工程力學(xué)19-j8a

1、北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系 韓斌關(guān)于本章內(nèi)容：屬于分析力學(xué)體系關(guān)于本章內(nèi)容：屬于分析力學(xué)體系矢量力學(xué)矢量力學(xué)(矢量物理量：矢量物理量： 動量動量 動量矩動量矩 )LKMFavr,牛頓牛頓(I. Newton,1642-1727)分析力學(xué)分析力學(xué)(標(biāo)量物理量：廣義坐標(biāo)標(biāo)量物理量：廣義坐標(biāo) ，廣義速度，廣義速度 ,能量能量 T，V，功功W )iqiq 拉格朗日拉格朗日(J.-L. Lagrange,1736-1813)本章將虛位移原理用于靜力學(xué)平衡問題。本章將虛位移原理用于靜力學(xué)平衡問題。優(yōu)點(diǎn)：可避開不必求的許多中間未知約束力。優(yōu)點(diǎn)：可避開不必求的許多中間未知約束力。8 .8 .1 1 位形、約束方

2、程及約束分類位形、約束方程及約束分類1.質(zhì)點(diǎn)系的位形質(zhì)點(diǎn)系的位形2. 約束方程及分類約束方程及分類用數(shù)學(xué)方程式表示的約束條件，稱為約束方程。用數(shù)學(xué)方程式表示的約束條件，稱為約束方程。系統(tǒng)自由度系統(tǒng)自由度其中其中l(wèi) 為獨(dú)立的完整約束方程數(shù)。為獨(dú)立的完整約束方程數(shù)。lnk 3 n個自由質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系個自由質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系任一質(zhì)點(diǎn)任一質(zhì)點(diǎn) 的位置的位置可由其直角坐標(biāo)可由其直角坐標(biāo) 確定，稱這確定，稱這3n個個坐標(biāo)的集合為該質(zhì)點(diǎn)系的位形，位形給定則質(zhì)點(diǎn)系坐標(biāo)的集合為該質(zhì)點(diǎn)系的位形，位形給定則質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)的位置就可確定。中每一質(zhì)點(diǎn)的位置就可確定。iDiiizyx,)1(ni n個質(zhì)點(diǎn)的非自由質(zhì)點(diǎn)系

3、個質(zhì)點(diǎn)的非自由質(zhì)點(diǎn)系設(shè)自由度設(shè)自由度 ，可用廣義坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo) 確定質(zhì)點(diǎn)系的位形：確定質(zhì)點(diǎn)系的位形：nk3kqq 1),(21tqqqxxkii),(21tqqqrrkii或或(8.1)(8.2)ni,.,1ni3,.,1位形位形),(yx例例2. 質(zhì)點(diǎn)在曲面上運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)在曲面上運(yùn)動。位形位形),(zyx約束方程即曲面方程約束方程即曲面方程0),(zyxf（2）例例1.質(zhì)點(diǎn)在平面的槽內(nèi)運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)在平面的槽內(nèi)運(yùn)動。yxO),(yxM1k自由度自由度2k自由度自由度例例3. 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)A，B用繩子相連，且繩長用繩子相連，且繩長 l = l (t ).xyBA xA廣義坐標(biāo)可選擇廣義坐標(biāo)可選擇21,

4、qxqA位形位形(xA,yA,xB,yB)約束方程約束方程0y（1）約束方程約束方程)()()(222tlyyxxBABAyA= 0（3）（4）自由度自由度 k = 2M根據(jù)研究目的的不同，約束可有不同的分類方式：根據(jù)研究目的的不同，約束可有不同的分類方式：雙面約束雙面約束單面約束單面約束如如約束方程約束方程0y0),(zyxfyA= 0如如約束方程約束方程)()()(222tlyyxxBABA完整約束完整約束非完整約束非完整約束只涉及位形只涉及位形還涉及速度且不可積分還涉及速度且不可積分定常約束（不顯含時間定常約束（不顯含時間t）非定常約束（顯含時間非定常約束（顯含時間t）如如約束方程約束方

5、程0y0),(zyxfyA= 0如如約束方程約束方程)()()(222tlyyxxBABA幾何約束幾何約束運(yùn)動約束運(yùn)動約束只約束位形只約束位形除約束位形外還約束速度除約束位形外還約束速度8.2 8.2 實(shí)位移實(shí)位移 虛位移虛位移1. 位移位移Mrx3x1x2O：idxrd質(zhì)點(diǎn)系的位移：質(zhì)點(diǎn)系的位移： n個質(zhì)點(diǎn)，個質(zhì)點(diǎn)，k個自由度個自由度nk3廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)kqq 1質(zhì)點(diǎn)系的位形質(zhì)點(diǎn)系的位形),(21tqqqxxkii),(21tqqqrrkii(8.1)(8.2), 2 , 1(ni)3 , 2 , 1(ni), 2 , 1(nidttrdqqrrdikijjii1dttxdqqxdxiki

6、jjii1)3 , 2 , 1(ni(8.3)(8.4)其中其中),.,2 , 1( ,ksdqS（dt時間時間qS的增量）的增量）2.2. 實(shí)位移實(shí)位移3. 3. 虛位移虛位移若質(zhì)點(diǎn)系的位移或廣義位移滿足以下若質(zhì)點(diǎn)系的位移或廣義位移滿足以下2個條件：個條件：（1）滿足質(zhì)點(diǎn)系的約束條件）滿足質(zhì)點(diǎn)系的約束條件（2）滿足質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)方程及初始條件）滿足質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)方程及初始條件則稱其為實(shí)位移或廣義實(shí)位移。則稱其為實(shí)位移或廣義實(shí)位移。實(shí)位移是惟一確定的真實(shí)位移。實(shí)位移是惟一確定的真實(shí)位移。若質(zhì)點(diǎn)系的位移或廣義位移只滿足質(zhì)點(diǎn)系的約束條件，若質(zhì)點(diǎn)系的位移或廣義位移只滿足質(zhì)點(diǎn)系的約束條件，就稱為虛位移

7、或廣義虛位移。就稱為虛位移或廣義虛位移。虛位移是系統(tǒng)約束允許的任意假想位移，虛位移是系統(tǒng)約束允許的任意假想位移，與主動力無關(guān)，與時間無關(guān)，且不惟一。與主動力無關(guān)，與時間無關(guān)，且不惟一。實(shí)位移表示為：實(shí)位移表示為：), 2 , 1(nidttrdqqrrdikijjii1dttxdqqxdxikijjii1)3 , 2 , 1(ni虛位移表示為：虛位移表示為：jkjjiiqqrr1), 2 , 1(nijkjjiiqqxx1)3 , 2 , 1(ni(8.5)(8.6)虛位移虛位移又稱為又稱為的變分的變分(等時變分）等時變分）。irjq、irjq、實(shí)位移與虛位移間的關(guān)系：實(shí)位移與虛位移間的關(guān)系：

8、例如：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時處于靜止時，例如：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時處于靜止時，0ird但但ir不一定為不一定為0在定常幾何約束情況下，實(shí)位移為多個虛位移中的一個。在定常幾何約束情況下，實(shí)位移為多個虛位移中的一個。例如：例如：MirdiririrPAOAAArdArAr本章為靜力學(xué)，僅限于討論定常、幾何約束情況。本章為靜力學(xué)，僅限于討論定常、幾何約束情況。但在非定常和運(yùn)動約束情況下則不然。但在非定常和運(yùn)動約束情況下則不然。xyOMDvtDrdyDrdvdt例如：例如：對自由度為對自由度為k的質(zhì)點(diǎn)系（剛體或剛體系）的質(zhì)點(diǎn)系（剛體或剛體系）位形位形iixr ,各點(diǎn)各點(diǎn) 或或 irix廣義坐標(biāo)位形廣義坐標(biāo)位形),2

9、 , 1(kjqj),2 , 1(kjqj 將各點(diǎn)虛位移將各點(diǎn)虛位移 或或 用獨(dú)立的廣義虛位移表示出來。用獨(dú)立的廣義虛位移表示出來。 irix4. 單個剛體上各點(diǎn)的虛位移之間關(guān)系表示方法單個剛體上各點(diǎn)的虛位移之間關(guān)系表示方法與剛體上各點(diǎn)的速度關(guān)系類似與剛體上各點(diǎn)的速度關(guān)系類似虛速度法虛速度法Cirr任意點(diǎn)的虛任意點(diǎn)的虛位移均相等位移均相等平動平動剛體剛體Crciriri定定軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動iir方向如圖方向如圖定軸轉(zhuǎn)動剛體的虛轉(zhuǎn)角定軸轉(zhuǎn)動剛體的虛轉(zhuǎn)角AB剛體一般平面運(yùn)動剛體一般平面運(yùn)動P MrM剛體該瞬時的虛轉(zhuǎn)角剛體該瞬時的虛轉(zhuǎn)角虛位移投影關(guān)系虛位移投影關(guān)系剛體該瞬時的速度瞬心為剛體該瞬時的速度瞬

10、心為P PMrM方向如圖方向如圖ArBrABBABArr兩點(diǎn)間虛位移的關(guān)系兩點(diǎn)間虛位移的關(guān)系A(chǔ)BBrArBArBAABrrr ABrBA方向如圖方向如圖5. 剛體系統(tǒng)各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系剛體系統(tǒng)各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系找出各點(diǎn)虛位移關(guān)系的方法：解析法和幾何法。找出各點(diǎn)虛位移關(guān)系的方法：解析法和幾何法。（1）解析法：將各點(diǎn)坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示，再求變分。）解析法：將各點(diǎn)坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示，再求變分。jkjjiiqqrr1), 2 , 1(nijkjjiiqqxx1)3 , 2 , 1(ni(8.5)(8.6)（2）幾何法（虛速度法）幾何法（虛速度法）類比于類比于2 ， 3章中的速度分析方法（將速章中的

11、速度分析方法（將速度矢量改為虛位移矢量）。度矢量改為虛位移矢量）。例例 題題 18 虛位移原理虛位移原理 例題例題 ABCDEF剛體系統(tǒng)如圖所示，剛體系統(tǒng)如圖所示，AE=DB=2DF=2EF=2lC為為AE和和DB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求求F 和和B兩點(diǎn)虛位移的兩點(diǎn)虛位移的關(guān)系。關(guān)系。例例 題題 18 虛位移原理虛位移原理 例題例題 ABCDEF解：解：1.解析法解析法建立建立xy坐標(biāo)系，選擇廣義坐標(biāo)坐標(biāo)系，選擇廣義坐標(biāo) 寫出寫出B，F(xiàn)點(diǎn)的位形：點(diǎn)的位形：xycos2lxB0BycoslxFsin3lyF求變分可得：求變分可得：sin2lxB0BysinlxFcos3lyF例例 題題 18 虛位移原

12、理虛位移原理 例題例題jyixrixrFFFBB或以或以 為廣義虛位移，為廣義虛位移，則則F點(diǎn)的虛位移表示為點(diǎn)的虛位移表示為Br21sin2sinllrxBFcot23sin2cos3llryBF ABCDEFxy故故BFrx21BFrycot23例例 題題 18 虛位移原理虛位移原理 例題例題 ABCDEFxy2.幾何法幾何法BrCrErDrFErFDrE點(diǎn)為桿點(diǎn)為桿DB的速度瞬心。的速度瞬心。方向方向 大小大小 ？ ？可解出可解出 與與 的關(guān)系的關(guān)系BrFrFEEFDDrrrrFr例例 題題 28 虛位移原理虛位移原理 例題例題 ABCyEHxR AB=BC=l0 ,E,H分別分別為桿為桿

13、AB ，BC 的中的中點(diǎn)，輪子點(diǎn)，輪子C半徑半徑R=l0/4,在地面上純在地面上純滾動，滾動，EH為一彈簧，為一彈簧，求：求：（1）B，H，C點(diǎn)虛位移之間的關(guān)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。（系。（2）桿）桿AB，BC，和輪子的虛轉(zhuǎn)，和輪子的虛轉(zhuǎn)角（用廣義坐標(biāo)表角（用廣義坐標(biāo)表示）。示）。例例 題題 28 虛位移原理虛位移原理 例題例題解：解：1. 幾何法幾何法系統(tǒng)自由度為系統(tǒng)自由度為1，選擇，選擇 為廣為廣義坐標(biāo)，廣義虛位移為義坐標(biāo)，廣義虛位移為20lrE0lrB桿桿BC的速度瞬心為的速度瞬心為Psin2sin20000llllPBrPCrBC2cos452cos4/0202020llllPH2cos4

14、50lrPBPHrBH ABCyEHxR ErBrCrHrP(BC)8 虛位移原理虛位移原理?xiàng)U桿AB ，BC，輪子，輪子C的虛轉(zhuǎn)角分別為：的虛轉(zhuǎn)角分別為：AB()PBrBBC()sin84sin200llRrCC()例例 題題 2 例題例題 ABCyEHxR ErBrCrHrP(BC)BCCAB例例 題題 28 虛位移原理虛位移原理 例題例題 ABCyEHxR 2. 解析法解析法選擇選擇 為廣義坐標(biāo)。為廣義坐標(biāo)。寫出寫出B，H，C各點(diǎn)位形：各點(diǎn)位形：cos0lxBsin0lyBcos230lxHsin210lyHcos20lxC0Cy例例 題題 28 虛位移原理虛位移原理 例題例題 ABCyE

15、HxR cos0lxBsin0lyBcos230lxHsin210lyH求變分：求變分：sin0lxBcos0lyBsin230lxHcos20lyHsin20lxC0Cycos20lxC0Cy8.3 8.3 力的功力的功1.力的元功和有限功力的元功和有限功F力力 在微小的位移在微小的位移 上作的功。上作的功。 為為 在曲線切在曲線切線方向的投影，線方向的投影， FrdrddsFFrd用直角坐標(biāo)的分量表示：用直角坐標(biāo)的分量表示：FkFjFiFzyxrdkdzjdyidxABWdrdFdsF (8.7)yxzWdrdFdzFdyFdxFzyx（8.8）若同一質(zhì)點(diǎn)上作用一力系，合力為若同一質(zhì)點(diǎn)上作

16、用一力系，合力為niiRFF1則合力的元功為則合力的元功為質(zhì)點(diǎn)上合力的元功等于各分力的元功之和。質(zhì)點(diǎn)上合力的元功等于各分力的元功之和。若力系若力系各力分別作用在質(zhì)點(diǎn)系的不各力分別作用在質(zhì)點(diǎn)系的不), 2 , 1(niFi同質(zhì)點(diǎn)上，該力系的總元功為：同質(zhì)點(diǎn)上，該力系的總元功為：其中其中是力是力作用點(diǎn)的無限小位移。作用點(diǎn)的無限小位移。irdiFRFrdiFirdiFWdrdFRrdFnii1niirdF1)(niiWd1(8.9)Wd niiirdF1)(8.10)2. 實(shí)元功實(shí)元功 虛功虛功 有限功有限功當(dāng)位移為實(shí)位移時，力的元功為當(dāng)位移為實(shí)位移時，力的元功為當(dāng)位移為虛位移時，力的元功為當(dāng)位移為

17、虛位移時，力的元功為dsF (8.11)WdrdFdzFdyFdxFzyx(8.13)WrFsFzFyFxFzyx（8.12）212112rdFWdW力在有限位移上做功，實(shí)元功的積分力在有限位移上做功，實(shí)元功的積分3.功的計(jì)算功的計(jì)算(1)內(nèi)力的功內(nèi)力的功12F21F質(zhì)點(diǎn)系中任意兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系中任意兩質(zhì)點(diǎn) 之之間的相互作用力為內(nèi)力。且有：間的相互作用力為內(nèi)力。且有：21,MM2112FF此一對內(nèi)力的元功之和為：此一對內(nèi)力的元功之和為：式中式中 為點(diǎn)為點(diǎn)M1相對于點(diǎn)相對于點(diǎn)M2的無限小位移。的無限小位移。21rd對于剛體，任意兩點(diǎn)間的相對位移為零，故對于剛體，任意兩點(diǎn)間的相對位移為零，故021rd

18、而而21122112221112)(rdFrrdFrdFrdFWd（8.14）1r21r2rM1M2(2)重力的功重力的功設(shè)設(shè)z軸鉛垂向上，重力軸鉛垂向上，重力gm設(shè)設(shè)h為物體重心為物體重心C高度的變化，高度的變化，BAzzh(重心下降則重心下降則h0；重心上升則；重心上升則h0)ABxyzCgmhABWmgh(8.18)mgdzWd重力的實(shí)元功重力的實(shí)元功（8.15）zmgW重力的虛功重力的虛功（8.16)BAABdzmgW)()(BAzzmg重力的有限功重力的有限功(8.17)dkWdkW211221)(dkWdW(8.19)(8.20)(8.21)(212221彈簧連接兩質(zhì)點(diǎn)彈簧連接兩質(zhì)

19、點(diǎn)21,MM彈簧原長彈簧原長0l，剛度系數(shù)，剛度系數(shù) k，質(zhì)點(diǎn)所受到的彈簧力質(zhì)點(diǎn)所受到的彈簧力 為系統(tǒng)的內(nèi)力，且為系統(tǒng)的內(nèi)力，且 。2112, FF1221FFWd221112rdFrdF21122112)(rdFrrdFlr212121012)(rrllkF而而（3）彈性力的功）彈性力的功1l1A2A2l1B2Bl1M2Mxyz1r2r設(shè)彈簧在任意位置的長度為設(shè)彈簧在任意位置的長度為l取兩質(zhì)點(diǎn)及彈簧為對象，取兩質(zhì)點(diǎn)及彈簧為對象，21F12F21r令彈簧變形量為令彈簧變形量為0ll 022011,llll（4）作用于剛體上力系的功）作用于剛體上力系的功設(shè)剛體在平面力系設(shè)剛體在平面力系(作用點(diǎn)為

20、作用點(diǎn)為 的力的力 ， ) 的作用下，剛體作平面運(yùn)動。的作用下，剛體作平面運(yùn)動。iDiFni,2, 1力力iF的元功的元功iWdiDiirdFWd在剛體上取一基點(diǎn)在剛體上取一基點(diǎn)AiDvADAivviAADv上式兩邊同時乘以上式兩邊同時乘以dtDirdADAirdrddADkrdiA)( kdtdkiDAiFArddiDrdiDiirdFWddADkFrdFiiAi)( dkFADrdFiiAi)(dFmrdFiAzAi)(力系的元功力系的元功WdniiWd1niiAzniAidFmrdF11)(dMrdFAzARdkFMrdFiAAi)(iDAiFArddiDrd若將基點(diǎn)若將基點(diǎn)A選為剛體的

21、速度瞬心選為剛體的速度瞬心P點(diǎn)，則點(diǎn)，則0Prd)0(Pv若將實(shí)位移換為虛位移，同理可計(jì)算剛體的虛功若將實(shí)位移換為虛位移，同理可計(jì)算剛體的虛功WWAzARMrF（8.23）dMPzdMrdFAzARWd（8.22）則剛體的元功為：則剛體的元功為：其中其中niiPzPzFmM1)(niiAzAzFmM1)(dMPzWd剛體的有限功：剛體的有限功：設(shè)剛體在力的作用下由位置設(shè)剛體在力的作用下由位置1運(yùn)動至位置運(yùn)動至位置2，有限功為：，有限功為：若剛體作平動：若剛體作平動：00dARrdFWdARrFW)2()1(12ARrdFW12W)2()1()2()1(dMrdFAzAR（8.24)若剛體作定軸

22、轉(zhuǎn)動：若剛體作定軸轉(zhuǎn)動：A點(diǎn)取轉(zhuǎn)動軸上一點(diǎn)點(diǎn)取轉(zhuǎn)動軸上一點(diǎn)0ArddMWdzzMW 2112dMWz)(1212zMW當(dāng)當(dāng)constMz（5）約束力的功）約束力的功元功為零的約束力元功為零的約束力固定光滑接觸固定光滑接觸面的約束力面的約束力一端固定柔一端固定柔繩的約束力繩的約束力NFrdTrd光滑鉸鏈提供的約束力光滑鉸鏈提供的約束力0rdFFrd純滾動物體接觸點(diǎn)的純滾動物體接觸點(diǎn)的約束力（支持力、靜約束力（支持力、靜滑動摩擦力）滑動摩擦力）（內(nèi)力）（內(nèi)力）0rdNF01niiNirF： 滿足滿足01niiNirF的系統(tǒng)。的系統(tǒng)。當(dāng)遇到非理想約束時，可將非理想約束力看作主動當(dāng)遇到非理想約束時，可

23、將非理想約束力看作主動力，則余下的約束為理想約束。力，則余下的約束為理想約束。其中其中NiFir為約束力，為約束力，為與為與對應(yīng)的虛位移。對應(yīng)的虛位移。NiF4. 有勢力的勢能與功的關(guān)系有勢力的勢能與功的關(guān)系 若某種力的有限功若某種力的有限功 只與其起止位置只與其起止位置A和和B有有關(guān)，與該力的作用點(diǎn)的路徑無關(guān)，則這種力稱為關(guān)，與該力的作用點(diǎn)的路徑無關(guān)，則這種力稱為ABW 任選一個參考點(diǎn)任選一個參考點(diǎn)C，設(shè)物體所處的位置為，設(shè)物體所處的位置為B，則，則物體由物體由B點(diǎn)至點(diǎn)至C點(diǎn)，有勢力所作的功，稱為該物體相點(diǎn)，有勢力所作的功，稱為該物體相對于對于C點(diǎn)的點(diǎn)的BV參考點(diǎn)參考點(diǎn)C稱為稱為。CBBrd

24、FV(8.25)顯然顯然CBBCBWrdFV(8.26)重力和彈簧力均為有勢力。重力和彈簧力均為有勢力。重力：重力：CgmBgmh彈簧力：彈簧力： 取彈簧未變形取彈簧未變形(彈簧為原長彈簧為原長l0 )時為勢能零點(diǎn)時為勢能零點(diǎn)取取C點(diǎn)為勢能零點(diǎn)點(diǎn)為勢能零點(diǎn)變形為變形為 ，則，則 0ll 當(dāng)彈簧長當(dāng)彈簧長 l 時，時，mghWCBmghVB(8.27)221kW221kV (8.28)設(shè)質(zhì)點(diǎn)由設(shè)質(zhì)點(diǎn)由(x,y,z)運(yùn)動到運(yùn)動到(x+dx,y+dy,z+dz)由由212010021012VVWWWWW(8.29)則則),(),(dzzdyydxxVzyxVWddVdVWd(8.30)將位移將位移d

25、r改為改為r則則VW(8.31)例例 題題 38 虛位移原理虛位移原理 例題例題 均質(zhì)圓輪重均質(zhì)圓輪重 , 半徑半徑 r ,彈簧原長彈簧原長 ，剛度，剛度k， M為常力偶，輪子在斜面上純滾動，求輪心為常力偶，輪子在斜面上純滾動，求輪心O移動移動ds時，時，重力、彈性力、力偶重力、彈性力、力偶M所作的元功、虛功，及輪心坐所作的元功、虛功，及輪心坐標(biāo)由標(biāo)由 到到 時，上述力的有限功。時，上述力的有限功。P0l1S2SSOMz例例 題題 38 虛位移原理虛位移原理 例題例題SOMz解：系統(tǒng)自由度為解：系統(tǒng)自由度為1。(1)元功：元功：重力：重力：PdzWdPdsPsindkWdTFdslsk)(0彈

26、性力：彈性力：0ls dsdrdds sindsdz設(shè)輪子的角位移為設(shè)輪子的角位移為d則輪心位移為則輪心位移為力偶：力偶：dsrMMdWdMFFN,為理想約束力，對應(yīng)的為理想約束力，對應(yīng)的元功為零。元功為零。MdFTFPNFdss例例 題題 38 虛位移原理虛位移原理 例題例題SOMz因此，系統(tǒng)的元功：因此，系統(tǒng)的元功：niiWdWd1dsrMlskP)(sin(0系統(tǒng)的虛功：系統(tǒng)的虛功：srMlskP)(sin(0niiWW1MdFTFPNFdss例例 題題 38 虛位移原理虛位移原理 例題例題SOMz系統(tǒng)從系統(tǒng)從S1到到S2位置的有限功：位置的有限功：niiWW11221)(sin(0SSdsrMlskP)()(21202201lSlSksin)()(1212SSPSSrMMdFTFPNFdssS1S2例例 題題 48 虛位移原理虛位移原理 例題例題 ABCyEHxR FM（1）作用于系統(tǒng)的力）作用于系統(tǒng)的力系的虛功。系的虛功。例例8. 2中，設(shè)彈簧原中，設(shè)彈簧原長為長為l0，剛度系數(shù)為，剛度系數(shù)為k，均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB和和