)表示形式的曲線和曲面方法是自由曲線與曲面設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。 數(shù)字圖像處理1.1 一般樣條函數(shù)的定義一般樣條函數(shù)的定義 給定一組平面上頂點(diǎn) (xi,yi) (i=0，1，n)，并設(shè)在區(qū)間a,b上的：a=x0 x1xn-1xn=b,那么在a,b上的一個(gè)函數(shù) S(x) 稱為K階連續(xù)樣條函數(shù)，如果它滿足下面兩個(gè)條件： (1)在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi(i=1，2，n)內(nèi)，S(x) 是具有K階或K階以上連續(xù)函數(shù)。 (2)在xi(i=1，2，n-1)處成立 即S(x

3、)在拼接點(diǎn)處xi(i1，2，n-1)也具有K階連續(xù)， 這也就是S(x)在整個(gè)區(qū)間a,b上具有K階連續(xù)。 若S(x)滿足 ，則稱S(x)為插值樣條函數(shù)。,.,1 , 0),0()0()()(KkxSxSikiknixSyii.1 , 0)(數(shù)字圖像處理1.2 三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù) 假設(shè)在區(qū)間a，b上給定一個(gè)分割 ： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一個(gè)函數(shù)S(x)稱為插值三次樣條函數(shù)， 如果滿足下列條件: (1)在每一小區(qū)間xi-1,xi(i=1，2，n)內(nèi)S(x)分別 是三次多項(xiàng)式函數(shù)； (2)在節(jié)點(diǎn)xi(i1，2，n-1)處成立 :SxSxkkiki()()()(), ,

4、,000 1 2即小區(qū)間上的三次多項(xiàng)式函數(shù)，在拼接點(diǎn)處xi 具有二階連續(xù)拼接。 (3)滿足插值條件yi =S(xi),i=0，1，n. 數(shù)字圖像處理1.3 二次樣條函數(shù)二次樣條函數(shù)設(shè)定區(qū)間a,b上一個(gè)分割： a=x0 x1xn-1xn=b,在a,b上的一個(gè)函數(shù)S(x)稱為插值二次樣條函數(shù)，如果滿足下列條件： (1)在每個(gè)小區(qū)間 內(nèi)，S(x)是二次多項(xiàng)式函數(shù)，這里， nixxii,.,1 , 0,2121xxxin xxxxiiinn12112012212(, ,., ),稱為半節(jié)點(diǎn)； (2)在半節(jié)點(diǎn) (i=1，2，n)處成立 , 1 , 0),0()0(21)(21)(kxSxSikik21i

5、x(3)滿足插值條件 .,.,1 ,0),(nixSyii數(shù)字圖像處理2. B 樣條曲線樣條曲線 以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：其一是Bezier曲線或曲面不能作局部修改，控制多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)生了變化，整條Bezier曲線的形狀便發(fā)生變化；其二是Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜。因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部?jī)?yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。2.1 B 樣條曲線的定義樣條曲線的定義給定m+n+1個(gè)平面或空間頂點(diǎn) Pi (i=0，1，m+n)，稱n次參數(shù)曲線段

6、：ninikinkttGPtP0, 1 , 0),()(為第k段n次B樣條曲線段 (k=0，1，m)，這些曲線段的全體稱為n次B樣條曲線，其頂點(diǎn)Pi(i=0，1，n+m)所組成的多邊形稱為B樣條曲線的特征多邊形。 其中，基函數(shù) 定義為：nitjintCntGinjnjnjni,.,1 ,0,1 ,0)()1(!1)(01,)(,tGni數(shù)字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例二次二次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數(shù)字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例二次二次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數(shù)字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例三次三次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數(shù)字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲

7、線示例三次三次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數(shù)字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例四次四次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數(shù)字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例五次五次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數(shù)字圖像處理2.2 B 樣條曲線基函數(shù)的性質(zhì)樣條曲線基函數(shù)的性質(zhì) B樣條函數(shù)基函數(shù)為：nitjintCntGinjnjnjni,.,1 ,0,1 ,0)()1(!1)(01,具有如下性質(zhì)： 1）有界正性：當(dāng) 時(shí)， 2）權(quán)性： 即 3）對(duì)稱性：當(dāng) 時(shí)， 4）遞推性： 1 , 0t),.,1 , 0(, 1)(0,nitGni 1 , 0, 1)(0,ttGnini 1 , 0t),.,1 , 0(),1

8、()(,nitGtGninni1;,.,1 , 0,1 , 0)()(1)()1(1)(1, 11,nnittGtinntGtintGninini數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的基函數(shù)樣條曲線的基函數(shù)一次一次B 樣條曲線的基函數(shù)樣條曲線的基函數(shù)二次二次B 樣條曲線的基函數(shù)樣條曲線的基函數(shù)數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的基函數(shù)樣條曲線的基函數(shù)三次三次B 樣條曲線的基函數(shù)樣條曲線的基函數(shù)四次四次B 樣條曲線的基函數(shù)樣條曲線的基函數(shù)數(shù)字圖像處理2.3 B 樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)1. 局部性局部性 根據(jù)定義式可知，第 k 段n次B樣條曲線只與 n+1 個(gè) 頂點(diǎn)Pi(i=0，1，n)有關(guān)，因此，當(dāng)改動(dòng)其中一個(gè)

9、 控制頂點(diǎn)時(shí)，只會(huì)對(duì)相鄰的n+1段產(chǎn)生影響，不會(huì)對(duì) 整條曲線(當(dāng) m n)產(chǎn)生影響。這就為設(shè)計(jì)曲線時(shí)修改某一局部的形狀帶來了很大的方便。 如左圖所示，六個(gè)控制頂點(diǎn)控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個(gè)頂點(diǎn)控制。數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)2.幾何不變性 由于定義式所表示的B樣條曲線是參數(shù)形式，因此，和Bezier曲線一樣，B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系選擇無關(guān)。3. 連續(xù)性 當(dāng)給定的m+n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi (i=0，1，m+n)互不相重，則所控制的整條B樣條曲線具有n-1階幾何連續(xù) (G n-1)。當(dāng)給定的控制頂點(diǎn)相鄰最大重頂點(diǎn)數(shù)為h（即h 個(gè)控

10、制頂點(diǎn)重合在一起），則整條B樣條曲線具有n-h-1階幾何連續(xù)(G n-h-1)。 數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)4. 對(duì)稱性 根據(jù)B樣條曲線的基函數(shù)的對(duì)稱性可推導(dǎo)nininkininikinkttGPtGPtP0,0,)1 ,0()()1()1(它表明了B樣條曲線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的幾何性質(zhì)完全相同。 數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)5.遞推性 n次B樣條曲線段的遞推曲線表示形式：nllnittilnlnttilntmknltPttPtlPtPliliilkliilklikiilk,.,2 , 1;,.,1 , 0;1 , 0);(11)();1(11)(,.,1 , 0

11、,.,2 , 1),()()()(0)(,11,1,其中：數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)6. 保凸性 B樣條曲線和Bezier曲線一樣，也具有保凸性。即當(dāng)所有的控制頂點(diǎn)形成一個(gè)平面凸的閉多邊形時(shí)， Pk,n(t) 是一條平面凸曲線。數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)7. 凸包性當(dāng)t0，1時(shí)，有0Gi,n(t)1 (i=0，1，n)和 ，因此，根據(jù)凸包定義可知，對(duì)任何t0，1，Pk,n(t) 必定在控制頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中。ninitG0,1)( 如左圖所示，六個(gè)控制頂點(diǎn)控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個(gè)頂點(diǎn)控制且包含在四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之

12、中。數(shù)字圖像處理B 樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)8.變差縮減性數(shù)字圖像處理2.4 二次二次B樣條曲線樣條曲線 取n=2，則有二次B樣條曲線的基函數(shù)如下 ： 1 , 0,21)() 122(21)() 1(21)(22, 222, 121 , 0tttGtttGttG二次B樣條曲線段 是一段拋物線。 202,2,0)()(iiitGPtP數(shù)字圖像處理二次二次B 樣條曲線樣條曲線二次B樣條曲線的矩陣表示為： 1 , 01210220111 21)(21022,0tPPPtttP它具有如下性質(zhì)：1. 端點(diǎn)位置：)(21) 1 (),(21)0(122, 0102, 0PPPPPP2. 端點(diǎn)切矢： 1

13、22,0012,0) 1 (,)0(PPPPPP數(shù)字圖像處理二次二次B 樣條曲線樣條曲線 如左圖所示，六個(gè)控制頂點(diǎn)控制的二次B樣條曲線由四段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)控制。曲線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)同控制頂點(diǎn)的連接邊相切于連接邊的終點(diǎn)位置。數(shù)字圖像處理二次二次B 樣條曲線樣條曲線3. 當(dāng)P0，P1，P2三頂點(diǎn)共線時(shí)，P0,2(t)(t0，1) 即蛻化為一段直線。4. 當(dāng)給定一組頂點(diǎn)P0，P1，Pm(m2)，若存在 Pi=Pi+1(0im-2)，則二次B樣條曲線經(jīng)過頂點(diǎn)Pi， 且在此處是尖點(diǎn)。 三點(diǎn)共線的情況三點(diǎn)共線的情況 尖點(diǎn)的情況尖點(diǎn)的情況數(shù)字圖像處理2.5 三次三次B樣條

14、曲線樣條曲線取n=3，則有三次B樣條曲線的基函數(shù)如下： GttttGtttGttttGttt0 3321 3322 3323 3316331163641633311601,( )(),( )(),( )(),( ),三次B樣條曲線段 為：1, 0,1331036303030141161)(3210323 , 0tPPPPttttP)(3,0tP數(shù)字圖像處理三次三次B樣條曲線樣條曲線性質(zhì)1：端點(diǎn)位置PPPPPPPPPPPPPP0 30120210 3123132016413223116413223,( )(),( )(),性質(zhì)2：端點(diǎn)切矢及二階導(dǎo)數(shù),2)1(,2)0(),(21)1( ),(21

15、)0( 1233,00123,0133,0023,0PPPPPPPPPPPPPP數(shù)字圖像處理三次三次B樣條曲線樣條曲線P0P3P2P1三次B樣條曲線的頂點(diǎn)位置和頂點(diǎn)切矢數(shù)字圖像處理2.6 二、三次二、三次B樣條曲線的應(yīng)用樣條曲線的應(yīng)用 在曲線擬合設(shè)計(jì)中，B樣條曲線主要可用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平滑和要求局部交互式修改的自由曲線設(shè)計(jì)。當(dāng)然，二、三次B樣條曲線及其變型，幾乎可以應(yīng)用到所有的要求具有一次或二次幾何連續(xù)的曲線造型場(chǎng)合。(1)要求過插值端點(diǎn)；(2)封閉的二、三次B樣條曲線； (3)插值二、三次B樣條曲線；數(shù)字圖像處理2.7 非均勻非均勻 B 樣條曲線樣條曲線 前面介紹的B樣條曲線實(shí)際上稱為均勻(或等距節(jié)點(diǎn))B樣條曲線。B樣條曲線是由B樣條函數(shù)演化而來的。關(guān)于B樣條函數(shù)的理論十分的豐富，現(xiàn)在簡(jiǎn)單的給出B樣條基函數(shù)的遞推公式：給定參數(shù) t 軸上的一個(gè)分割， 由下列遞推關(guān)系所定義的 稱為T 的 k階(或k-1次)B樣條基函數(shù)： ,.)1,0,(1itttTiiii)(,t